CC BY
44
Литература
1. Выписка из свободной энциклопедии «Википедия» от 05.10.2016.
2. Справочник по элементарной математике. Москва, 1972. С. 284.
Таблица Пифагоровых троек чисел 1 2 Куспаев Н. Д. , Картбаев Е. Б.
1Куспаев Нургалий Джумагалиевич /Kuspaev Nurgaliy Djumagalievich - инженер-строитель;
2Картбаев Еркин Бекмурзаевич /Kartbaev Erkin Bekmurzaevich - офис-мененджер,
Республиканское государственное предприятие Актюбинский региональный государственный университет имени К. Жубанова, г. Актобе, Республика Казахстан
Аннотация: ещё из древнейших времен египтянам была известна замечательная тройка чисел, которая до настоящего времени используется в архитектуре, эта тройка - 3, 4 и 5. Эта тройка чисел замечательна тем, что эта цепочка чисел является длинами сторон прямоугольного треугольника и подчиняется теореме Пифагора, выраженной формулой: a2+b2=c2 (1). В свободной энциклопедии «Википедия» приводятся подобные виды таблиц, например, для наименьших катетов со значениями до 1000 единиц, но в этих таблицах пропускаются несколько промежуточных значений [1] поэтому они не могут иметь значений при их широком применении. Имеются целые числа, удовлетворяющие формуле Герона, когда все стороны и высота, опущенная на основание, имеют целочисленные значения. Приводятся несколько числовых групп треугольников Герона [2, с. 92], но как обобщенных таблиц в справочниках не приводится. При разбивочных работах по закреплению главных осей с большими геометрическими размерами иногда требуются целочисленные тройки чисел, подчиняющиеся формуле Пифагора так, как геодезическая стометровая стальная лента имеет деления равные 0,1 метрам. Ключевые слова: квадратный корень, сумма квадратов, взаимно простые тройки чисел, Пифагоровы числа, прямоугольные треугольники, натуральные числа.
Определение - 1. Взаимно простыми тройками чисел называются три числа из натурального ряда, не имеющие общего множителя.
Определение - 2. Пифагоровыми тройками чисел называются числа, равные длинам сторон прямоугольного треугольника и удовлетворяющие великую формулу Пифагора.
В справочниках приводятся формулы для нахождения Пифагоровых троек чисел, например одна из таких формул выражена в виде:
(ш - п)2 + 4шп = (ш + п)2 (1)
Для удобства вычислений эту формулу преобразуем следующим образом:
(1-т/п)2 + 4т/п= а + т/п)2 (2)
Теперь методом подбора чисел т и п заполним основную таблицу Пифагоровых троек чисел.
Таблица 1. Пифагоровы тройки взаимно простых чисел (а < Ь < с)
а Ь с с2 а Ь с с2
3 4 5 25
5 12 13 169 101 5100 5101 1 04х 2602,0201
7 24 25 625 103 5304 5305 1 04х 2814,3025
8 15 17 289 104 153 2703 185 2705 34225 1 04х 731,7025
9 12 40 15 41 225 841 105 208 5512 233 5513 54289 1 0 4х 3039,3 169
11 60 61 3721 107 5724 5725 1 04х 3277,5625
12 35 37 1369 108 725 2915 733 2917 1 0 4х 53,7289 1 04х 850,8889
13 84 85 7225 109 5940 5941 1 04х 3529,5481
15 112 113 12769 111 6160 6161 1 04х 3795,7921
16 63 65 4225 112 441 3135 455 3137 1 0 4х 20,7025 1 0 4х 984,0769
17 144 145 21025 113 6384 6385 1 04х 4076,8225
19 180 181 32761 115 13224 13226 1 04х 17492,7076
20 21 99 29 101 841 10201 116 837 3363 845 3365 1 04 х 71,4025 1 04х 1132,3225
21 220 221 48841 117 6844 6845 1 04х 4685,4025
23 264 265 70225 119 120 7080 169 7081 28561 1 04х 5014,0561
24 143 145 21025 120 209 391 3599 241 409 3601 58081 104х 16,7281 1 04х 1296,7201
25 312 313 97969 121 7320 7321 1 0 4х 53 59,704 1
27 36 364 45 365 2025 104х 13,3 2 25 123 7564 7565 1 0 4х 5722,9225
28 45 195 53 197 2809 38809 124 957 3843 965 3845 104х 93,1225 1 04х 1478,4025
29 420 421 1 0 4х 17,7241 125 7812 7813 1 04х 6104,2959
31 480 481 1 0 4х 23, 136 1 127 8054 8065 1 04х 6504,4225
32 255 257 66049 128 4095 4097 1 04х 1678,5409
33 56 544 65 545 4225 1 0 4х 29,70 25 129 8320 8321 1 04х 6923,9041
35 84 612 91 613 8281 1 0 4х 37,5769 131 8580 8581 1 04х 7363,3561
36 77 105 323 85 111 325 7225 12321 1 0 4х 10,56 25 132 475 1085 4355 493 1093 4357 1 0 4х 24,3049 1 0 4х 1 19,4649 1 0 4х 1898,3449
37 684 685 1 0 4х 46,92 25 133 156 8844 205 8845 42025 1 0 4х 7823,4025
39 80 760 89 761 7921 1 0 4х 5 7, 9 1 2 1 135 9112 9113 1 04х 8304,6769
40 399 401 104х 16,0801 136 273 4623 305 4625 93025 1 0 4х 2139,0625
41 840 841 1 0 4х 70,72 81 137 9384 9385 1 04х 8807,8225
43 924 925 1 0 4х 85,56 25 139 9660 9661 1 04х 9333,4921
44 117 125 15625 140 171 221 48841
483 485 io4x г з, s г г s 693 1221 4899 707 1229 4901 1 o4 х 49,9849 1 0 4х 1 s 1,044 1 1 0 4х 2401,9801
45 108 1012 117 1013 13689 i o4x io г, б i бg 141 9940 9941 1 0 4х 9882,3481
47 1104 1105 i o4x i г г, io г s 143 10224 10225 1 0 4х 10455,0625
48 55 575 73 577 5329 i o 4х з з , г g г g 144 5183 5185 i o 4х г б s s,4 г г s
49 168 1200 185 1201 34225 l 04х l44, г4 0 l 145 567 10512 585 10513 i 04х з 4, г г г s 1 0 4х 11052,3169
51 140 1300 149 1301 19881 i o4x í6 g, г б o i 147 196 21608 245 10805 60025 1 0 4х 11674,8025
52 165 675 173 677 29929 i o 4х 4 s , s з г g 148 1365 5475 1373 5477 104х 188,5129 1 0 4х 2999,7529
53 1404 1405 i o4x ig 7,40 г s 149 11100 11101 1 0 4х 49292,8804
55 1512 1513 i o4x г s g, g i б g 151 11400 11401 1 0 4х 12998,2801
56 783 785 i o 4х б i, б г г s 152 345 5775 377 5777 i o4x i 4, г i г g 1 04х 3337,3729
57 176 1624 185 1625 34225 i 04х г б4, 0б г s 153 11704 11705 1 0 4х 13698,3616
59 1740 1741 l 04х з o з, i o s l 155 12012 12013 1 04 х 14431,2169
60 91 221 899 109 229 901 11881 52441 l 0 4х s l, i s 0 l 156 667 1517 6083 685 1525 6085 1 0 4х 46,9225 1 04х 232,5625 1 04х 3702,7225
61 1860 1861 i o4x з4 б, з з г i 157 24648 24650 1 0 4х 69960,2500
63 280 1984 287 1985 82369 i 04х з g4, o г г s 159 25280 25282 1 04 х 63917,9524
64 1023 1025 i o 4х i o s, o б г s 160 231 6399 281 6401 78961 1 04х 4097,2801
65 72 2112 97 2113 9409 l 04х 44 б, 4 7 б g 161 25920 25922 1 0 4х 67195,0084
67 2244 2245 i o4x s o 4, o o г s 163 26568 26570 1 0 4х 70596,4900
68 285 1155 293 1157 85849 i 04х 1з з, sб4g 164 1677 6723 1685 6725 1 0 4х 283,9225 1 0 4х 4522,5625
69 260 2380 269 2381 72361 i o4x s б б, g i б i 165 27224 27226 1 0 4х 74125,5076
71 2520 2521 1 04х б з s, s 4 4 1 167 27888 27890 1 0 4х 77785,2100
72 135 1295 153 1297 23409 1 0 4х 1 б7,4436 168 775 1001 7055 793 1015 7057 1 0 4х 62,8849 1 04х 103,0225 1 04х 4980,1249
73 2664 2665 i 04х 7 i o, г г г s 169 28560 28562 1 0 4х 81578,7844
75 308 2812 317 2813 104х 10,0489 i 04х 7 g i, г g б g 171 29240 29242 1 0 4х 85509,4564
76 76 357 1443 365 1445 io4x 1з, з г г s i o4x г o s, so г s 172 1845 7395 1853 7397 1 0 4х 343,3609 1 04х 5471,5609
77 420 2964 427 2965 io4x is, г з г g i o4x s7 g, i г г s 173 29928 29930 1 04 х 52578,4900
79 3120 3121 1 04х g 7 4, 0 б 4 1 175 30624 30626 1 0 4х 93795,1876
80 1599 1601 i 04х г s б, з г o i 176 7743 7745 1 04х 5998,5025
81 3280 3281 1 04х 1 0 7 б, 4 g б 1 177 31328 31330 104х 98156,8900
83 3440 3441 1 04х 1 1 s 4, 0 4 s 1 179 32040 32042 1 0 4х 102668,9764
84 187 205 42025 180 299 349 1 0 4х 12,1801
245 437 1763 259 445 1765 67081 1 0 4х 19,80 25 1 04х 3 1 1,5 2 25 899 2021 8099 901 2029 8101 104х 81,1801 1 04х 411,6841 1 04х 6262,6201
85 132 3612 157 3613 24649 1 04х 1305,3 769 181 32760 32762 1 04х 107334,8644
87 416 3784 425 3785 1 0 4х 18,06 25 1 04х 143 2,6 2 25 183 33488 33490 1 04х 112158,0100
88 105 1935 137 1937 18769 1 04х 375, 1969 184 8463 8465 1 04х 7165,6225
89 3990 3991 1 04х 159 2,8081 185 34224 34226 1 0 4х 117141,9076
91 588 4140 595 4141 1 0 4х 35,40 25 1 04х 1714,7881 187 34968 34970 1 04х 122190,0900
92 525 2115 533 2117 1 0 4х 28,4089 1 04х 448, 1689 188 2205 8835 2213 8837 1 04х 489,7369 1 0 4х 7809,2 569
93 476 4324 485 4325 104х 2 3, 5 2 2 5 1 04х 1870,5 625 189 35720 35722 1 04х 127606,1284
95 168 4512 193 4513 37249 1 04х 2 03 6,7 169 191 36480 36482 1 04х 133093,6324
96 247 2303 265 2305 70225 1 04 х 531,3025 192 1015 9215 1033 9217 1 04х 106,7089 1 0 4х 8495,3 089
97 4704 4705 1 04х 2 2 13,7025 193 37248 37250 1 04х 138756,2500
99 4900 4901 104х 2401,9801 195 38024 38026 104х 144597,6676
100 621 2499 629 2501 1 0 4х 39,5641 1 04 х 625,5001 196 1365 2397 9603 1379 2405 9605 1 04х 190,1641 1 0 4 х 578,4025 1 0 4 х 9225,6025
197 38808 38810 104 х 150621,6100
199 39600 39602 1 04 х 156831,8404
Примечания:
1. В данной таблице даны значения меньших катетов прямоугольного треугольника до 200 единиц;
2. По каким-либо причинам могут быть пропущены некоторые промежуточные значения.
Эти табличные значения, кроме применения в геодезии, имеют важные значения при построении квадратных корней от заданного числа, например, рассмотрим построение числа:
V76,409 1 = V 39,5 641 + 2 3,52 2 5 + 1 3,32 2 5 = V 6,2 9 2 + 4,8 5 2 + 3,6 5 2. Графическое построение приводит к построению прямоугольного треугольника, один из катетов которого, равен 6,29 единицам, а второй катет является гипотенузой другого прямоугольного треугольника с катетами 4,85 и 3,65 единиц.
Литература
1. Пифагоровы тройки чисел. Выписка из свободной энциклопедии «Википедия» от 26.10.2016.
2. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. Москва, 2006. С. 509.
