CC BY
27
ISSN 1810-0198. Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки
Том 24, № 126 2019
© В.Ф. Молчанов, Е.С. Юрьева, 2019 DOI 10.20310/1810-0198-2019-24-126-179-186 УДК 511.5
Целочисленные треугольники, уравнение Пелля и многочлены Чебышева
Владимир Федорович МОЛЧАНОВ, Елена Сергеевна ЮРЬЕВА
ФГБОУ ВО «Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина» 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Интернациональная, 33 ORCID: https://orcid.org/0000-0002-4065-2949, e-mail: v.molchanov@bk.ru ORCID: https://orcid.org/0000-0002-4015-9863, e-mail: lena_yuryeva21@mail.ru
Integer triangles, Pell's equation and Chebyshev polynomials
Vladimir F. MOLCHANOV, Elena S. YURYEVA
Derzhavin Tambov State University 33 Internatsionalnaya St., Tambov 392000, Russian Federation ORCID: https://orcid.org/0000-0002-4065-2949, e-mail: v.molchanov@bk.ru ORCID: https://orcid.org/0000-0002-4015-9863, e-mail: lena_yuryeva21@mail.ru
Аннотация. В настоящей работе мы рассматриваем некоторые виды целочисленных треугольников: «почти равносторонние», прямоугольные «почти равнобедренные», прямоугольные «с углом почти в 30 градусов». Их описание сводится к уравнению Пелля. Изложение теории уравнения Пелля основывается на «итерационной матрице». Ее степени выражаются через многочлены Чебышева.
Ключевые слова: целочисленные треугольники; формула Герона; уравнение Пелля; многочлены Чебышева
Благодарности: Работа выполнена при финансовой поддержке программы Министерства образования и науки РФ (госзадание № 3.8515.2017/8.9).
Для цитирования: Молчанов В.Ф., Юрьева Е.С. Целочисленные треугольники, уравнение Пелля и многочлены Чебышева // Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки. Тамбов, 2019. Т. 24. № 126. С. 179-186. DOI 10.20310/1810-0198-2019-24-126-179-186.
Abstract. In this paper we consider some types of integer triangles: "almost equilateral", rectangular "almost isosceles", rectangular "whose angle is almost 30°". The description is reduced to Pell's equation. We state the theory of Pell's equation on the basis of an "iterated matrix". Powers of this matrix are expressed in terms of Chebyshev polynomials. Keywords: integer triangles; Heron's formula; Pell's equation; Chebyshev polynomials Acknowledgements: The work is supported by the program of the Ministry of Education and Science of the Russian Federation (project no. 3.8515.2017/8.9).
For citation: Molchanov V.F., Yuryeva E.S. Tselochislennye treugol'niki, uravnenie Pellya i mnogochleny Chebysheva [Integer triangles, Pell's equation and Chebyshev polynomials]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya: estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2019, vol. 24, no. 126, pp. 179-186. DOI 10.20310/1810-0198-2019-24-126-179-186. (In Russian, Abstr. in Engl.)
1. Уравнение Пелля
Уравнением Пелля называется диофантово уравнение
х2 - Бу2 = Ь, (1.1)
где Б — целое положительное число, причем л/Б — иррациональное, а число Ь — целое. По поводу этих уравнений см. [1], [5], в [5] рассматривается только Ь = 1. Мы будем иметь дело с Ь = ±1. Это уравнение надо решить в целых числах. Больше мы не будем повторять, что решения — целые. Достаточно искать решения среди неотрицательных чисел. Обозначим через Б множество всех решений уравнения (1.1) — векторов г = (х,у) таких, что х ^ 0, у ^ 0.
Рассмотрим линейные преобразования с матрицей А :
и = ах + ру а =( а в \ (12)
V = 7х + 8у \ 7 8
переводящие Б в Б.
Теорема 1.1. Матрица линейного преобразования (1.2), переводящего Б в Б, есть ±А, где
А =( а Б
\1 а
здесь а, 7 — целые числа > 0, а2 — Б^2 = 1, так что detA = 1.
Доказательство. Напишем (1.1) для и, V, подставим (1.2) и коэффициенты при х2, у2, ху приравняем 1, —Б, 0, соответственно, а именно:
а2 — Б72 = 1 в2 — Б82 = —Б ав — Б78 = 0.
Из этих уравнений получаем а2 = 82, в2 = Б272. Возьмем а > 0, 7 > 0, тогда этим уравнениям удовлетворяют 4 матрицы:
а Б^ \ [а Б^ \ [а —Б^\ { —а —Б^ 7 а у' у —7 — а у у 7 — а ) ' у —7 —а
Обозначим здесь первую матрицу через А, тогда эти 4 матрицы таковы
А, С А, АС, —А, где С = ( ^
Применим эти матрицы к векторам из 5\ Первая сохраняет 5\ остальные три выводят из 5\ в самом деле, вторая и третья меняют знак второй координаты, четвертая меняет знак обеих координат. □
Обозначим через М матрицу А с наименьшим а > 0:
М = ( Р Щ 1 , р2 - ^ = 1. V q р )
Всякая матрица А из теоремы 1.1 есть степень матрицы М:
А = М:, п = 1, 2,....
Совокупность всех матриц А, их обратных и единичной матрицы образует бесконечную циклическую группу с образующим М. Обозначим
М"=(Р: ВР:) ■ РП - ^=1-
Пусть = (х1,у1) — наименьшее положительное решение уравнения (1.1). Тогда всякое решение получается из г1 с помощью матрицы М:
= (X:, У:) = М"-1^,
или
Х:+1 = Р: Х1 + Дд: уь У:+1 = д: X + Р:
Характеристический многочлен матрицы М есть многочлен А2 — 2рА + 1, поэтому М2 — 2рМ + Е = 0 и потому
М:+2 — 2р М:+1 + М: = 0. (1.3)
Точно такое же рекуррентное соотношение справедливо для величин, линейно связанных с М:, а именно, матричных элементов р:, собственных чисел А:, А:, для решений = (х:,у:) уравнения (1.1), в частности, для последовательностей х: и у: в отдельности:
Х:+2 — 2рХ:+1 + X: = 0, У:+2 — 2рУ:+ + У: = 0. Здесь А1 , А2 — собственные числа матрицы М:
А1 = р + \/р2 — 1 = р + д v/D, А2 = р — \/р2 — 1 = р — д v/D.
Приведем матрицу M к диагональному виду:
M = B-1 TB, где T = ( Л1 0
V 0 Л2
В качестве B можно взять
B
1/VD 1 -1
Тогда Mn = B-1TnB и потому
= B-1T n-1Bzi.
Следовательно, хп и уп являются линейными комбинациями степеней собственных чисел:
хп = С1 Л? + С2 Л£, уп = Б Л? + Б2 Л£,
коэффициенты С и Б^- можно найти с помощью начальных условий, см. [3], [4]. Больше того, используя матрицу В , мы можем написать явные выражения:
1
xn = - + y1 VD) ЛП-1 + (Х1 - y1 VD) ЛП-1} (1.4)
+ y1 VD) ЛП-1 - (Х1 - У1^Б) Л£-1} . (1.5)
УП 2Л/Б
Если L = 1 , то (x1 ,y1) = (p,q), так что последние формулы упрощаются:
Xn = -{Лп + ЛП}, yn = {ЛП - ЛП}
Отметим связь матриц Mn с многочленами Чебышева. Напомним (см., например, [2]), что многочлены Чебышева Tk(x) и U(x) степени k первого и второго рода определяются формулами
Tk (x) = cos ka , Uk (x) = —(—+—— ,
sin a
где x = cos a. Они удовлетворяют конечно-разностному уравнению
Tfc+2(x) - 2xTfc+1(x) + Tfc(x) = 0, (1.6)
и точно такое же имеет место для U (x). Вот несколько первых многочленов:
To(x) = 1 Uo(x) = 1
T1(x) = x U1(x) = 2x
T2(x) = 2x2 - 1 U2(x) = 4x2 - 1
Ts(x) = 4x3 - 3x Us(x) = 8x3 - 4x
Теорема 1.2. Матрицы М: выражаются через многочлены Чебышева:
( Т:(р) дД^:-1(р) \ М: = I I . (1.7)
V ди:-1(Р) Т:(р) /
В самом деле, обе части равенства (1.7) удовлетворяют одному и тому же конечно-разностному уравнению, см. (1.3) и (1.6) с х = р, и совпадают при п = 1, 2.
2. Целочисленные треугольники
Треугольник называется целочисленным, или героновым, если его стороны а, Ь, с и площадь Б выражаются целыми числами. Мы рассмотрим три вида таких треугольников.
(Л). Целочисленный треугольник назовем «почти равносторонним», если его стороны — три последовательных числа: Ь — 1, Ь, Ь + 1. Найдем все такие треугольники. По формуле Герона имеем
Б2 =16 Ь2 (Ь2 — 4).
Следовательно, Ь делится на 2, пусть Ь = 2х, тогда Б2 = 3х2 (х2 — 1) . Здесь х2 — 1 должно делиться на 3, а частное должно быть полным квадратом: х2 — 1 = 3у2. Таким образом, Б = 3ху и
х2 — 3у2 = 1. (2.1)
Получили уравнение Пелля, изученное в § 1. Здесь Д = 3, Ь =1, наименьшее положительное решение есть г1 = (2,1), матрица М есть
М = ( 13
с собственными числами А1 = 2 + л/3, А2 = 2 — л/3, так что
х: = 2 (а: + А:) , у: = (А: — А:) ,
рекуррентное соотношение для х: таково:
х:+2 — 4 х:+1 + х: = 0, (2.2)
и такое же для у:. Соберем числовые результаты в таблицу
Таблица А
п х У Ь — 1 Ь Ь + 1 Б
0 1 0 1 2 3 0
1 2 1 3 4 5 6
2 7 4 13 14 15 84
3 26 15 51 52 53 1170
4 97 56 193 194 195 16296
5 362 209 723 724 725 226974
(В). Целочисленный прямоугольный треугольник назовем «почти равнобедренным», если длины его катетов отличаются на единицу. Пусть гипотенуза равна с, катеты равны Ь, Ь +1, тогда — по теореме Пифагора имеем: с2 = Ь2 + (Ь + 1)2, или 2Ь2 + 2Ь +1 = с2. Умножим на 2 и выделим полный квадрат:
(2Ь + 1)2 + 1 = 2с2.
Обозначим 2Ь + 1 = х, с = у. Тогда получим уравнение Пелля
х2 — 2у2 = —1
с Д = 2, Ь = —1. Здесь наименьшее положительное решение есть г1 = (1,1), матрица
М есть ( )
34
М=
23
с собственными числами А1 = 3 + 2л/2, А2 = 3 — 2л/2. Рекуррентное соотношение для х: таково:
х:+2 — 6 х:+1 + х: = °
и такое же для у:. Формулы (1.4) и (1.5) сейчас можно написать проще: заметим что А1, А2 являются квадратами чисел = л/2 + 1 и = л/2 — 1, соответственно входящих в коэффициенты в (1.4) и (1.5), поэтому
х: = 1 — ^2:-1} , У: = 272 Ы:-1 + ^2:-1} .
Соберем числовые результаты в таблицу
Таблица B
n ж У b b + 1 c S
0 1 1 0 1 1 0
1 7 5 3 4 5 6
2 41 29 20 21 29 210
3 239 169 119 120 169 7140
4 1393 985 696 697 985 242556
5 8119 5741 4059 4060 5741 8239770
(C). Целочисленный прямоугольный треугольник назовем «с углом почти в 30°», если длина c гипотенузы «почти в 2 раза» больше длины a одного катета: c = 2a ± 1 (два варианта). Пусть длина второго катета равна b, тогда — по теореме Пифагора имеем: a2 + b2 = (2a ± 1)2, или 3a2 ± 4a +1 — b2 = 0. Умножим на 3 и выделим полный квадрат:
(3a ± 2)2 — 3b2 = 1. Обозначим 3a ± 2 = ж, b = y, получим уравнение Пелля
ж2 — 3y2 = 1.
Это — уравнение (2.1), здесь D = 3, L = 1, наименьшее положительное решение есть Zi = (2,1), см. пункт (A) по поводу остальных величин. Возьмем конечно-разностное уравнение (2.2) по модулю 3, получим сравнение жга+2 = жга+1 — жп (mod 3). Из него следует, что жп = 1 при четном n и жп = 2 при нечетном n. Так как a = (ж ^ 2)/3, то
a„ = ж„ + (—1)n2}. В таблице c = 2a — 1 и c = 2a + 1 соответственно тому, четно или нечетно n.
Таблица C
n ж У a b c S
0 1 0 1 0 1 0
1 2 1 0 1 1 0
2 7 4 3 4 5 6
3 26 15 8 15 17 60
4 97 56 33 56 65 924
5 362 209 120 209 241 12540
Список литературы
[1] И. В. Арнольд, Теория чисел, Учпедгиз, М., 1939.
[2] Г. Бейтмен и А. Эрдейи, Высшие трансцендентые функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены, Наука, М., 1966.
[3] Н.Я. Виленкин, Комбинаторика, Наука, М., 1969.
[4] А. О. Гельфонд, Исчисление конечных разностей, Гостехиздат, М.-Л., 1952.
[5] А.Ю. Эвнин, "Уравнения Пелля", Математика в высшем образовании, 7 (2013), 89-94.
References
[1] I.V. Arnold, Number Theory, Uchpedgiz, Мо8СС№, 1939 (In Russian).
[2] A. Erdelyi, W. Magnus, F. Oberhettinger and F. G. Tricomi, Higher Transcendental Functions (Bateman Manuscript Project). V. 2, McGraw-Hill, New York, 1953.
[3] N. Ya. Vlenkin, Combinatorial Analysis, Nauka, Мoscow, 1969 (In Russian).
[4] A. O. Gelfond, Calculus of Finite Differences, Gostekhizdat, Moscow, St. Petersburg, 1952 (In Russian).
[5] A. Yu. Evnin, "Pell's equations", Mathematics in Higher Education, 7 (2013), 89-94 (In Russian).
Информация об авторах
Молчанов Владимир Федорович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры функционального анализа, Тамбовский государственный университет им. Г. Р. Державина, Тамбов, Российская Федерация. E-mail: v.molchanov@bk.ru
ORCID: https://orcid.org/0000-0002-4065-2949
Юрьева Елена Сергеевна, магистрант по направлению подготовки «Математика». Тамбовский государственный университет им. Г.Р.Державина, Тамбов, Российская Федерация. E-mail: lena_yuryeva21@mail.ru ORCID: https://orcid.org/0000-0002-4015-9863
Конфликт интересов отсутствует.
Для контактов:
Молчанов Владимир Федорович
E-mail: v.molchanov@bk.ru
Поступила в редакцию 30.01.2019 г.
Поступила после рецензирования 18.03.2019 г.
Принята к публикации 20.05.2019 г.
Information about the authors
Vladimir F. Molchanov, Doctor of Physics and Mathematics, Professor of the Functional Analysis Department. Derzhavin Tambov State University, Tambov, the Russian Federation. E-mail: v.molchanov@bk.ru ORCID: https://orcid.org/0000-0002-4065-2949
Elena S. Yuryeva, Master's Degree Student in «Mathematics» Programme. Derzhavin Tambov State University, Tambov, the Russian Federation. E-mail: lena_yuryeva21@mail.ru ORCID: https://orcid.org/0000-0002-4015-9863
There is no conflict of interests.
Corresponding author: Vladimir F. Molchanov E-mail: v.molchanov@bk.ru
Received 30 January 2019 Reviewed 18 March 2019 Accepted for press 20 May 2019
