О двух элементарных теоретико-числовых задачах Текст научной статьи по специальности «Математика»

О ДВУХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫХ ЗАДАЧАХ Рубинштейн А.И.1, Городецкая Т.А.2, Серебренников П.С.3, Шипов Н.В.4, Шмаков А.В.5 Email: [email protected]

'Рубинштейн Александр Иосифович — доктор физико-математических наук, профессор; 2Городецкая Татьяна Александровна — старший преподаватель; 3Серебренников Павел Семенович — кандидат физико-математических наук, доцент; 4Шипов Николай Викторович — кандидат физико-математических наук, доцент; 5Шмаков Андрей Вячеславович — кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра высшей математики, Мытищинский филиал Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, г. Мытищи

Аннотация: рассматриваются две элементарные теоретико-числовые задачи: 1) найти разложение в непрерывную дробь квадратного корня из любого натурального числа, 2) найти все коэффициенты приведенного кубического уравнения, при которых для нахождения одного из его корней используются только операции сложения, вычитания, умножения и извлечения кубического корня. Как известно, любое рациональное число представляется конечной непрерывной дробью, а любое иррациональное - бесконечной непрерывной дробью. Оказывается, что непрерывная дробь наилучшим образом приближает число с помощью рациональных чисел.

Ключевые слова: непрерывная дробь, диофантово уравнение, кубическое уравнение, пифагорова тройка.

TWO ELEMENTARY NUMBER-THEORETIC PROBLEMS Rubinshtein A.I.1, Gorodetskaya N.A.2, Serebrennikov P.S.3, Shipov N.V.4,

Shmakov A.V.5

'Rubinshtein Aleksandr Iosifovich — DSc in physics and mathematics, Professor; 2Gorodetskaya Tat'jana Aleksandrovna — senior teacher; 3Serebrennikov Pavel Semenovich — PhD in physics and mathematics, Associate Professor;

"'Shipov Nikolaj Viktorovich- PhD in physics and mathematics, Associate Professor; 5Shmakov Andrej Vyacheslavovich - PhD in physics and mathematics, Associate Professor, HIGH MATHEMATICS DEPARTMENT, MYTISHCHI BRANCH OF N.E.BAUMAN MOSCOW STATE TECHNICAL UNIVERSITY, MYTISHCHI

Abstract: we consider two elementary number-theoretic problems: 1) find the decomposition in continued fraction of the square root of any natural number, 2) find all the coefficients of the given cubic equation, in order to find one of the roots, the only operations used are addition, subtraction, multiplication and evolution of cube root. As one knows, any rational number is represented by finite continued fraction, and every irrational - by infinite continued fraction. It turns out that the continued fraction best approximates the number using rational numbers.

Keywords: continued fraction, Diophantine equation, cubic equation, Pythagorean triplets.

УДК 511.4

С четвертого века до нашей эры известен алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя двух натуральных чисел т и п, который в случае т > п представляет цепочку равенств

m = q1-n + r1, где 0 < Г < П ; n = q2■ r1 + r2, где 0 < Г2 < Г, ■ ■ Г_2 = qs ■ rs_\ + 0, то

есть rs = 0

Эту цепочку можно записать в виде

т = д1 + -

д2 + -

д3 +

+ -

Ч- + -

1

1

Это представление т = [ч, Ч2,..., ] называется конечной непрерывной (или

цепной) дробью. Очевидно, что в виде непрерывной дроби, где «неполные частные» q¡ уже не обязательно натуральные, а любые действительные числа, можно представлять уже произвольные числа.

Вообще непрерывная числовая дробь может быть бесконечной

1

ах +--- (1)

а2 +-

1

аз +

и обычно считают а2, а3, ... положительными числами, а а1 - любым числом (см. [1]). О свойствах непрерывных дробей можно узнать из многих популярных издании: [1] - [2].

Любое рациональное число представляется конечной непрерывной дробью, а любое иррациональное - бесконечной непрерывной дробью.

Оказывается (см. [2], стр. 32), что непрерывная дробь наилучшим образом приближает число с помощью рациональных чисел. Оказывается (см. [1], стр. 64), что условие

< С при всех к =1, 2, ...

равносильно тому, что х = [а, а2, а3 ... ] есть корень квадратного уравнения с целыми (равносильно, рациональными) коэффициентами.

Найдем разложение в непрерывную дробь -\/Т, Т Ф П2. Очевидно, что следует искать

разложение Имеем

у1п2 + к , где 0 < к < 2п + 1.

л/и2 + к = п + (л/и2 + к -п) = п +

к к 1

- = п +--, -= п +-

•\1п2 + к + п 2п + (л/ и2 + к - п) 2п л/и2 + к -п

к к

1 1

2п 1 2п 1 2п

— + ! - — +-1 - —+ 1

к л/и2 + к + п к 2п + (л/и2 + к - п) к ~ к

2п +

■\1и2 + к + п

(2)

= п + —-:-= п +—-

2п 1 2п

-+-,- -+-

к , к к , , 2п +--, --2п + -

2п + (л/и2 + к - п) 2п

+

к 2п + (л/и 2 + к - п) Отсюда

Г~2 7 г 2п „ 2п „ д/и2 + к = [п, —, 2п, —, 2п ,... ] . (3) к к

1

1

1

1

1

Значит для л/п2 + к числа 0 < a ^ 2n (при 0 < к < 2n + 1). В частности

yjn2 + п = [n, 2, 2n, 2, 2n ,... ] (4)

Как хорошо известно, общее уравнение третьей степени легко сводится к виду

x + px + q = 0, (5)

а решением этого уравнения является (при f q J + f P J > 0 ) число

X =

= 3

- q+

2 V

f \2 2

+

3

f Р V3

-3

2 H

А Л^ А Л3

v 2 H"

Р v 3

(6)

ч Р

Если потребовать, чтобы — и — были целыми, то условие

2 3

число, приводит к диофантову уравнению

2 3 2

Г2 + 5 = п . (7) Решение этого уравнения легко находится из тождества

(и(и2 + 3У2 ))2 + (V2 - и2 )3 = (у(3ы2 + V2 ))3 (8)

(см. например [5]).

Напомним, что все пифагоровы тройки находятся из тождества

С 2 2л3 ' °

2

f л 2 ql +

f \3

ГР ]

— I - целое

3 )

(uv)2 +

u - v u + v

2 2

(9)

2 3 2

Но к решению уравнения Г + 5 = п можно подойти и иначе, не используя тождество

Серпинского. Очевидно, что при всех s = 2,3, ...

r =

s(s - 1) 2 :

s = s, n =

s(s + 1) 2

(10)

- его решение. Пусть 3 3 3 3

s = P\, Р2 , ....... , Pv,

Если

,3

1 < Pi < Р2 <.......pv - простые числа.

s3 = а1 -а2 ; а2-а1 = 2£ (11)

'2 ' 2

3 3

(при нечетных s используем и представление s = 1 • s ) легко убеждаемся, что

Г°2

2

+ s =

f&2 + &1 2

(12)

то есть все решения исследуемого диофантова уравнения получаем из соотношений

3 а2 -а, лт а2 + лт

s = а1-а2 - —1G N, —1 е N (см. [6]). (13)

Список литературы / References

1. Хинчин А.Я. Цепные дроби // ГИТТЛ. М.-Л., 1949.

2. Гельфонд А.О. Решение уравнений в целых числах // Популярные лекции по математике. Вып. 8. ГИТТЛ. М., 1956.

2

V

2

2

3. Курант Р. Роббинс, Что такое математика? // МЦНМО, 2001.

4. Рубинштейн А.И. Связующая нить. Неизвестная математика // Дрофа. М., 2009.

5. Серпинский В. О решении уравнений в целых числах // Физматлит. М., 1961.

6. Рубинштейн А.И. О кубических уравнениях // Квант. № 2, 1998. 38-40.

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ИСТОЧНИКА В ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКОМ УРАВНЕНИИ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ

ПЕРЕОПРЕДЕЛЕНИЕМ Аблабеков Б.С.1, Байсеркеева А.Б.2 Email: [email protected]

'Аблабеков Бактыбай Сапарбекович - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра прикладной математики, информатики и компьютерных технологий, Кыргызский национальный университет им. Ж.Баласагына, г. Бишкек; 2Байсеркеева Айнура Бектургановна - преподаватель, кафедра теоретической и прикладной математики, Иссык-Кульский государственный университет им. К. Тыныстанова, г. Каракол, Кыргызская республика

Аннотация: изучается обратная задача определения источника, зависящего от времени, для многомерного псевдопараболического уравнения. Дополнительная информация задаётся в виде интегрального переопределения с некоторой заданной весовой функцией. При решении исходной задачи осуществляется переход от обратной задачи к некоторой вспомогательной прямой задаче. Получено достаточное условие однозначной разрешимости рассматриваемой задачи. При доказательстве разрешимости задачи используется метод интегральных уравнений. Существование и единственность интегрального уравнения доказаны с помощью принципа сжатых отображений.

Ключевые слова: обратная задача, псевдопараболические уравнения, интегральное переопределение.

INVERSE PROBLEM OF DETERMINING THE SOURCE FUNCTION IN PSEUDOPARABOLIC EQUATIONS WITH INTEGRAL OVER DETERMINATION Ablabekov B.S.1, Baiserkeeva A.B.2

'Ablabekov Baktybai Saparbekovich - Doctor of physico-mathematical sciences, Professor, DEPARTMENT OF APPLIED MATHEMATICS, INFORMATICS AND COMPUTER TECHNOLOGIES, KYRGYZNATIONAL UNIVERSITY OF JUSUP BALASAGYN, BISHKEK; 2Baiserkeeva Ainura Bekturganovna - Lecturer, DEPARTMENT OF THEORETICAL AND APPLIED MATHEMATICS, ISSYK-KUL STATE UNIVERSITY OFKASIM TYNYSTANOV, KARAKOL, REPUBLIC OF KYRGYZSTAN

Abstract: studied the inverse problem of determining a source, depending on the time for the multidimensional pseudoparabolic equation. Additional information is given in form of an integral redefinition with a given weight function. To study solvability of the inverse problem, we realize a conversion from inverse problem to a some direct problem. We establish conditions for the existence and uniqueness of the classical solution of the problem considered. To prove solvability of the problem, we use the method of integral equations.

The existence and uniqueness of the integral equation are proved by means of the contraction mappings principle.

Keywords: inverse problem, pseudo-parabolic equations, integral redefinition.

УДК 517.946

Введение. Постановка задачи.

Под обратными задачами для дифференциальных уравнений будем понимать задачи определения коэффициентов, правой части, начальных или граничных условий по некоторой дополнительной информации о решении прямой задачи. Наиболее полное современное состояние теории обратных для дифференциальных уравнений с обширной библиографией