CC BY
10
Достаточное условие квазикорректности смешанного краевого условия для поверхностей второго порядка
Н.Н. Солохин
В работах [1] и [2] впервые был изучен вопрос о квазикорректности внешней связи вида
R(U) = у (1),
где R - однородный аддитивный оператор, U - векторное поле смещения при бесконечно малом изгибании поверхности, у - известная функция.
В работе [3] наряду с общими результатами была рассмотрена реализация такой внешней связи для поверхностей второго порядка.
Следующим этапом явилось изучение квазикорректности внешней связи
(краевого условия) смешанного типа:
» » » »
a(Ul) + ß(VL) = о (2),
где U и V - векторные поля смещения и вращения бесконечно малого изгибания поверхности, l и L - векторные поля, заданные вдоль края поверхности, a,ß,o - некоторые функции, заданные вдоль границы поверхности.
В этом направлении было получено ряд теорем, представляющих немаловажный интерес в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей. Рассмотрение реализаций этих общих теорем для поверхностей второго порядка дало более широкую и глубокую картину распределения собственных векторных полей краевого условия смешанного типа. В частности были рассмотрены сферические сегменты и сечения параболоида вращения и дана картина распределения собственных векторных полей в таких сечениях.
Краевое условие (2) назовём квазикорректным с р степенями свободы, если однородное условие (о = 0) совместимо с р линейно независимыми бесконечно малыми изгибаниями поверхности S, а неоднородное условие совместимо с бесконечно малыми изгибаниями для любой функции о . Векторные
—► —»
поля I и Ь назовём собственными, если условие (2) не является квазикорректным [1, с.152].
Пусть £ е С3,/, 0 </< 1 - односвязная поверхность второго порядка положительной кривизны К > К0 > 0 с краем дБ е С2,/, 0 </< 1. Пусть далее
на границе дБ поверхности Б заданы вещественные функции а, Ь и с и век-—► « —►
торное поле I класса С "", 0 < / < 1. Считаем, что векторное поле I не принадлежит поверхности. В настоящей работе рассматривается случай, когда Ь = п, где п - единичный вектор нормали к поверхности. Рассмотрим внешнюю связь
а(ц1)+ ь(Рп )= с (3)
Пусть Г - единичный касательный к краю дБ вектор; п - единичный вектор нормали поверхности Б, ц = \!п\ - тангенциальная нормаль.
Таким образом, вдоль края дБ поверхности мы имеем подвижный репер {У, п,^} и некоторое поле I = I (я) класса С1,л, 0 </< 1. Пусть ¡т - проекция
7 на касательную к Б плоскость. Считаем также, что векторное поле 1Т не касательно к границе поверхности в каждой точке края. Обозначим /3 = /(я)
- угол между 77 и 1Т, где отсчет производится в положительном направлении, если смотреть со стороны вектора п. Обозначим угол между 1Т и / через а, считая, что отсчёт производим от 1Т до I против хода часовой стрелки, если смотреть из конца вектора Г. В таких обозначениях векторное поле I однозначно определяется заданием углов а = а(я) и / = /(я) как функций длины дуги контура.
Теорема. Пусть вдоль края дБ задано семейство векторных полей ¡а(я), определяемых углами а(я) и /0(я), где /0(я) - фиксированная функ-
( ж жЛ ция из интервала ^
, а а(я) произвольная функция. Пусть, кроме то, 1пй(а + гЪ)= 0 и (/7)< 0. Тогда существует константа С0 > 0, зависящая
от поверхности S, края dS и векторного поля l, такая, что при a cosa
С0 < max
< да поверхность второго порядка с внешней связью (3) явля-
ъ4к
ется квазикорректной с 3 степенями свободы.
Доказательство. Краевое условие (3) приводится к виду
ъ
a
- ^—Re(dzw + дz lnVKw^sina + {u\ll + Ujl2 )
Re (id zw)= c (4)
где w = щ + щ - комплексная функция изгибания [6, с. 403], /1, /2 - координа-
^ _ дг ты вектора / в базисе га =-, (а = 1,2).
дха
Как известно из [6] для поверхностей второго порядка уравнение бесконечно малых изгибаний можно записать в виде:
д zw = 0.
Обозначим Ъ(2) = / +
г/2, Л(2) = г^Ж2) = ¡^(I1 +г/2) и выполним замену искомой функции w(2) = 1с(2). Тогда краевое условие (4) при с = 0 перепишем в виде
Re |- Ъ4К + а вта 1 ]д 2а + {¡ад 21п л/К вта + аЛ( 2)4К ео8а)ю( г)}= 0 (5).
Будем считать, что некоторая внутренняя точка поверхности второго порядка закреплена вместе с касательной плоскостью в ней. Не нарушая общности, можно взять в качестве этой точки точку 2 = 0 и поэтому искомая функция с(2) должна в точке 2 = 0 иметь нуль второго порядка, т.е.
с(2) = 2 с(2), где с1(2) - голоморфная в области В функция.
Сделаем замену функции с(2) = %(2)с(2), где %(2) - аналитическая функция, непрерывная в В + дВ, обращаясь в нуль в начале координат, не равная нулю на границе и удовлетворяющая там краевому условию Яе{ Щ7)%( 2)}= 0.
* *
Решение % имеет вид %(2) = 2% (2), где % (2) - искомая функция, не обращающаяся в нуль ни в одной точке области и на её границе.
Введём обозначения: d2 (z) = Re {я(z)%(z)]^ 0, - = S2, - ^SJ^ = h2,
X(z) = Z1 + iZ2, z e^D, 2d1 =Z1x + ^2y, 2d2 =X\y -%2x, °\(z) = U + iV, гДе
U (z), V (z) - гармонические функции, тогда имеем AU = 0, U (0,0) = V (0,0) = 0 при z = x + iy = 0.
При этих обозначениях краевое условие (5) приводится к виду:
a(l0) + g2d2 (z)4KU + d1U + d2V - h2a(l()) ^ - h2d1 V + h2d2U -®0 dl0
- h2dz lnVK(^U + ) = 0 Полученная краевая задача
AU = 0, U (0,0) = V (0,0) = 0
^ + g2d2 (z)VKU + dxU + d2V - h2a(l°) ^ - h2dxV + h2d2U - (6) dl0 dl0
h2dz lnVK(Z2U + ZlV) = 0
имеет только нулевое решение. Тогда с помощью преобразования <щ(z) = U + iV имеем о\ = 0 в D + 8D. Значит, задача
г5-ю(z) = 0, ¿y(0) = 0, z е D,
Re К- ^VK + asina i)дz® + (ia5z lnVK Sina + aÁ( z )4K cosa )b( z)]= 0
имеет только нулевое решение.
Таким образом, можно утверждать, что существует константа С0, зависящая от поверхности S, края 8S и векторного поля l, такая, что при a cosa
<да поверхность второго порядка с условием (4) является
С0 < max
ъ4Е
жёсткой.
Литература:
1. В.Т.Фоменко. О квазикорректности внешних связей в теории бесконечно малых изгибаний. СМЖ. 1974. Т.15. №1. С.152-161.
2. В.Т.Фоменко. О квазикорректности внешних связей в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей. ДАН. 1973. Т.212. №6. С.1305-1308.
3. Казак В.В. Исследование условия обобщённого скольжения в теории бесконечно малых изгибаний: дисс. канд. физ. - мат. наук. Ростов - на - Дону, 1973 - 98 c.
4. Данилюк, И.И. О задаче с наклонной производной. // СМЖ. Том 3, №1. 1962. - С. 18 - 55.
5. Сабитов, И.Х. Бесконечно малые изгибания выпуклых поверхностей с краевым условием обобщённого скольжения // ДАН СССР. - 1962. - 147, №4. - С.793 - 796 (РЖМат, 1964, 10А419).
6.Векуа, И.Н. Обобщённые аналитические функции. М.: Физматлит, 1959 - 509 с.
7. Nitsche Joachim. Beitrage zur Verbiegung zweifach zuaamtnenhangender Flachenstucke // Math. Z. - 1955. - 62, № 4. - P. 388 - 399.
8. Grotemeyer К. Р. Einige Probleme und Methoden der Flachentheorie im Grossen // Math.-phys. Semesterber. - 1964. - 10, № 2. - P.187 - 201.
9. Онишкова, А.М. Численное решение задачи для плоской области со свободной границей [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2012, №4 (часть 1). - Режим доступа: http: // ivdon.ru /magazine/ archive/ n4p1y2012/ 1205 (доступ свободный) - Загл. с экрана. - Яз. рус.
10. Замятин, А.В., Замятина, Е.А. Алгоритм построения развёртки поверхностей [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2012, №4 (часть 2). - Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n4p2y2012/1233 (доступ свободный) - Загл. с экрана. - Яз. рус.
