CC BY
26
ПИФАГОРОВЫ ТРОЙКИ С ФИКСИРОВАННЫМ ЗНАЧЕНИЕМ ОДНОЙ ИЗ
КОМПОНЕНТ
Мияхель Самимуллах, преподаватель Университет Пактика (Афганистан, Пактика)
DOI: 10.24411/2500-1000-2021-1076
Аннотация. В статье представлен результат исследования Пифагоровых троек с фиксированным значением одной из компонент. Понятие пифагоровы тройки как тройки натуральные чисел (a, Ь, с) удовлетворяющихравенству а2 + Ь2 = с2, связано с геометрической теоремой Пифагора ддя прямоугольных треугольныков, где сторона длины с лежит напротив прямого угла. Во времена Пифагора (Швек до н. э.) пользовались только натуральными числами. Но это не очень ограничивало их применение. Действительно, египетский треугольник с соотношением сторон 3 :4 :5 активно применялся для построения прямых углов египетскими землемерами и архитекторами, например, при построении пирамид. В последнее время отвлекаются от геометрического содержания пифагоровых троек и их диоавантова уравнения. В исследовательской работе использованы зарубежные достоверные источники и материалы.
Ключевые слова: Пифагоровых тройки, квазипростейшие пифагоровы тройки, натуральные числа, таблица пифагоровых троек.
В этой научной статье рассматриваем различные варианты вывода формул для пифагоровых троек. В нашей исследовательской работе рассмотрен вопрос о числе пифагоровых троек с фиксированным значением одной из их компонент.
При этом мы ограничиваемся рассмотрением только пифагоровыми тройками, у которых Н ОД ( а, Ъ) = 1 или даже квазипростейшими пифагоровыми тройками, у которых Н ОД ( а, Ъ) Е { 1 ; 2 } .
Для проведения исследования составляем таблицу квазипростейших пифагоровых троек. При этом сначала доказываем одно вспомогательное утверждение для НОД двух чисел.
Сначала решаем задачу 1 о числе квазипростейших пифагоровых троек с фиксированным значением первой компонента а .Тогда мы получаем следующий результат о числе таких троек.
Предложение 1 для числа в 3 ( а) ква-зипростей пифагоровах троек при постоянном значением справедливо формула
Сквз(^) 2
Где
у — функция числа простых делителей.
В предложениях 2 и 3 установлены аналогичные результаты.
Таблица пифагоровых троек и лемма о НОД
Теперь мы будем изучать пифагоровы тройки, обладающие какими-либо дополнительными свойствами, и при этом возникают интересные задачи. Так как для обнаружения некоторых свойств пифагоровых троек полезно иметь их таблицу для нескольких значений с использованием формул (5) для пифагоровых троек. Мы строим таблицуквазипростейших пифагоровых троек для значений 10 и 1 < у < 9.
Таблица.
X У a b c
2 1 4 3 5
3 1 6 8 10
3 2 12 5 13
4 1 8 15 17
4 3 24 7 25
5 1 10 24 26
5 2 20 21 29
5 3 30 16 34
5 4 40 9 41
6 1 12 35 37
6 5 60 11 61
7 1 14 48 50
7 2 28 45 53
7 3 42 40 58
7 4 56 33 65
7 5 70 24 74
7 6 84 13 85
8 1 16 63 65
8 3 48 55 73
8 5 80 39 89
8 7 112 15 113
9 1 18 80 82
9 2 36 77 89
9 4 72 65 97
9 5 90 56 106
9 7 126 32 130
9 8 144 17 145
10 1 20 99 101
10 3 60 91 109
10 7 140 51 149
10 9 180 19 181
В этой таблице простейшими пифагоровыми тройками будут следующие;
(4,3,5), (12,5,13), (8,15,17), (24,7,25), (20,1,29), (40,9,41), (12,35,37),
(60,11,61), (28,45,53), (56,33,65), (84,13,85) и т. д.
Заметим, что класс квазипростейших пифагоровых троек шире класса простейших пифагоровых троек.
Перейдем теперь к изучению квазипростейших пифагоровых троек, один компонент которых будет фиксированным.
Но сначала докажем следующее вспомогательное предложение (см. )
Лемма. Справедливо соотношение для НОД
# £ N/(1/71, НОД = 5} =
, п %
Где у-функция числа простых делителей, # -знак мощности множества.
_ ц
Доказательство. Пусть - , т.е. d делит п. Из условия H ОД ^ d, ^ ^ = S следует, что
tt [d G N/d/п.НОД = l} =
2 v(n)
Пусть п = р f 1 ,...,р f1 -каноническое разложение числа п . Из условия
H ОД ^ d ^ = 1 следует, что d должно иметь вид
= Рь.....К
Где Î ! ,. ..,ts G { 1,2,. ..,/},
Ясно, что тогда H ОД ( d ) = 1 .
Число способов выбора d, имеющего s простых делителей равно числу
сочетаний из по без повторений (при этом мы исходим из того, что есть подмножество множества { 1 ,. .., I} ), Но тогда число всех
способов выборов числа с условием Н ОД ( й,^ ) = 1 будет равно
# е мдг/п,нод (сг,^) = 1} =
Ей = 2г = 2*4
Где / = V (п) - число раличных простых делителей числа . Пользуясь этим, мы сможем теперь найти количество чисел
й с условием Н ОД ( й^ = 6.
Так как в этом случае Н ОД ) =
при этом некотором целом
то Н ОД ( ) = 1. Поэтому применяя
теперь предварительно рассмотренный случай (т. е. при ), будем иметь
# {сг е мдг/п,нод (сг,^) = 5} =
Лемма доказана.
Перейдем теперь к задачам, которые решаются в этом параграфе.
2. Пифагоровы тройки с фиксированным значением одной из компонент.
Задача 1. Найти всех квазипростейших пифагоровых троек с фиксирован-
ным значением первой компоненты .
Обозначим количество указанных троек через
Решение этой задачи содержится в следующем предложении.
Предложение 1. Число рк вз( а) квазипростейших пифагоровых троек с фиксированным значением определяется по формуле
Рквз( а) = 2 17 © - \ (1)
Где - функция числа простых делителей.
Доказательство. В силу формул (5) для квазипростейших пифагоровых троек имеем
а = 2 ху, х > у, Н ОД (х,у) = 1 . (2)
Ясно, что из (2) следует, что величина рк вз( а) определяется равенством
Рквз(а) =1#{хЕ П/х делит | ,НОД = 1}.
Где - знак мощности мложества. Но тогда по лемме получаем
^{хЕ М/хд е л и т | ,Н ОД (х,|^ ) = 1 } = 2 17 © . .
Следовательно,
Рквз(а) = гКг)-1.
Предложение 1 доказано.
Пример. Найдем квазипростейшие пифагоровы тройки ( а, Ъ , с) для а =60. По предложению 1 их количество будет равно
Рквз(60) = гКт)"1 = 2*<3°Ь1 = 23"1 = 24 = 4.
Это будут пифагоровы тройки, получающиеся по следующей таблице для Значений
X У a b c
6 5 60 11 61
10 3 60 91 109
15 2 60 221 229
30 1 60 899 901
Следовательно, такими квазипростейшими пифагоровыми тройками будут (60, 11,61), (60, 91, 109), (60, 221, 229), (60, 899, 901).
Задача 2. Найти количество рквз( Ъ) квазипростейших пифагоровых троек ( а, Ъ, с) с фиксированным значением определяется по формуле
!2"(!)-1 при4/Ь,
1 при Ъ нечетном (3)
О, иначе
Доказательство. Из формул (5) § 1 квазипростейших пифагоровых троек следующеи условия
(4)
Так как (х — у) ( х + у) = Ъ т о о б о з н ач ая Н ОД (х — у, х + у) = 5, Будем иметь
х — у = 8 ■ б, х + у = <5 ■ t При некоторых целых и 5 ■ Тогда получаем 82 ■ б ■ t = Ь,
5 ■ I = Н0Д(5,0 = 1. (5)
Учитывая, что для квазипростейших пифагоровых троек 5 = 1 или 5 = 2 . То поименяя теперь лемму к равенствам (5), получим
Рквз(Ь) N/5 делит § ,НОД = 1}.
Если 4 / Ъ то, придавая 5 значение 5 = 2 , получим
рквз(Ь)=-2-2<^ = 2<^)-\
т.е. получена первая формула в общей формуле (3). Если же Ъ - нечетное, то тогда 5 = 1 и рквз(Ь) = 1-- 2"С» = 2*00-1.
2/Ъ, 4/Ь Рквз(Ь) = 0,
В случае но получаем, что, т.к. не существует таких квазипростейших пифагоровых троек.
Тем самым предложение 2 доказано.
Пример. Найдем квазипростейшие пифагоровы тройки для
Т.к. то по предложению 2 их количество будет равно
рквз(24) = гКт)"1 = = 22"1 = 2
Получим обе такие пифагоровы тройки. Имеем систему линейных уравнений
1Х-У = 25 00 (х + у = 2*;' ^ )
При этом тогда получаем следующие возможные значения
51 = 1, = 6; 52 = 2^2 = 3. Представляя эти значения в , будем иметь
|х-у = 2 _ |х-у = 4
1} (х + у = 1 2 и 2Мх + у = 6 x-l —— У Х2 = 5 У1 = 5 у2 = 1
Тогда находим а 1 = 7 0, а2 = 1 0 . Находим также значения компоненты с. Имеем сх = х1 + у1 = 49 + 25 = 74; с2 = х\ + у| = 25 + 1 = 26. Таким образом, нами найдены квазипростейшие пифагоровы тройки (70, 24, 74), (10, 24, 26), удовлетворяющие поставленному условию, что
х - у =
х + у = И' 1 )
Наконец, рассмотрим также случай квазипростейших пифагоровых троек (^ Ь, о) при фиксированном значении .
Предложение 3. Количество рк в 3 ( с) квазипростейших пифагоровых троек (я, Ь, О при фиксированном значении определяется по формуле
Рквз( с) = 2 ^(с) - 1, (6)
Где V с) - число простых делителей вида 4 k + 1 числа с.
Доказательство. Рассматриваемый случай в силу формул (5) § г к нахождению числа представлений числа с суммой двух взаимно простых квадратов, т.е. имеем уравнение
х2+у2 = с (7)
В целых числах, где Н ОД (х,у) = 1.
Обозначим через р ( с) - число решений уравнения (7) в целых числах х, у с условием НОД(х, у) = 1, т.е. мы имеем собственные представления числа
с бинарной квадратичной формой х2 + у2 (по поводу этих врпросов см. [5]). Тогда ко-
1
личество таких пифагоровы троек равно -р( с) - т.к. для пифагоровых троек х > у > 0 . Ясно, что, есле мы рассмотриваем собственные представления числа с квадратичной формой х2 + у2 то с не кратно 4. Мы можем ещё считать, что число с не кратно 2, т.к. р ( 2 с) = р ( с) . Итак, мы можем ограничиться случаем, когда с - нечетное число поскольку будет выполняться равенство
Тогда для существования собственных представлений числа сформой х2 + у2 необходимо, чтобы каждый простой делитель числа с имеем вид 4 k + 1 ( см. [5]) и в этом случае существуют собственных
представлений числа (здесь мы воспользовались известнеым результатом о числе решений двучленного квадратного сравнения z2 = — 1 (m о d с) , см. например [5, 6]. Таким образом, откуда получаем
рквз( с) = 2 ^(с) - !.
Библиографический список
1. Боро В. и др. Живые числа. М.: Мир, 1985.
2. Эдвардс Г. Последняя теорема Фирма. - М.: Мир, 1980.
3. Радсмахер Г., Теплиц О.Числа и фигуры. - М.: Изд-во физико-матем. литературы, 1962.
4. Берман Г. Н. Число и наука о нем. - М.: 1960.
5. Венков Б.А. Элементарная теория чисел. - М.-Л.: ОНТИ, 1937.
6. Пачев У.М. Избранные главы теорий чисел. - Нальчик, 2016.
7. Острек В.В., Цфасман М.А. Алгебрайчиская геометрия и теория чисел. МЦНМО. 2005.
8. Levi B. On a Diophantine problem. Math. Note 5(1947), 108-119.
9. Lambek J., Moser L. On the distribution of Pythagorean triangles, Pacific J. Math, 5(1955), 73-83.
10. Wild R.E. On the number of Pythagorean triangles with area less than n. Pacific J. Math. 5(1955), 85-91.
PYTHAGOR TRIKES WITH A FIXED VALUE OF ONE OF THE COMPONENTS
Miyahel Saniiniullah, Lecturer Paktika University (Afghanistan, Paktika)
Abstract. The article presents the result of the study of Pythagorean triplets with a fixed value of one of the components. The concept of Pythagorean triplets as triples of natural numbers (a, b, c) satisfying the equality a A 2 + b A 2 = c A 2 is related to the geometric Pythagorean theorem for right-angled triangles, where the side of length c lies opposite the right angle. In the time of Pythagoras (Wcentury BC), only natural numbers were used. But this did not really limit their use. Indeed, the Egyptian triangle with an aspect ratio of 3: 4: 5 was actively used to build right angles by Egyptian surveyors and architects, for example, when building pyramids. Recently, they have been distracted from the geometric content of the Pythagorean triplets and their Dioavant equations. In the research work, reliable foreign sources and materials were used.
Keywords: Pythagorean triplets, quasi-simplest Pythagorean triplets, natural numbers, table of Pythagorean triplets.
