Подсчитаем индекс комплексной функции Л(г) определяемой равенствами (15) и (16).
Так как | г/(г) |>| ¿¡(г) | для всех г 6 с1). то по теореме Руше [3] функции Т}(г) и
а/(г) + 4'(-) = л(г) имеют один тот же индекс в области В. Поэтому для индекса п= тс1/ь(г). имеем:
МА(г) = Шг1(г) = гх§,7](г) = а^-е"2'" ) = ^-Агв(-2<р) = -2.
2 п 2л
Итак, индекс п краевой задачи А есть отрицательное число, и потому задача А имеет только нулевое решение.
п5. Доказательство теоремы. Пусть поверхности Р1 с краем дР1 подвергнута бесконечно малой ЕАО - деформации и переведена в поверхность /<'2. По теореме (*) краевая задача А не
имеет нетривиального решения. Следовательно, поверхность допускает только тривиальное решение. Отсюда следует, что поверхность Р1 является жесткой в пространстве Е3. Поэтому и в частности поверхности Дарбу являются жесткими. Теорема доказана.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Каган В.Ф. Основы теории поверхностей. М.; Л.: ОГИЗ ГИТТЛ, 1948. Т. 2.
2. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Физматгиз, 1959.
3. Шабат Б.А. Введение в комплексный анализ. М.: Наука, 1969.
4. Сидорякина В.В., Казарян Н.С. О бесконечно малых ЕАО -деформациях поверхностей с краем положительной кривизны при заданном краевом условии // Вестник ТГПИ. Естественные науки. 1006. № 1.
5. Казарян Н.С. О сведении уравнений бесконечно малых ЕАО -деформации к однородной системе Коши-Римана // Вестник ТГПУ. Естественные и физико-математические науки. 1006. № 4.
В.В. Казак, Н.Н. Солохин
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ УСЛОВИЯ СМЕШАННОГО ТИПА ДЛЯ СФЕРИЧЕСКИХ СЕГМЕНТОВ
Рассмотрим краевое условие
афТ) + Р(Щ = у, (1)
где и и V - векторные поля смещения и вращения бесконечно малого изгибания поверхности,
/ - векторное поле, заданное вдоль края поверхности, П - поле нормалей поверхности, (X, /?, у -некоторые функции, заданные вдоль границы поверхности.
Граничное условие (1) называется квазикорректным с р степенями свободы, если однородное условие (у = 0) совместимо с р линейно независимыми бесконечно малыми изгибаниями поверхности Б, а неоднородное условие совместимо с бесконечно малыми изгибаниями для любой функции у . Векторное поле I назовём собственным, если условие (1) не является квазикорректным.
В данной работе рассматривается картина распределения собственных векторных полей для сферических сегментов.
Введём на сфере стереографические координаты и, V , спроектировав её из южного полюса на плоскость экватора. Тогда, как известно, уравнение сферы в стереографической системе координат имеет вид:
[ 2и 2У
г(и,у) = \ --г;--г;--з \ = -п(и,у),
где г = и + / V.
Пусть - часть сферы единичного радиуса, лежащая над плоскостью 7. = И (Z - аппликата системы координат ОХ) "/). — 1 < И < 1. При стереографическом отображении на плоскость экватора получим круг
¿2 = и1" + V* < ■
2 ,„2 Л-к
1 + Л
1+А || 1 _ 1
Обозначим ¡л = Л-, тогда \г = —= —- .
VI-// М И
1 +
Рассмотрим векторное поле I (п) =--+ 1 )л, §\х\(п + 1)л ,
1 . 1 .
где и + IV = —СОЭЛ + / — эт Л . Следуя И.Н. Векуа [1], введём в рассмотрение комплексную
М И
функцию смещений 1V —Щ+ ш2. Поэтому основное уравнение бесконечно малых изгибаний
поверхности примет вид У\> г = " , где м?
первой квадратичной формы поверхности). Как известно
4 w
(1 + ыЫ)2
4gw (я
- дискриминант
1-И
Ш V = Уп = -Яе<1/м>„
. Л 1-И
где £ = с1£(р 4 + И
и+1
тельную плоскость к поверхности.
Поэтому внешняя связь (1) запишется в виде
(р - угол, образованный вектором I и его проекцией на каса-
Ые
(а-¡Р)гм>г-(а-¡Р)(\-}1)м>+аег пм>
= 0.
Таким образом, приходим к исследованию следующей задачи:
wz = 0, Ы < — ц
Яе
(а -1(3)211>г-(а- //?)(! -Ь)м>+ аег " м>
0
(2)
Справедлива следующая теорема:
Пусть 5к - сферический сегмент, Щ < 1, - семейство векторных полей, определяе-
мых углами = arcctg-
принадлежащих нормальному сечению А(/ (//)) с
направляющим вектором I (п). Тогда:
2
Ы
Ы
2
Ы
Ы
1) при п > О в семействе векторных полей I существует конечное множество собст-
7 » о о п-2
венных векторных полей / „ , к = 2,3,...,-,... ,/2 — 2 . если П - чётное и
<рч 2
п-1
К = 2,3,...,-,...,П — 2, если П - нечётное.
2
2) при П — 0 в семействе векторных полей 1(р существует только счётное множество собственных векторных полей I , к = 012 ....
3) при П = — 1 в семействе векторных полей 1(р собственных векторных полей нет, если
и существует только одно собственное поле — Iх , если И — 0.
2
4) при П < — 1 всякое векторное поле 1(р является собственным, если к — О и нет собст-
венных векторных полей, если
к^О.
Доказательство: 1. Рассмотрим случай п > 0. Тогда однородное краевое условие предста-вимо в виде:
[ (а - 1(3)гп+1<уг -(а- 1р)гп (1 - /г)м> + ссеуу \
Так как функция (а — ¡Р)г"11 й'_ — (а — ¡Р)г"(\ — к)й' + (ш\\> в области И аналитическая, то она представима в виде:
(а - 1руЧг -(а- ¡/ЗУ(1 - К) Л + аш =
¿А+Е
( - \ г
с (ш)т--
.V (/Е) /
и+1
■ г
откуда
(а -7/?)гя+1йг -(а- 7у0)г"(1 - к) м> + аш = + с^п+2 + с2/Л"+3 +...
... + сип11п+Ч СПп+1ы2п+2 - С- Ып~1 - ... - (3)
пг" и+1Л~ 2 и и+1
/Л /Л // ¡л
~ 2 п
Решение ищем в виде степенного ряда и' = а0 + ол2 + а2г +... + апг +..., тогда
м>2 = а1 + 2а2г + ... + папгп~1 + ....
Далее подставим эти выражения в (3):
(а - /Р)гп+1а1 +(а- /Р)2а2гп+2 + (а- ¡р)Ъаъгп+ъ +...-
-(а-//?)(1 -к)а0гп -(а-//?)( 1 -к)аггп+1 -(а-//?)( 1 -к)а2гп+2 -...
+ ава{) + + аеа2г2 +... = гР0гп+1 + с1/с"+2 + с2/л2гп+ъ +...
С1 -и С2 _и-1 Си _ Си+1
... + си 2 + г--г---г —...--г---
ПГ и+1г~ 2 и и+1
¡Л ¡Л ¡л ¡л
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х и, выполняя соответствующие преобразования, получаем систему уравнений:
\Акак-ВкР2= О I Вка2 + Ака2 = О
(4)
_1л2ае (а2 -р2)(к + п-к) _2а(}(И. + п-к)
где А,г — — ; ; , В1г — ■
/12п~2ае
к + к
Находим определитель системы (4):
¡и2п-2ссе
t ~Вк
Вк А
= Ак + В2к = 2 ¡л2 {а2 - р2)(Ь + к)(Ь + п- к)1л2"-2а2е2 - V
Пусть Б = ^, тогда получим квадратное уравнение
//4яаУ - 2[л2п(а2 - Р2){Н + к)(Ъ + п- к)а2Г + + (а2 -/32)2(к + п-к)2(к + к)2 + 4а2/32(к + п-к)2(к + к)2 = О
Дискриминант этого квадратного уравнения Г) — —16¡лАпСС6/32{к + к)2 {к + П — к)2 < 0 . Поэтому, квадратное уравнение не имеет решений, т.е. ни при каком € определитель системы не равен нулю.
Таким образом, система (4) имеет всегда только нулевое решение ак — ¡Зк — 0, , _ _ и-2 , _ _ /7 — 1
к — 2,3,...,-,...,// — 2 , если п - чётное и к — 2,3,...,-,...,// — 2, если п - нечётное.
2 2
Решение зависит от р = 6 параметров Яесп, Iшсп, Ыеси+1, \\Х\Сп+\. Яесп_1, \тсп ,.
Это означает, что при п > О е семействе векторных полей I существует конечное мно-
г п-2
жество собственных векторных полей /„ , «=2,3,...,-,...,П — 2, если П - чётное и
Рек 2
п-1
к = 2,3,...,-.....П —2, если П - нечётное.
2
Пусть теперь £ — О. Тогда краевое условие принимает вид:
Кс {' ^ ~ ~ ^ ~~ | = О
откуда находим
(а - - {а- /'/0(1 - И)м> =
/Д, + схц 2--—
¡Л2
■ 2
(5)
Имеем
(ос - /у?)^ + (а - 1Р)2аг22 + (а - //?)За3г3 +... -- (а - /'/0(1 - И)а0 - (а- /'/0(1 - И)ахг -(а- //0(1 - К)а2г2 -
• п 2
М
Откуда
-(а-1р)(\-К)а0
И
(а - = Д, (а - //0(1 + Ь)а2 = С\И (а-1р)(2 + К)аъ=0
Получаем, что решение Н'(г) уравнения (5) зависит от р = 3 параметров Яе^, 1т с,. Д, 2. Рассмотрим случай П = 0. Тогда краевое условие принимает вид
Рс | (а - 1/3)г<у2 -(а-/Д)(1 - К)м> + осей] = 0
Имеем
(а -- (а-/'/0(1 -И)м> + ат =
/Д0 + с1;£/ г--—
(6)
откуда
4с(е -1 + /г) + /Д(1 - Л)Зо =
+ г) - ¡рИ = /Д, ^(1 + // + £•)- /Д(1 + И)]}2 = <г(2 + А + я) - /Д(2 + = О
(7)
Аналогично предыдущему получаем систему уравнений:
\(аАк + ае)тк + ¡5Акпк = О
Ь РАтк + (аЛ + ас)»к = 0
Находим определитель этой системы:
аА, + ае
РА
- (ЗАк аАк + ае
= 4?2+р2 Д\ + а2е2 + 2а2Аке
Приравнивая определитель к нулю, получаем:
V + 2 а2Аке + (?2 + Д2 £ = 0.
а
Находим дискриминант I) = —4а2р2Ак < 0.
Таким образом, не существует £, при котором определитель системы равен нулю, т.е. система имеет только нулевое решение тк — пк —0 для любого £ . Это означает, что для любого £ имеем а, = 0, к > 3.
г
Для любого £ решение уравнения (6) имеет вид ^(г) = а0 + + аг2г , где коэффициенты а0,аг,а2 находятся из системы (7) и зависят от р = 3 параметров Д0, Кеср 1т 6',. При £ — к — 0 имеем:
(.а - г/3)а0 = — М
О -а, = /Д0
(а -/Р)а2 = сх!л 2(а - гР)аъ = О
Решение зависит от р = 4 параметров (^.ес/,. . Ыес^, ¡тс,.
Следовательно, при П = 0 в семействе векторных полей I существует только счётное множество собственных векторных полей I , к = 012 ....
<Рек
3. Рассмотрим случай п = — 1. Тогда краевое условие принимает вид
кс [ ^ ~ ^ ^Х1 ~ ¿0 ^ + ае™ 1 = о
Имеем
откуда
(а - г/3)?м2 - {а- /Д)(1 - /г)м> + =
(сг - /7?)(1 - /г)а0 =—1 М
/7?0 —
¿иг
Ка - ¡Р)И д] + ш0 = /Д0
- /Д)(1 + /?) + а£ д2 + аш, = с,// а - /Д)(2 + К) + ае ат2 - 0
(8)
Если к Ф 0, то из полученной системы находим коэффициенты ак . Общее решение уравнения (8) зависит от трёх действительных констант . Ке с,. 1т с,. Если к — 0, то система принимает вид
М
аеа0 = /Д,
-¡Р) + ае^2+ аеах = - /Р) + ае д з + = 0
2
2
¡Р с
Из системы находим, что (ОС — IР) —- = —, ах - произвольная константа. Если £ Ф 0, то
СС£ /и
решение уравнения (8) зависит от р = 3 действительных констант Д,. Ке. \тал . Если £ = 0. то решение зависит от р = 4 параметров (^.ес/,. ¡тс/,. Ыес^, 1т с, и имеет вид
м>(г) =---+ + гг.
р{сс-1р) а-гр
Таким образом, при Т1 = —1 в семействе векторных полей собственных векторных по
лей нет, если и существует только одно собственное поле 1 = /т , если Ь — 0.
2
4. Рассмотрим случай п < — 1. Из краевого условия К.е< --——2—1-——---г = 0 получаем, что решение имеет вид
(а - ¡Р)гм>г - (а - /Д)( 1 - /г)м> + аег "м> =
■о с\
гР0 + с,//г н—-рг
(9)
Если ЬфО ,то общее решение уравнения (9) зависит от р = 3 действительных констант Дп, Ые , 1шб| , т.е. /г Ф О неда собственных векторных полей.
Если Н = 0, то получаем что решение уравнения (9) зависит от р = 4 действительных констант Ыес^, ¡тс,, Яе^, ¡тс/, для любого £, £ е (-оо;+оо).
Следовательно, е случае п<— 1, /7 = 0 всякое векторное поле 1а является собственнъш.
Теорема доказана.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Фоменко В.Т. О квазикорректности внешних связей в теории бесконечно малых изгибаний // СМЖ. 1974. Т. 15. № 1. С. 152-161.
2. Фоменко В.Т. О квазикорректности внешних связей в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей // ДАН. 1973. Т. 212. № 6. С. 1305-1308.
3. Казак В.В. Распределение собственных векторных полей условия обобщённого скольжения // Математический анализ и его приложения. Ростов н/Д.: Изд-во Ростов. ун-та. 1974. С. 183-188.
4. Виноградов В.С. Об одном методе решения задачи Пуанкаре для аналитических функций // Доклады Академии наук СССР. 1960. С. 17-19.
2
г
С.Б. Климентов ВАРЬИРОВАННОЕ УРАВНЕНИЕ БИАНКИ-ДАРБУ
1. Формулировка задачи. Основные определения и вспомогательные сведения. В этой статье анализируется возможность использования варьированного уравнения Бианки-Дарбу при изучении бесконечно малых изгибаний регулярно проектирующейся односвязной поверхности. Попытки такого использования без соответствующего обоснования были уже давно (см., например, [1]; в этой статье допущена ещё более грубая ошибка, чем отсутствие соответствующего обоснования при использовании варьированного уравнения Бианки-Дарбу, - уравнение Бианки-Дарбу используется при изучении не проектирующихся поверхностей).