CC BY
26
Так как | t](z) |= 1, и | ¿'(z) | <1 при условии (21) и, следовательно, | T]{z) |>| q{z) | для всех z6 с!), то по теореме Руше [3] функции J](z) и !](-) + ) = со(-) имеют один и тот же индекс в области D. Поэтому для индекса п= indco^z) . имеем:
indco(z) = indrj(z) = —Адп arg r/(z) =
In
1 AdD arg(—е-2'4") = —i—Aaz3(—= —2.
—. -OU---С v - ^ ~
Z7T Z7T
Итак, если X £ (0, 1) удовлетворяет условию (21), т. е.
Х^1 -^madl-g cos 2ш — f sin 2ф |, (21')
2 4 so у e e )
то индекс n краевой задачи A есть отрицательное число, и потому задача A имеет только нулевое решение.
5. Доказательство теоремы
Пусть поверхность F с краем dF подвергнута ChRG - бесконечно малой деформации и переведена в поверхность F*. В силу условия K > k0 > 0, k0=const, указанная деформация описывается системой уравнений эллиптического типа, если коэффициент рекуррентности X <t (0, 1).
В силу того, что коэффициент рекуррентности удовлетворяет условию (21'), то по теореме (*) краевая задача A не имеет нетривиального решения. Следовательно, при условии (21') поверхность допускает только тривиальное решение. Отсюда следует, что поверхность F является жесткой в пространстве Е3. Теорема доказана.
Автор приносит благодарность профессору В.Т. Фоменко за постановку и руководство данной задачи.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Физматгиз., 1959.
2. Фоменко В.Т. Об однозначной определенности овалоидов положительной кривизны в классе СНЯО - преобразований // Сб. науч. работ по межвузовской научной программе «Университеты России - фундаментальные исследования». Таганрог: Изд-во Таганрог. гос. пед. ин-та, 1999.
3. Шабат Б.А. Введение в комплексный анализ. М.: Наука, 1969.
Е.А. Кульчинская
ОСНОВНЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ В КОНФОРМНО-ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Исследование различных видов бесконечно малых деформаций поверхности в римановых
пространствах Я3, как правило (см. [1]), сходится к решению дифференциальных уравнений, тип которых (эллиптический, параболический, гиперболический) определяется соотношениями, выраженными через уравнения рассматриваемой поверхности. Чтобы придать инвариантный характер этим соотношениям, необходимо методами тензорного исчисления знать выражение метрического тензора поверхности, тензора второй квадратичной формы и других характеристик поверх-
ности в римановом пространстве. В связи с этим в настоящей статье найдены выражения метрического тензора и тензора второй инвариантной формы в конформно-евклидовых пространствах с метрикой сЬ2 =Е(х,у,г)(сЬсг + с1у2 поверхностей, заданных уравнениями г = /{х,у),
(х, у) е I). Получено выражение для внешней кривизны рассматриваемой поверхности.
п.1. Метрика пространства. Символы Кристоффеля пространства
Рассмотрим риманово пространство Я3 в координатах (х, у, z) с метрикой с182 = Е(х,у,г)(сЬс2 + с1у2 +с1г2),тт Е > О.
Основная квадратическая форма риманова пространства Я3 в общем виде дается формулой:
аэ^ = а^ау^ау^ , где у1 = х;^2 = у; у3 = г; здесь и далее по индексам а,/3, у,... введется суммирование от 1 до 3. Таким образом, для рассматриваемого пространства Я3 имеем:
rE(x, y, z) 0
0 E(x, y, z)
0
0
0 0
E( x, y, z )
(1.1)
аВ
Введем в рассмотрение контравариантный метрический тензор а . Имеем:
1
11 22 33
а =а =а =-
E(x,y,z)' а12 = а13 =а23 = 0.
Таким образом, матрица тензора аа/3 дается формулой:
1
E(x, y, z) 0
0 1
0
E(x, y, z) 0
0 1
E(x, y, z)
(1.2)
Вычислим символы Кристоффеля первого рода Г у, ар пространства по формуле:
Имеем:
1
Л.аР =~(5аару +5рауа _5уаар); а, р, у = 1,2,3
Г 1,11 =~ЕГ
* * ^ Г 1,12 = Г 1,21 = —Ь
1
Ггп={--Еу)
Гз,п=(--£г),
ГъЛ2 — Г 3,21 = О
(1.3)
аар\\ =
0
*
*
2
* *
ж ж
* *
* *
Г 1,13 — Г 1,31 = —Ь 2
* * А,23 = Г32 = О
1
Д22 =("-£,), 1
Л,зз=(—А) 2 '
где
Е = — дх '
Е = — У ду'
Е 2,12 = Е 2,21 = —1 2
* * /^2ДЗ = Г 2,3\ — О
* *
1
Г 2,23 = Г 2,32 = —Е, 2
1
Г 2,22 = — А, 2
1
А,зз =(--Е)
2
г дЕ
Г 3,13 — Е 3,31 = — А 2
* *
Г3,23 = Г3,32 — — Ел! ч 2 7
* * | Г 3,22 — Г 3,22 =(— — Е2)
* *
1
Гз,зз = Гз,зз = —Е.
Найдем символы Кристоффеля второго рода по формуле:
*у
Имеем:
Ар = А,ар, где а,|3,у = 1,2,3
Гп =■
2Е'
* 1 * 1 ^
Е12 = Г 21 = —— Е
* 1 * 1
Г13 = Г31 = —— 2 Е
* 1 * 1 Г 23 = Г32 — О
, 1
Е,
Г 22 =(--г-),
2£
»1 р
Г зз = (--,
2£
ж 2 Е
2Г
* 2 * 2
Г12 = /^21 = —— 2 Е
* 2 * 2 Аз = Гз1 = 0,
* 2 * 2 Г 23 = Г 32 = —
2 Е' * 2 * 2 ^ Г 22 = Г 22 = — .
2Е
* 2 * 2
Е
Е зз = Гзз = (--,
2£
ж 3 р
Г„ =("—),
2Г
* 3 * 3
Г12 = Г21 =0,
ж 3 ж з ^
Е13 = Г31 = —— 2 Е
ж 3 ж з ^
Е 23 = Г32 = ——
2 Е
*3 /7
Г22 =(-—), 2£ '
Гзз =
2Е
(1.4)
п.2. Метрическая форма поверхности Г 2 в конформно-евклидовом пространстве
Рассмотрим в римановом пространстве Я поверхность Г2 , заданную уравнениями:
2
*
3
*
уа =уа(х\х2), (х\х2)еВ
Метрика риманова пространства индуцирует на поверхности Г метрику
р2 = , Где = ааруркур ; уак ^
здесь и далее индексы I,],к,I,... пробегают значения от 1 до 2.
Будем далее считать, что поверхность Г2 конформно-евклидовом пространстве Я3 задана уравнениями:
у1 =х;у2 = у;у3 =/(х,у)
В этом случае имеем:
¿И =<5(1 + /х2)Ос2 +20/х/^у + 0{\ + /2)ф2, где 0 = Е(х,у,/(х,у)).
Таким образом, метрический тензор дается формулой:
\\8ii =
(1 + /2)0 /х/уО
V /Х/уО (1 +
(2.1)
Введем в рассмотрение контравариантный метрический тензор ё'1
8 =
ё 22
(1 + Л2)
___12 „21
ё = я =
, 822 - ¿Г ,2 + Л + /у )
(-^12 ) _ (~/хЛ)
¿г22 =
¿Ги__1 + Л2
Таким образом, матрица тензора дается формулой:
\\8ц =
1 + /2
(-/х/у )
0(1 + л2 + /22) о(\ + /:+ /2)
(-/х/у ) 1 + /2
' х ^у с 2
_ _'_х_
0(1 +/2+ /2) 0(1 + /2+ /2)
п.3. Нормальный вектор к поверхности Г2 в Я3
Пусть п^ — единичный тензор нормали к поверхности I'2. Координаты единичного тензора нормали п,! (/; — 12,3) вдоль поверхности /' 2 находятся из трех следующих условий:
1) Условие ортогональности координатным тензорам = у']
^>Р= о
В развернутом виде эти условия представляются следующим образом:
^11 5-12 >1 3 ^2 1 5-2 2 5-2 3 ^3 1 5-3 2 ^ 3 3 /-ч
ацып + ^12^1^ + а13Ъ^П + ^2^1 П + ^2^1^ + ^2^1 П + + + =0
>1 1 с-1 2 И 3 5-2 1 у-2 2 у-2 3 >3 1 ^3 2 ^3 3^
ац^2п + ац^2п + а^%2П + а2^2« + а^^" + а2^2« + а3^2« + а3^2« + а3^2« =0
Согласно (1.1) имеем аар = 0, если а Ф [1.
Таким образом, последняя система записывается в виде:
-1п1 4-п f2n2 ^3г>3 =0
(3.1)
{аи^2п1 + ci22%22n2 + а33^2п3 =0.
Для рассматриваемой поверхности F : у1 у2 = у; у3 = fix, у) , где (х, у) е 1) ■
имеем:
= {1,0,/J;^ = {ОД ,/у} (3.2)
Так как ап = а22 = аъъ = Л(л*, у, z), то система (3.1) записьшается следующим образом:
\E(x, y, z)(nl + fn3) = 0, (3 3)
[E (x, y, z)(n4 fyn3) = 0. '
2) Условие единичной длины вектора нормали fl^ :
"ар"""" = 1
Учитывая,что = 0, если а Ф /3 \ аи -а22 -а33 - Ii(x,y,z). согласно (1.1), данное условие представляется в виде:
Е^уЖп1)2 +(п2)2 +(п3)2) = \ (3.4)
3) Условие, что составляет острый угол с направлением оси z: {0,01}.
Для того чтобы угол между векторами был острым необходимо и достаточно, чтобы косинус между ними был положительным, то есть:
„ о, „z"«^
cos(^,z")= аР >0
Это условие может быть записано в виде:
аа/-п* >0
1 2 3
Учитывая, что г = г = 0, а 2 = 1, при этом аар = 0 (а Ф Р); а33 = Е{х,у,г)
(согласно (1.1)), последнее неравенство приобретает вид:
Е(х,у,г)п3 > 0 (3.5)
Так как три указанных условия должны выполняться одновременно, то, исходя из (3.3), (3.4), (3.5), координаты п^ находятся из системы:
Е (х, у, г)( п1 + /хП 3) = 0 Е( х, у, г)(п2 + /уП 3) = 0 Е( х, у, г){( П )2+(п 2)2+(п3 )2 ) = 1 Е(х, у, ¿)п3 > 0
Так как Е(х,у, г) > О, то последняя система может быть записана в следующем виде:
п1=-/хп п п2 =- /уп3 Е(х,у, г)((пъ)2/2+(пъ)2/2+(п3)2) = 1 пъ >0
(3.6)
Учитывая последнее неравенство системы (3.6), решаем третье уравнение этой системы от-
3
носительно п :
тогда
пъ =
у1Е(х,У,2)(\+/х2+/у2)
^х
т]Е(х, у, г)(1 + + /у )
__^У
л1Е(х,у,ЕХ1 + /х2+/у2) Таким образом, координаты единичного тензора нормали п10 вдоль поверхности I' 2 име-
ют вид:
п'!={-
/х
/у
} (3.7)
п.4. Символы Кристоффеля поверхности Г , вычисленные по метрическому тензору ^
1
1
Найдем символы Кристоффеля первого рода поверхности Г2 , вычисленные по метрическому тензору с помощью формул:
Имеем:
1
Л = + А2) + А,12 =Л,21 + +
1 9
Л.22 (4.1)
2
2
л,и = г2,21 = а+л2)+о/у/Х)
1
г2Л2=-оУа+/2)+о/у/п
Найдем символы Кристоффеля второго рода по формуле:
Г1 = 21р Г /,/,/ = 1,2.
у 6 р,у -1
_ ох(\+/х2+/у -./;'./;•')+(',(!+л2)./, л + ./
-¿11 —
2а(1+//+/;>
Г1 =Г' =
^ п о 1
12 21 2С(1+//+//)
- ^ а + Л2 )2 + ^ а + Л2 )ЛЛ + 2(;/;./;,
^">1 _ * 4 •/ у /_у V ^ у }J XJ у_J XJ уу ^ 2)
22 ~ 20(1 + /х2+/у2) '
.... ('.с •./. )././, )' 2(;/,./.,
7 11 - . .¿-2 ,
20(1+//+/;)
л: с/ _у
)а+л2)-(1+л2)./;,/; + 2<7/;,/:,
гг = гг =
12 21 2(3(1 + Л2 + Л2)
г =
2а(1 + /х2+/у2)
п.5. Смешанные ковариантные производные в Я3 вдоль /2 Вычислим ковариантные производные в Я3 вдоль /2 по формуле:
* * ос
V, 41 = + г» - г*4ак . и= = 1АЗ .
где х1 = х; х2 = _у.
Используя формулы (1.4), (3.2) и условие (4.2) получаем:
V! £ =
! -■еха+Л2)./; +Е2( 1+л2)./; -Еу( 1+л2)./;,/; -2Е/х/хх
2£(1+Л2+Л2)
I ./ >>
* ,2 -^(1 + Л2)Л2 -Ех(1 + Л2)/,/„ + /•:,-(! + Л2-
V1 С] —-^-^-
2Е{1 + /2+/2)
* .3 ^х(1 + Л2)Л + ^(1 + Л2)Л -/'-•-(! + Л2) +
VI ^ =-
VI £
2Я(1 + Л2+Л2)
1 _ ~~ ^хА /хЛ ~~ /у + Ег/Х /у — 2Е/х/ху
2
2Д1 + /Х2+/2)
V: =
-Е /2/2-£ /2// + £ /2/ -2£У" /
хи х и у у и у и хи у 2 и у и х и у и ху
2Е(\ + /2+/2)
V! £ =
3 ^хУхУхУ}' ^'у $"у 3х^"у ^ 2 ^х^у ^^^ху
2Е{\ +
(5.1)
=
*
У2#2 =
-КО + РУ ).Г: -Еу/х/у(1 + //) + Е2(1 + /;)./; -2/■;/;,/;
2^а+л2+л2)
"2ч /2
2_ /•;(! I./;)./:/, -ЕУ(!+/;>/; +£га+/;>л
2^а + Л2+Л2)
V2^3 =■
£х(1 + /2)Л+£Д1 + /2)Л-£г(1 + /2) + 2£/,
2£(1 + Л2+/2)
п.6. Коэффициенты второй квадратичной формы поверхности ^2 в ^3
Посчитаем коэффициенты второй квадратичной формы поверхности, используя общие формулы:
^ -"«р^
Используя формулы (1.1), (3.7), (5.1) находим:
=«ар(^")ир, /,7=1,2.
, (1 + Л + Еу/у - ) + 2Е/хл
1 —
2.
л2 + о
*
*
*
=4«
Л Л _ fjy (АЛ + АЛ ~ А ) + 2Efxy ,6.1)
UV2 U1\ I---—
2-JE(1 + Л + fy )
, _ (1 + fy XExfx + Eyfy -Ez~) + 2Efyy
o22
2^Е(1 + /Х2 +Л2)
В частности, для метрики Е = коэффициенты второй квадратичной формы имеют вид:
-Е'(1 + Л2) + 2ДГхх
°11 —
Ь12 = Ь21 =
2^E(l + f2+f2) -E\\ + f2) + 2Ef
ъ22 = -
2^E(\ + f2+fy2) Для метрики £ = Е(х2 + у2 + z2y.
E'{ 1 + Л2 )(*Л + yfy - /) +
Ь12 = b21 =
E'fxfy <jxfx + yfy -f) + Efxy
■Je (1 + f2+ f2) £'(1 + Л2 )(*Л + yfy -л + Ef
-2
6 =_i_*
22
л/е (1 + fx+ fy)
п.7. Внешняя кривизна поверхности Г2 в Я3
Используя найденные значения коэффициентов второй квадратичной формы поверхности Г2, посчитаем внешнюю кривизну поверхности Г2 в Я3 по формуле:
К =
bub22 bl2 gug22 -g\2
Используя (2.1), (6.1) и обозначая: /) = Exfx + Е f - /•'_ • получаем:
у _ fxxfyy fxy fyy(\Jtfx^)JtfxxQJtfy^) 2fxfyfxy p. D
A. = —----—- H------—-JJ + -
E2(\ + f2+f2)2 2E2(\ + f2+f2)2 4E3(\ + f2+f2)2
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Fomenko V.T. ARG - deformation hypersurface with a boundary in Riemannian space. Presented at the 90th Anniversary Conference of Akitsugu Kawaguchi's Birth. Bucharest, Aug. 24-29, 1992.
В.В. Сидорякина, Н.С. Казарян
О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ^G-ДЕФОРМАЦИЯХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
