Распределение собственных векторных полей для краевого условия смешанного типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 513.7

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ ДЛЯ КРАЕВОГО УСЛОВИЯ СМЕШАННОГО ТИПА

© 2010 г. Н.Н. Солохин

Ростовский государственный строительный университет, ул. Социалистическая, 162, г. Ростов н/Д, 344022, [email protected]. ru

Rostov State Building University, Socialisticheskaya St., 162, Rostov-on-Don, 344022, [email protected]. ru

Изучаются бесконечно малые изгибания поверхностей положительной кривизны с краем, подчинённых на краю внешней связи смешанного типа. Устанавливается картина распределения собственных векторных полей для такой внешней связи при условии, что векторное поле не принадлежит поверхности. Даётся пример распределения собственных векторных полей для сферических сегментов.

Ключевые слова: поверхность положительной кривизны, бесконечно малые изгибания, поле смещений, поле вращений, собственное векторное поле, сферические сегменты.

In work infinitesimal bendings surfaces of positive curvature with edge, subordinates on edge of external communication of the mixed type are studied. The picture of distribution of own vector fields for such external communication is established provided that the vector field does not belong to a surface. The example of distribution of own vector fields for spherical segments is set.

Keywords: surface ofpositive curvature, infinitesimal bendings, field of displacement, field of rotations, own vector field, spherical segments.

Основная задача теории бесконечно малых изгибаний поверхностей состоит в отыскании нетривиальных полей смещений, удовлетворяющих основному уравнению ^№=0, где г - радиус-вектор точки поверхности; и - поле смещений при бесконечно малом изгибании поверхности. Если поверхность подчинена тем или иным связям, то при интегрировании этого уравнения необходимо учесть также эти связи, т.е. нужно отыскивать нетривиальные поля смещений, которые совместимы с наличными связями [1, а 385].

Из основного уравнения следует, что №=Ух^, где V - некоторая вектор-функция, определяющая вращение при бесконечно малом изгибании поверхности некоторой её элементарной площадки. Векторное поле V называют полем вращений [1, с. 412].

При исследовании бесконечно малых изгибаний поверхностей с краем на поведение поверхности при деформации накладываются различные краевые условия. Обычно они состоят в ограничениях на способ изменения пространственного расположения края (кинематические связи) или характер изменения каких-либо геометрических характеристик поверхности вдоль края. Например, бесконечно малые изгибания скольжения относительно плоскости - это деформации, выражаемые краевым условием ип=0, где и -вектор смещения; п - нормаль к плоскости. Если

вдоль края дБ поверхности £ задано векторное поле I и если деформации и ищутся с краевым условием и1=с, где с - заданная вдоль границы поверхности скалярная функция, то говорят о бесконечно малых изгибаниях обобщенного скольжения. Если деформации поверхности ищутся с условием вида Vn=c, где п -нормаль к поверхности; V - поле вращений при бесконечно малом изгибании поверхности, то говорят об условии обобщённого поворота.

Существует классификация кинематических связей в зависимости от характера разрешимости однородной и неоднородной краевой задачи с использованием таких терминов, как корректность, оптимальность и т. д. [1, с. 484].

Рассмотрим краевое условие

а(Щ+6^п)=с, (1)

где и и V - векторные поля смещения и вращения бесконечно малого изгибания поверхности; I - векторное поле, заданное вдоль края поверхности; п -вектор нормали к поверхности £ ; а,Ь, с - некоторые функции, заданные вдоль границы поверхности.

Граничное условие (1) называется квазикорректным с р степенями свободы, если однородное условие (с=0) совместимо точно с р линейно независимыми бесконечно малыми изгибаниями поверхности 5", а неоднородное - с бесконечно малыми изгибаниями

для любой функции с. Векторное поле I называется собственным, если условие (1) не является квазикорректным [2, с. 152].

Условие (1) изучалось при различных ограничениях как на поверхность, так и на векторное поле 1. Так, в [2] рассматривалось условие (1) для поверхностей, регулярно проектирующихся на плоскость, и случая, когда векторное поле 1 принадлежит поверхности. В [3] установлен характер распределения собственных векторных полей для условия обобщенного скольжения. В данной работе изучается картина распределения собственных векторных полей для общего краевого условия (1).

Рассмотрим в трёхмерном евклидовом простран-

5 е С ъ'у (Б) П С1г (Б), Б (х1; х2) -

стве односвязную поверхность параметризированную в области

плоскости, положительной гауссовой кривизны K > k0 = const > 0 с краем dS е C1v (dD) (0 <v < 1)

(использованы обозначения из [1]).

Будем рассматривать вдоль края dS векторы t, n, Г, где t - единичный касательный к dS вектор; n -единичный вектор нормали к поверхности S, направленный в сторону вогнутости поверхности; г - тангенциальная нормаль (r=[tn]).

Рассмотрим вдоль dS подвижный репер {t,n,)} и

некоторое поле l=l(s) класса C1v , 0 < v < 1, где 5 -длина дуги края dS. Пусть lx - проекция l на касательную к S плоскость. Считаем также, что векторное поле lx не касательно к границе поверхности в каждой точке края. Введем ¡3 = ¡(s) - угол между г и lx, где отсчет производится в положительном направлении (против хода часовой стрелки), если смотреть со стороны вектора n. Обозначим угол между lx и l через а , считая, что отсчёт производим от lx до l против хода часовой стрелки, если смотреть из конца вектора t. В таких обозначениях векторное поле l однозначно определяется заданием углов а = a(s) и 3 = ¡(s) как функций длины дуги (рисунок).

Касательная плоскость поверхности Пусть Л - множество векторных полей 1; Л0 -

множество единичных векторных полей 10 класса С1у.

Для каждого поля 10 образуем множество Л (10) единичных векторных полей 1а, тангенциальная составляющая которых коллинеарна вектору 10. Множество Л (10) называют нормальным сечением множества Л по направлению векторного поля 10.

Пусть далее 1 а - однопараметрическое семейство

векторных полей из нормального сечения Л (10), определяемых углами ае (5) = агс^ (sctga1 (я)), 5 е 38, где а1(я) - заданная на границе 38 поверхности 8 функция, 0 < а1(я) <ж, ее (-да; да) .

Теорема 1. Для краевого условия (1) в семействе 1 а , ее (-да; да) выполняется одна из двух возможностей: 1) в указанном семействе все векторные поля собственные; 2) их не более чем счётное множество.

Доказательство. Для доказательства теоремы нужно показать, что в семействе векторных полей 1 а , в котором находится хотя бы одно несобственное

векторное поле 1 а , существует не более чем счётное множество собственных векторных полей.

На рисунке угол между 1х и 1 равен -а, поэтому получаем, что 1 = 10 соБа-п Бша, где 10е8, 1101 =1, 10 = = 1 зшр + т] Вектор I можно представить в виде 1 = 1 cosаsinp+т ^а^р-п зша. Кроме того [1, с. 418],

v=Vn =

1

2yfg

du 2 V&1

ды1 dx.

Л

где u1, u 2 - ковариантные

2 /

компоненты вектора смещения U; g — дискриминант метрического тензора поверхности.

Краевое условие (1) можно записать в виде a(-Un sina+Ut cosasinp+Urf cosacos p)+bv=c.

Так как w0=Un, Ut=M,í \ Urf=urf то на границе поверхности a(- u0 sin a + ui (t' sin P + rf cos pjcosa)+ b Г du 2 du1

2y[g V dxi dx2.

Обозначим l' = t' sinp + rf cos P. Тогда получим

b i du2

2y[g V dx1 dx2 J Следуя [1, с. 403], введём комплексную функцию изгибания w(z) = u1 + iu2. Как известно [1, с. 404],

í . i \ b I ди2 ди1 I al-u0sm«+ uil cosalH--=1---I

^ ' f I W*,* I

1

^vg

Re

д4Км

dz

v = Im | — | = —^ Re(idzw).

•Jg ^dz) h

Поэтому получаем

1 w + dz lnVKwjsina + (uj1 + u2l2)cosa

-JgK b

—= Re(iSzw)sina = c. (2)

4g

Сделаем замену W(z) на новую комплексную

функцию, положив W = -\jgJ~Kw. Рассмотрим также

функцию Л(z) = у/gK (l1 + il2 ). В итоге из (2) при с = 0 получаем

ReJ (а + ib 4K) sinasd2w(z) + ( adz ln^g^K sinas +

+ 'b4Kdz \n^g¡K sinae - a cos a^z) jw(z)| = 0 . (3) Разделив обе части выражения (3) на sin as, будем иметь

u

0

Rej(ö + ibJK )dz w( z) + ( ад2 InJg^K + ibjKgd z 1п^/ gy[K - actgae Mz) ]w(z) l = 0.

(4)

Так как ctg a£ (s) = sctga1(s), то граничное условие (4) запишется в виде

Rej (а + ib4K)дzw(z) + [ адz gUK +

+1.

ib4Kdz lnJ^K - asctga1 (s)Ä(z')]w(z)}= 0 . (5)

Обозначая а = а + ¡ъ4К, Ь = ад2и^К + + ¡ъ4кдх , с = -а^а1 г), приводим крае-

вое условие (5) к виду Ке{ад ^ + (Ъ + ес)м>( х)|= 0, где

е =е1 - е, ее (-да; да).

После преобразований данную краевую задачу можно записать в виде

Гдг-Чх) + Б(х)Я (х) = 0 (6)

[яе|яд zw + (Ь + ес ')^(х) }= 0.

Пусть индекс п = 1пё(а - ¡Ъ) полученного краевого условия Яе{ад zw + (Ъ + ес)ч,( 0 неотрицателен.

Краевую задачу (6) сведём к системе интегральных уравнений Фредгольма, используя метод, предложенный И.И. Данилюком в [4].

Выполнив замену F1(z) = м>(х), Р2(х) = д7м>(х) ^ (х) = ^(х), задачу (6) приводим к виду

dzzF1 =B(z)F

dz =BzF +

dF3 [dz =F2

F

Rejad zw + (b +sc)w( z)}= 0 Re{F - F3 }= 0 . (7)

Re{iF + iF3 }= 0

Введём в рассмотрение матрицы: a =

( 0 0 0) |B| 0 0 0 0 0

' B 0 0)

B = Bz 0 0 , g =

0 1 0

b+sc а 0 1 0 -1 i 0 i

(F1)

, F = F2

1F3

виде

Тогда краевая задача (7) может быть записана в \д- F( z) = AF + BF

|Re{g(t )F(t )}= 0

. Далее сделаем ещё одну

„ „ , b+sc

замену: <p1 = F1, p2 = F2 +--^— F1, p3 = F3.

а

Краевую задачу (7) приведём к виду \dz p( z) = Аё (z)p( z) + Bg (z)p( z), z e D jRe{g(t)p(t)} = 0, t edD '

(8)

где As =

(

0

b + s c

\

B,

^ B b +s c ~

b +s c

0 0 (p.

0 0 > Ф = Р2

1рз

1 0

Как следует из [4], задача (8) эквивалентна системе интегральных уравнений, которую можно записать в следующем виде:

Ф(х) = ОеФ + Ф(х), (9)

где ОёФ = Р(Аеф+ Веф) ;

^ 0 0^

рш=—\\

<t) ,zm(t)

--+ G п (z)-^-

t - z 1 - tz

d°t; G n (t) =

0 t2n 0 -1 0 0

Ф( z) =

a + iß

Ф2 (z)

a- iß

; a , ß - действительные константы;

Ф2(х) = 1с0хп + Хак(хк - х2п-к) + ¡рк(хк + х2п-к); к=0

с0, ак, рк (к = 0,1,2,....п -1) - произвольные действительные постоянные [1].

Учитывая вид матриц А ё, В ё , перепишем уравнение (9) в виде

Ф(х)=00ф+е&Ф+Ф(х), (10)

п 1

где QoФ =--х

D

0гФ= И

0 0) ' 0 а 0)

0 0 , g = 1 0 -1 , + zG

0 0 ч i 0 i ;

к

D t - z (

0 0 0) B 0

| eiQ 0 0 p + c BeiQ 0

0 0 0 у а c \ а e

Р

1 -tz

~dUt .

z

G

к

+

+

0

2

+

z

Элементы матриц, стоящих под интегралами, принадлежат классу Lp, р > 2. Тогда операторы Q0 и

0>1 вполне непрерывны в пространстве Lq (П + дП),

P

д > —— трёхкомпонентных вектор-функций ф . ПоР -1

кажем, что оператор (. - ) имеет обратный в классе Lq (П + дП) , д >■ "

^ " ' р -1 Для этого достаточно показать, что уравнение ф = ф имеет только нулевое решение. Прежде всего отметим, что уравнение ф = Q0ф эквивалентно в силу предыдущих построений краевой задаче д -2м>{ г) + В(/)^(/) = 0, ЯеЦя + гЪ^К )д 2) +

+(адг \nJgtfK + ¡ъЛдг \nJgjK- ае^а^Щг)^)^ 0 .

Следуя [1, с. 491], поступим следующим образом.

1. Зафиксируем совершенно произвольно к внутренних и к' граничных точек поверхности, обозначая их соответственно через М1,М2,...Мк и М1,...Мк'. Числа к и к' подчинены условиям: 2к + к' = 2п +1; к' - нечётное число.

2. Зададим дополнительно в точках М у и МУ касательную составляющую вектора смещения и, т.е. наложим на поверхность дополнительно такие связи, которые фиксируют в этих точках касательные компоненты вектора смещения. Учитывая, что компоненты вектора и в направлении 1 в точках МУ должны

быть заданы согласно краевому условию задачи, указанные выше добавочные условия можно записать в виде

щ(М ■) = а ■, и2(М ■) = Ъ ■, т.е. w(Mj) = а. + гЪу ,

(у = 1,...,к), ) = лу (ту + с), (у = 1,...к), (11)

где щ1 и щ2 - касательные компоненты вектора смещения; а у, Ъ ■ и с ■ - некоторые заданные вещественные постоянные; Ау = А(М'у); уу=у(М'у). Тем

самым на данном множестве точек считаем заданными значения искомого решения нашей задачи.

Согласно [1, с. 257], общее решение полученной задачи (8) с учётом дополнительных точечных условий

2п+1

(11) имеет вид w(z) = w0(z) + £ (г), где -

У=1

частное решение неоднородной задачи; dJ - произвольные вещественные постоянные; ^ - полная система решений однородной задачи. Подчиняя это решение добавочным условиям (11), получим для определения постоянных dу линейную систему уравнений:

2п+1

^ dIwI (Му ) = а у + 1Ъу - Wo(MJ ) , (у = 1,...,к),

г=1 2п+1

^dIwI(Му) = Ау(ту + 1су) -Wo(МУ), (у = 1,...к').

г=1

Пусть d0 - некоторое нетривиальное решение соответствующей однородной системы. В таком случае

2п+1

функция ^(г) =£ diwi(г), (у = 1,...к) будет ре-

г=1

шением однородной задачи и, кроме того, удовлетворяет однородным точечным условиям ^ (Му) = 0,

(у = 1,...к), ^ (МУ) = 0, (у = 1,...к ').

Это означает, что ^ (г) имеет нулями внутренние

точки Мх,М2,...Мк и граничные М[,...МУ'. По условию на граничном контуре имеется нечётное число зафиксированных точек. Но в силу [1, с. 253] на каждом граничном контуре может лежать лишь чётное число нулей решения однородной задачи. Получили противоречие. Отсюда следует, что ^ (г) = 0 и, следовательно,

= 0, (у = 1,2,...2п +1). Итак, мы показали, что уравнение ф = Q0ф имеет только нулевое решение.

Поэтому уравнение ф = Q0ф + / разрешимо для любой функции / класса Lp (П + дП). Решение даётся формулой ф = Г0/ , где Г0 = . - 00)-1 - ограниченный оператор. Следовательно, уравнение (10) эквивалентно уравнению ф = е Г001ф = еТф.

Оператор Т вполне непрерывен в Lq (П + дП), поэтому последнее уравнение имеет не более чем счётное множество собственных значений е1 ,е2,...

(0 <|ех| <|е2| <... ).

Таким образом, в семействе 1а существует не более чем счётное множество собственных векторных полей 1 , где ек =е1 -ек, к = 1,2,.... Так как при

к ^ да имеем, что ек ^ да, то 1а ^ 10 при к ^ да.

ек

Теорема доказана.

Используя метод доказательства данной теоремы, устанавливается

Теорема 2. Множество собственных векторных полей А замкнуто в Л .

Надо показать, что множество Л \ А открыто, т.е. векторные поля 1а, близкие к несобственному полю 1а ,

также являются несобственными векторными полями.

Доказательство теоремы основано на повторении предыдущих рассуждений. Рассмотрим множество векторных полей 1а, для которых |а - а:| < е , е > 0 . Беря достаточно малое значение е, добьёмся того, чтобы ||Г0Й||Ьд(п) < д <1.

Но тогда уравнение ф = Г00[ф, а вместе с ним и наша краевая задача имеет только нулевое решение для всех векторных полей 1а, достаточно близких к несобственному векторному полю 1а , что и доказывает теорему.

Приведём пример реализации теоремы 1. Введём на сфере стереографические координаты и, V, спроектировав её из южного полюса на плоскость экватора. Тогда уравнение сферы в стереографической системе координат имеет вид

r(u, v) =

2v 1 - zz

2u

1 + zz 1 + zz 1 + zz

где z = u + iv.

Пусть - часть сферы единичного радиуса, лежащая над плоскостью 2 = к (2 - аппликата системы координат 0ХУ2), -1 < к < 1. При стереографическом отображении на плоскость экватора получим круг

-22 1 - к хх = и + V <-.

1 + к

1 + h , , 1 _ 1 тогда z = —, zz = —-

Пусть /л =

Vi-h ' ' л

Рассмотрим векторное поле

М

1 +

ÍM)

2

{cQS(n + 1)5, SÍn(n + 1)5},

где

1 1 .

U + IV = — CQS 5 + i — Sin 5 .

М М

Пусть 1 - семейство векторных полей, определяе-

S

мых углами as = arcctg -

при-

(1 + кХ(1 - п)/(1 + п))п+12 надлежащих нормальному сечению Л(1(п)) с направляющим вектором 1(п). Тогда при п > 0 в семействе векторных полей 1а существует конечное множество

собственных векторных полей 1с

где п

индекс

краевого условия; при n = 0 в семействе векторных

полей 1 существует только счётное множество собственных векторных полей 1а , к = 0,1,2,...; при п = -1

ек

в семействе векторных полей 1а собственных векторных полей нет, если к ф 0 и существует только одно собственное поле 1а = 1 „ , если к = 0 ; при п < -1 вся-

2

кое векторное поле 1а является собственным, если

к = 0 и нет собственных векторных полей, если к ф 0 . Данная задача решается методом, предложенным в [5].

Литература

1. Веку а И.Н. Обобщённые аналитические функции. М.,

1959. 628 с.

2. Фоменко В.Т. О квазикорректности внешних связей в теории бесконечно малых изгибаний // Сиб. мат. журн. 1974. Т. 15, № 1. С. 152-161.

3. Казак В.В. Распределение собственных векторных полей условия обобщённого скольжения в нормальных сечениях // Мат. анализ и его приложения. Ростов н/Д, 1974. С. 183188.

4. Данилюк И.И. О задаче с наклонной производной // Сиб. мат. журн. 1962. Т. 3, № 1. С. 17-55.

5. Виноградов В.С. Об одном методе решения задачи Пуанкаре для аналитических функций // Докл. АН СССР.

1960. С. 17-19.

Поступила в редакцию

13 апреля2009 г.