CC BY
5
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
7. Bortolloti E. Connessioni nelle varieta luogo di spazi // Rend. Semin. Fac. Sci. Univ. Cagliari, 1933. Vol. 3. P. 81 - 89.
8. Фисунов П.А. О нормальных связностях, индуцируемых на оснащенной гиперполосе / Чуваш. пед. ин-т. Чебоксары, 1998. Деп. в ВИНИТИ, № 3394-В98.
9. Он же. Центропроективные связности в нормальных расслоениях регулярной гиперполосы проективного пространства // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1999. Вып. 30. С. 89 - 94.
10. Максакова Т.Ю. Двойственный образ центрированной тангенциально вырожденной гиперполосы CHrm // Там же. С. 50 - 54.
11. Столяров А.В. Двойственные аффинные связности на регулярной гиперполосе // Изв. вузов. Мат. 1999. № 9. С. 55 - 63.
T. Maksakova
CONNECTIONS, ASSOCIATE WITH VACUOUS HYPERSTRIP OF THE PROJECTIVE SPACE
The dual affine connections are constructed and dual projective connections for the centered tangential vacuous hyperstrip in the projective space.
УДК 514.75
В.С. Малаховский
(Калининградский государственный университет)
О ДИСКРЕТНЫХ СЕМЕЙСТВАХ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ РАВНОБЕДРЕННЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Рассмотрены семейства равнобедренных треугольников с целочисленными основаниями, высотами, опущенными на основание, и боковыми сторонами. Доказано существование единственного целочисленного равнобедренного треугольника с высотой р, с основанием 2р (р > 2) и двух треугольников с боковой стороной р > 5, где р - простое число (р е Р). Определены четыре последовательности, порождаемые множеством простых чисел, и показано, что при р > 5 площадь любого целочисленного равнобедренного треугольника с боковой стороной р е Р кратна 60.
Найдены подмножества всех целочисленных равнобедренных треугольников с заданными основанием а, высотой h и боковой стороной с. Даны конкретные примеры таких подмножеств.
82
В. С. Малаховский
§1. Последовательности целочисленных равнобедренных треугольников, порождаемые множеством простых чисел
Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием а = BC, высотой h = AD и боковой стороной с = AB = AC. Назовем треугольник ABC целочисленным, если длины всех его сторон и длина высоты - натуральные числа: aeN, heN, ceN. Обозначим такой треугольник тройкой чисел (a, h, c). Очевидно, что при любом le N треугольник (Xa, Xh, Xc), подобный данному, будет также целочисленным. а2
Так как c2 - h1 =— e N, то основание а любого целочисленного
4
равнобедренного треугольника является четным числом, причем а > 6, h >3, c >5 (знаки равенства справедливы для минимального пифагорова треугольникаABD: (4, 3, 5) V(3, 4, 5).
Из диофантовых формул для несократимых пифагоровых треугольников
(2mn, m2-n2, m2+n2), m,n eN, m > n, НОД(m, n) = 1 (1.1)
(см. [1]) следует, что любой несократимый целочисленный равнобедренный треугольник определяется одной из двух троек натуральных чисел:
(4mn, m2-n2, m2+ n2); (1.2)
(2(m2-n2), 2mn, m2+ n2), (1.3)
где m > n, НОД^, n) = 1.
Пусть р > 2 - произвольное простое число. Из (1.2) следует, что существует единственный целочисленный равнобедренный треугольник с высотой h = p:
(p2-1, p, 1/2(p2+1)). (1.4)
Простое число р > 2 определяет также единственный целочисленный равнобедренный треугольник с основанием а = 2р:
1 2 1 2
(2р, - (p2-1), - (p2+1)). (1.5)
Возникают две бесконечные последовательности целочисленных равнобедренных треугольников соответственно с высотами h = p, основаниями а = 2p:
(8, 3, 5); (24, 5, 13); (48, 7, 25); (120, 11, 61); (168, 13, 85); (288, 17, 145), (1.6)
83
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
(6, 4, 5); (10, 12, 13); (14, 24, 25); (22, 60, 61); (26, 84, 85); (34, 144, 145), (1.7)
и соответственно равными боковыми сторонами.
Пусть р = 4к+1 (ке Ы) - произвольное простое число, сравнимое с единицей по модулю 4. По теореме Эйлера оно единственным образом разлагается на сумму квадратов двух натуральных чисел и, следовательно, по формуле (1.1) определяет единственный пифагоров треугольник АББ с гипотенузой р = АБ. Так как катеты ББ и АБ прямоугольного треугольника АББ можно менять местами, то простое число р = 4к+1 определяет два целочисленных равнобедренных треугольника с боковой стороной р:
(4тп, т2- п2, р); (1.8)
(2(т2- п2), 2тп, р), (1.9)
22
где р = т +п .
Формулы (1.8), (1.9) определяют две бесконечные последовательности целочисленных равнобедренных треугольников с боковой стороной р:
(8, 3, 5); (24, 5, 13); (16, 15, 17); (40, 21, 29); (24, 35, 37); (80, 9, 41), (1.10) (6, 4, 5); (10, 12, 13); (30, 8, 17); (42, 20, 29); (70, 12, 37); (18, 40, 41),... (1.11)
Так как при р>5 площадь прямоугольного треугольника с гипотенузой р кратна 30 [2, с. 55], то прир >5 площадь каждого целочисленного равнобедренного треугольника с боковой стороной р кратна 60.
§2. Подмножества целочисленных равнобедренных треугольников с заданной боковой стороной
Пусть с >4 - произвольное натуральное число, не являющееся степенью двух:
с = р^Р?..^ , (2.1)
где р, (/ = 1, г ) - попарно различные простые числа, а, е N.
Из выражений (1.2), (1.3) следует, что с может быть боковой стороной целочисленного равнобедренного треугольника тогда и только тогда, когда
с = Л(т2+п2), теЫ, пеЫ, т > п. (2.2)
84
В. С. Малаховский
Значит, если среди простых чисел р1 нет ни одного числа вида 4к+1 (кеЩ, то не существует целочисленных равнобедренных треугольников с боковой стороной С = АВ.
Пусть число с содержит д>1 попарно различных простых множителей вида 4к+1. Представим его в виде
с = 8Р1Р2...Р9. (2.3)
Известно [3, с.73], что множество всех пифагоровых треугольни-
ч
ков с гипотенузой (2.3) состоит из £ 2к"хСкц треугольников. Так как
к=1
катеты АБ и ББ пифагорова треугольника АББ можно менять местами, то множество всех целочисленных равнобедренных треугольников с заданной боковой стороной (2.3) состоит из
я
2 £2к4 Ск (2.4)
к=1
треугольников.
Пусть, например,
с = 308763 = 32-7-132-29. (2.5)
Имеем: с* = 13-29 = 377; 5 = 32-7-13 = 819. Находим четыре пифагоровых треугольника с гипотенузой с [3, с. 70]: (348, 145, 377); (260, 273, 377); (352, 135, 877); (152, 345, 377) (2.6)
Так как с = 819с , то умножая пифагоровы тройки (2.6) на 819 и используя формулы (1.2) и (1.3), находим восемь целочисленных равнобедренных треугольников с боковой стороной с = 308763:
(570 024, 118755, с); (425 880, 223 587, с); (576 576, 110 565, с); 248 976, 282 555, с); (237 510, 285 012, с); (447 174, 212 940, с); (2.7) (221 130, 288 288, с); (565 110, 124 488, с).
§3. Подмножества целочисленных равнобедренных треугольников с заданной высотой
Формулы (1.2), (1.3) определяют целочисленные равнобедренные треугольники соответственно с нечетными и четными высотами. Пусть
И = р^р?...ракк (3.1)
- произвольное нечетное число, большее 1. Обозначим
85
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
к* = р^-рк (3.2)
и представим число к в виде
к = Лк*, (3.3)
т.е. Л = р"1 ~кр"2 1 ...р"к 1. Для любого представления числа к* в виде произведения двух неравных множителей
к* = ю (г > 5) (3.4)
получаем единственный целочисленный равнобедренный треугольник с высотой к:
(Л(г2-52), к, Л (г2+в2)). (3.5)
Из обозначения (3.2) следует, что при к четном разложение числа к в произведение двух неравных множителей можно осуществить
, 1 к 4 - со + с- +...+С2 + - С2 (3.6)
способами, а при к нечетном -
rki
~ - с; + Cl +...+ Ck2 (3.7)
способами. Здесь символом [k ] обозначена целая часть числа k а
2 2 '
def
C¡ = 1.
В частности, при к = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 соответственно получаем числа tk: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64. Пусть, например,
h = 51975 = 33-52-7-11. (3.8)
Имеем h* = 3-5-7-11 = 1155; Л = 32-5 = 45. Находим
h*= 1155-1 = 385-3 = 231-5 = 165-7 = 105-11 = 77-15 = 55-21 = 35-33. (3.9)
По формуле (3.5) находим восемь целочисленных равнобедренных треугольников с высотой h = 51 975:
(60 031 080, h, 30 015 585); (6 669 720, h, 3 335 265); (2 400 120, h, 1 201 185); (1 222 920, h, 613 665); (3.10) (490 680, h, 250 785); (256 680, h, 138 465); (1 16 280, h, 77 985); (6 120, h, 52 065).
86
В.С. Малаховский
Рассмотрим теперь случай, когда к - произвольное четное число, отличное от степени 2:
~ = 2а° -ра -ра22 -...ра , (3.11)
где простые попарно различны и отличны от двух.
Из (1.3) следует, что в несократимом целочисленном равнобедренном треугольнике числа т и п должны быть различной четности. Следовательно, 2тп кратно четырем, т.е. Представим число И в виде
~ = ЛИ *, (3.12)
где
~=2а-2 ра1 -1раа-1.. .раа-1, к * = 4р1 Р2.. .рк. (3.13) Запишем число И = р1р2.ркв виде произведения (3.4) двух различных нечетных множителей. Полагая т = 2г, п = 5, получим целочисленные равнобедренные треугольники с четной высотой (3.11):
(2~ (4г2-52), к , ~ (4г2+ 52)), г> 5. (3.14)
При к четном это можно осуществить ?к способами, и при к нечетном - ~ способами (см.(3.6), (3.7)).
К этим случаям следует добавить те, для которых
25> г. (3.15)
Тогда т = 25, п = г и целочисленные равнобедренные треугольники с высотой к определяются тройками чисел:
(2~ (452-г2), к , ~ (45 + г2)). (3.16)
Рассмотрим, например, множество целочисленных равнобедренных треугольников с высотой
к = 7920 = 24-32-5-11. (3.17)
Здесь ~ = 12, И* = 3-5-11 = 165. Имеем И* = 165-1 = 33-5 = 15-11 = 55-3. Полагая т = 2-165 = 330, п = 1; т = 2-55 = 110, п = 3; т = 2-33 = 66, п = 5; т = 2-15 = 30, п = 11, находим четыре целочисленных равнобедренных треугольника с высотой к = 7920:
(2 613 576, к , 1 306 812); (290 184, к , 145 308); (3.18) (103 944, к , 52 572); (18 696, к , 12 252).
87
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Так как 2-11> 15, то существует еще один целочисленный равнобедренный треугольник с высотой к , определяемый формулой (3.16):
(6216, к , 8508). (3.19)
§4. Подмножества целочисленных равнобедренных треугольников с заданным основанием
Пусть
а = 2" • р"1 • р"2 ....р" , (4.1)
где рг >2 - попарно различные простые числа. Представим число а в виде
а = Л-2р1р2...рк. (4.2)
Разобьем произведение а = р1р2...рк всевозможными способами на два сомножителя: а = Тогда из формулы (1.3) следует, что целочисленный равнобедренный треугольник с основанием а определяется формулой
(а, Л (г2-52), Л (г2+52)), (4.3)
причем при к четном (нечетном) число всех таких треугольников - ^ (~) (см.(3.6), (3,7)). Если ао< 2, то других целочисленных равнобедренных треугольников с гипотенузой а нет. Если же ао> 2, то можно представить число а в виде
а = Л 4-2р1р2...рк (4.4)
и кроме треугольников вида (4.3), где Л = 4 Л , получить еще ?к (или Ц) треугольников:
(Л 4тп, Л (т2-п2), Л (т2+п2)), (4.5)
где т = 2г, п = р1р2.рк = а = гз, добавив к ним также треугольники вида (4.5), в которых т = 2з, п = г (если 2з> г). Пусть, например,
а = 11088 = 24 32 711. (4.6)
Имеем Л = 24, Л = 6, а = 3.7.11 = 231. Находим
88
В. С. Малаховский
а* = 231- 1 = 77-3 = 33-7 = 21-11, (4.7)
т. е. r = 231, 5 = 1; r = 77, 5 = 3; r = 33, 5 = 7; r = 21, 5 = 11.
Получаем по формуле (4.3) четыре целочисленных равнобедренных треугольника с основанием а = 11 088:
(а, 640 320, 640 344); (a, 71 040, 71 256); (4 8)
(a, 12 480, 13 656); (a, 3 840, 6 744). ( . )
Так как ао = 4 > 2, то получим по формуле (4.5) еще пять таких треугольников с основанием а, полагая
m = 462, n = 1; m = 154, n =3; m = 66, n =7; m = 42, n = 11; m =22, n =21: (4.9)
(a, 1 280 658,1 280 670); (a, 142 242, 142 350); (a, 25 842, 26 430); (a, 9 858, 11 310); (a, 258, 5 550). ( 10)
Список литературы
1. Оре О. Приглашение в теорию чисел. М., 1980. 128 с.
2. Малаховский В.С. О некоторых свойствах базовых последовательностей пифагоровых треугольников // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2002. Вып. 33. С. 54 - 56.
3. Он же. Диофантовы семейства пифагоровых треугольников // Там же, 2001. Вып. 32. С. 69 - 73.
V. Malakhovsky
ABOUT DISKRETE SETS OF INTEGER ISOSCELES TRIANGLES
The sets of isosceles triangles with the integer basis, altitudes omitted on the basis, and lateral parties are considered. The existence of an alone integer isosceles triangle with an altitude p, with the basis 2p (p > 2) and two triangles with the lateral party p > 5, where p - prime number (peP) is proved. Four sequences generated by set of simple numbers determined and is shown, that at p > 5 areas of any integer isosceles triangle with the lateral party peP is aliquot 60.
The subsets of all integer isosceles triangles with the given basis a, given altitude h and given lateral party c are found. The concrete examples of such subsets are given.
89
