CC BY
12
Dual normal connections on the centred tangential degenerate hyperstrip of the projective space are considered. It is shown, that four centerprojective connections and four centerprojective connection dual to above mentioned are induced on the generalized normalized hyperstrip in the generalized normals of the first kind bundle. Conditions of their coinsidence are cleared up.
УДК 514.75
В. С. Малаховский
(Калининградский государственный университет)
ДИОФАНТОВЫ СЕМЕЙСТВА ПИФАГОРОВЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Рассмотрены подмножества прямоугольных треугольников с целочисленными длинами сторон (пифагоровых треугольников), имеющих одинаковую гипотенузу. Такие подмножества называются диофантовыми, так как Диофант в 3-й книге «Арифметика» впервые нашел четыре пифагоровых треугольника с одинаковой гипотенузой ([1], c.112). Доказано, что диофантово семейство с гипотенузой mn=p1p2...pn, где р in
последовательные простые числа вида 4k+1 (keN), состоит из ^ 2h-1 ch пифагоровых
h=1
треугольников. Указан метод нахождения таких семейств, и дана компьютерная программа Н.В.Малаховского определения диофантовых семейств для произвольного neN. Решена задача определения диофантова семейства с заданной гипотенузой се^
§1. Базовая последовательность пифагоровых треугольников
Пифагоровы треугольники определяются диофантовыми формулами
(2mn, m2-n2, m2+n2), (1.1)
где m,neN, m>n. Л.Эйлер доказал ([2], c.46-47), что всякое простое число
р=4к+1, keN единственным образом разлагается на сумму квадратов двух
22
натуральных чисел: р= m +n . Следовательно, такое простое число определяет единственный пифагоров треугольник (1.1). Обозначим через р i -ie простое число 4k+1, т.е.
р 1 =5, р 2=13, р з=17, р 4=29, р5=37, рб =41, р 7 = 53, р 8=61, р9=73, р 10=89, р п=97, р 12=101, р 13=109, р 14=113, р15=137,... (12) Последовательность пифагоровых треугольников с гипотенузами pi (i=1,2,...) назовем базовой. Для 1< i <45 получаем:
(4,3,5), (12,5,13), (8,15,17), (20,21,29), (12,35,37), (40,9,41), (48,45,53), (60,11,61), (48,55,73), (80,39,89), (72,65,97), (20,99,101), (60, 91,109), (112,15,113), (88,105,137), (140,51,149), (132,85,157), (52,165,173),(180,19,181), (168,95,193), (28,195,197), (60,221,229), (208,105,233),(120,209,241), (32,255,257), (260,69,269), (252,115,277), (160,231,281), (68,285,293), (312,25,313), (308,75,317), (288,175,337), (180,299,349), (272,225,353), (252,275,373), (340,189,389), (228,325,397), (40,399,401), (120,391,409), (420,29,421), (408,145,433), (280,351,449), (168,425,457), (380,361,461), (220,459,509).
§2.Диофантовы семейства пифагоровых треугольников с гипотенузой шп=р1р2...рп
Рассмотрим диофантово семейство с гипотенузой Ш2=р1р2=5-13=65, т.е. задачу Диофанта. Имеем:
13-(4,3,5)=(52,39,65), 5-(12,5,13)=(60,25,65).
Так как 5=22+12, 13=32+22, то из тождеств
2 2 2 2 (ш2 + п2)(ш2 + п2)=(Ш1Ш2+П1П2) +(Ш1П2-Ш2П1) =( Ш1Ш2-П1П2) +(Ш1П2+Ш2П1) (2.1)
2222
следует: 65=8 +1 =4 +7 . Используя формулы (1.1), получаем еще два пифагоровых треугольника с гипотенузой 65. Таким образом, диофантово семейство с гипотенузой 65 состоит из четырех пифагоровых треугольников:
(52,39,65), (60,25,65), (16,63,65), (56,33,65). (2.2)
Разработанный Диофантом прием решения задачи для п=2 можно распространить на произвольное пеМ Пусть гипотенуза диофантова семейства задается произведением п последовательных простых чисел вида 4к+1, ке№
шп=р1р2...рП. (2.3)
Множество пифагоровых треугольников с гипотенузой шп разбивается на подмножества вида:
{(а1,Ь1,ШП)},(р1-. (а2,Ь2,р1...р1-1р1+1...рП)},...,(Р1Р2... Р1-1Р1+1...РП-^,^0}. (2.4)
Учитывая, что произведение р^ (#з), в силу тождеств (2.1), определяет два пифагоровых треугольника с гипотенузой р^, убеждаемся, что подмножества (2.4) содержат соответственно 2П-1сП, 2П-2 сП-1,...,2 сП, 20сП пифагоровых треугольников. Приходим к результату.
Теорема. Существует
hn = Ьк-1скп (2.5) к=i
пифагоровых треугольников с общей гипотенузой mn=p1p2...pn. В частности,
h1=1, h2=4, h3=13, h4=40, h5=121,h6=364, h7=1093, h8=3280. (2.6)
Диофантовы семейства с общей гипотенузой m3=5-13-17=1105 состоят из 13 пифагоровых треугольников:
(884,663,1105), (1020,425,1105), (520,975,1105), (700,855,1105), (1100,105,1105), (468,1001,1105), (1092,169,1105), (272,1071,1105), (2.7) (952,561,1105),(264,1073,1105),(744,817,1105),(576,943,1105), (1104,47,1105).
Диофантово семейство с общей гипотенузой m4=5-13-17-29=32045 образует 40 пифагоровых треугольников:
(25636,19227, m4), (29580,12325, m4), (15080,28275, m4), (22100,23205,
Ш4),
(7888,31059, m4), (27608,16269, щД (13572,29029, m4), (31668,4901, m4), (5304,31603, m4), (31824,3757, m4), (20300,24795, щД (31900,3045, m4), (31824,3757, Ш4), (20300,24795, Ш4), (31900,3045, Ш4), (12920,29325, щД (29920,11475, Ш4), (8580,30875, Ш4), (30420,10075, Ш4), (31800,3955, Ш4),
(2.8)
(2400,31955, щД (25200,19795, Ш4), (21000,24205, Ш4), (21576,23693, Ш4),
(7556,31117, Ш4), (32016,1363, Ш4), (16704,27347, Ш4), (27132,17051, Ш4), (15708,2793, Ш4), (31212,7259, шД (8772,30821, Ш4), (29848,11661, Ш4), (10192,30381, Ш4), (19552,25389, Ш4), (26312,18291, щД (716,32037, Ш4), (19552,25389, Ш4), (26312,18291, Ш4), (716,32037, Ш4), (31964,2277, щД (27004,17253, m4), (15916,27813, m4), (22244,23067, m4), (24124,21093, Ш4),
(30956,8283, m4), (6764,31323, m4).
§3. Компьютерная программа нахождения диофантовых семейств прямоугольных треугольников
Хотя диофантовы семейства (2.2), (2.7), (2.8) можно найти, используя только калькулятор, при n>4 вычисления оказываются слишком громоздкими. Н.В.Малаховский составил компьютерную программу, позволяю-
n
щую для любого neN найти диофантово семейство hn= ^ 2k-1ck пифаго-
k=1
ровых треугольников с общей гипотенузой mn=p1p2...pn. Эта программа составлена с использованием пакета программ Maple V Release 4.00 a.:
X: =[sed(4*m+1,m=1...7)]:h:=0 Y:=select(isprime,X):Z:=mul(i,i=Y) with(numtheory, sum2sqr) :with(combinat,choose):
S:=seq(op([m[i]=op(2,op( 1,sum2sqr(op(i,Y)))),n[i]=op( 1,op( 1,sum2sqr(op(i,Y0 000]), i=1..nops(Y)):i:=nops(Y):N:=[[m[op(1,op(k,M))],n[op(1,op(k,M)]]]: for j while j,<=i
do seq([2*op(1 ,op(i,N)) *op(2,op(i,N)),abs(op(1,op(i,N))A2-op(2,op(i,N))A2),
op(1,op(i,N))A2+op(2,op(i,N))A2],i= 1..nops(N)):s[j]:=sabs(1=1,['']):
M:=choose(i,j):
for k while k<=nops(M)
do subs(S,s[j]):print(op(' '*Z/op(3,op(1, ' ')))):h:=h+nops(' '): od:unassign(' k','M' ):N:=[seg(op([[op(1,op(i,N))*m(op(1+j,op(k,M))]+ op(2,op(i,N))*n[op( 1 +j ,op(k,M))] ,abs(op( 1,op(i,N))*n[op( 1+j ,op(k,M))]-op(2,op(i,N))*m[op(1+j,op(k,M)])], [op(1,op(i,N))*n[op(1+j,op(k,M))]+ op(2,op(i,N))*m[op(1+j,op(k,M))], abs(op( 1,op( 1,op(i,N)*m[op(1 +j ,op(k,M))]-op(2,op(i,N))*n[op(1+j,op(k,M)])]]), i=1..nops(N))]: od:h;
Кроме рассмотренных случаев n=2,3,4 с помощью этой программы составлены таблицы диофантовых семейств пифагоровых треугольников для n=5 (121 треугольник с гипотенузой m5=1185665), n=6 (364 треугольника с гипотенузой m6=486122265), n=7(1093 треугольника с гипотенузой m7=2576450045), n=8 (3280 треугольников с гипотенузой m8=157163452745).
§4. Подмножества пифагоровых треугольников с заданной гипотенузой
Пусть с - произвольное натуральное число, большее 4:
с= s^si?2..^ (с>4), (4.1)
где si (i=1,k) - попарно различные простые числа, а ai - произвольные натуральные числа. Обозначим через Нс множество всех пифагоровых треугольников с гипотенузой с.
Так как простое число вида 4n+3 не разлагается на сумму квадратов двух натуральных чисел, то Нс=0, если все простые множители si (i= 1, k) имеют такой вид. Например, не существует ни одного пифагорова треугольника при с=7, с=11, с=19, с=31 и с= 7a1 . 11a2 . 19 a3 . 31a4 (ai eN0=N^0).
Рассмотрим случай, когда среди простых множителей числа с есть хотя бы один вида 4п+1 (пеК). Пусть Б; (1=1, я) - все простые попарно различные множители гипотенузы с, имеющие такой вид. Для произведения с*=в1в2...вч находим диофантово семейство Не* пифагоровых треугольников с гипотенузой с*. Пусть
с=Х с*=Х б^..^. (4.2)
Тогда множество Нс всех пифагоровых треугольников с гипотенузой с определяется почленным умножением на множитель X каждого треуголь-
я
ника семейства Не*. Следовательно, множество Нс состоит из ^ 2к-1 е^
к=1
пифагоровых треугольников с гипотенузой с. Проиллюстрируем изложенное на следующем примере. Пусть
с=25380927=32-11 -132-37-41. (4.3)
* 2 Здесь с =13-37-41=19721, Х=3 -11-13=1287. Находим 13 пифагоровых треугольников семейства Не*. Используя те же приемы, которыми определялись в §2 пифагоровы треугольники с общей гипотенузой т3=5-13-17:
>к >к >к >к
(9520,17271, с ), (1600,11529, с ), (3080,19479, с ), (5560,18921, с ),
>к >к >к >к
(14760,13079, с ), (19680,1271, с ), (4144,19425, с ), (11396,16095, с ), (19604,2145, с*), (16796,10335, с*), (19240,4329, с*), (6396,18655, с*),
(18204,7585, с*).
Умножая почленно каждую пифагорову тройку на множитель Х=1287, получим искомые 13 пифагоровых треугольников с одинаковой гипотенузой с=25380927, определяющих семейство Нс:
(12252240,22227777,е), (20592000, 14837823,е), (3963960,25069473,е), (7155720,24351327,е), (18996120,16832673,е), (25328160,1635777,е), (5333328,24999975,е), (14666652,20714265,е), (25230348,2760615,е), (21616452,13301145,е), (24761880,5571423,е), (8231652,24008985,е),
(23428548,9761895,е).
Список литературы
1. Даан-Далъмедико А., Ж.Пейффер. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики. М.: Мир, 1986. 432 с.
2. Малаховский В.С. Эти загадочные простые числа. Калининград: Янтарный сказ, 1998. 54 с.
3. Оре О. Приглашение в теорию чисел. М.: Наука, 1980. 128 е.
S. Malakhovsky DIOPHANTINE FAMILIES OF PIFAGOR TRIANGLES
We consider subsets of right-angled triangles with integer length of sides -Pifagor's triangles, having same hypotenuse. Such subsets are called Diophan-tine ones. It is proved, that Diophantine family with hypotenuse mn=pip2...pn, where pi - consecutive prime number of the kind 4k+1 (keN), consists of
X2h-1cn Pifagor's triangles. The method for finding of the families is indicated
h=1
and N.V. Malakhovsky computer program is given. УДК 514.75
Н.В. Малаховский (Калининградский государственный университет) СЕМЕЙСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ ПОНСЕЛЕ
На комплексной плоскости С рассматривается двухпараметрическое семейство П2 треугольников с заданными радиусами R и r (R>r) описанной и вписанной окружностей и центром O описанной окружности. Центры L0 вписанных окружностей этого семейства располагаются, в силу формулы Эйлера
d2=R2-2Rr, (1)
на окружности (O,d). Фиксацией центра I0 e(O,d) выделяется однопара-метрическое подсемейство П1 ^П2, называемое семейством Понселе. Каждый треугольник этого семейства имеет описанную окружность (O,R) и вписанную окружность (I0,r),OI0=d. Известно, что задание треугольника ABC порождает ряд инвариантных точек и линий в плоскости этого треугольника. В работе установлены связи между ними, когда треугольник ABC описывает семейство Понселе, и дана геометрическая характеристика полученных зависимостей.
2 2 2
Примем окружность (O,R) за единичную |z|=1 и обозначим через a ,b ,c комплексные координаты вершин произвольного треугольника ABC семейства Понселе. Тогда координата центра I0 его вписанной окружности примет вид:
