Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2009. №2(68)
УДК 514.74
33
ТОЧНАЯ ОЦЕНКА РАДИУСА НОРМАЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ ЗАМКНУТОЙ ВЫПУКЛОЙ ПОВЕРХНОСТИ1
© 2009 В.Н.Кокарев2
Получена точная априорная оценка на радиусы нормальной кривизны замкнутой выпуклой поверхности с заданной элементарной симметрической функцией условных радиусов кривизны.
Ключевые слова: априорные оценки, условный радиус кривизны.
1. Основные понятия и уравнения
Пусть /к = ^2”•,•=! ак.хгхз, (к = 1,..., т) — положительно определенные квадратичные формы. Составим форму / = ^^=1 Лк/к и рассмотрим определитель матрицы квадратичной формы /: ёе1 / = ёе1(Л1а' + ... + Лтат).
Это однородный многочлен степени п по А1,...,Ат , то есть
т т
ёе! / = Е ... Е Лк1 Лк2 ... Лк„Я(/к1,..., /кп).
кп = 1 к 1 = 1
Коэффициент при Лк1 Лк2 ... Лкп, взятый симметричным по всем индексам, называется смешанным дискриминантом форм /к1, /к2,...,/кп или матриц (ак1), (ак2),..., (акп).
Пусть 5 замкнутая выпуклая поверхность в (п + 1)-мерном евклидовом пространстве Ега+1, в котором введены декартовы координаты Х1,..., хп+1. Если 5 регулярна, по крайней мере дважды дифференцируема, и гауссова кривизна ее в любой точке положительна, то ее опорная функция Н обладает той же степенью регулярности [1]. Обозначим ^Х-аХ ■ = Н'. Главные радиусы нормальной кривизны удовлетворяют уравнению
ёе1(Н' — ) = 0 (г,^ = 1,...,п + 1), (1.1)
хСтатья поддержана грантами РФФИ № 08-01-00151 и АВЦП № 3341.
2Кокарев Виктор Николаевич ([email protected]), кафедра алгебры и геометрии Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.
где производные фукции Н надо вычислять на единичной сфере [1]. Уравнение (1.1) имеет один посторонний корень К = 0 . Отбрасывая этот корень, по теореме Виета получаем, что произведение всех главных радиусов кривизны равняется сумме всех главных миноров п-го порядка матрицы Н'. Этот факт удобно записывать в следующем виде:
1
Кз
— = пДЯу,...,Яу,Ьіу) (г,; = 1,...,п + 1), (1.2)
где Кз — гауссова кривизна поверхности 5, В — символ смешанного дискриминанта.
Пусть 5 и Е регулярные замкнутые выпуклые поверхности в (п + + 1)-мерном евклидовом пространстве Еп+1 с положительной гауссовой кривизной. Тогда 5 и Е имеют биективные сферические отображения на единичную сферу
Vs: 5 ^ Бп,ив: Е ^ 5п.
Тем самым определено отображение
V-1 о vs: 5 ^ Е,
которое сопоставляет всякой точке х поверхности 5 с внешней нормалью
V точку у поверхности Е с той же внешней нормалью.
Дифференциалы указанных отображений устанавливают изоморфизмы между Тх(5), Ту(Е) и Ти(5п) — касательными пространствами к 5, Е и 5п в точках х,у и V. Пусть вектору ^ £ Т(5п) соответствуют векторы ^х е Тх(5) и ^у е Ту(Е).
Экстремумы отношения дуз^ по всему Ти(5'п) называются главными условными радиусами кривизны поверхности 5 относительно поверхности Е в точке х. Далее будем их называть условными радиусами кривизны 5 относительно Е и обозначать Кг. Для условных радиусов кривизны получаем уравнение
ёе^ьЗ — КЬЕ) = 0 (г,^ = 1,...,п), (1.3)
где ЬЗ, ЬЕ — коэффициенты вторых квадратичных форм поверхностей Б и Е, соответственно.
Для условных радиусов кривизны справедлива обобщенная теорема Ро-дрига, а именно для тех направлений ^, в которых отношение Зуз; до_ стигает экстремума, соответствующие этому ^ векторы ^х и ^у пропорциональны, то есть
^х — -Кг^у = 0,
где Кг — соответствующий условный радиус кривизны. Отсюда получается, что у условно параллельной поверхности 5 + ЛЕ условные радиусы кривизны равны Кг + Л.
з
2 ,
— дискриминанты первых и вторых квадратичных форм поверхностей
Обозначим через Ks, Ке гауссовы кривизны, а через , В
5, Е и единичной сферы £”. Тогда
По теореме Гаусса
Dsn
В = к 2, = к®.
Тогда получаем
Отсюда и из (1.3)
ВЗ 3, ВЕ
Кз = в| вЕ В3п = В| К ке в® в3п вз вЕ к2.
Ке = Вз = К К
Кз = ВЕ = 1 •••п
Обозначим опорные функции поверхностей 5 и Е через Н и Н0, соответственно. Заменяя гауссовы кривизны их выражениями (1.2) через опорные функции, получаем
В(Н',..., Н', ^) = (Н° ,..., Н'Д.)^1 ••• КЙп (г,; = 1,..., п + 1).
Условно параллельная поверхность 5 + ЛЕ имеет опорную функцию Н + + ЛН0. Поэтому
00
В(Я- + АЯ0,..., Я- + АЯ0, ^) =
= В(Н' ,...,Н°., ^ )(^1 + Л) • • • (кЙп+Л) (г,; = 1,... ,п+1).
п
Разлагая обе части по степеням Л и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем
Сп В(Нг.,. Нг', Н°,..., Н°, г.-) = В(Н',..., Н. ,5. К (г,; = 1,..., п +1).
кп
(1.4)
Смешанный дискриминант слева — это коэффициент при £кКп-кв в определителе
ёе^Н. + КН. + в5'). (1.5)
В области, где хп+1 = 0, имеют место соотношения (см. [1]):
пп
Н = _ Н х Но = _ Но хг
Нп+1,' = 2^ Н' х 1 , Нп+1,' = 2_> Нг' х 1 .
г=1 п+ г=1 п+
Поэтому, если г-ю строку определителя (1.5) умножить на — хх^ и прибавить к п + 1-й строке для всех г = 1,..., п , а г-й столбец тоже умножить
на — хх^ и прибавить к п + 1-му столбцу для всех г = 1, ...,п, то определитель (1.5) примет вид
( *Яц + К Я?! + в ІЯ!2 + ЇІЯ?2 ІЯ21 + КЯ0 ^Я22 + ЯЯ02 + 8
V
— в
Х1
хп + 1
— в'
Х2
хп + 1
Отсюда получаем коэффициент при ^Яп к8 :
+ хп
ХП + 1
Х2
хп + 1
+-+х" хп + 1
Хп+1
В (Я, ,..., Я, ,Я0, ,...,Я0 ), (г,; = 1,...,п).
Он равен смешанному дискриминанту в левой части (1.4), а при Н = Н0 получим смешанный дискриминант в правой части (1.4). Делая замену, получаем из (1.4)
сп В(Н',..., Н', Н',..., Н') = В (НО,..., Н' И, (г,; = 1,..., п). (1.6)
Это сотношение справедливо в области хп+1 = 0.
Используя положительную однородность первой степени опорной функции Н, получим
х1 хп
Обозначим
Я(Ж1,... ,Ж”+і) = ж„+іЯ( V,
1).
Хп+1 Хп+1
1 = А, тогда если функция Я рассматривается на
хп+1 хп+1
единичной сфере, то ^2 +... + жга+1 = 1 и А = л/1 + ^2 + ... + V”. Обозначим
Х1 ХП
Я(
1) = ... ,-и„).
хп+1 хп+1
Функция Л, является ограничением функции Н на плоскость хп+1 = = 1. Условимся дифференцирование по ы функций, зависящих от Ы1,..., ып, обозначать соответствующим индексом внизу, например
д 2Л
‘-о
Тогда получим Я- = АН- (г,; = 1,..., п), где Я- вычисляются на единичной сфере, Ну на плоскости хп+1 = 1 в точках, лежащих на одном луче, проведенном из начала координат.
Относительно функции Я0 мы повторим те же рассуждения, обозначив
я 0(-Х1
1) = Н (^1,..., V”).
Хп+1 Хп+1
Тогда Я?- = АН0,-. Следовательно, уравнение (1.6) принимает вид
СПВ(Н,,... ,Ну,Н°,-,... ,Н°,-) = в(н0,,... ,н0,К, (^ І = ^ . . . ,п). (1.7)
к
п
) = ёв1
= а/1 + ^2 +.. . + V2 = Л
л2-^2 —^1^2 — ^1^п
л3 л3 _ ... л3
—^2 V 1 > 10 1 с* Ю(0 —^2^п
л3 л3 ... л3
—ъг^ 1 —^п^2 л2—V"
Л . Поэтому
л3
Лп+2
л3
л3
/
Если положить в соотношении (1.7) Ь = Ь0, Ь0 = й = п, то получим
Я(Ь0,- ,...,Ь0,-) = 1
п
Лп+2Ке'
Отсюда и из (1.7) получаем
СП В(%,...,% ,Л0, ,...,Л0> )= ^
Лп+2Ке ■
(1.8)
2. Априорная оценка радиуса нормальной
кривизны замкнутой выпуклой поверхности
Пусть ^(^) = (V),..., Дп(^)^ — й-я элементарная симметрическая
функция условных радиусов кривизны поверхности 5 относительно Е. Оценим сверху главные радиусы нормальной кривизны поверхности 5 через заданную функцию ).
Пусть радиус нормальной кривизны поверхности 5 достигает максимума в точке X с внешней нормалью V . Пусть Л1 ^ ... ^ Лп — главные радиусы нормальной кривизны поверхности 5 в точке X; через Ке, ге, Ле обозначим, соответственно, гауссову кривизну, минимальный и максимальный радиусы нормальной кривизны поверхности Е в точке X. Направим ось ж декартовой системы координат параллельно г-му главному направлению поверхности 5 в точке X . Направление оси жп+1 возьмем совпадающим с направлением нормали V.
Тогда в окрестности точки X мы можем пользоваться уравнением (1.8). При этом функция
и / ч(1+ „2 +-----+ ^П )3/2
ш = Ь11 (,,1--,п) (1 + „2 + ... + „П)
будет в точке „1 = 0,..., „п = 0 достигать абсолютного максимума
Ьц(0,..., 0) = Л1 см.[1]. Следовательно, в этой точке = 0, ^2ш ^ 0. Вычисляя шг и ш, в точке (0,..., 0), получим
Шг = Ьцг = 0,Ш11 = Ь1111 + 3ЬП,Шй = Ь^ц + Ьп(г = 1),ш, = ЬуИ(г = ;).
(2.1)
Кроме того, Ь,(0,..., 0) = 0(г = ]), Ьгг(0,..., 0) = Лг. Введем в рассмотрение функцию
=
Рк = лп+2ке .
3
п
1
Дифференцируя уравнение (1.8) по VI в точке (0,..., 0) и обозначив да = рк , получим
(
Е
г,
дВ(% ,...,% ,Л0,,..., Л0,)
дЛ
+
'г,
+ Е
дв(Лг,, . . . , , , . . . , ) 0
г,,
дЛ
Л
'г,
г, 1
Смешанный дискриминант В(Лг,,..., Лг,, Л0,,..., Л0,) будем считать функ-
к
цией переменных Лг,, Л0,. Обозначим через й частный дифференциал на пространстве переменных Лг,, через 5 обозначим частный дифференциал на переменных Л0,. Полагая йЛг, — Лг,1,5Л0, — Л0,1, получим
Рк — СП ( йв(Лг,,. .., %, л0,,..., л0,) + гД(Лг,,. •., %, л0,,..., л0, 1 . (2.2)
V к к /
Дифференцируя (1.8) в точке (0,..., 0) дважды по г^, обозначив ^дрт — Рк, получаем1
Рк- — С; ( й2В(Лг,,..., Лг,, Л0,,..., Л0,) + 2й£В(Лг,,..., Лг,, Л0,,..., Л0,) +
+52В(Лг, ,...,Лг, ,Л0, ,...,Л0 )+ Е
дв(Лг,, . . . , Лг,, , . . . , )
дЛ
г,,
г,
Лг, 11 +
+Е
дв('Лг,,..., Лг,, л0, ,..., л0, )
г,,
дЛ0,
г^ Л0 Лг,11
(2.3)
При этом
к1
дВ(Лг, ,...,Лг, , Л0,,..., Л0,) . 0
Е----------------дЛ.. ^--------- Лг,11 — тВ(Л11г,, Лг,,..., Лг,, ,..., )
г,,
Так как й2ад ^ 0, то
в(^г,, Лг,,..., Лг,, ,..., ) ^ 0.
к1
Подставляя сюда выражения для ш, из (2.1) , получаем
г,
кк
С к д^(Ьг.?, . . . , Ьг,', ь0, , . . . , ь0, ) Ь ^ 2С к дВ(Ьг?, . . . , Ьг?, Ьо,, . . . , Ь°/) Ь
Сп Е-----------------аЬ~------------/1у11 ^ -2Сп------------------------------дЬЛ-Ь11—
г,,
-Сп-1 Е ЬП£>(Ь, , . . . , Ьг,, Ь0,, . . . , Ь0,)й. (2.4) г ' к— ’
Здесь В(Ьг,,..., Ьг,, Ь0,,..., Ь0,)гг — смешанный дискриминант матриц (Ь,) к-1
и (Ь0,) с вычеркнутыми г-ми строками и столбцами.
Далее определим величины к, соотношениями
Ь1111 = —3Ь11 + к11,Ь°111 = — 2Ь°1 + кг1(г = 1),Ь0,11 = —Ь0, + кг, (г,.7 = 1) (2.5)
и обозначим к = тах | к, |. Тогда получим г,
к к
дв(Лг,, . . . , Лг,, Л°-, . . . , Л°-) Л0 — ^ дВ(Лг,, . . . , Лг,, Л0,•, . . . , Л°-)
дЛ0 Л,п — ^ дЛ0 ^
Кг,
г,, г, г,, г,
_ дВ(Ьг,, . . . , Ьг,, Ь0,, . . . , Ь0, ) 0 ^ дВ(Ьг,, . . . , Ьг,, ^ , . . . , ^) 0
—ъ < —2 £ «Я *“■
(2.6)
Для второго и первого слагаемых в правой части этого равенства имеем к
дв(Ь“'.'^,Ь0? ,...,Ь0,) к
Е ,^VlгJ’" ’^о г^~’ ^ — (п - к)^(Лг,,..., Лг,, Л0,',..., л0,). (2.7)
к
д^(Ьг,, . . . , Ьг,, Ьг,, . . . , Ьг,) . (п — й) 0ккЛе /о о\
2^-----------------дЬ--------------к, ^к Гп-к-------------------------------------. (2.8)
г,, г, Кё ГЕ
Для любого г каждое слагаемое в В(Ьг,,..., Ь,, Ь0,,..., Ь0,) содержит либо
к
0
сомножитель Ьл, либо Ь01 . Поэтому
к к
_ дв(%,..., Лг,, Л°-,..., Л°-) п ^ дв(Лг,,..., Лг,, Л°-,..., Л°-)
^ Щ-----------Л“ + £ -------------------дй--------------^ —
г^1 г1 г^1
— В(Лг,,..., Лг,, ,...,ліі ).
к
Так как по (2.1) у нас Ьц = 0(г > 1), то ( к
-2Сп
^ дВ(Ьг,, . . . , Ь,, ь0,, . . . , Ь0,) Ь0 +
г>1
дЬ01
V
+
дВ(Ьг,, . . . , Ьг, ,Ь0, ,...,Ь0, )
------------Ь11
дЬ
11
= —2рк. (2.9)
Очевидно, что
Ск-^ П(Л-- Л-- Ь0 Ь0 V-> (п — к + 1)0к-1-Е~
Сп-1 ^(Ьг,, . . . , Ь,; Ьг, , . . . , Ьг,)гг > ^Дп-к+1
пк
к1
Учитывая, что Ьц > -еЛ?1, из (2.4), (2.6) — (2.10) получаем (к
к
Сп
Е
г,,
дВ(Ьг,, . . . , Ьг, ,Ь0, ,...,Ь0, )
дЬ
Ьг, 11 +
'г,
(2.10)
+ Е
г,,
г^ Ь0
г, 11
<
^ (к — П — 2)рк +
(п — к)20ккЛЕ к 1 (п — к + 1)стк-1-Е к+1-Й1
Ке -е
Приступим теперь к оценке
пк
Ке лЕ-к+1
Обозначим
(^2 + 2^£ + £2)В(Ьг,,..., Ь,, Ь0,,..., Ь,).
к
тах |Ь0,1| = 0. г, ^
Тогда
,
Ь , Ь0 , Ь ,, Ь ,,
л2
, Ь0,) ^ 2(п — к)(п — к — 1)-у0к.
-е
(2.11)
(2.12)
(2.13)
Будем считать В(Ьг,,..., Ьг,, Ь0,,..., Ь0,) функцией от п(п2+1) переменных
Ь г, при фиксированных Ь0,, которую обозначим через В(Ь). Переменные Ьг, расположим, например, в следующем порядке:
Ь22, . . . , Ьпп; Ь12, . . . , Ь1n, Ь23, . . . , . . . , Ьп- 1,п.
Из неравенства А.Д. Александрова для смешанных дискриминантов положительно определенных форм [2]
[D(/1,..., /n)]m > П £(/_./, /-+1,..., /n), k=l
где знак равенства может стоять лишь в случае пропорциональности форм /1,...,/т, получаем, что для точек
ь1 = (ь1^ Ь22, . . . , Ь,, . . .), Л2 = (Л-Ш Ь22, . . . , Ь,, . . .)
[В(^Ь1 + (1 — ^)Ь2)]1/к > £ [В(Ь1)]1/к + (1 — £) [В(Ь2)]1/к , £ е [0,1],
где знак равенства стоит тогда и только тогда, когда координаты точек Ь1 и Ь2 пропорциональны. Это означает, что в точке Ь , где Ьг, являются коэффициентами положительно определенной квадратичной формы, функция 1/к
Вк строго вогнута по всем направлениям за исключением направления ОЬ, в котором она линейна.
У нас Ьц > ... > Ьпп > 0 и Ьш = 0. Поэтому вектор ОЬ не лежит в плоскости Ьцг = 0. Значит, у нас форма ^2В,/к |^1И=0< 0. Обозначим через Л1 максимальное собственное значение этой формы. Тогда
d2Di/k = 1 (< 1 - 1)°;/k-2dD? + Dk/k-ld2Dk) < Лі Е 4і-
і,І> 1 Отсюда
d2Dk < kDІ-1/kЛі Е h2,i + (1 - 1)^. (2.14)
і,І> і k
Из (2.2) CndDk = pk - Cn^Dk. Так как |Cn5Dk| ^ (n k) go~k , следователь-
но,
(сп<Шк)2 < Рк2 + (П—к)^ (2|рк! + . (2.15)
-е \ -е /
Оценим теперь Л1. Речь идет о максимальном собственном значении матрицы
/ д2д!А : д2д1/к \
дНидНк1
(2.16)
d2Dl/k . d2Dl/k
\ dhkidhjj . dhkidhpq )
(i, j, к, l,p, q = 2,..., n; к = l,p = q). Другими словами, мы дожны рассмот-
1/
к
h11 = const,
реть ограничение функции В/к на плоскость
aconst :
h12 = const, h1n = const.
На плоскости асо^ максимальное собственное значение квадратичной формы й2^,/к достигается на векторе, являющемся проекцией вектора ОЛ на эту плоскость, то есть на векторе (Л-22, Лзз, . . . , Лпп, Л-23,...).
Так как у нас Л-, — 0 при і — і, то в направлении этого вектора имеем
V- д2^1/к ^ 2 ^ 2
Е ял - • дЛ Лг,'— Л1 ^ — Л1 ^ Л*г.
дЛг? дЛро ■ і т
г,.?,Р,д>1 г,,>1 г>1
Учитывая, что любой главный минор (п — к)-го порядка матрицы (Л0,) огра-
п__к т-чп__к
ничен снизу и сверху величинами ге и , соответственно, получаем
д2^1/к ^ д2^1/к д2^1/к 2
______к л Л — \ _______к л Л +_____________Л2
дЛг, дЛюо ^^ — .А , дЛг, дЛюо ^^ + дЛ2 %1 +
Чт^М'ра ■ ■ . і ^‘Чт^'ьра «.у/611
г,,,Р,д г,,,р,^>1 11
____ д2 П1/к ___ 1
+2 Е яь дк, Л,1 Лгг — Л, Е Лг + к^,/к—2 х
^ дЛцдЛгг ^ гг к к
г>1 г>1
Д п /'дДЛ2 ,2 Г, д2Рк , Д пд^к дДЛ,
'к Н 9/гп) 11 + к дЛцдЛгг +(к ) 9/ги дЛ-г/ 11 гг
г>
1/к—2
^ —1)(^1—,яе—к Л,і)2+
г>1 к(Сп)1/ккЕ/к-2
+2 Е 51-2-Е(п-к) + (1 — 1)51-1^-1 лЕ(п-к)) ЬпЬгг
Здесь 5к — к-я элементарная симметрическая функция от Ьц,...,Ьпп,
1 — (к — 1)-я элементарная симметрическая функция от Ьц,...,Ьпп, кроме Ьгг, 2 — (к — 2)-я элементарная симметрическая функция от
Ьц,..., Ьпп, кроме Ьгг, Ь,, 0к = СкВКе.
Учитывая, что
Е 4-1Ьгг = к5к,
г
Е 51-2Ьгг = (к — 1)5к-1,
г>1
51-1Ь11 > П-£к,
получаем оценку для Л1:
2(к 1)5 51 Ь Г Р2(п-к) _ Г2(п-к)__________к 02(п-кА 01/к-2
2(к 1)5кЬ 1-1Ь11 (лЕ -Е 2п лЕ ) 0к , „
Л1 <---------------------- ----------1/к-2---------------- ------------------. (2.17)
к(с‘)1/к'кЕ/к-2 Е Ь2г
г>1
Нам требуется отрицательная оценка для Л1, поэтому наложим условие
Г)2(п-к) 2(п-к) 1 Г)2(п-к) „
ЛЕ( ) — -Е( ) — 2ПЛЕ( ) < 0.
X
Для выполнения этого условия нужно, чтобы для отношения ^ = $0 выполнялось неравенство
2п - 1
Пусть, кроме того, выполнено условие
,11 , 2п + 1
------- — о, ^ ---------------------.
Лгага 2п — 1
Тогда
так как
\
СП/
£к
1/к
^к \
СП/
1/к
і £Х к і .
кк
Я!
!
__ / \ 2/к
Тогда ^ Ь2г ^ (п — 1)$2ЛЕ (тт ) , и из (2.17) получаем
г>1 V «/
2(к — 1)(сп)1/к-Ек (лЕ(п-к) — -Е(п-к) — 2п4(п-к))
Л1 <---------------------- --1/к_ 2 1/к-------------------- . (2.21)
п(п — 1)$2ке/ Д|
Теперь, используя (2.14) и (2.15), можно оценить (^2 + 2^)В(Ьг,,..., Ьг,, Ь0,,..., Ь,).
(2.18)
(2.19)
(2.20)
Имеем 2^$В(Ьг,,..., Ьг,, Ь0,,..., Ь0,)= ^ Ьг,1Аг,, где модуль коэффициен-
г,,>1
та Аг, не превосходит С_П— 1^^Е к 1.
Из (2.20) получаем
/ \ 1—1/к А| < С^к"1^!"^С1) «Я
п—к— 1 ! .
(2.22)
Тогда, оценив квадратные по Ьг,1 двучлены, получим, заменив с учетом
/о 1а\ к(п-к)2(п-1)^2^ 0 2
(2.19) ( 8га(к—1) ) 1 на 2п2
Сі(й2 + 2й6)£(Лг,,..., Лг,, Л0,,..., Л0,) <
< (1 — 1)(Р12 + <п — к)2^к (2|рк| +(П — к)2^^к
к \ Рк РкГЕ V ГЕ
+
2п2Я|га—2
Кег|к (гЕ("-|) + £я|"—к) - я|("-к))
Из (2.3), (2.11), (2.13) и (2.23) получаем
(п — к + 1)а|—іг! + Яі Ке Я!—к+1
+
(2.23)
^ (к — п — 2)рі + (1 — к) ~---------------------ркг+
к рк
1
(п — к)2стккЛЕ к 1 (к — 1)(п — к)2встк / , (п — к)20стк
+ КЕ^ + к-Е 12|рк|+ -Е 1 +
в2 , 2п2ЛЕп-2^к в2
+2(” — к)(" — к — 1)-2"к + Ке-Еп (1 + 5п$02(п-к) — «Г»' • (2.24)
1/к
/ \ 1/к
Введем функцию ^к = [о^) . Тогда
Рк = ^к ск(1+г2 +...+о-^.
В рассматриваемой точке получаем
2
1 Р2
(к — п — 2)рк + (1 — т) -р рк = кспк ^ 1(^к — ^А^).
к Рк
1 1
А так как (§|-т) * 1 > (о|) * , то ^-1 > С* <рк 1.
Обозначив
А =
лЕ-к+2кЕ/к
гп-к+1 :
' Е
1 / 2п2ДЕп-2в2 , лв2КЕ
В = — ( ----------(---------Е— ------- ——^ + 2(п — к)(п — к — 1) —2—+
Кег2п (1 + ^ «„2(п-к) — $п-‘)) -1
(п — к)2кЛЕ-к-1 , (к — 1)(п — к)20КЕ Л. (п — к)'2в^к-Ке^
+ пТк I г— 21^к1 +
-
п- к Е
к-Е V к-Е
из (2.24) получаем оценку на максимальный условный радиус кривизны в рассматриваемой точке:
А
Л1 ^ (^к(1 + В) — ^к) . (2.25)
Отсюда получаем оценку на максимальный главный радиус кривизны
Л1 ^ А (^к(1 + В) — ^к) . (2.26)
Дифференцирование по можно заменить дифференцированием по длине дуги на единичной сфере [1].
Теперь нам осталось выяснить геометрический смысл величин в и к. Пусть 7(5) — геодезическая на поверхности Е, такая, что 7(0) =
= X, 7(0) = ^^7",..., . Пусть кп(з) — нормальная кривизна этой гео-
дезической. Вычислим (0). Имеем
, е ^гг йг,
кп = Ь‘, * АТ,
йкп <9£Е йгг ^г, йгк Е ^2гг ^г,
+ 2^.
^5 дгк ^5 ^5 ^5 4 ^2 ^5 ’
по повторяющимся индексам происходит суммирование.
Обозначим символом (;) ковариантное дифференцирование и
дг!
_ т! г^ ра т! га 7-!
пг,к — гг,;к — "д^ Г гкга, — Г ,кга-.
Числа пг,| являются координатами тензора Кодацци, симметричного по всем индексам (см. [3]). Тогда получаем
йкга — й^| + 2(^ч + гг й,й^|
йз Пг,к йз йз йз йз2 аЬ йз йз ^ йз Пг,к йз йз йз ^
Для координат тензора Кодацци в [4] получено выражение
/ д2г д^ \ / дг д2^ \ (2 2_)
Пг,к V д^гди,- ’ д-и;/ V д^к ’ д^гди,- / . .
Здесь г — вектор-функция, задающая поверхность Е, V — единичная нор-
маль поверхности Е. В окрестности точки X для них имеют место выражения
Г — (Л°,...,ЛП,Л° — Л0)^г), V — (1 +(^2’+.. ’ ^+’ 12 )1/2. (2-28)
(1 + ^2 +----+ )1/2
Вычисляя, получаем
пг,к(0,...,0) — Л,(0, ...>0).
Для коэффициентов первой квадратичной формы поверхности Е из (2.28) получаем
5гЕ = Ь1гЬ0, + • • • + ЬпгЬп, + ^ (2.29)
где ^ — квадратичная форма от г1,...,гп. Следовательно, в точке X с координатами (0,..., 0) матрицы (д,) и (Ь0,) связаны соотношением (д,) = = (Ь,)2, поэтому собственные значения матрицы (д,) заключены между -° и ЛЕ, а тогда -° ^ дг| ^ ЛЕ.
Обозначим тах (0) = в. Здесь максимум берется по всем направлениям п на Е в точке X. Значит, для любого единичного вектора П = = (п1,..., Пп) модуль кубической формы
1п(п)1 = |пг,кпУПк 1 < £
Взяв п1 = (0,..., 0, пг, 0,..., 0) , получим
|п|ггг|Пг3| < в при д|ЕГг|Пг2 = 1.
(Здесь и далее по индексам, заключенным в знак | |, суммирование не производится.) Следовательно, |пггг| ^ вЛЕ.
Возьмем единичные векторы П2,Пз с ненулевыми только г-ми и ^-ми координатами
П2 = (0,..., аг]г,..., аП,..., 0), П3 = (0,..., —впг,..., вп^',..., 0). Положим |пг| = 2^1, ^ = 27^, а > ^ в > 0.
Так как собственные значения матрицы (дЕ) не превосходят ЛЕ, то 1 = дЕг|Пг2а2 + 2дЕ-|ПУа2 + дЕл^'2а2 ^ 72 = а2, поэтому а > 1. Анало-
гично в ^ 1. Получаем
п(п2) + п(г?з) ,3 а3 + в3 , о -2 , а3 + в3
--------2------------— —2— + 3п|гг,|П п"—2—
2 а3 в3 3 а3 в3
+3п|г.,|ПУ ------2--+ П|ггг|Пг ------2--^ в. (2.30)
т> - ґ п г ,2 а3—в3 -3 а3 —в3 \ г\
Взяв знак п- таким, чтобы 3п|г,,|П-'П'/ —2 —+ П|ггг|П- —2" ^ 0, из второго
неравенства в (2.30) с учетом а +в ^ 1 получаем п-г, ^ вЯ! (і — і). Взяв Пг с противоположным знаком, из первого неравенства в (2.30) получим пгг, ^ — (і — і).
Возьмем единичные векторы П4, П5 с ненулевыми только і,і, к-ми координатами
П4 — (0,..., апг,..., ап^,..., апк,..., 0),
Пб — (0,..., впг,..., — вп7',..., —впк,..., 0).
Положим |пг| — У| — |пкI — 3д^, а > 0, в > 0. Тогда, как и выше, а ^ 1, в ^ 1. А так как собственные значения матрицы (д!) не меньше
г!, то а < тЕ, в ^ %.
Получаем
п(г?4) + п(пб) г3 а3 + в3 , 3 а3 — в3
--------2------------ — п|ггг|п -----------------2- + Пl777|n7 ---2-----
пк3 а3 — в3 , 3_ пгп,2 а3 + в3 , 3п пгпк2 а3 + в3 , +п|ккк|п -----2-----+3п|гіі|пп -------2------+3п|гкк|пп -------2----+
2 а3 в3 2 а3 в3 2 а3 в3
+3п|,гг|n7пг -----2-------+ ^Ь'кк^п -------2----+ 3п|кгг|п пг -----2----+
2 а3 в3
+3п|кіі|пк^ -------2-----+ 6п|г7k|nгn7пк < в. (2.31)
Выберем знак п так, чтобы в последнем выражении кубической формы сумма первого, четвертого и пятого слагаемых была неотрицательна. Знак п, выберем так, чтобы сумма второго, шестого и седьмого слагаемых была тоже неотрицательна. Знак пк выберем так, чтобы пУ пк > 0. Учитывая, что а +в ^ 1 ,|а —в | ^ ^— 1^ < 1/20, из второго неравенства в (2.31)
получаем пг,к ^ вЯ! (і — і — к). Поменяв знаки пгУ, из первого неравенства в (2.31) получаем п-,; ^ — вЯ! (і — і — к).
Итак, в точке X
в — тах ^к1 ^ . (2.32)
г,,,к
Вычислим теперь (0) . Учитывая, что 7(5) — геодезическая, получим
й2кп й-иг йг, йик
й52 Пг,к;1 йз йз йз .
Но , вообще говоря, не симметричны по всем индексам. Симметрируя n(ijfc;1) , получаем
d2kn dvj dvj dvk dv
ds2 njk1 ds ds ds ds ’
Обозначим max | (0) | = т, где максимум берется по всем направле-
ниям на E в точке X.
Из соотношения | nijkZ ПкП11 ^ т для введенного выше единичного век-
тора ni получаем для всех i
|niiii| ^ tRE. (2.33)
Рассматривая соотношение | Пг^кгПгП^ Пк П1 ^ т для введенного выше единичного вектора 772, получаем систему неравенств для всех i = j
13 3^3 13
4 < ± 2 + 3njiii < ~4,
13 3 3^3 13
4 < 3nijjj ± 2 + njiii < 4 .
Отсюда
13 3
kwi1 < уtRE, |niijj1 < ^tRE (i =j). (2.34)
Возьмем для вектора П4 |n*| = , У I = |nk I = 2Щ. Выбрав знак пг,
получим для всех i = j = k
kijfc| ^ 4tRE. (2.35)
Символом (,i) обозначим частную производную по v^. Из формул (2.27) и (2.28) получаем в точке X
niii,i = h0iii + n(iii,j) = h1iij + 1 h0j (i = j = 1),
n(iii,i) = h?iii + 2^ n(iii,i) = h?iii + hii + hn (i = 1). (2.36)
Из (2.29) и (2.32) с учетом |hj| ^ Re получаем в точке X
|gij,z| ^ 2nR|(9.
Собственные значения матрицы контравариантного метрического тензора ($ы) заключены между и 4г, значит |gk11 ^ 4f. Следовательно, для коэффициентов Кристоффеля поверхности E в точке X имеет место оценка
k ^ 3n-2 rE9 |Г 1 ^ r2 .
rE
Тогда
. 9n3RE92
|nijfc;1 nijfc,1| ^ 2 , rE
|n(ijfc;1) n(ijfc,1)|
Из (2.5), (2.33) и (2.36) получаем
9n3RE 92
r
1 1 1,0 ,0 1 1 1 1 1 9n3RE92 л4 9n3RE92
|kii| = |h1iii + 3hn| = |niii,i| ^ |niii;i| +------------2^— ^ tRe +----2^.
rE rE
Так как [h1^ ^ Re — rE (i = 1), то из (2.5), (2.34) и (2.36) получим
, , , 1,0 , , , 9n3RE92 1 -2~
|Kii| = |n(iii,i) + 2hli| ^ Kiii;^ + Г2 + 2 v RE — rE ^
e
13 , 9n3 R792 1
Аналогично из (2.5), (2.35) и (2.36) получаем
1 9n3 (2 1 у----
К | = |n(iii,j) + - h0j | < 4tRE +----------^ + - J RE — rE (i = j = 1).
2 rE 2
Далее из (2.5), (2.34) и(2.36) получаем , . . 1,0 1, 0 , 3 , 9n3RE92 1,„ ч , ч
|Kii| = |n(iii,i) + 2hii — 2hn| ^ 2tRe + r^ + 2( — rE) (i = 1).
Е
Таким образом, для к = max |xj | получаем оценку
, „4 9п3ЛЕ92 1 /ГЮ 2~
к ^ 4тЛе + -o + 2\/Ле — -е .
' Е ^
Сформулируем теперь доказанную теорему.
Пусть 7(5) — геодезическая на поверхности Е, проходящая через точку
7(0) с внешней нормалью V в направлении п. Пусть кп(з) — нормальная
кривизна этой геодезической. Обозначим
9 \ йкп 1п\ I \ Iй кп/пм
9т = тах —— (0), т (V) = тах | (0)|,
п аз п аз2
где максимумы берутся по всем направлениям в точке 7(0). Введем функции
9М = 9МЛЕ(^
9п3ЛЕ (v)92(v) 1
-Е ^) + 2
k(v) = 4т (v)rE (v) + + ^/rE (v) — rE(v)
где Ле(V) — максимальный, а -е(V) — минимальный радиусы нормальной кривизны поверхности Е в точке 7(0). Обозначим
A(v ) =
RE-k+2KE/k
rra-fc+i ,
'e
. 1 / 2п2Л|га-202 Й2КЕ
В(^) = 7- І ----------т----------Е— - ——— + 2(п — к)(п — к — 1)—2----------------+
Ке -Еп (1 + 2п С-4 — «с2(п-‘0 -Е
(п — к:)2кЯЕ-к-1 (к — 1)(п — к)29КЕ ^ ,, , (п — к)29^кКе^
+ Г- + к-Е 12|!Л | + к-Е ^ ^
где все величины в правых частях считаются в точке 7(0) или V. Доказана следующая
Теорема. Пусть 5 и Е — регулярные замкнутые выпуклые, удовлетворяющие условиям (2.18) и (2.19 ) поверхности в евклидовом пространстве Еп+1. Пусть ^1^),..., Кп^)^ — к-я элементарная симметриче-
ская функция условных радиусов кривизны поверхности 5 относительно Е. Тогда для радиусов нормальной кривизны поверхности 5 справедлива оценка
1/к
а дифференцирование выполняется по длине дуги большого круга на единичной сфере в точке V в направлении п. Максимум берется по всем точкам сферы и всем направлениям в этих точках.
Полученная оценка является точной: если поверхности 5 и Е являются единичными сферами, то А^) = 1, ) = 0, и теорема дает К ^ 1.
Литература
[1] Погорелов, А.В. Многомерная проблема Минковского / А.В. Погоре-лов. — М.: Наука, 1975. — 96 с.
[2] Александров, А.Д. Смешанные дискриминанты и смешанные объемы /
A.Д. Александров // Матем. сб. — 1938. — Т. 3. — № 2. — С. 227-251.
[3] Каган, В.Ф. Основы теории поверхностей в тензорном изложении /
B.Ф. Каган. — М.; Л.: ОГИЗ, 1948. — Ч. 2 — 407 с.
[4] БиЬпо—, Л. иЬег Тешогеп шИ пісМвкаіагеп Кошропепіеп / Л. БиЬпо— // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. — 1933. — Т. 1. — С. 196-212.
Поступила в редакцию 23/Ц/2009; в окончательном варианте — 23////2009.
PRECISE ESTIMATE OF RADIUS OF NORMAL CURVATURE OF CLOSED CONVEX SURFACE
© 2009 V.N. Kokarev3
A precise a priori estimate of radiuses of normal curvature of closed convex surface with given elementary symmetric function of relative radiuses curvature is obtained.
Key words and phrases: a priori estimates, relative curvature radius.
Paper received 23/77/2009. Paper accepted 23/77/2009.
3Kokarev Victor Nikolaevich ([email protected]), chair of Algebra and geometry, Samara State University, Samara, 443011, Russia.