Распределение некорректных втулочных связей для орисферического круга в конформно евклидовых пространствах типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

2. Б = ^ 8а

аеУ а

3. 8а п 8р = {0} при а ф |3.

4. 8« ■ 8р <= 8а°р при а°р * 0.

5. 8а ■ 8р = {0} при а°Р = 0.

Обозначим через <М ° класс нулевых расширений группоидов класса 9Л. т.е. М ° - класс тех инверсных полугрупп 8, являющихся 0 - объединением полугрупп Брандта, для которых ограничение эквивалентности е£ на множестве 8\{0} является конгруэнцией.

Следствие. Полугруппа 8 принадлежит М ° тогда и только тогда, когда 8 - идемпотентный коммутативный группоид полугрупп Брандта.

В заключении отметим, что идея исследования полугруппы с нулём при помощи нулевых ограничений была впервые высказана В.Т. Куликом на коллоквиуме по теории полугрупп в г. Кишинёве, 1971 г.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Мальцев А. Об умножении классов алгебраических систем // Сиб. мат. ж. 1967. 8. № 2. С. 346-365.

2. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Частичные алгебраические действия. СПб., 1991.

3. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. М.: Изд-во «Мир», 1972.

4. Ляпин Е.С. Полугруппы. М.: Физматтиз. 1960.

5. Арапина-Арапова Е.С., Кожевников О.Б. О разложении инверсных категорийных в нуле полугрупп.

Современная алгебра: Межвузов. сб. науч. тр. 4 (24), Ростов-н/Д., 1999. С. 3-5.

6. Кожевников О.Б. Категорийные частично упорядоченные множества частичных группоидов. ДЕП.

№ 334. 2005. С. 13.

Е.А. Кульчинская

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НЕКОРРЕКТНЫХ ВТУЛОЧНЫХ СВЯЗЕЙ ДЛЯ ОРИСФЕРИЧЕСКОГО КРУГА В КОНФОРМНО ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ТИПА Ь

Рассмотрим трехмерное конформно евклидово риманово пространство с внутренними координатами (Х,Г,г) и метрикой ёэ2 = Е(1)(ёХ2 + ёУ2 + ё!2), Е(г)> 0,

з 1

К числу таких пространств относится пространство Лобачевского Ь , для которого Е(7.) — .

Эти пространства будем называть пространствами типа L. Координатные поверхности Z = const имеют плоскую метрику и являются ортогональными траекториями геодезических линий X — const, } = const, поэтому Z = const будем называть орисферическими поверхностями в пространствах типа L .

Назовем кусок орисферической поверхности

F : X = х, Y = у, Z - Z0, Z0 = const, е D + qD = у) : + у2 < 1} (1)

орисферическим кругом. Пусть орисферический круг F подвергнут бесконечно малому изгибанию с изгибающим полем /7, С\. Уравнения бесконечно малых изгибаний произвольной поверхности в конформно евклидовом пространстве типа L в дифференциалах имеют вид:

dXdg + dYdr¡ + dZ.dC + заданного dxde + dydr¡ + £,

E\Z) 2 E(Z)

соотношением

C(dX2 + dY2 + dZ2) = 0. Для орисферического круга F (1), это уравнение принимает

вид:

E'(Z )

v 0/ (dx1 +dy ) = О . Перепишем это уравнение в виде однородной сис-

2 E(Z0)

темы дифференциальных уравнений в частных производных:

Vy +

2 E(Z0)

О,

E'(Z0)

(2)

2 E (Z 0)

^ = 0.

Будем считать, что при бесконечно малом изгибании орисферический круг вдоль края о1< подчинен втулочной связи, порожденной втулкой X р. Это означает, что при бесконечно малом

изгибании точки края дЕ смещаются по поверхности 2 ^, оставаясь на ней. Пусть

пъ = {соэл,этл,V)\ - векторное поле нормалей к вдоль о/1'. я е [0,2л-], /?(л) -

^ 71 71

заданная функция, /?(л) еС 0 < (X < \. — — < /?(л) < —, (3 Ф0. Аналитически условие

втулочной связи записывается в виде:

% coss + г] sin 5 + Qgft(5) = <t(s) , на dF

(3)

где сг(л') - известная функция, определяемая деформацией втулки вдоль о/' . Для абсолютно твердой втулки имеем с = 0 на дЕ. Кроме того, будем считать, что при бесконечно малом изгибании орисферический круг Е подчинен условию стержневого закрепления в точке 0(0,0, Z0 ) , то есть имеют место следующие соотношения:

( $\o=r¡ |о=0,

[£у\о -7, 1о=0.

(4)

Внешнюю связь будем называть корректной, если краевая задача

2 E(Z0)b '

£+7,= о,

' E(Zoy ' ¿f cos 5 + r¡ sin 5 + 0g/3(s) = cr(s),

#lo=7lo=0,

<?„lo -7, lo=0,

имеет единственное решение для любой функции сг(Л'), и малое изменение (в смысле некоторой нормы) функции <t(s) влечет малое изменение решения задачи (5). В частности, при с = 0 задача (5) для корректной связи имеет только нулевое решение и потому поверхность F не допускает отличных от нулевого изгибающих полей, совместных с этой связью.

Внешнюю связь будем называть некорректной, если неоднородная ((7 ф 0) задача (5) допускает решение при выполнении некоторых условий, налагаемых на функцию <7 .

Теорема 1:

Пусть Х/; - втулка, где

тг F'(7 тг

Р б (0; u (arcctg—; , если E'(Z0) > 0;

2 2£L(Z0) 2

тг F'(7 тг

P e arcctg-^-) u (<A, если E'(Z0) < 0.

2 2£L(Z0) 2

Тогда втулочная связь, порожденная втулкой 2 ^, /? = /?(л ), s е [0;2tt], вместе со стержневой связью в точке 0(0,0, Z0 ) является корректной внешней связью для орисферическо-го круга F в конформно евклидовом пространстве типа L .

Теорема 2:

Пусть Р| - заданная функция класса С1'", 0 < а <1. вдоль края 8F, причем E'(Z0)ctgf3l >0; Р = arcctg(€3ctgpi) - однопараметрическое семейство функций Р£ на QF, где £ - действительный параметр, £ е R. Тогда среди втулок , определяемых функциями Р£ , £ е R, существует точно счетное множество {£ к значений С = С к >0, к = 1,2... для которых втулочные связи, порожденные втулками Е „ , вместе с условием стержневого закрепления в

Pct

точке 0(0,0, Z ) , являются некорректными для ориферического круга F в конформно евклидовых пространствах типа L .

Доказательство результатов:

1. Запишем систему бесконечно малых изгибаний (2) в комплексном виде:

з,Ф00 = о,

2E(Z0)

где O(z) = +irj,

z = jc + /у, (jc, у) e D + = {(*, y) : x2 + y2 < 1}.

Так как O(z) - аналитическая функция, то (согласно книге [1]) имеем место представление:

O(z) = O0+zO1(z) (7)

где Фп = сопл!.

Ф0 = с'0 + ¡с": с'. с" - вещественные постоянные; Ф, (г) - аналитическая функция.

Полагая Ф, = II + / V и учитывая (7), запишем систему (6) в виде:

их-Уу= 0, иу+Ух= 0,

в Б

(8)

и + хих+уи

Е (10) 2Е (г 0)

с

Отсюда следует, что функция и = 11 (X, у) является гармонической в области /), то есть удовлетворяет уравнению:

и„+иуу=о.

в Б

(9)

Зная функцию С/ = С/(х, _)'), (х, _у) е , в силу односвязности области /) , можно из системы (8) найти функцию V = У(х,у) с точностью до вещественной постоянной С1 по формуле:

( х, У)

V (х, У)= ¡((- и у )<3х + и хЛуУ)^ с,

(10)

(x0, У0)

где (х0, у0) - фиксированная точка области Б , а интегрирование ведется по произвольной кривой, соединяющей точки (х0, у0) и (х, у). Из соотношений (6), (7), (8) по известным функциям 17 я V изгибающее поле {¿¡, ?/, £\ восстанавливается с точностью до двух вещественных постоянных с'0, с" с помощью формул:

¿;=с'0+хи-у¥, г/ = с" + у11 + х¥,

(11)

£ = (и + хих+уиу)(-

2Е (г 0) е (г 0)

Таким образом, по известной функции С/ изгибающее поле ¡4", 77, С \ восстанавливается с точностью до трех вещественных постоянных. В случае, когда орисферический круг подчинен стержневой связи (4) в точке (9(0,0,Z0) , изгибающее поле ¡¿",//,С\ восстанавливается единственным образом. В самом деле, из соотношений (11) имеем:

|0 "17, Iо=К+хи-УУ)у \0 -{с; + уи-хУ)х \0 =

= (хи-У-уУ-уих-У-хУх)\0=-2У\0.

Отсюда следует, что V \а= О, то есть с0 — О . Из формулы (7) и условия С \0 — f] \0 — О получаем: Ф0 = с'0 + ic"{) = О.

2. Рассмотрим граничное условие, порожденное втулочной связью (3). Используя соотношения (11) при условии стержневого закрепления в точке 0(0,0, Z0 ), запишем условие (3) в следующем виде:

7Г + (!- EZ) )и = (Т, (12)

dp 2Е (Z 0)

д 2 2 где —— - производная по направлению внешней нормали кривой dD : X + у — 1.

Нахождение бесконечно малых изгибаний при внешней связи (5) сводится к решению следующей краевой задачи:

ихх+иуу= о, eD

du л E'(Z0) (13)

dp 2E(Z0)

E'(Z0)

Краевая задача (13) является третьей краевой задачей для уравнения Лапласа. Эта задача имеет единственное решение для любой функции <У при условии

1--о, (14)

2Е(г0) ^ ' '

решая это неравенство и учитывая, что Р е [--; —]. [:> Ф 0 получаем:

тг Е'(7 тг

Р £ (0;-) и (,агс;-), если Е\2а) > 0;

2 2E(Z0) 2

тг F'(7 тг

Р е arcctgи (<А, если E'(Z0) < 0. 2 2£L(Z0) 2

Решение краевой задачи (13) при условии (14) удовлетворяет априорной оценке Шаудера:

||С/|| < С||сг|| , С -const. (15)

II Il2,a II 111,a' v '

Покажем, что малое изменение функции о в норме С1'" (о/'), 0 < ОС < 1, влечет малое изменение изгибающего поля С} в норме С1'" (F + 8F), 0 < а <]. считая

\\(^о\1а=М* +г112 11 -12

1 ,а II ' 111,а И~ 111,а

Из соотношения (10), в силу стержневой связи, находим:

IlFll < Clli/IL , С = const (16)

II 112,а II 112,а

Из системы (11) и соотношения (16) получаем следуют оценки:

IL *cdML +IML)*C«L +\\V\U*cplia- с=const> ^ IL ^IML -const, (is)

,e ZCp + xUx +yVy\\ia <C\U\\2aX = const. (19)

Таким образом, из соотношений (15), (17), (18), (19) получаем:

lief II < СЦсгЦ ,C = const;

11^ 111,« II 111,«

|Ы| < С||сг|| ,C = const;

II ' 111,« II 111,«

IICll, ^ Cllcrll , С = const,

и in,« и in,«

что означает |(cf, 77, сГ)||| a = СЦсг^ ^ . Таким образом, теорема 1 доказана.

3. Рассмотрим однородную задачу, соответствующую задаче (13). Будем считать, что ctgß(5) = 8Ctgßl (5), где £ - вещественный параметр, £ е R, ßx (s) - известная функция, удовлетворяющая условию

ctgß1{s)E\Z0)>0. (20)

Нахождение бесконечно малых изгибаний при однородной внешней связи (5) сводится к решению следующей краевой задачи:

и„+и„= О, вВ

= HaSD (21)

,2 E\Z0)

где о =-ctgßi ■ В силУ предыдущих рассуждений задача (21) при £ < 0 имеет только

2E(Z0)

нулевое решение. Рассмотрим случай, когда £ >0 .

Предположим, что правая часть краевого условия sb и нам известна, тогда задача (21) имеет единственное решение при любом выборе правой части. Воспользуемся функцией Грина G(x, /) уравнения Лапласа в области D , которая на границе удовлетворяет краевому условию: ——I- G = 0. Тогда решение имеет вид:

и(х, у) = 8 \G(x, у; х, Гу>2 {%, y)Uy)dr, (22)

8D

где (jc,у) eD + dD, у) е 3D.

(х = COS

Если воспользоваться параметрическими уравнениями кривой 3D: oí) : к

[у = sin S,

5 е [0;2л*], то функция (¡(х, у; /) обратиться в функцию G(s, т) двух параметров: G(s, г) = G(cos sin cos г, sin т) . Полагаем, далее, U(cos sin s) = U(s) , тогда из соотношения (22) получаем интегральное уравнение относительно функции U :

ÜО) = г |G(í, т)Ь 2 (T)Ü(r)dT . (23)

3D

Так как определение функции U(x, y) по функции U(s) требует только решения краевой задачи Дирихле для уравнения Лапласа, то интегральное уравнение (23) эквивалентно задаче (21). Исследуем разрешимость задачи (22). Так как ядро только при т — S логарифмически бесконечно, то к этому ядру применима общая теория разрешимости интегральных уравнений. В частности, уравнение (22) разрешимо не более чем для счетного числа положительных £к (к = 1,2..), причем £к —> оо , при к —> со.

Покажем (методом, описанным в книге[2]), что уравнение (23) является уравнением с симметризуемым ядром, то есть приводится к уравнению с симметричным ядром.

Умножим обе части уравнения (23) на ¿(V) > 0 и введем вместо функции U(л) новую искомую функцию U] (л) = b(s)U(s) . Мы приходим к интегральному уравнению:

и (s) = e jL(s,T)U (г^г (24)

SD

с ядром L^s, = G(s, T^b^s^b^T^) . Ядро L(s,t) симметрично в силу симметричности функции Грина G(s, т) [3] (здесь использована самосопряженность задачи (21)).

Так как задача (21) имеет только нулевое решение при £ < О, то собственные значения уравнения (23) положительны и потому ядро L(s,t) положительно определенное, то есть

,т)p(s)p(z)dsdT >0 для любой функции p(s). Кроме того, уравнение

0 0

, т)(р(т) = 0 имеет только нулевое решение. В самом деле, если бы существовало ненуле-

SD

вое решение этого уравнения, то оно было бы решением однородной задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Последняя же имеет только нулевое решение. Отсюда следует, что ядро Z(s, т) -полное и потому система собственных функций ядра бесконечна.

Таким образом, установлено, что ядро L(s, 7") является симметризуемым, положительным, полным, логарифмически бесконечным при т — S и потому интегральное уравнение имеет счетное число собственных чисел. Отсюда следует, что задача (5) является некорректной (согласно

книге [3]) для счетного числа внешних связей, порожденных втулками X „ , вместе с условием стержневого закрепления в точке 0(0,0, ^ ) .

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: ГИФМЛ, 1959.

2. Михлин С.Г. Интегральные уравнения. М.-Л.: ОГИЗ ГИТТЛ, 1949.

3. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. М.: Изд-во ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ, 1957.

В.В. Сидорякина ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ МИНИМАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

В настоящей работе рассматривается поверхность Е, заданная уравнением /" = /* ^', II2 , <£У Г). Будем считать, что поверхность Е является минимальной (т.е.

для такой поверхности средняя кривизна Н тождественно равна нулю) [1].

*

Для нее построим поверхность Е, присоединенную к Е. Под присоединенной поверхностью понимают поверхность, обладающую следующими свойствами:

*

1) поверхность Е изометрична поверхности Е;

2) в соответствующих по изометрии точках касательные плоскости параллельны;

3) соответствующие по изометрии направления в соответствующих точках ортогональны.

Если поверхность Е задать уравнением Г — Г ^1, U 2 D, то эти свойства можно записать так:

/ * * \ i) dr,df ;

t— I К. >¡< *

3) ^df,df j = 0.

Теорема. Данная минимальная поверхность

F допускает непрерывные изгибания в поверх*

ность

F.

Доказательство. Рассмотрим семейство поверхностей F , заданных уравнением:

Ft\ ft=f cos t + г sin t, t R.

*

Покажем, что Ft изометрична

F

и F для любого t. Имеем

/ * * \ dr,dr j= drcost + drsint,drcost + drsint =