Непрерывные HG-деформации поверхностей с краем в евклидовом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

© Бодренко А.И., 2014

МАТЕМАТИКА

УДК 514.75 ББК 22.151

НЕПРЕРЫВНЫЕ НС -ДЕФОРМАЦИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ С КРАЕМ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Бодренко Андрей Иванович

Кандидат физико-математических наук,

доцент кафедры фундаментальной информатики и оптимального управления Волгоградского государственного университета [email protected], [email protected]

просп. Университетский, 100, 400062 г. Волгоград, Российская Федерация

Аннотация. В статье исследуются свойства непрерывных деформаций двумерных поверхностей с краем в трехмерном евклидовом пространстве, поточечно сохраняющих грассманов образ и среднюю кривизну поверхностей.

Для двумерной односвязной ориентируемой поверхности Р с краем дР в трехмерном евклидовом пространстве Е3 мы вводим понятие непрерывной НС-деформации и находим дифференциальные уравнения, определяющие весь класс НС-деформаций поверхности Р в Е3. С использованием метода последовательных приближений и принципа сжимающих отображений мы доказываем основной результат данной статьи — теорему 1.

Ключевые слова: деформация поверхности, средняя кривизна, гауссова кривизна, С-деформация, непрерывная деформация.

§ 1. Основные определения. Формулировка результата

Пусть Е3 — трехмерное евклидово пространство, заданное в координатах (у1 ,у2,у3). Пусть Р — двумерная односвязная ориентируемая поверхность в Е3 с краем дР. Обозначим через И область в Е2, через дИ — границу области И.

Пусть поверхность Р в Е3 задана погружением f : И ^ Е3:

Уа = Г(х1,х2), (х1,х2) е И, а = 1, 2, 3.

Здесь и далее считаем, что индексы суммирования а,0,^,... пробегают значения от 1 до 3, индексы ,... пробегают значения от 1 до 2, и действует правило суммирования Эйнштейна.

На поверхности Р порождается риманова метрика, задаваемая формулой ¿з2 = dxгdxj, где

_ $уа АуР

Зч = ,

8ар — символ Кронекера.

В дальнейшем считаем, что формула верна для всех допустимых значений индексов, если не указано, для каких значений индексов данная формула имеет место.

Пусть Ьц — компоненты тензора второй фундаментальной формы поверхности Р, д = ¿еЬ\\д^||, Ь = ¿еЬ\\Ь^||. Обозначим через

dа(х) = /д ¿х1 Л dx2

элемент площади поверхности Р.

Пусть (х1,х2) — декартовы прямоугольные координаты в Е2. Без ограничения общности будем считать, что И = И и дИ — круг единичного радиуса в Е2 с центром в начале координат. Отождествим точки погружения поверхности Р с соответствующими координатными наборами в Е3.

Пусть Р е Ст’1', дР е Ст+1’1', V е (0; 1), т > 4.

Рассмотрим деформацию поверхности Р, определенную уравнениями:

у1 = У° + (1), ?’(Т(0) = 0, Ь е [0;¿о], Ьо > 0.

Пусть поверхность Р не имеет действительных асимптотических направлений. Обозначим через к1 и к2 главные кривизны поверхности Р. Будем считать, что к1 > 0, к2 > 0 на Р. Обозначим через Н = 2(к1 + к2) среднюю кривизну поверхности Р в Е3.

Введем обозначение А(/) = f (2 — f (0).

Определение 1. Деформация {^} называется непрерывной деформацией, сохраняющей среднюю кривизну Н (или, коротко, Н-деформацией), если выполняются следующие условия: А(Н) = 0, и (¿) непрерывны по Ь.

Деформация {^} порождает следующий набор кривых в Е3:

иао (т) = (уао + г"0 (г)),

где гао (0) = 0, т е [0; ¿], Ь е [0; ¿0], Ь0 > 0.

Определение 2. Деформация {^} называется С-деформацией, если каждый нормальный вектор поверхности Р переносится параллельно вдоль траектории деформации {^} для каждой точки поверхности.

Пусть вдоль дР задано векторное поле, касательное к Р:

^ = Щ , (1)

где символом ^ обозначена ковариантная производная в метрике поверхности Р. Рассмотрим краевое условие:

= 7(3,г), 8 е дБ, (2)

где функции уа и 7 принадлежат классу Ст-2,и.

Положим:

7к = ЬаруакV13, к = 1, 2, (3)

Хк = ^—, к = 1, 2, (4)

(Ai)2 + (Л2)2’ ’’ V'

X(s) = A1(s) + гЛ2(s), s G ÖD. (5)

Пусть N — индекс данного краевого условия:

N = -1AdD arg A(s). (6)

2n

Теорема 1. Пусть F G Cm,v,u G (0; 1),m > 4, dF G C'm+1’^. Пусть v@,7 G Cm 2’^(ÖD)

а при этом функция 7 непрерывно дифференцируема по t. Пусть в точке (ж^),^))

области D выполняется условие: za (t) = 0 Vt.

Тогда справедливы следующие утверждения:

1. Если N > 0, то существуют t0 > 0 и e(t0) > 0 такие, что для любой допустимой функции 7, удовлетворяющей условию Ц7\\т-2)V < e(t0), для всех t G [0,i0) существует HG-деформация класса Ст~2,и (D), непрерывная по t, непрерывно зависящая от (2N — 1) произвольных действительных непрерывных функций Ci(t), г = 1,..., (2N — 1), удовлетворяющих условиям q(0) = 0, i = 1,..., (2N — 1).

2. Если N < 0, то существуют t0 > 0 и e(t0) > 0 такие, что для любой допустимой функции 7, удовлетворяющей условию Ц7||m_2,v < e(t0), для всех t G G [0,i0) существует не более одной HG-деформации класса Ст~2,и(D), непрерывной по t.

§ 2. Вывод уравнений НС-деформаций поверхностей в евклидовом пространстве

Будем решать поставленную задачу методами теории деформаций поверхностей [1-7]. Введем следующие обозначения:

Ьц (¿) = Ъц (уа + (¿)) Ъц (0) = Ъц, Ь(г) = Ъ(у° + (¿)), 6(0) = Ь,

9%з (^ = 9и (Уа + (t)), 9ц(0) = 9и, 9^) = 9(У° + £(0) = 9,

а? (¿) = а?, с(Ь) = с, (¿) = .

Положим:

ха(¿) = а? (Ь)уа, з + с(1)па, (7)

где а? (0) = 0, с(0) = 0.

Таким образом, деформация {^} поверхности Р, заданная формулой (1), определяется функциями а? и с.

Условие С-деформации {^} поверхности Р имеет вид (см.: [2, с. 8]):

^(Уаг + (^))П^ = 0. (8)

Введем на Р сопряженно изотермическую систему координат (х1,х2). Обозначим Ьц =

= V, г = 1, 2, при этом Ъ12 = Ь21 = 0. Тогда систему уравнений (8) можно записать в следующем виде:

с, 1 + Уа1 = 0,

с, 2 + Vа2 = 0. (9)

Продифференцируем первое уравнение системы (9) по х2, второе — по х1 и вычтем из первого уравнения второе. Тогда мы получим:

Уд2а1 — Уд1а2 + д2Уа1 — д1Уа2 = 0. (10)

Получаем следующее уравнение, описывающее С-деформации поверхности в сопряженно изотермической системе координат (х1,х2):

&2(1 — $1(2 + Рк & = 0,

где р1 = 52(1п V),р2 = —д1 (1п V). Заметим, что рк не зависят от ¿.

Вычислим А(Н). Заметим, что средняя кривизна Н поверхности Р в Е3 вычисляется по формуле:

2Н = дгз Ьц = д11Ьп + 2д12Ьи + д22Ь22.

Получаем:

2А(Я) = 2(Н (¿) — Н) = ^ (фг, (¿) — дг] Ьг,. (14)

Имеют место следующие формулы:

,“«) = ^, 922«) = ^, Л*) = *2‘М = - (15)

Подставив (15) в (14), получим:

д^т 922(і)Ьіі(і) + д\\(і)Ь22(і) - 2ді2(і)Ьі2(і) - 2д(і)Н

А(Н) =---------------------------------------------------------------------эдо-■ (16)

Справедливы следующие соотношения:

9і] (і) = 9і] + А(9Ц)> + А(^і), ^ = # + А(^). (17)

Учитывая (17), из (16) находим:

29(^)А(Н) = 922^11 (^) + ^11^22(^) — 2^12&12(^) + А(922)Ьц(^) +

+ А(дп)Ь22&) - 2А(д12)Ъи(Ь) - 2дН - 2А(д)Н =

= 922^11 + 9цЬ22 - 2д^12 + ^22А(^11) + 5,11А(&22) - 2^12А(^12) +

+ А(922)Ьц + А(^11)&22 - 2А(д12)Ьп + А(^22)А(^11) +

+ А(0п)А(&22) - 2А(912)А(Ъ12) - 2дН - 2А(д)Н. (18)

Упрощая уравнение (18), получаем уравнение:

29()А(Н) = 922А(Ри) + ^11А(&22) - 2912А(р12) +

+ А(922)Ьц + А(^11)&22 - 2А(^12)^12 + А(^22)А(^11) +

+ А(^11)А(^22) - 2А(^12)А(&12) - 2А(д)Н■ (19)

Отсюда,

2д(г)А(Н) = ^22А(Ьц) + #иА(&22) - 2диА(Ъ12) +

+ УА(922) + VА(^11) - 2А(^12)&12 + А(922)А(р11) +

+ А(^11)А(^22) - 2А(912)А(р12) - 2А(д)Н■ (20)

Обратимся к формуле, определяющей А(Ь^) (см.: [2, с. 13, формула (39)])

А(Ъгз ) = дг(ак)Ъзк + , (21)

где М2 имеют явный вид (см.: [2, с. 12, формулы (30), (32)]).

Имеет место следующее соотношение (см.: [2, с. 10, формула (18)]):

А(Ы = )ди + ^

где М5 имеют явный вид (см.: [2, с. 10, формула (18)]).

(22)

Следовательно, из (20) имеем:

29()а(Н ) = V д22д1(а1) + Vдцд2 (а2) + Уд22^2(а2) + V дцд1(а1) +

+ д22М^1 + дцМ^2 + V М2>;2 + V МЦ — 2д^А(Ь12) +

+ А(д22)А(Ьц) + А(^11)А(&22) — 2А(^12)А(^12) — 2А(9)Н. (23)

Обозначим

Ф4 = 922М11 + 911М22 + V М22 + V М11 — 2912 А(^12) +

+ А(922)А(р11) + А(^11)А(^22) — 2А(^12)А(^12). (24)

Учитывая обозначение (24), из (23) получим:

29(-)а(Н) = V92281 (а1) + Удцд2(а2) + Vд22д2(а2) + V дцд^а1) + Ф4 — 2А(д)Н. (25) Отсюда,

А(Н)

V (дп + д22)(д1(а1) + д2(а2)) + Ф4 — 2А(д)Н

В силу формулы (25), из (26) имеем:

А(Н)

У (911 + 922)(д1й1 + 82а2) + Ф4 — 4дН (81а1 + 82а2 + дк ак — Ф2

29(^ '

(26)

(27)

где Ф2 имеет явный вид (см.: [2, с. 11, формула (25)]). Используя формулу

2Нд = V (дц + д22), из (27) получим следующее уравнение:

А(Н)

—2дН (81а1 + д2а2) — 4Hgqk ак + 4НдФ2 + Ф4

Следовательно,

А(Н)

^ (—8^' — в2а2 — 2д„а* + 2ф2 +

(28)

(29)

Дифференцируя А(Я) по ¿, из (29) имеем:

А( Н)

Я^

( ) Нд д(г)

т)2

^—81С11

— 82а2 — 2дк ак + 2Ф2 + ^—81а1 — 82 а2 — 2дкак + 2Ф2 +

Ф4

2Нд

Ф4 \ 2Нд)

)

(30)

Учитывая, что А(Н) = 0 и используя (29), из (30) получаем следующее представление

А(Н) = Н [~д1а1 — &2 а2 — д(к)ак + Ф2'1)) , (31)

где Ф(21) = дО^с — (а1, а2, д^аР). При этом д^\ д^ и Р(^ имеют явный вид. Заметим,

что д^ € Ст~3,и, д^ € Ст~3,и и не зависят от ¿.

Из (31) получим следующее уравнение для Н-деформации с условием С-деформации:

81а1 + 82а2 + д^а!* = Ф^. (32)

Таким образом, весь класс ЯС-деформаций поверхности Р в евклидовом пространстве Е3 описывается следующей системой дифференциальных уравнений:

д2а1 — д1а2 + рк ак = 0,

81а1 + 82а2 + д^^ = Ф^. (33)

Лемма 1. Пусть выполняются следующие условия:

1) ЗЪ0 > 0 такое, что ак(Ь),д1ак(1),ак(¿),с^ак(1) — непрерывны по Ь, У € [0,£0],

ак (0) = 0,дгак (0) = 0.

2) ЗЪ0 > 0 такое, что аг({) € Ст~2,и,дкаг({) € Ст~3,и, У € [0,Ь0].

Тогда З£* > 0 такое, что для всех £ € [0,£*) рО^ € Ст~3,и и выполняется следующее неравенство:

||Ро )(^(1), «21)) — Р( ) (й’12),а22))\\т-2,и <

< К1(1)(\а^1) — а^т-1,» + \а^1) — а22)\\т- 1,»),

где для любого е > 0 существует Ь0 > 0 такое, что для всех Ь € [0,£0) выполняется следующее неравенство: К1(Ь) < е.

Доказательство леммы 1 следует из построения функции рО^ и лемм 1-6, доказанных в статье [2].

§ 3. Доказательство теоремы 1

Сведем исследование системы уравнений (33) с краевым условием (2) методами, описанными в работе [2] (см.: [2, § 8]), к исследованию следующей краевой задачи для обобщенных аналитических функций.

+ Аы + Вгю + Е (й>) = Ф, Ке{Хй} = ф на дБ, (34)

где Ф, ф, Е имеют явный вид и определяются аналогично функциям, введенным в работе [2]. А = Х1 + 1Х2, |А| = 1, Х,ф € Ст~2,у(дБ).

Исследование разрешимости краевой задачи (34) проводится методами, разработанными в статье [2] (см.: [2, § 8]). Используя выводы, полученные в работе [2] (см.: [2, § 9]), приходим к утверждениям теоремы 1.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бодренко, А. И. Непрерывные почти ARG-деформации гиперповерхностей в евклидовом пространстве / А. И. Бодренко // Известия высших учебных заведений. Математика. — 1996. — Вып. 2. — C. 13-16.

2. Бодренко, А. И. Непрерывные MG-деформации поверхностей с краем в евклидовом пространстве / А. И. Бодренко // Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 1, Математика. Физика. — 2013. — Вып. 1 (18). — C. 6-23.

3. Бодренко, А. И. О свойствах почти AR-деформаций гиперповерхностей с условиями обобщенного скольжения / А. И. Бодренко // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2011. — Т. 18, № 5. — C. 745.

4. Бодренко, А. И. Об индексе дефектности трубчатых гиперповерхностей в евклидовом пространстве / А. И. Бодренко // Обозрение прикладной и промышленной

математики. — 2006. — Т. 13, № 4. — C. 616-617.

5. Бодренко, А. И. Поверхности с лапласово рекуррентной второй фундаментальной формой в E3 / А. И. Бодренко // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2004. — Т. 11, № 2. — C. 300-301.

6. Bodrenko, A. I. Continuous MG-deformations of surfaces in Euclidean space

/ A. I. Bodrenko // Действия торов: топология, геометрия, теория чисел. — Хабаровск :

Издательство Тихоокеанского государственного университета, 2013. — C. 13-14.

7. Bodrenko, A. I. Some properties of continuous almost ARG-deformations / A. I. Bodrenko // Russian Mathematics. — 1996. — Vol. 40, № 2. — P. 11-14.

REFERENCES

1. Bodrenko A.I. Nepreryvnye pochti ARG-deformatsii giperpoverkhnostey v evklidovom prostranstve [Some properties of continuous almost ARG-deformations]. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Matematika [Russian Mathematics], 1996, issue 2, pp. 13-16.

2. Bodrenko A.I. Nepreryvnye MG-deformatsii poverkhnostey s kraem v evklidovom prostranstve [Continuous MG-deformations of surfaces with boundary in Euclidean space]. Vestnik Volgogradskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya 1, Matematika. Fizika [Journal of Volgograd State University, series 1, Mathematics. Physics], 2013, issue 1 (18), pp. 6-23.

3. Bodrenko A.I. O svoystvakh pochti AR-deformatsiy giperpoverkhnostey s usloviyami obobschennogo skol’zheniya [On properties of almost AR-deformations of hypersurfaces with condition of generalized sliding]. Obozrenie prikladnoy i promyshlennoy matematiki [OP&PM Surveys in Applied and Industrial Mathematics], 2011, vol. 18, no. 5, pp. 745.

4. Bodrenko A.I. Ob indekse defektnosti trubchatykh giperpoverkhnostey v evklidovom prostranstve [On defective index of tubular hypersurfaces in Euclidean space]. Obozrenie prikladnoy i promyshlennoy matematiki [OP&PM Surveys in Applied and Industrial Mathematics], 2006, vol. 13, no. 4, pp. 616-617.

5. Bodrenko A.I. Poverkhnosti s laplasovo rekurrentnoy vtoroy fundamental’noy formoy v E3 [Surfaces with recurrent second fundament form in E3]. Obozrenie prikladnoy i promyshlennoy matematiki [OP&PM Surveys in Applied and Industrial Mathematics], 2004, vol. 11, no. 2, pp. 300-301.

6. Bodrenko A.I. Continuous MG-deformations of surfaces in Euclidean space. Deystviya torov: topologiya, geometriya, teoriya chisel [Torus Actions: Topology, Geometry and Number Theory]. Khabarovsk, Pacific National University Publ., 2013, pp. 13-14.

7. Bodrenko A.I. Some properties of continuous almost ARG-deformations. Russian Mathematics, 1996, vol. 40, no. 2, pp. 11-14.

CONTINUOUS HG -DEFORMATIONS OF SURFACES WITH BOUNDARY

IN EUCLIDEAN SPACE

Bodrenko Andrey Ivanovich

Candidate of Physical and Mathematical Sciences,

Associate Professor, Department of Fundamental Informatics and Optimal Control Volgograd State University [email protected], [email protected]

Prosp. Universitetsky, 100, 400062 Volgograd, Russian Federation

Abstract. The properties of continuous deformations of surfaces with boundary in Euclidean 3-space preserving its Grassmannian image and mean curvature are studied in this article.

We determine the continuous PG-deformation for simply connected oriented surface F with boundary dF in Euclidean 3-space. We derive the differential equations of G-deformations of surface F. We prove the lemma where we derive auxiliary properties of functions characterizing PG-deformations of surface F.

Then on the surface F we introduce conjugate isothermal coordinate system which simplifies the form of equations of G-deformations.

From the system of differential equations characterizing G-deformations of surface F in conjugate isothermal coordinate system we go to the nonlinear integral equation and resolve it by the method of successive approximations.

We derive the equations of HG-deformations of surface F. We get the formulas of change A(gij) and A(bij) of coefficients gij and bij of the first and the second fundamental forms of surface F, respectively, for deformation {Ft}. Then, using

formulas of A(gi3) and A(bij), we find the conditions characterizing PG-deformations of two-dimensional surface F in Euclidean space E3.

We show that finding of PG-deformations of surface F brings to the following boundary-value problem (A):

d^w + Aw + Bw + E (w) = ty, Re{\w} = on dF,

where A, B, A, ^, are given functions of complex variable, w is unknown

function of complex variable, operator E(w) has implicit form.

Prior to resolving boundary-value problem (A) we find the solution of the following boundary-value problem for generalized analytic functions:

d^w + Aw + Bw = ^, Re{Xw} = on dF.

Then we use the theory of Fredholm operator of index zero and the theory of Volterra operator equation. Using the method of successive approximations and the principle of contractive mapping, we obtain solution of boundary-value problem (A) and the proof of theorem 1, the main result of this article.

Key words: deformation of surface, mean curvature, Gaussian curvature, G-deformation, continuous deformation.