CC BY
267
Специальная
теория относительности и геометрия Лобачевского
Резюме. В статье дан историко-методологический анализ проблемы вывода релятивистского закона сложения произвольно направленных скоростей как векторов трехмерного пространства Лобачевского -упорядоченных пар точек (направленных отрезков геодезических).
Ключевые слова: неевклидова геометрия Лобачевского, неевклидово пространство, кватернионы, бикватернионы, векторы.
В жизни великого геометра Николая Ивановича Лобачевского (в личной и творческой) есть несколько тайн. Одна из них связана с вопросом признания его геометрии.
Юрий Курочкин,
заведующий центром «Теоретическая физика»
Института физики им. Б.И.Степанова НАН Беларуси, доктор физико-математических наук, доцент
Н. Лобачевский и Ф. Миндинг
I I сайте Казанского университета при-
I I ^Л водятся такие сведения: «Недавно ста-I I ло известно, что у Лобачевского был
все-таки реальный шанс убедиться в конкретной применимости его геометрии, которая, таким образом, перестала бы быть воображаемой. В 18391840 гг. в журнале Крелля, где печатались наиболее известные работы европейских математиков, дерпт-ский профессор Миндинг опубликовал пару статей по внутренней геометрии поверхностей постоянной кривизны. Профессор КГУ Б. Лаптев, изучая журнал Научной библиотеки КГУ, в который заносились книги, выданные профессорам для домашнего чтения, обнаружил, что Лобачевский систематически брал журнал Крелля, но в 1838-1840 гг. несколько номеров этого журнала им взяты не были, поэтому он так и не узнал, что внутренняя геометрия поверхностей постоянной отрицательной кривизны совпадает с его планиметрией. Это обнаружил лишь в 1868 г.
итальянский геометр Бельтрами. Публикация в те годы дневников и писем Гаусса, в которых работам Лобачевского давалась весьма высокая оценка, послужила толчком к признанию и распространению в Европе идей неевклидовой геометрии».
Информацию из этой статьи бывшего декана математического факультета Казанского университета профессора В.В. Вишневского автору этих строк пришлось слышать из уст самого профессора на одной из конференций, но в трудах был опубликован другой материал. Тем не менее, когда возникла необходимость, сообщение легко было найдено на сайте университета. Теперь дадим пояснения.
Ф.Г. Миндинг (1806-1885), профессор Дерпт-ского (Тартуского) университета, занимаясь теорией поверхностей, установил, что тригонометрические формулы поверхности отрицательной постоянной кривизны можно получить из формул сферической тригонометрии путем замены соответствующих тригонометрических функций на гиперболические. Иными словами, если взять известную и уже несколько столетий до Миндинга используемую в астрономии формулу теоремы косинусов сферического треугольника
COS — = cos — cos — + sin — sin — COS i9,, (1)
Рис. 1.
Сферический треугольник
и осуществить замену Я^1р, в результате получим формулу
соей— = соБ/г—сов/г — -БША—бгпй—сов^ , (2) Р Р Р Р Р
которую получил Ф. Миндинг, но (что еще важнее) ранее неявно использовал и Н.И. Лобачевский в своей геометрии для вывода ряда ее основных положений. В формуле (2) при произведенной замене тригонометрические функции преобразовались в гиперболические. Поясним также, что под кривизной поверхности в математике понимают величину К, обратную квадрату радиуса кривизны.
Рис. 2.
Гиперболический
треугольник
А С
Таким образом, для сферы К = 1/Я2, а для поверхности с мнимым радиусом кривизны кривизна отрицательна, например К = -1/р2. Поэтому, сделав в формуле (1) замену Я^1р, мы получили формулу Миндинга, то есть теорему косинусов пространства Лобачевского. Отметим, что здесь всюду будет идти речь о поверхностях постоянной кривизны.
А. Эйнштейн и А. Зоммерфельд
В своей классической работе [1] А. Эйнштейн вывел формулу сложения произвольно направленных скоростей в новой теории, которую с точностью до минимального изменения обозначений с целью их приближения к современным воспроизводим ниже:
yj(v2 + w2 + 2vw cos а) - (vwsina/с)2
U = - J—: . (3)
1 +vwcosa/c
Здесь v - модуль скорости частицы относительно некоторой произвольной системы отсчета, а w - модуль скорости этой системы отсчета относительно неподвижного наблюдателя, а -угол между направлениями данных скоростей, U - модуль скорости частицы относительно неподвижного наблюдателя. Обратим внимание, что формула (3) получена Эйнштейном в скалярной форме. Векторная форма выражения (3) отсутствует. Знаменитый немецкий физик-теоретик
А. Зоммерфельд вскоре после выхода труда Эйнштейна, в 1909 г., дал интерпретацию формулы сложения релятивистских скоростей в терминах сферы мнимого радиуса. Если не вникать в некоторые детали работ Зоммерфельда, то смысл сделанного им можно резюмировать так. Введем следующие замены в формуле (3):
т т т
и = сХ&т& — ,у = сЪагк—,'°*г = с\агй\.—,Зп=а. (4)
с с с
В результате получим формулу (2), в которой роль р (радиуса кривизны пространства) играет скорость света с. Таким образом, выясняется, что в пространстве скоростей специальной теории относительности (в пространстве релятивистских скоростей) реализуется геометрия Лобачевкого, а формулы (2), (3) определяют метрику в нем.
Можно сказать, используя понятие мнимой сферы, в идеологическом смысле Зоммерфельд следовал линии Миндинга, а не Лобачевского. Однако вскоре после выхода работы Зоммерфельда югославский ученый В. Варичак отметил (именно в связи с ней), что сфера мнимого радиуса несет в себе геометрию Лобачевского, и тем самым обратил внимание на связь теории относительности Эйнштейна и геометрии Лобачевского. В дальнейшем Зоммерфельд еще несколько раз обращался к формуле (3), используя ее геометрическую интерпретацию. Так, в 1931 г. на конференции по ядерной физике в Риме на основе своего геометрического подхода к формуле сложения релятивистских скоростей (3) он дал вывод явления то-масовской прецессии, релятивистского эффекта, состоящего в том, что для частицы, движущейся, например, по окружности с релятивистской скоростью (со скоростью, когда необходимо учитывать новый закон сложения скоростей (3)), вектор ее скорости получает дополнительный «доворот». Соответственно, необходимо это учитывать в частоте обращения точки по орбите. Эффект использовался для объяснения несоответствия экспериментальных данных по аномальному эффекту Зе-емана с теоретическими расчетами. Зоммерфельд получил недостающий множитель У в формуле спектра энергий атома в магнитном поле, используя свой геометрический подход. Вывод данной поправки на его основе дан в приложении к первому тому знаменитой книги [2]. Мы не будем останавливаться более подробно на описании вывода эффекта по методу Зоммерфельда. Анализу его работ по применению геометрии пространств постоянной кривизны к проблемам специальной теории относительности посвящено исследование [3], в котором справедливо указывается, что открытие английским физиком-теоретиком П.А.М. Дираком своего знаменитого уравнения решило проблему
с объяснением особенности аномального эффекта Зеемана на фундаментальном уровне и более не требует привлечения томасовской прецессии. Тем не менее, как правильно отметили авторы: «Вывод поправки Томаса и сейчас вызывает трудности у педагогов, особенно если речь идет о вводном курсе квантовой механики», что подтверждается в обстоятельном обзоре [4]. Возникновение эффекта прецессии Томаса выглядит достаточно естественно с точки зрения дифференциальной геометрии, когда изменение вектора релятивистской скорости рассматривается как его перенос в неевклидовом пространстве релятивистских скоростей [5].
Геометрическую интерпретацию произвольно направленных релятивистских скоростей Зом-мерфельд использует также в «Электродинамике» своего знаменитого курса [6]. При этом, вероятно, будучи неуверенным в познаниях своих читателей в гиперболической (Лобачевского) геометрии, он использует формулу (1), а не (2), указывая, правда, что аргументы в тригонометрических функциях от длин сторон треугольника нужно брать мнимыми.
Отметим: геометрический подход Зоммерфель-да к проблеме сложения скоростей в специальной теории относительности в известной мере компенсирует отсутствие векторной формы эйнштейновского выражения (3) в том смысле, что он обеспечивает инвариантность описания. Однако проблема векторной формы формулировки закона сложения релятивистских скоростей остается.
В. Клиффорд и А. Котельников
Чтобы понять смысл и значение вышесказанного, приведем кратко некоторые сведения из истории формирования векторного исчисления.
Можно смело сказать, что история этого раздела математики в основном связана с физикой, а именно с проблемами механики и электродинамики. В частности, голландец С. Стевин в XVI в., занимаясь проблемой равновесия тела на наклонной плоскости, сформулировал теорему о треугольнике сил и предложил способ изображения сил с помощью линий [7, 8]. И. Ньютон в своих «Математических началах натуральной философии» рассматривает правило параллелограмма сил и скоростей как следствие сформулированных им законов механики [9]. Однако возможность последовательной алгебраической формулировки теории векторов возникла только с созданием алгебры кватернионов. Историю развития интересующего нас направления -векторного исчисления - в определенном смысле
можно считать завершенной только сравнительно недавно, в первой половине ХХ в., а именно в 1918 г. - с созданием Г. Вейлем аксиоматики аффинного и евклидова точечного пространства. Авторское изложение аксиоматики приведено в монографии [10].
В двух предыдущих разделах статьи говорится не о координатном пространстве материальных частиц - множестве радиус-векторов, для которых координаты частиц являются компонентами. Речь идет о пространстве скоростей частиц. В случае классической механики Ньютона пространство скоростей, как и пространство координатное, является пространством Евклида, это означает, что имеет место закон сложения векторов
и = У + Ъ, (5)
смысл букв в котором тот же, что и в формуле (3). Возводя в квадрат выражение (5), то есть умножив скалярно на себя и извлекая корень квадратный из его левой и правой частей для определения модуля и, мы получим формулу для теоремы косинусов евклидова пространства скоростей дорелятивист-ской, классической физики
и ■■
■ л!У2 +-ж2 + 2У\усо
(6)
где а - по-прежнему угол между векторами V и ду. Легко видеть, что формула (6) получается из формулы (3), когда V и ц> по модулю много меньше скорости света с, то есть когда последними слагаемыми в числителе и знаменателе формулы (3) можно пренебречь. Такое приближение с точки зрения физики называется нерелятивистским (приближением механики Ньютона), а с точки зрения геометрии пространства скоростей - плоским (евклидовым) пределом. Последнее означает, что в малой окрестности точки на сфере или в пространстве Лобачевского реализуется евклидова геометрия - геометрия плоского пространства. Формулы (5), (6) называют правилом параллелограмма или правилом треугольника.
После создания своей геометрии Лобачевский в заключении к [11] писал: «Оставалось бы исследовать, какого рода перемена произойдет от введения воображаемой Геометрии в Механику и не встретится ли здесь принятых уже и несостоятельных понятий о природе вещей, но которые принудят нас ограничить или совсем не допускать зависимость линий от углов. Однако ж можно предвидеть, что перемены в механике при новых началах геометрии будут такого ж рода, какие показал Г. Лаплас (Me'canique се'1е81е. I ЫуЛ Ch.II), предполагая всякую зависимость скорости от силы, или - выразимся вернее - предполагая силы, измеряемые всегда скоростью, подчиненными другому
закону, нежели принятому сложению их». Гениальное предвидение теории типа специальной теории относительности с законом сложения векторов скоростей, отличным от принятого в механике Ньютона.
Приведенные слова великого геометра служили побудительным мотивом для многих ученых к их попыткам построения механики в пространстве Лобачевского [12]. Тематика векторного исчисления в работах русского ученого А.П. Ко-тельникова возникла со времени подготовки и защиты им магистерской диссертации на тему «Винтовое счисление и некоторые его применения в геометрии и механике». Алгебраической основой исследований послужило кватернион-ное исчисление. В. Гамильтон был одним из открывателей кватернионов и, в отличие от других авторов (К. Гаусса, Б. Родрига), активно развивал кватернионное исчисление и искал области его приложений. Он ввел в математику также кватернионы над комплексными числами, назвав их бикватернионами.
В.К. Клиффорд вслед за Гамильтоном обобщил понятие чисел и ввел такие алгебраические объекты, как бикватернионы, определенные над двойными и дуальными числами (эллиптические и параболические комплексные числа соответственно по терминологии Клиффорда) и показал связь эллиптических бикватернионов с римано-вой геометрией, а параболических - с геометрией Евклида. Считается, что знаменитой работой Клиффорда 1873 г. «Предварительный очерк би-кватернионов» положено начало изучению механики в пространстве Римана. Спустя 10 лет подход Клиффорда был перенесен Г. Коксом на пространство Лобачевского с помощью бикватерни-онов, определенных над комплексными числами, которые по терминологии Клиффорда назывались гиперболическими. Алгебраическая сущность векторов содержится в кватернионном исчислении. Недаром Гамильтон представлял кватернион как линейную комбинацию трехмерного вектора и скаляра. При этом вектор у него представлял то, что сегодня мы и понимаем под векторами трехмерного евклидова пространства. Поскольку для кватернионов определена операция деления и в результате нее получался кватернион общего вида (вектор + скаляр), даже при делении трехмерных векторов как части кватернионов, такие конструкции были названы винтами, так как через них выражались повороты от одного из векторов к другому. В построении алгебраических объектов такого типа состояла основная идея построения исчисления, которое для трехмерного пространства обеспечивало бы то, что обеспечивают комплексные числа
на плоскости (двумерном евклидовом пространстве) при их геометрической интерпретации. То есть введенные алгебраические объекты кватернионы могли выступать как преобразуемые величины и как величины, задающие преобразования. Однако теперь возникала проблема построения геометрической теории векторов пространств постоянной кривизны. Необходимо было определить геометрические образы векторов в такого рода пространствах и операции именно над данными геометрическими объектами подобно тому, как это следовало из механики Ньютона для трехмерного евклидова пространства. Этим и занялся Котельников, который построил свою теорию проективных векторов (опубликована в Казани в 1899 г.) и защитил ее в качестве докторской диссертации [13, 14].
Не вникая в детали работы, отметим, что введенный им закон сложения векторов, определенных как упорядоченные пары точек (направленные отрезки геодезических), давал для теоремы синусов выражение в случае двумерной сферы (простейшее пространство Римана) -
1ап
Я
tan
г,
Ьш-
____
бшА, вт 3,, зшЛ,
Я
(7)
в то время как теорема синусов, согласно той же теореме косинусов (1), для сферы должна иметь вид
■ г\ • 'г вш — вт
Я
г, . г3 вт— Я _ Я
вт $23 вт 5,3 вт 9п
(8)
Формула (7) справедлива для треугольника (параллелограмма), построенного в плоскости, касательной к сфере, в точке, являющейся общим началом векторов, отнесенных к ней вдоль прямых, на которых они лежат. С такой процедурой Котельников связал определение своего правила сложения векторов - правила четырехугольника. Однако почему он не воспользовался формулами, несколько столетий известными в сферической астрономии, остается загадкой.
Ф. Федоров и другие
Возможна векторная форма сложения векторов, соответствующих упорядоченным парам точек (направленным отрезкам геодезических) пространств постоянной кривизны. В трудах белорусских ученых она была реализована в последовательной теории векторов в пространствах постоянной кривизны, построенной на основе установленной связи векторной параметризации с преобразованями групп движений данных
пространств с бикватернионами. Итогом усилий, прилагаемых на протяжении десятилетий, явилась аксиоматическая схема построения проективных трехмерных пространств, в частном случае решающая проблему сложения векторов в пространствах постоянной кривизны [15, 16].
Основными математическими объектами аксиоматики явились трехмерные векторы, для которых определены векторное и скалярное произведения. Правда, векторы, описывающие геометрию эллиптического пространства (или сферы), определены над двойными числами, а векторы гиперболического пространства, расширенного пространства Лобачевского - над комплексными числами, как у Клиффорда и Кокса соответственно.
Аксиомы:
1. Трехмерные векторы над двойными числами д = а+1Ь, г2=1 ,{д2 =д2'),{д =а-Л) (9)
ставятся в соответствие упорядоченным парам точек (или прямым линям) в трехмерном эллиптическом пространстве.
2. Трехмерные векторы над комплексными числами
д=а+Л, г2 =-1, (д2 = д2'), {д =а-гЬ) (10)
ставятся в соответствие упорядоченным парам точек (или прямым линям) в трехмерном гиперболическом (или расширенном Лобачевского) пространстве. Символ * обозначает здесь сопряжение в системе двойных чисел в первом случае и комплексных - во втором. Допустимые области изменения компонентов векторов определяются выражениями: ■ для случая эллиптического пространства:
д2>0,
■ для случая расширенного пространства Лобачевского:
(11)
1. Г^о,
2. д2>0,д2 = 0,(а=Ь*0). (12)
Расстояние г между двумя точками на прямой, которым ставится в соответствие вектор д, в каждом из пространств определяется выражениями: для эллиптического пространства:
К
(13)
для расширенного пространства Лобачевского:
1. 7^taпh-,(-l<í2<0);7^/coth-,(g'2<-l); (14)
К
2.
К
3. г = 0,(д2=0,а = Ь* 0),
где Я - радиус кривизны пространства.
3. Векторы (прямые, соответствующие им) назовем пересекающимися, когда для них имеет место условие
(ад2)=(ад2). (15)
В качестве единой формулы, определяющей выражение для закона сложения пересекающихся векторов трехмерного эллиптического и расширенного пространства Лобачевского, взята формула, совпадающая по форме с законом композиции вектор-параметров академика Ф.И. Федорова (создателя белорусской научной школы теоретической физики) -
1-Ш) '
(16)
однако существенно отличающаяся по содержанию от последней. У Федорова формула имеет групповой смысл. Некоторые естественные ограничения на комплексные вектор-параметры преобразований группы Лоренца и на вектор-параметры преобразований других групп у Федорова не противоречат групповым свойствам формулы (16), в то время как условия (9), (10) и (15) нарушают их. Однако формула (16) с упомянутыми условиями отражает тот факт, что, вообще говоря, пространства постоянной кривизны являются не группами, а аналитическими лупами Му-фанг. Возводя в квадрат обе стороны формулы (16) и учитывая определения векторов в аксиомах и условие (15), можно получить теорему косинусов (1) для трехмерного пространства постоянной положительной кривизны в случае (13) и теорему косинусов расширенного пространства Лобачевского в случае (14), и в частном случае - формулу (2). Следует отметить, что теорема косинусов расширенного пространства Лобачевского может содержать косинусы мнимых углов, а также мнимые расстояния. В этом нет ничего удивительного. Скажем только, что развитый поход с физической точки зрения учитывает возможность гипотетических сверхсветовых объектов (тахионов), с геометрической - то, что существующие в реальном пространстве расходящиеся прямые можно рассматривать как прямые, пересекающиеся в идеальной точке (за абсолютом, за световым конусом).
Релятивистская кинематика
Как уже отмечалось, переход от нерелятивистской кинематики к релятивистской можно рассматривать как переход от евклидовой геометрии пространства нерелятивистских скоростей к геометрии трехмерного пространства Лобачевского релятивистских скоростей.
Формула (16) в этом случае есть формула сложения относительных скоростей. Непосредственно через стандартно определяемые скорости комплексные векторы типа (12) определяются согласно той же формуле сложения (16). Например, так:
Чп
М^оЛг)
(17)
где у=и/ , а и=Ш0+и - четырехмерная скорость.
/Щ
Аналогична связь трехмерной относительной скорости с четырехмерным импульсом. Четырехмерные скорости и четырехмерные импульсы представляются бикватернионами, что и обеспечивает связь трехмерного и четырехмерного способов описаний, не зависящих от выбора конкретных систем отсчета [17, 18]. В данной формуле принято, что скорость света c = 1.
В то время как д^ д2, дг соответствуют парам произвольных точек пространств постоянной кривизны, чисто мнимые векторы следует рассматривать как векторы, соответствующие парам точек, одна из которых соответствует покоящейся материальной точке (системе отсчета). Комплексность означает, что скорость определяется относительно системы отсчета, связанной не с покоящейся, а с движущейся точкой (частицей). Квадрат д (17) - величина вещественная и равная квадрату соответствующей относительной скорости с противоположным знаком.
Комплексность введенных относительных скоростей объясняет эффект прецессии Томаса:
qn=â+ib={ivn,-i%2)--
IV01 Х Vq2
i-CVoiVoz)
где очевидно v„, XV
а
_ "oi -
02
, b =
v„, -v„
i-iVoi^)' MVoiVOÎ)'
(18)
(19)
причем (аЬ) - 0. Данный вектор-параметр комплексный. Его можно представить в виде композиции
д={с,ш) = с +ш + г'(схи). (20)
Здесь учтено, что, как это следует из (18), (д2) = ((¡2), поэтому (си) = 0, где С-вектор, определяющий поворот вектора по направлению, совпадающему со скоростью, которая получается в результате нерелятивистского правила сложения. Действительно, сравнивая (18) с (20), получаем
- _ v01xv02 _ 1-2" г
с=а = —щ-—, и =--о,
WVoiVM) 1 + 2
(21)
где а - оператор векторного произведения.
Таким образом, как видно из (18)-(21), вектор а характеризует дополнительный поворот вектора Ь, совпадающего по направлению с вектором,
полученным сложением по нерелятивистским правилам, и вектором, полученным в результате сложения по правилам релятивистской кинематики. Именно наличие данного поворота и приводит к то-масовской прецессии.
В заключение отметим, что мы сознательно не касались здесь темы применения геометрии Лобачевского для решения задач кинематики процессов столкновений и распадов частиц в целом. В разработку данного подхода большую лепту внесли российские ученые Н.А. Черников и Я.А. Смородинский [19, 20]. Мы ограничились проблемой закона сложения произвольно направленных скоростей, в решении которой деятельность белорусских физиков имела, как нам кажется, определяющее значение. СИ
See: http://innosfera.by/2016/03/Lobachevskii_geometry
Литература
1. Эйнштейн А. К электродинамике движущихся тел // Собр. соч.- М., 1965. Т. 1. С. 7-35.
2. Зоммерфельд А. Строение атома и спектры. Т. 1.- М., 1956.
3. Беллони Л., Рейна Ч. Прецессия Томаса: подход Зоммерфельда // Эйнштейновский сборник 1984-1985.- М., 1988. С. 201-214.
4. Малыкин Г.Б. Прецессия Томаса: корректные и некорректные решения // УФН. 2006. Т. 176, №8. C. 865-882.
5. Barbasov B.M., Pestov A.B. Fermi-Walker transport and the Weyl connection // Teoret. Mat. Fiz. 1999. V. 119, №1. P. 136-141.
6. Зоммерфельд А. Электродинамика.- М., 1958.
7. Розенбергер Ф. История физики.- М.- Л., 1934. Т. 1.
8. Розенфельд Б.А. История неевклидовой геометрии.- М., 1976.
9. Ньютон И. Математические начала натуральной философии.- М., 1989.
10. Вейль Г. Пространство, время, материя.- М., 2004.
11. Лобачевский Н.И. О началах геометрии / Об основаниях геометрии. Сборник классических работ по геометрии Лобачевского и развитию ее идей.- М., 1956. С. 27-49.
12. Борисов А.В., Мамаев И.С. Классическая динамика в неевклидовых пространствах.-М.Ижевск, 2004.
13. Путята Т.В.,Лаптев Б.Л., Розенфельд Б.А., Фрадлин Б.Н. Александр Петрович Котельников.-М, 1968.
14. Теория векторов и комплексные числа (Начала механики в неевклидовом пространстве) / А.П. Котельников, В.А. Фок. Некоторое применение идей Лобачевского в механике и физике.- М.- Л., 1950. С. 7-47.
15. Курочкин Ю.А., Богуш А.А. Вектор-параметры Ф.И. Федорова и аксиоматическое описание геометрии пространств постоянной кривизны // Весф АНБ. Сер. фiз.-мат. навук. 1995, №4. С. 70-75.
16. Богуш А.А., Курочкин Ю.А. Кинематические модели трехмерных пространств постоянной кривизны / Гравитация и электромагнетизм.- Мн., 1998. С. 20-26.
17. Богуш А.А. Векторы пространства Лобачевского и релятивистская кинематика / А.А. Богуш, Ю.А. Курочкин, Ф.И. Федоров // ДАН СССР. 1977. Т. 236, №1. С. 58-60.
18. Березин А.В. Кватернионы в релятивистской физике / А.В. Березин, Ю.А. Курочкин, Е.А. Толкачев.-Мн., 1989.
19. Черников Н.А. Геометрия Лобачевского и релятивистская кинематика // ЭЧАЯ. 1973. Т. 4, вып. 3. С. 773-810.
20. Смородинский Я.А. Геометрия Лобачевского и кинематика Эйнштейна // Эйнштейновский сборник. 1971.- М, 1972. С. 272-301.
