CC BY
26
1=3-3+ С-Й -1.
Множеством решений уравнения является множество
Следовательно, множеством решений системы является множество
Заключение
В настоящей работе указан один из вариантов алгебраического подхода к составлению и решению задач группы (Г6 к ЕГЭ по математике и приведены образцы решения этих задач, как в общем случае, так и на примерах конкретных систем простейших тригонометрических уравнений общего вида. Результаты работы будут полезны учителям математики при подготовке учащихся к ЕГЭ, олимпиадам и проведению кружковой работы. Они в некоторой степени расширяют круг задач группы указанный в .4].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Единый государственный экзамен по математике. Спецификация контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2010 г. Режим доступа: www.fipi.ru.
2. Кодификатор требований к уровню подготовки выпускников по математике для составления контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2010 г. Режим доступа: www.fipi.ru, свободный.
3. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. М.: Просвещение, 1978. 445 с.
4. Лысенко Ф.Ф. и др. Математика. Подготовка к ЕГЭ - 2011: учебно-метод. пособие. Ростов н/Д.: Легион-М, 2010. 411 с.
В.Т. Фоменко, В.В. Сидорякина
БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ИЗГИБАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ В РИМАНОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ ПРИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ВТУЛОЧНЫХ СВЯЗЯХ
§1. В дальнейшем будем изучать бесконечно малые изгибания односвязных поверхностей положительной внешней кривизны с краем, подчиненные заданной внешней связи.
Внешней связью поверхности при ее бесконечно малом изгибании назовем условие, при котором изгибающее поле и на некотором множестве Ст точек поверхности 5 обладает наперед заданным свойством.
Внешние связи определяются, исходя из геометрических или кинематических соображений. Обычно в качестве множества Ст выбирают край поверхности с набором конечного числа точек
поверхности, а в качестве внешней связи - указание поведения точек множества Сг при бесконечно малых изгибаниях поверхности.
Впервые исследование бесконечно малых изгибаний сферических сегментов в евклидовом
пространстве Е ^ при условии скольжения точек края сегмента в плоскости сегмента было проведено Е. Либманом [1], и такие бесконечно малые изгибания были названы изгибаниями скольжения.
Аналитически такая внешняя связь записывается в виде ( ^, = 0, где к - единич-
ный вектор нормали плоскости края сферического сегмента.
В дальнейшем, условие скольжения точек поверхности в плоскости края было обобщено А.В. Погореловым, который изучал бесконечно малые изгибания поверхностей при условии, что точки края (не обязательно плоского) при ее изгибании смещаются параллельно заданной фиксированной плоскости. Такую внешнюю связь А.В. Погорелов назвал закреплением поверхности
вдоль края относительно заданной плоскости. Аналитически условие закрепления края поверхности относительно плоскости (л) также записывается в виде ( 1-К А") | ^ ^ = 0, где к - единичный вектор нормали плоскости (л ).
A.Д. Александров изучил бесконечно малые изгибания выпуклых поверхностей при условии, что расстояние между точками края и фиксированной точкой пространства стационарно при бесконечно малых изгибаниях поверхности. Такую внешнюю связь А.Д. Александров назвал условием закрепления поверхности вдоль края относительно заданной точки при бесконечно малом
изгибании поверхности. Эта внешняя связь записывается в виде У, ?'"') | ^ = 0, где Т - радиус-вектор точки края дБ.
В дальнейшем И.Н. Векуа [2] ввел в рассмотрение внешнюю связь, которую он назвал втулочной связью. Втулочная связь определяется следующим образом. Пусть Е - некоторая поверхность в пространстве Е ^. называемая втулкой. Пусть край дБ поверхности Б лежит на втулке Е.
Потребуем, чтобы при бесконечно малом изгибании поверхности Б точки края дБ скользили по поверхности Е, не покидая ее. Такая внешняя связь названа втулочной связью. Если при изгибании поверхности Б втулка Е не меняет своей формы, то втулка называется упругой или абсолютно твердой, а соответствующая втулочная связь - однородной. Если в процессе изгибания поверхности Б втулка Е испытывает деформацию в пространстве, то втулочную связь называют неупругой
или пробочной. Аналитически втулочная связь записывается в виде 71-г ) | ^ = (7, где -
поле единичных векторов нормалей к поверхности Е вдоль дБ: для упругой втулочной связи имеем (7 ЕЕ 0, для неупругой втулочной связи (7 5 0. Если 71 - поле единичных векторов нормалей к поверхности то в случае (пг Пт ) | = 0, втулочную связь называют ортогональной, а поверхность Е - ортогональной втулкой к поверхности Б.
И.Н. Векуа установил поведение поверхностей положительной кривизны в отношении бесконечно малых изгибаний при ортогональных втулочных связях в Е ^.
B.Т. Фоменко [3] ввел понятие внешней связи обобщенного скольжения в отношении бесконечно малых изгибаний поверхностей в Е ^. Эта внешняя связь определяется следующим образом. Пусть вдоль края дБ поверхности Б заданы векторное поле I, I Ф 0 и скалярная функция (Т. Отыскиваются бесконечно малые изгибания поверхности изгибающие поля и которых удовлетворяют условию: ( Е/, Г) |^^ = (7. В дальнейшем эту внешнюю связь будем называть
обобщенной втулочной связью, а в случае, когда векторное поле / принадлежит поверхности, эту внешнюю связь будем называть обобщенной ортогональной втулочной связью.
Описание поведения поверхности при бесконечно малых изгибаниях, подчиненных внешним связям, мы будем проводить, следуя И.Н. Векуа [2], в терминах жесткости или не жесткости поверхности, а описание внешних связей - в терминах корректности или некорректности внешней связи.
Следуя общей идеи И.Н. Векуа [2], в римановом пространстве в качестве внешней связи рассматриваем соотношение вида:
где - изгибающее поле поверхности, К - линейный оператор, заданный на краю поверхности, 1 - заданная функция.
Линейный оператор R. как правило, задается скалярным произведением, поэтому в настоящей работе условие (1) в римановом пространстве с метрическим тензором задается в виде:
где
l» - заданное векторное поле вдоль края поверхности. Такую внешнюю связь далее будем называть обобщенной втулочной связью, порожденной векторным полем , а в случае, когда векторное поле Iпринадлежит поверхности S вдоль 3S. внешнюю
связь будем называть обобщенной ортогональной втулочной связью.
Приведем ряд определений, связанных с бесконечно малыми изгибаниями и внешними связями поверхности.
Поверхность S называется кинематически жесткой, если любое ее бесконечно малое изгибание является тождественным (то есть изгибающее поле
jja
тождественно равно нулю).
Поверхность S называется кинематически нежесткой, если среди ее бесконечно малых изгибаний найдется хотя бы одно, отличное от тождественного.
Внешняя связь (1) называется корректной, если для любой функции h существует единственное изгибающее поле
jja
, удовлетворяющее условию (1), при этом малому изменению функции h (в смысле некоторой нормы) соответствует малое изменение поля U". При h=О внешняя связь (1) в этом случае называется оптимально жесткой.
Внешняя связь (1) называется некорректной, если при ИфО поверхность допускает бесконечно малые изгибания, лишь при выполнении конечного числа условий разрешимости, налагаемых на функцию h.
Внешняя связь (1) называется квазикорректной с J? степенями свободы, если для любой функции h поверхность допускает изгибания, зависящие от *р параметров; при h=0 в этом случае
внешняя связь называется почти жесткой с J) степенями свободы.
§ 2. Будем изучать бесконечно малые изгибания поверхностей положительной внешней кривизны при обобщенной ортогональной втулочной связи в трехмерном римановом пространстве
R3.
Пусть S - односвязная поверхность положительной внешней кривизны К > к ¡y > 0; к0 = CQl'lSt. с краем dS, ориентированная внутренней нормалью 71a. Ориентируем край
QS
поверхности S таким образом, чтобы при обходе края в направлении касательного вектора tа поверхность S лежала слева. Далее будем вести рассмотрение вдоль края в соприкасающемся евклидовом пространстве по кривой dS и потому будет использоваться термин «вектор». Обозначим через (р угол между касательным к
dS
вектором t и заданным вдоль dS вектором 1,1 0, отсчитываемым от вектора t до вектора 1 против хода часовой стрелки. Обозначим через Ад$(р приращение угла (р при однократном обходе края dS в положительном направлении.
Вычетом поверхности S относительно векторного поля /. заданного вдоль края
dS.
назо-
i
2л
вем число У^С?) — — Дds<p.
Пусть на поверхности Б введены изометрически сопряженные координаты (тЛ.^ ), отображающие поверхность 5 на односвязную область О плоскости (и1 /и2). Введем в римановом пространстве Н полугеодезические координаты у11, тогда имеет место формула
Подчиним поверхность Б при ее бесконечно малых изгибаниях вдоль края дБ, обобщенной ортогональной втулочной связи, аналитическая запись которой имеет вид
Так как вектор Iа лежит в касательной плоскости поверхности Б, а последняя является координатной поверхностью у= 0, то третья координата векторного поля 1а равна нулю, то гЗ
есть I =0 вдоль дБ. Это означает, что условие (2) в полугеодезических координатах уа вдоль поверхности Б', у ^ = 0 имеет вид:
д^Г = о~шш11г1 = (7 на дО,
Полагая Л = 11 + И2 , Ф = 2-1 + . это условие перепишем в виде
/?е{ЯФ] = а над И. (3)
Имеет место следующая
Теорема 1. Индекс X = 1Т1(1А = + 1, где у^(Б) - вычет поверхности Б отно-
сительно векторного поля ), принадлежащего поверхности Б вдоль края дБ.
Доказательство. Рассмотрим векторное поле ) вдоль края дБ при отображении его на плоскости (и, 1?). Так как изотермически-сопряженная параметризация поверхности Б осуществляет топологическое отображение поверхности Б на область О плоскости (и, Т?'), то не касательные к дБ направления отобразятся в не касательные к дО направления. Отсюда следует, что У^{Б) = — где - угол между образом вектора (I) в плоскости (м, 1?) и касатель-
ным к дО вектором. Поэтому имеем
где о - угол между касательным к дО вектором и направлением оси (М ). Поэтому
* = У1(_Б) + 1.
Теорема доказана. Имеет место следующая
Теорема 2. Пусть Б - односвязная поверхность класса V < 1, положительной
внешней кривизны , с краем дБ класса С , и V ± в
римановом пространстве /? 3. Пусть, далее, ¡а - векторное поле, заданное вдоль края дБ, не обращающееся в ноль на
дБ и имеющее индекс (..<_>) относительно поверхности. Тогда, если
то поверхность 5, подчиненная обобщенной ортогональной втулочной связи, порожденной векторным полем допускает для любой функции (7 бесконечно малые изгибания, зависящие от (' 2 у7050 + 3 ) вещественных параметров; однородная обобщенная ортогональная втулочная связь совместима с ( 2 ) + 3 ) линейно-независимыми бесконечно малыми изгибаниями поверхности.
Если у^(^) + 1 < 0; то обобщенная ортогональная втулочная связь, порожденная векторным полем Iа. является некорректной; причем поверхность Б, подчиненная однородной обобщенной ортогональной втулочной связи, является кинематически жесткой.
Если функция (7 € 0 < V < 1,1 € С3'1', О < V < 1, то касательная состав-
ляющая изгибающего поля принадлежит классу
а нормальная составляющая А
принадлежит классу (О ), О «С V < 1.
Доказательство. Обратимся к системе уравнений, описывающей бесконечно малые изгибания поверхностей с К > > 0, к0 = СОПЗТ в римановом пространстве.
Введем в рассмотрение комплексную переменную Z = И ~Ь ¿17 и комплексную искомую функцию IV = О. ~Ь 1 ¿?. Тогда система в комплексной форме записывается в виде:
где
Формулы показывают, что нормальная компонента С изгибающего поля 2 находится однозначно по известной функции М/.
Выпишем условие обобщенной ортогональной втулочной связи в виде формулы (3)
г,-: ; = и, (5)
Краевая задача (4), (5) является задачей Гильберта для обобщенной аналитической функции V,' и хорошо изучена И.Н. Векуа в [2]. Отсюда и следует утверждение теоремы.
Частным случаем обобщенной ортогональной втулочной связи является ортогональная втулочная связь. В случае ортогональной втулочной связи имеем у^(<5') = 0, и поэтому для таких связей имеет место следующее утверждение, вытекающее из теоремы 2.
Теорема 3. Пусть в условиях теоремы 2 поверхность 5 подчинена ортогональной втулочной
связи. Тогда для любой функции (7 поверхность Б допускает бесконечно малые изгибания, зависящие от трех вещественных параметров; поверхность 5, подчиненная упругой ортогональной
втулочной связи, допускает точно три линейно-независимых бесконечно малых изгибания, совместимых с этой внешней связью.
§ 3. Рассмотрим ортогональную втулочную связь поверхности Б в римановом пространстве, присоединив к ней условие точечного стержневого закрепления поверхности. Это условие определяется следующим образом. Пусть - фиксированная точка поверхности, Л^д.^ - нормаль
к поверхности 5 в точке Мд. Будем требовать, чтобы при бесконечно малом изгибании поверхности 5 точка М^ смещалась в пространстве Н ^, скользя по прямой ЛГ^; то есть, чтобы изгибающее поле поверхности 5 удовлетворяло условию | = | д^ = 0. Имеет место
Теорема 4. Пусть в условиях теоремы 2 поверхность Б при бесконечно малых изгибаниях
подчинена условию упругой ортогональной втулочной связи и условию стержневого закрепления
поверхности в заданной точке поверхности, не лежащей на краю дБ. Тогда поверхность Б
допускает точно одно линейно-независимое бесконечно малое изгибание, совместимое с указанной внешней связью.
Доказательство. Индекс краевой задачи Гильберта (4), (5) в рассматриваемом случае равен единице, причем в точке соответствующей точке М^ функция Ф имеет ноль первого порядка.
В этом случае задача Гильберта при (7=0 имеет точно одно линейно независимое решение, что
и доказывает теорему 4.
Замечание 1. Утверждение теоремы 4 не изменится, если условие стержневой связи в точке
Мд, не лежащей на краю поверхности, заменить условием стержневой связи в двух точках и
. ■: -, лежащих на краю поверхности.
Замечание 2. Условие стержневой точечной связи, дополненное условием исключения вращения касательной плоскости в этой точке вокруг некоторой прямой, проходящей через эту точку, будем называть условием усиленной стержневой точечной связи.
Теорема 5. При внешней связи, состоящей из неупругой втулочной связи и усиленной стержневой точечной связи, поверхность допускает единственное бесконечно малое изгибание,
совместимое с этой внешней связью для любой функции (7 Щ 0, и потому такая внешняя связь является корректной; при (7=0 поверхность является оптимально жесткой.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Мокрищев К.К. Введение в теорию бесконечно малых изгибаний поверхностей. Ростов н/Д.: Изд-во Ростов. гос. ун-та, 1961.
2. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Наука, 1959.
3. Фоменко В.Т. Непрерывные изгибания выпуклых поверхностей с краевыми условиями // Мат. сб. 1979. 110 (152). № 4 (12). С. 493-504.
В.Т. Фоменко
ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ БЕСКОНЕЧНО-МАЛЫХ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Будем рассматривать бесконечно малые деформации поверхностей в Е3 , при которых в начальный момент деформации геодезические линии поверхности остаются геодезическими. Точное определение таких деформаций поверхностей будет дано ниже. Сейчас отметим только, что указанные деформации поверхностей описываются в два этапа. На первом этапе изучаются бесконечно малые деформации метрики поверхности, сохраняющие в начальный момент геодезические этой метрики. Этот вопрос внутренней геометрии поверхности и рассматривался ранее в классическом варианте (см. напр. [1]). На втором этапе решения поставленной задачи исследуется вопрос
