Распределение собственных векторных полей условия смешанного типа для сферических сегментов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Подсчитаем индекс комплексной функции Л(г) определяемой равенствами (15) и (16).

Так как | г/(г) |>| ¿¡(г) | для всех г 6 с1). то по теореме Руше [3] функции Т}(г) и

а/(г) + 4'(-) = л(г) имеют один тот же индекс в области В. Поэтому для индекса п= тс1/ь(г). имеем:

МА(г) = Шг1(г) = гх§,7](г) = а^-е"2'" ) = ^-Агв(-2<р) = -2.

2 п 2л

Итак, индекс п краевой задачи А есть отрицательное число, и потому задача А имеет только нулевое решение.

п5. Доказательство теоремы. Пусть поверхности Р1 с краем дР1 подвергнута бесконечно малой ЕАО - деформации и переведена в поверхность /<'2. По теореме (*) краевая задача А не

имеет нетривиального решения. Следовательно, поверхность допускает только тривиальное решение. Отсюда следует, что поверхность Р1 является жесткой в пространстве Е3. Поэтому и в частности поверхности Дарбу являются жесткими. Теорема доказана.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Каган В.Ф. Основы теории поверхностей. М.; Л.: ОГИЗ ГИТТЛ, 1948. Т. 2.

2. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Физматгиз, 1959.

3. Шабат Б.А. Введение в комплексный анализ. М.: Наука, 1969.

4. Сидорякина В.В., Казарян Н.С. О бесконечно малых ЕАО -деформациях поверхностей с краем положительной кривизны при заданном краевом условии // Вестник ТГПИ. Естественные науки. 1006. № 1.

5. Казарян Н.С. О сведении уравнений бесконечно малых ЕАО -деформации к однородной системе Коши-Римана // Вестник ТГПУ. Естественные и физико-математические науки. 1006. № 4.

В.В. Казак, Н.Н. Солохин

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ УСЛОВИЯ СМЕШАННОГО ТИПА ДЛЯ СФЕРИЧЕСКИХ СЕГМЕНТОВ

Рассмотрим краевое условие

афТ) + Р(Щ = у, (1)

где и и V - векторные поля смещения и вращения бесконечно малого изгибания поверхности,

/ - векторное поле, заданное вдоль края поверхности, П - поле нормалей поверхности, (X, /?, у -некоторые функции, заданные вдоль границы поверхности.

Граничное условие (1) называется квазикорректным с р степенями свободы, если однородное условие (у = 0) совместимо с р линейно независимыми бесконечно малыми изгибаниями поверхности Б, а неоднородное условие совместимо с бесконечно малыми изгибаниями для любой функции у . Векторное поле I назовём собственным, если условие (1) не является квазикорректным.

В данной работе рассматривается картина распределения собственных векторных полей для сферических сегментов.

Введём на сфере стереографические координаты и, V , спроектировав её из южного полюса на плоскость экватора. Тогда, как известно, уравнение сферы в стереографической системе координат имеет вид:

[ 2и 2У

г(и,у) = \ --г;--г;--з \ = -п(и,у),

где г = и + / V.

Пусть - часть сферы единичного радиуса, лежащая над плоскостью 7. = И (Z - аппликата системы координат ОХ) "/). — 1 < И < 1. При стереографическом отображении на плоскость экватора получим круг

¿2 = и1" + V* < ■

2 ,„2 Л-к

1 + Л

1+А || 1 _ 1

Обозначим ¡л = Л-, тогда \г = —= —- .

VI-// М И

1 +

Рассмотрим векторное поле I (п) =--+ 1 )л, §\х\(п + 1)л ,

1 . 1 .

где и + IV = —СОЭЛ + / — эт Л . Следуя И.Н. Векуа [1], введём в рассмотрение комплексную

М И

функцию смещений 1V —Щ+ ш2. Поэтому основное уравнение бесконечно малых изгибаний

поверхности примет вид У\> г = " , где м?

первой квадратичной формы поверхности). Как известно

4 w

(1 + ыЫ)2

4gw (я

- дискриминант

1-И

Ш V = Уп = -Яе<1/м>„

. Л 1-И

где £ = с1£(р 4 + И

и+1

тельную плоскость к поверхности.

Поэтому внешняя связь (1) запишется в виде

(р - угол, образованный вектором I и его проекцией на каса-

Ые

(а-¡Р)гм>г-(а-¡Р)(\-}1)м>+аег пм>

= 0.

Таким образом, приходим к исследованию следующей задачи:

wz = 0, Ы < — ц

Яе

(а -1(3)211>г-(а- //?)(! -Ь)м>+ аег " м>

0

(2)

Справедлива следующая теорема:

Пусть 5к - сферический сегмент, Щ < 1, - семейство векторных полей, определяе-

мых углами = arcctg-

принадлежащих нормальному сечению А(/ (//)) с

направляющим вектором I (п). Тогда:

2

Ы

Ы

2

Ы

Ы

1) при п > О в семействе векторных полей I существует конечное множество собст-

7 » о о п-2

венных векторных полей / „ , к = 2,3,...,-,... ,/2 — 2 . если П - чётное и

<рч 2

п-1

К = 2,3,...,-,...,П — 2, если П - нечётное.

2

2) при П — 0 в семействе векторных полей 1(р существует только счётное множество собственных векторных полей I , к = 012 ....

3) при П = — 1 в семействе векторных полей 1(р собственных векторных полей нет, если

и существует только одно собственное поле — Iх , если И — 0.

2

4) при П < — 1 всякое векторное поле 1(р является собственным, если к — О и нет собст-

венных векторных полей, если

к^О.

Доказательство: 1. Рассмотрим случай п > 0. Тогда однородное краевое условие предста-вимо в виде:

[ (а - 1(3)гп+1<уг -(а- 1р)гп (1 - /г)м> + ссеуу \

Так как функция (а — ¡Р)г"11 й'_ — (а — ¡Р)г"(\ — к)й' + (ш\\> в области И аналитическая, то она представима в виде:

(а - 1руЧг -(а- ¡/ЗУ(1 - К) Л + аш =

¿А+Е

( - \ г

с (ш)т--

.V (/Е) /

и+1

■ г

откуда

(а -7/?)гя+1йг -(а- 7у0)г"(1 - к) м> + аш = + с^п+2 + с2/Л"+3 +...

... + сип11п+Ч СПп+1ы2п+2 - С- Ып~1 - ... - (3)

пг" и+1Л~ 2 и и+1

/Л /Л // ¡л

~ 2 п

Решение ищем в виде степенного ряда и' = а0 + ол2 + а2г +... + апг +..., тогда

м>2 = а1 + 2а2г + ... + папгп~1 + ....

Далее подставим эти выражения в (3):

(а - /Р)гп+1а1 +(а- /Р)2а2гп+2 + (а- ¡р)Ъаъгп+ъ +...-

-(а-//?)(1 -к)а0гп -(а-//?)( 1 -к)аггп+1 -(а-//?)( 1 -к)а2гп+2 -...

+ ава{) + + аеа2г2 +... = гР0гп+1 + с1/с"+2 + с2/л2гп+ъ +...

С1 -и С2 _и-1 Си _ Си+1

... + си 2 + г--г---г —...--г---

ПГ и+1г~ 2 и и+1

¡Л ¡Л ¡л ¡л

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х и, выполняя соответствующие преобразования, получаем систему уравнений:

\Акак-ВкР2= О I Вка2 + Ака2 = О

(4)

_1л2ае (а2 -р2)(к + п-к) _2а(}(И. + п-к)

где А,г — — ; ; , В1г — ■

/12п~2ае

к + к

Находим определитель системы (4):

¡и2п-2ссе

t ~Вк

Вк А

= Ак + В2к = 2 ¡л2 {а2 - р2)(Ь + к)(Ь + п- к)1л2"-2а2е2 - V

Пусть Б = ^, тогда получим квадратное уравнение

//4яаУ - 2[л2п(а2 - Р2){Н + к)(Ъ + п- к)а2Г + + (а2 -/32)2(к + п-к)2(к + к)2 + 4а2/32(к + п-к)2(к + к)2 = О

Дискриминант этого квадратного уравнения Г) — —16¡лАпСС6/32{к + к)2 {к + П — к)2 < 0 . Поэтому, квадратное уравнение не имеет решений, т.е. ни при каком € определитель системы не равен нулю.

Таким образом, система (4) имеет всегда только нулевое решение ак — ¡Зк — 0, , _ _ и-2 , _ _ /7 — 1

к — 2,3,...,-,...,// — 2 , если п - чётное и к — 2,3,...,-,...,// — 2, если п - нечётное.

2 2

Решение зависит от р = 6 параметров Яесп, Iшсп, Ыеси+1, \\Х\Сп+\. Яесп_1, \тсп ,.

Это означает, что при п > О е семействе векторных полей I существует конечное мно-

г п-2

жество собственных векторных полей /„ , «=2,3,...,-,...,П — 2, если П - чётное и

Рек 2

п-1

к = 2,3,...,-.....П —2, если П - нечётное.

2

Пусть теперь £ — О. Тогда краевое условие принимает вид:

Кс {' ^ ~ ~ ^ ~~ | = О

откуда находим

(а - - {а- /'/0(1 - И)м> =

/Д, + схц 2--—

¡Л2

■ 2

(5)

Имеем

(ос - /у?)^ + (а - 1Р)2аг22 + (а - //?)За3г3 +... -- (а - /'/0(1 - И)а0 - (а- /'/0(1 - И)ахг -(а- //0(1 - К)а2г2 -

• п 2

М

Откуда

-(а-1р)(\-К)а0

И

(а - = Д, (а - //0(1 + Ь)а2 = С\И (а-1р)(2 + К)аъ=0

Получаем, что решение Н'(г) уравнения (5) зависит от р = 3 параметров Яе^, 1т с,. Д, 2. Рассмотрим случай П = 0. Тогда краевое условие принимает вид

Рс | (а - 1/3)г<у2 -(а-/Д)(1 - К)м> + осей] = 0

Имеем

(а -- (а-/'/0(1 -И)м> + ат =

/Д0 + с1;£/ г--—

(6)

откуда

4с(е -1 + /г) + /Д(1 - Л)Зо =

+ г) - ¡рИ = /Д, ^(1 + // + £•)- /Д(1 + И)]}2 = <г(2 + А + я) - /Д(2 + = О

(7)

Аналогично предыдущему получаем систему уравнений:

\(аАк + ае)тк + ¡5Акпк = О

Ь РАтк + (аЛ + ас)»к = 0

Находим определитель этой системы:

аА, + ае

РА

- (ЗАк аАк + ае

= 4?2+р2 Д\ + а2е2 + 2а2Аке

Приравнивая определитель к нулю, получаем:

V + 2 а2Аке + (?2 + Д2 £ = 0.

а

Находим дискриминант I) = —4а2р2Ак < 0.

Таким образом, не существует £, при котором определитель системы равен нулю, т.е. система имеет только нулевое решение тк — пк —0 для любого £ . Это означает, что для любого £ имеем а, = 0, к > 3.

г

Для любого £ решение уравнения (6) имеет вид ^(г) = а0 + + аг2г , где коэффициенты а0,аг,а2 находятся из системы (7) и зависят от р = 3 параметров Д0, Кеср 1т 6',. При £ — к — 0 имеем:

(.а - г/3)а0 = — М

О -а, = /Д0

(а -/Р)а2 = сх!л 2(а - гР)аъ = О

Решение зависит от р = 4 параметров (^.ес/,. . Ыес^, ¡тс,.

Следовательно, при П = 0 в семействе векторных полей I существует только счётное множество собственных векторных полей I , к = 012 ....

<Рек

3. Рассмотрим случай п = — 1. Тогда краевое условие принимает вид

кс [ ^ ~ ^ ^Х1 ~ ¿0 ^ + ае™ 1 = о

Имеем

откуда

(а - г/3)?м2 - {а- /Д)(1 - /г)м> + =

(сг - /7?)(1 - /г)а0 =—1 М

/7?0 —

¿иг

Ка - ¡Р)И д] + ш0 = /Д0

- /Д)(1 + /?) + а£ д2 + аш, = с,// а - /Д)(2 + К) + ае ат2 - 0

(8)

Если к Ф 0, то из полученной системы находим коэффициенты ак . Общее решение уравнения (8) зависит от трёх действительных констант . Ке с,. 1т с,. Если к — 0, то система принимает вид

М

аеа0 = /Д,

-¡Р) + ае^2+ аеах = - /Р) + ае д з + = 0

2

2

¡Р с

Из системы находим, что (ОС — IР) —- = —, ах - произвольная константа. Если £ Ф 0, то

СС£ /и

решение уравнения (8) зависит от р = 3 действительных констант Д,. Ке. \тал . Если £ = 0. то решение зависит от р = 4 параметров (^.ес/,. ¡тс/,. Ыес^, 1т с, и имеет вид

м>(г) =---+ + гг.

р{сс-1р) а-гр

Таким образом, при Т1 = —1 в семействе векторных полей собственных векторных по

лей нет, если и существует только одно собственное поле 1 = /т , если Ь — 0.

2

4. Рассмотрим случай п < — 1. Из краевого условия К.е< --——2—1-——---г = 0 получаем, что решение имеет вид

(а - ¡Р)гм>г - (а - /Д)( 1 - /г)м> + аег "м> =

■о с\

гР0 + с,//г н—-рг

(9)

Если ЬфО ,то общее решение уравнения (9) зависит от р = 3 действительных констант Дп, Ые , 1шб| , т.е. /г Ф О неда собственных векторных полей.

Если Н = 0, то получаем что решение уравнения (9) зависит от р = 4 действительных констант Ыес^, ¡тс,, Яе^, ¡тс/, для любого £, £ е (-оо;+оо).

Следовательно, е случае п<— 1, /7 = 0 всякое векторное поле 1а является собственнъш.

Теорема доказана.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Фоменко В.Т. О квазикорректности внешних связей в теории бесконечно малых изгибаний // СМЖ. 1974. Т. 15. № 1. С. 152-161.

2. Фоменко В.Т. О квазикорректности внешних связей в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей // ДАН. 1973. Т. 212. № 6. С. 1305-1308.

3. Казак В.В. Распределение собственных векторных полей условия обобщённого скольжения // Математический анализ и его приложения. Ростов н/Д.: Изд-во Ростов. ун-та. 1974. С. 183-188.

4. Виноградов В.С. Об одном методе решения задачи Пуанкаре для аналитических функций // Доклады Академии наук СССР. 1960. С. 17-19.

2

г

С.Б. Климентов ВАРЬИРОВАННОЕ УРАВНЕНИЕ БИАНКИ-ДАРБУ

1. Формулировка задачи. Основные определения и вспомогательные сведения. В этой статье анализируется возможность использования варьированного уравнения Бианки-Дарбу при изучении бесконечно малых изгибаний регулярно проектирующейся односвязной поверхности. Попытки такого использования без соответствующего обоснования были уже давно (см., например, [1]; в этой статье допущена ещё более грубая ошибка, чем отсутствие соответствующего обоснования при использовании варьированного уравнения Бианки-Дарбу, - уравнение Бианки-Дарбу используется при изучении не проектирующихся поверхностей).