CC BY
1112. Ерёмин А.Ю. Формула веса минимального заполнения конечного метрического пространства // Матем. сб. 2013. 204, № 9. 51-72.
Поступила в редакцию 29.09.2014
УДК 514.774.8
РЕАЛИЗУЕМОСТЬ ОСОБЫХ УРОВНЕЙ ФУНКЦИЙ МОРСА ОБЪЕДИНЕНИЕМ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ
И. Н. Шнурников1
Перечислены все специальные графы степени 4 не более чем с тремя вершинами (атомы из теории интегрируемых гамильтоновых систем), представимые объединением замкнутых геодезических на следующих двумерных поверхностях с метрикой постоянной кривизны: сфера, проективная плоскость, тор, бутылка Клейна.
Ключевые слова: 2-атом, замкнутые геодезические, метрика постоянной кривизны.
We list special graphs of degree 4 with at most 3 vertices (atoms from the theory of integrable Hamiltonian systems) which could be represented by a unión of closed geodesics on the one of the following surfaces with metric of constant curvature: sphere, projective plañe, torus, Klein bottle.
Key words: 2-atom, closed geodesics, metric of constant curvature.
В задачах классификации интегрируемых гамильтоновых систем важную роль играют окрестности особых слоев функций. А. Т. Фоменко ввел понятия "3-атома" и "2-атома" для описания топологии слоения Лиувилля интегрируемых гамильтоновых систем (см. [1^3]). Атомы применяются в теории динамических систем [4, 5], группы симметрий атомов изучались в [6].
Определение 1. Пусть G — двумерная компактная замкнутая поверхность, К — вложенный в нее связный конечный граф, каждая вершина которого имеет степень 4. При этом G\K гомеоморф-но дизъюнктному объединению дисков (клеток), которые можно раскрасить в два цвета так, чтобы каждое ребро графа примыкало к клеткам обоих цветов. Атомом называется пара (G, К), рассматриваемая с точностью до гомеоморфизма пары (переводящего граф в граф). Оснащенным атомом называется пара (G, К) с выбранной раскраской клеток в черный и белый цвета, рассматриваемая с точностью до гомеоморфизма, переводящего клетки в клетки того же цвета.
Определение 2. Атом (G, К) называется геодезическим, если на поверхности G можно ввести метрику постоянной кривизны так, что граф К реализуется набором замкнутых геодезических.
Существует взаимно однозначное соответствие между оснащенными атомами и клеточными разбиениями двумерных замкнутых поверхностей вложениями конечных графов (см. [7, т. 1, § 2.7.7]). При этом вершины графа могут иметь произвольную степень, а разбиения берутся с точностью до гомеоморфизма. Заметим, что для любого атома на его поверхности можно ввести риманову метрику так, что граф К будет представляться объединением замкнутых геодезических. А. Т. Фоменко в 2011 г. поставил вопрос об описании геодезических атомов малой сложности. В обозначениях атомов из книги [7] атом С*2 на сфере, атом В на проективной плоскости, атомы С\ и Е\ на торе геодезические, а атом В на сфере не геодезический. Будем говорить, что обход вдоль замкнутой кривой (возможно, с самопересечениями) на двумерной поверхности "меняет локальную ориентацию", если ортонормированный репер, первый вектор которого касается кривой, при непрерывной деформации вдоль кривой меняет направление второго вектора на противоположное.
Предложение 1. Если геодезический атом реализуется объединением, замкнутых геодезических 7i,..., тп, то все их точки пересечения и самопересечения простые, т.е. через каждую точку или проходят две различные геодезические, или одна геодезическая, проходит дважды. Обход вдоль замкнутой геодезической, 7¿ меняет локальную ориентацию поверхн,ост,и, тогда и только тогда, когда суммарное число ее точек пересечения с остальными геодезическими, нечетно (точки самопересечения 7¿ не учитываются).
1 Шнурников Игорь Николаевич — канд. физ.-мат. наук, ст. преподаватель НИУ ВШЭ, e-mail: shnurnikovQyandex.ru.
Предложение 2. (а) Набор из п ^ 2 больших кругов на двумерной сфере в2 образует геодезический атом тогда и только тогда, когда круги находятся в общем положении.
(б) Набор прямых на проективной плоскости МР2 образует геодезический атом, тогда и только тогда, когда число прямых четно и они находятся в общем положении.
Доказательство. Общность положения следует из предложения 1. Обход вдоль прямой на проективной плоскости меняет локальную ориентацию, поэтому на каждой прямой по предложению 1 находится нечетное число точек пересечения. Значит, число прямых в наборе четно. Докажем достаточность по индукции по числу кривых. При добавлении большого круга перекрашиваем все области, находящиеся по одну сторону от него. При добавлении прямой на проективной плоскости будем перекрашивать все области, располагающиеся по одну сторону от добавленной прямой в диске, образованном дополнением к первой прямой набора. □
Определение 3. Назовем подходящей парой (М, Г) связную двумерную компактную поверхность М без края и объединение Г конечного числа замкнутых гладких кривых на М, трансвер-сально-пересекающихся и самопересекающихся так, что через каждую точку пересечения проходят две кривые с учетом кратности самопересечения. При этом Г связно и содержит хотя бы одну точку пересечения кривых.
На подходящей паре (М, Г) рассмотрим замкнутую ломаную д С Г с вершинами в точках пересечения или самопересечения кривых и с ребрами, идущими по кривым. При этом ребра могут проходить через другие точки пересечения, а в любой своей вершине ломаная д поворачивает. Для каждой замкнутой ломаной д через и(д) обозначим число лежащих на ней точек пересечения и самопересечения кривых, отличных от вершин д (т.е. и(д) — число узлов, в которых ломаная д не поворачивает).
Утверждение 1. Подходящая, пара (М, Г) является атомом тогда и только тогда, когда для любой несамопересекающейся замкнутой ломаной д С Г изменение локальной, ориентации при обходе вдоль д равносильно нечетности числа, и(д).
Доказательство. Пусть пара (М, Г) образует атом с фиксированной раскраской клеток и дана замкнутая несамопересекающаяся ломаная д С Г. Выберем на д точку Р и локальную ориентацию в окрестности точки Р. Начнем обход вдоль д, стартуя в точке Р, при этом будем следить за цветом клетки, примыкающей справа по направлению обхода по отношению к локальной ориентации вдоль ломаной д. При проходе через точку и пересечения геодезических, отличную от вершины д, цвет клетки справа меняется, поскольку проход сквозной (т.е. переход на противоположное ребро из четырех ребер, исходящих из и). При проходе через вершину и ломаной д цвет клетки справа не меняется, поскольку проход — поворот (т.е. переход на соседние ребра из четырех ребер, выходящих из г>). Если число и(д) нечетно (четно), то при обходе вдоль д цвет клетки справа меняется (не меняется) на противоположный, т.е. обход вдоль д меняет (не меняет) локальную ориентацию.
Для доказательства достаточности в силу определения подходящей пары достаточно раскрасить клетки М \ Г в два цвета правильным образом. Для этого мы будем последовательно закрашивать регулярную окрестность Г в М, используя две операции:
(1) если окрашена окрестность ребра (и, у) графа Г (с одной стороны в белый цвет, с другой — в черный), то соответственным образом красим окрестность точки и (или и);
(2) если окрашена окрестность вершины и графа Г, то красим соответствующим образом окрестности выходящих из и ребер.
Предположим, что окрашиваемая в некий момент окрестность противоречит с ранее окрашенной, а до этого момента противоречий не было. Тогда противоречащие окрестности соединяются цепочкой правильно окрашенных окрестностей, и все окрестности вместе образуют окрестность замкнутой ломаной д С Г. Отбрасывая при необходимости в цепочке петли, можно рассматривать ломаные д без самопересечений. Так, мы нашли замкнутую ломаную д без самопересечений, окрестность которой нельзя раскрасить правильным образом. Рассматривая цвета клеток справа при обходе вдоль д, как и в начале доказательства, приходим к тому, что для ломаной д не выполняется условие утверждения. □
Следствие 1. Если конечным, набором из п ^ 2 замкнутых геодезических на, двумерном торе Т2 образуется геодезический, атом, то на каждой, геодезической, лежит ненулевое четное число точек пересечения со всем,и, остальными геодезическими.
Предложение 3. (а) Пусть на самопересекающейся геодезической, 7, лежащей на, бутылке Клейна КЬ2, взят отрезок I С 7 с концами в точке самопересечения. Тогда обход вдоль отрезка I меняет локальную ориентацию поверхности.
(б) Граница клетки геодезического атома на, бутылке Клейна не м.ожет состоять из одной петли.
(в) Пусть точка салюпересечения, геодезической 7 делит ее на две замкнутые, кривые д\ и д-2 (геодезические с изломом в своих совпадающих концах). Тогда на кривой д\ лежит нечетное число •точек пересечения, с остальными геодезическилт и с д-2-
Доказательство, (а) Рассмотрим .локально изометричное универсальное накрытие р : К2 —>■ КЕ2 бутылки Клейна. При этом полный прообраз любой точки X € КЕ2 состоит из двух подмножеств, для всех точек одного подмножества дифференциалы (1р совпадают (касательные пространства отождествлены с К2), а для точек х\ и ж 2 разных подмножеств дифференциалы проекций отличаются на отражение в относительно некоторой прямой (1рХ1 = с1рХ2 о е. Поднимем отрезок I до отрезка АВ С К2. Если обход вдоль I не меняет локальную ориентацию поверхности, то в точках А и В дифференциалы проекции совпадают. Поэтому проекция отрезка АВ на бутылку Клейна даст замкнутую геодезическую (с совпадающими касательными в совпадающих концах), что противоречит выбору отрезка I.
(б) Предположим противное, тогда граница клетки это отрезок замкнутой геодезической без внутренних точек пересечений и самопересечений. Согласно п. (а), обход вдоль него меняет локальную ориентацию поверхности. Однако этот отрезок (с совпадающими концами) является границей ориентируемой клетки и в окрестности отрезка можно задать ориентацию клетки противоречие.
(в) Из п. (а) следует, что обход вдоль отрезка д\ С 7 меняет локальную ориентацию. По утверждению 1 (для отрезка д\ в качестве ломаной д) на д\ лежит нечетное число точек пересечения с остальными геодезическими и отрезком ¿/2- 1=1
Следствие 2. Одна, замкнутая, самопересекающаяся геодезическая, на, КЕ2 с нечетным числом •точек салюпересечения, не может образовывать геодезический атом,.
Доказательство. Предположим противное. Рассмотрим соответствующую хордовую диаграмму, т.е. единичную окружность, на которой точки с угловыми координатами и ¿2 соединены хордой тогда и только тогда, когда точки геодезической с параметрами и ¿2 совпадают. При этом геодезическая параметризована неременной I € [0, 2тт). По условию число хорд нечетно. По предложению 3, (в) каждая хорда пересекает нечетное число других хорд. Однако это невозможно: число нар пересекающихся хорд в этом случае получается нецелым. □
Теорема. В обозначениях классификации атомов сложности не выше трех [7, т. 1, табл. 2.1] среди 40 атомов на, двумерных сфере в2, тореТ2, проективной плоскости МР2 и бутылке Клейна, КЬ2, графы которых чшеют не более трех вершин, геодезическилт^ являются, атомы: С2 на, Б2; В на МР2: Сх и Ех на, Т2; С2, £>2, и О3 на, КЬ2.
Доказательство. Приведем примеры наборов геодезических, реализующих геодезические атомы. Атом В на ЫР2 образуется любыми двумя проективными прямыми. Атом С2 на Б2 реализуется двумя большими кругами. Граф атома С\ состоит из параллели тора и геодезической, два раза обходящей вдоль меридиана и один раз вдоль параллели. Рис. 2. Атомы Е4 (а) и С?з (б) на бутылке Клейна Граф атома Е\ состоит из параллели, меридиана и диагональной геодезической.
На рис. 1 и 2 наборами геодезических на КЕ2 реализованы атомы С2, Е>2, и С3. При этом граф атома С2 состоит из одной замкнутой геодезической с двумя точками самопересечения, граф атома Е>2 из параллели (не меняющей ориентацию) и двух меридианов (меняющих ориентацию), граф атома £4 из параллели и самопересекающейся в одной точке геодезической, а граф атома Оз из двух меридианов и самопересекающейся в одной точке геодезической.
Рис. 1. Атомы Со (и) и В2 (б) на бутылке Клейна
В книге [7] есть список атомов не более чем с тремя вершинами на графе. Покажем, почему все они, кроме реализованных выше и кроме шести атомов на сфере с тремя листами Мёбиуса, не попадающих под условие теоремы, не являются геодезическими. Атом А не геодезический, так как точка не считается геодезической. Атомы В,П\,П2, ^3,^2, Са, 6*2, Сз, II\. //2 на Б2, атомы С\,В1,Еъ, ^5,^6,6*4, Сб, Се, От, Я3,Я4 на ЯР2, атомы на торе — не геодезические атомы,
поскольку замкнутые геодезические на этих поверхностях с метриками постоянной кривизны не могут иметь точек самопересечения. Остальные рассматриваемые атомы не геодезические по следующим причинам: Е3 по следствию 2; так как две простые геодезические на КЬ2 не пересекаются в трех точках; Е7, Ё?, поскольку две прямые на КР2 пересекаются в одной точке; Сг, I¡2 по предложению 3, (б); по предложению 3, (в). □ Замечание. Среди всех атомов не более чем с тремя вершинами есть шесть атомов на сфере с тремя листами Мёбиуса, но неизвестно, являются ли они геодезическими.
Автор приносит благодарность А. Т. Фоменко за постановку вопроса, мотивацию и внимание к работе.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Фоменко А. Т. Теория Морса интегрируемых гамильтоновых систем // Докл. АН СССР. 1986. 287, № 5. 1071-1075.
2. Фоменко А. Т. Топологические инварианты гамильтоновых систем, интегрируемых по Лиувиллю // Функц. анализ и его прил. 1988. 22, вып. 4. 38-51.
3. Фоменко А. Т. Симплектическая топология вполне интегрируемых гамильтоновых систем/ / Успехи матем. наук. 1989. 44, вып. 1(265). 145-173.
4. Фоменко А. Т. Теория бордизмов интегрируемых гамильтоновых невырожденных систем с двумя степенями свободы. Новый топологический инвариант многомерных интегрируемых систем // Изв. АН СССР. Серия матем. 1991. 55, № 4. 747-779.
5. Фоменко А. Т. Топологический инвариант, грубо классифицирующий интегрируемые строго невырожденные гамильтонианы на четырехмерных симплектических многообразиях // Функц. анализ и его прил. 1991. 25, вып. 4. 23-35.
6. Кудрявцева Е.А., Никонов И.М., Фоменко А. Т. Максимально симметричные клеточные разбиения поверхностей и их накрытия // Матем. сб. 2008. 199, № 9. 3-96.
7. Болеинов А.В., Фоменко А. Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация. Т. 1,2. Ижевск: Издательский дом "Удмуртский университет", 1999.
Поступила в редакцию 06.10". 2014
УДК 517.926.4
ОБ ЭФФЕКТИВНОСТИ ВОЗМУЩЕНИЙ
В КЛАССЕ ЛИНЕЙНЫХ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ
Т. В. Салова1
Доказано, что множество всех предельных значений произвольных показателей решений при равномерно малых возмущениях коэффициентов линейной гамильтоновой системы совпадает с аналогичным множеством, получаемым при равномерно малых гамильтоновых возмущениях.
Ключевые слова: линейные системы, гамильтоновы системы, показатели Ляпунова, колеблемость, блуждаемость.
It is proved that the set of all limiting values of solutions' arbitrary indicators under uniformly small perturbations for the linear Hamiltonian system's coefficients is the same as the similar set obtained by uniformly small Hamiltonian perturbations.
Key words: linear systems, Hamiltonian systems, Lyapunov exponents, oscillation, wandering.
1 Салова Татьяна Валентиновна — ассист. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:
m_ messageQmail .ru.
