CC BY
31
2 с0Е'-2' + Е'-2у-ё0 - Е'■ 2х-ё0 = 0,
У у X
4с0 • Е" ■ 2ху + 2с0 ■ Е' + Е" • 4у2с0 - Е' ■ 2ё0 - Е" ■ 4х2ё0 = 0, 4Е" с0 ■ 2ху + ё0 у2 - х2 = 0, то есть Е" = 0, если с0 + ic0 Ф 0.
Отсюда следует, что Е = а0 х2+у2 + h,.. где аи = const. bu = const. Это означает, что Z = const и потому Sgy постоянны.
При этом можно считать, что * 1
SSn = 2 С1+С2 '
SS22=~ С2~С1 >
где с). / = 1. 2, 3,- произвольные постоянные. Это означает, что метрика ds2 допускает нетривиальные бесконечно малые геодезические деформации. Теорема 7 доказана.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Синюков, Н. С. Геодезические отображения римановых пространств / Н. С. Синюков. - М.: Наука, 1979. - 255 с.
2. Каган, В. Ф. Основы теории поверхностей / В. Ф. Каган. - М.-Л.: ОГИЗ, 1948. - Ч. II. - 407 с.
3. Векуа, И. Н. Обобщенные аналитические функции / И. Н. Векуа. - М.: Наука, 1959. - 628 с.
4. Фоменко, В. Т. Исследование уравнений бесконечно малых геодезических деформаций поверхностей // Вестник ТГПИ. - № 1. Естественные науки. - 2011. - С. 35-42.
В. Т. Фоменко, В. В. Сидорякина
УРАВНЕНИЯ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ИЗГИБАНИЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ В РИМАНОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ1
Аннотация. Дается вывод уравнений бесконечно малых изгибаний двумерной поверхности в трехмерном римановом пространстве относительно ковариантных компонент изгибающего тензорного поля поверхности.
Ключевые слова: риманово пространство, поверхность, бесконечно малые изгибания, кова-риантное тензорное поля.
V. T. Fomenko, V. V. Sidorjakina
THE EQUATIONS OF THE INFINITESIMAL BENDINGS OF THE SURFACES INTO THE RIEMANNIAN SPACE
Abstract. The authors give the conclusion of the equations of the infinitesimal bendings of the two-dimensional surfaces into the three-dimensional Riemannian space.
Key words: Riemannian space, surface, infinitesimal bendings, covariant tensor field.
Уравнения бесконечно малых изгибаний в римановых пространствах.
п.1. Будем рассматривать бесконечно малые изгибания поверхностей в римановом пространстве R3 с координатами (уа) и метрикой ds2 = aapdyadyP, где ааа £ C4,v, 0 < v < 1. Будем считать, что поверхность S в R3 задана уравнениями уа = fa(jx}, х2), (х , х2) Е D, а = 1,2,3.
Пусть поверхность S подвергнута изгибанию с малым параметром £ и переходит в поверхность SE, заданную уравнением уа =/"(х1,^2) + £za(3C1,3C2), где (za) - изгибающее поле поверхности S0 = S.
Выведем уравнения бесконечно малых изгибаний поверхности S исходя из условия, что метрика поверхности S стационарна в начальный момент изгибания. Имеем
а-крОУ1 + ы1, У2 + £z2,y3 + £z3)(dya + edza){dy* + sdz= (a^Qy1, y2,y3) +
dyaaflyl,
y2,y3£zy+...dyady/}+edzady/}+dzfîdya+...=aafidyady/2+£fyaa0zydyadyfi+aafidyfidza+aafi
dyadzfi+..,
1 Данная работа выполнена при финансовой поддержке государственного задания Министерства образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «ТГПИ имени А.П. Чехова» по проекту N° 1.423.2011 по теме «Реализация метрик положительной кривизны в виде поверхностей с заданной опорой», научный руководитель В. Т. Фоменко.
Вестник ТГПИ
Естественные науки
где точками обозначены члены более высокого порядка малости относительно £. Так как при бесконечно малом изгибании поверхности S с метрикой ds$ метрика ds2 поверхности SE стационарна при £ = 0, то отсюда находим, что изгибающее поле za удовлетворяет соотношению:
dYaapZrdyadyP + 2 aapdyadzp = 0. Так как дуаар — + TpYa, где Та,гр символы Кристоффеля первого рода пространства R3, то отсюда находим
\(?«,гР + Гp,Ya)dyadyPzy + aapdyadzP = 0, что равносильно соотношению
ï*rP dyadyPzY + aapdyadzP = 0.
Введя в рассмотрение символы Кристоффеля второго рода Щу = aaSTSpr, где ||аа5|| = ||аа5|Г\ уравнения для изгибающего поля za принимают вид:
aapdyadz^ + aapdyaTyazrdyc = 0.
Обозначая ковариантный дифференциал в й3 для поля символом [1], получим окончательный вид уравнений бесконечно малых изгибаний поверхности S0 :
аа^уаШгР = 0. (1)
п.2. Уравнение (1) является уравнением в дифференциалах относительно искомого изгибающего поля za. Левая часть уравнения (1) представляет собой квадратичную форму относительно дифференциалов dxl, и поэтому уравнение (1) эквивалентно системе трех уравнений в частных производных относительно трех неизвестных функций za. Способ решения этой системы существенно зависит от того, в каких координатах на поверхности и в пространстве записывается эта система. Выбор координат на поверхности и в пространстве определяется внешними связями, налагаемыми на поверхность при ее изгибании, то есть определенными условиями на изгибающее поле на некотором множестве точек поверхности.
Запишем уравнение (1) в форме, предложенной А.В. Погореловым [2] при исследовании проблемы погружения метрики, заданной на сфере, в риманово пространство. Для этого рассматриваемую поверхность S0 возьмем в качестве базы полугеодезической системы координат (уа) в пространстве R3. Тогда метрика риманова пространства R3 имеет вид: ds2 — aapdyadyP,
(°22 °12 /Л а а U
_£12 £11 Q
оа S 1,
Уравнение поверхности S в этих координатах уа имеет вид: у1 = х1, у2 = х2; у3 = 0, где (х1, х2) - внутренние координаты поверхности S. В этом случае метрика поверхности S имеет вид:
ds2 = gijdxldxi, где gxl - a11|3,з=0, g12 - а^уЗ^ g22 - а22|уз=0.
Обозначим через Гру символы Кристоффеля второго рода метрики пространства; rjfc - символы Кристоффеля, вычисленные по метрическому тензору gу. Тогда вдоль поверхности S: у3 = 0 имеем
fîi|3,3=0 - rîi; fî2|y3=o = Т\2, Г22 |уз=0 - г22; rîi|y._„ = г11» ^121уз=0 = Г?2; Ц2\у3=0 = Т\2.
Посчитаем символы Г^у, где хотя бы один из индексов a, fi,у принимает значение 3. Обратимся к формулам Гаусса поверхности S. Имеем:
где Ьц - коэффициенты второй квадратичной формы поверхности S, па - единичный вектор нормали поверхности S. Отсюда находим
аарУл]пР + Г^УлУ^арП13 = bij. Учитывая, что для поверхности S0 имеем у1 = х1, у2 = х2; у3 = 0, получаем Уд = У,2 = 0, у\ = 0,у2г = 1; Уд = 0, у32 = 0. У,1!! = - ТЪуХ = -Г^; у 12 = д2у\ - Тк12у% = -ГЬ; У22 = д2у% - r22yjj. = —Г22;
У,il = д1У1 - Т*1У2к = -Г2,;
■ Г2 . [ 12;
У12 = д2у2! - гï2y| = -Г2
У,22 — &2У% Г22У% — Г22; У, 11 = 0; у\2 = 0; у%2 = 0;
п1 = 0; п2 = 0; n3 = 1;
Ьц = аарУ%1^ + Т%тУлУ*]ааРп^ = аазУ,11 + Г^УдУдОаз = «ззУд! + Г?! = а3агад1 = а^Гзд^^Н^О^-^ при у3 = 0.
¿12 = ааруа12пР + Г?ту»аДп'? = Г32 = а33Гзд2 = = 1 • - (3ia32 + д2а31 - З3а12) = - -j^-.
Ь22 = ааруа22пР + Таатуа2у%аарпР = Г32 = а33Гзд2 =
= 2 (d2a32 + 92а32 - д3а22) =
Уравнение (1) в полугеодезических координатах пространства R3 принимает вид: gijdx^z' + dy3®z3 = 0, где dy3 = 0,
Bzj = dzj + Y'apzadyp = dz> + г{кг^хк + TJ3kz3dxk = Bz> + TJ3kz3dxk, j < 3; тогда имеем
gij(Bzj + T^dx^dx1 = 0. Положим z¿ = gi¡z', тогда отсюда находим Bztdxl + gi]TJ3kz3dxidxk = 0; или (Vfcz¿ + gijTJ3kz3) dxldxk = 0. Отсюда следует
va + aÁz3 = o;
Va + V2Z! + g2jTJ31z3 + g^z3 = 0, V2z2 + g2jti2z3 = 0.
Учитывая, что вдоль поверхности S имеем gу — ay при i,j < 3 aí3 = 0 при i < 3; а33 = 1, эту систему перепишем в виде Va + alaf31z3 = 0; Va + Va + a2af31z3 + alaf32z3 = 0, V2z2 + a2af32z3 = 0.
Так как аарГ^ = = - (даарт + даарт — драат\ то последняя система принимает вид:
, laaii з _ VlZl + г дУ3 z ~
Va + Va + i^fz3 + i^fz3 = 0;
1 £ ¿ 1 2 dy3 2 dy3 '
V2z2+i^fz3 = 0.
' £ 2 dy3
Так как — —2Ьц, = —2Ь12, = —2Ь22, то окончательно имеем систему уравнений изгибаний поверхности 5 в следующем виде:
^ + 5-2rÍ2Zí-2b12z3=0 ; (2)
Эг2 ^ду
Если поверхность 5 имеет положительную внешнюю кривизну К > к0> 0, то на ней можно ввести изотерически-сопряженные координаты (u,v), в которых Ьц = Ь22 Ф 0, Ь12 = 0, и тогда система (2) приводится к виду:
Ои - bv + (Т\2 - riO« + (Т22 - Гh)b = 0;
a, + bu - 2ГЬа - 2Г22Ь = 0; ( )
с = ^7-Сои + К - (Th + Г22)а - (Гц + Г22)Ь), 2Ьц
где а = z1; b = z2, с = z3; и = х, v = у.
Отметим, что если 50 е C4,v, 0 < v < 1, то а,Ь 6 C3,v; с £ C2,v, 0 < v < 1. На поверхностях Дарбу положительной внешней кривизны первые два уравнения системы (3) сводятся к уравнениям Коши-Римана [5].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Эйзенхарт, Л. П. Риманова геометрия / Л. П. Эйзенхарт. - М.: ИЛ, 1948. - 316 с.
2. Погорелов, А. В. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей / А. В. Погорелов. - М.: Наука, 1969. -759 с.
- Гl22Zi - b22z3 = 0, х = х1, у = х2.
