Размещения без соседей Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 1810-0198. Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки

Том 23, № 124

2018

DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-124-655-665 УДК 519.1

РАЗМЕЩЕНИЯ БЕЗ СОСЕДЕЙ

■-е В. Ф. Молчанов, Е. Е. Крюкова

ФГБОУ ВО «Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина» 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Интернациональная, 33 E-mail: v.molchanov@bk.ru. e.kryukowa2011@yandex.ru

Аннотация. В настоящей работе мы рассматриваем некоторые задачи из комбинаторного анализа, связанные с размещениями без соседей на графах, а именно, мы находим количества и вероятности таких размещений на простейших графах (отрезок, два отрезка, цикл), а также (это более трудно) такие же задачи для цикла с точностью до поворота.

Ключевые слова: рекуррентные соотношения; числа Фибоначчи; многочлены Фибоначчи; числа Люка; многочлены Люка

Введение

Пусть - конечный граф с множеством вершин V, без петель и двойных ребер. Пусть L)V-1—множество функций на V со значениями 1 и 2 , назовем их размещениями. Размещением без соседей мы называем такую функцию, что в соседних вершинах она не может одновременно принимать значение 2. Пусть S) + - множество таких функций. Для конечного множества А через А обозначаем количество элементов в нем. Пусть п V v v

Предположим, что размещения - случайные. Пусть значения 1 и 2 принимаются с вероятностями q и р, соответственно, qO р 2. Вероятность Р)/+размсщения / есть одночлен qkpm, где кит- кратности значений 1 и 2, соответственно. Его степень равна к0 т п. Пусть А - некоторое множество размещений из L)V+. Вероятность Р)Д+этого множества равна сумме соответствующих одночленов: Р)А-\- Эта

вероятность есть некоторый многочлен F)A=q, р+ от двух переменных, однородный степени п . Его значение F)A=2, 2+при q р 2 (забываем об ограничении qO р 2 ) равно ^ _

Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации (проект № 3.8515.2017/8.9).

Предположим, что граф является однородным, то есть имеется некоторая группа (У преобразований этого графа в себя, действующая транзитивно на множестве вершин V. Она сохраняет Б) +. Возьмем в каждой орбите группы С в 5) +по одному представителю (размещению), получим множество И) +, назовем его радиальным множеством.

Возникают следующие задачи.

Задача (А). Найти количество в) + Я) + размещений без соседей.

Задача (В). Для однородного графа найти количество £) +размещений без соседей с точностью до действия группы (У. Оно равно количеству орбит группы С в 5) +, или, что все равно, количеству Щ +

Задача (С). Найти вероятность юу + того, что случайное размещение является размещением без соседей. Оно равно р-\~.

Задача (Б). Для однородного графа найти вероятность /3) + того, что случайное размещение является размещением без соседей с точностью до действия группы С. Оно равно F)^2) -Н?, р+.

§ 1. Многочлены Фибоначчи и многочлены, связанные с ними

Напомним, см. |1|, что числа Фибоначчи Рт, т 1,2,3,..., определяются рекуррентным соотношением Ет Ет I 0 ¥т 2 и начальными условиями 1, 2 . Числа Люка Ь т , т 2, 3,..., определяются формулой

Ьщ Рт 1 0 Ртп+1- )2 +

Они удовлетворяют такому же рекуррентному соотношению, начальные значения таковы: Ь1 2, ¿2 4. Приведем таблицу

п 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

к 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34

Ьп - 1 3 4 7 11 18 29 47 76

Многочленами Фибоначчи п 1,2,3,..., мы называем следующие одно-

родные многочлены степени п от двух переменных д, р:

чу9,г+ и У°1 к('Г крк

5*0 V» )Тгз2^" У° )Тг43^" У О .... (2)

Они удовлетворяют следующему рекуррентному соотношению

Это вытекает из тождества для биномиальных коэффициентов:

т/п \ т ( \?п0 2 к ( Д 2 ) к

Решая конечно-разностное уравнение (3) с начальными условиями Ф0 2, Фг дО р, получаем явный вид:

г) \n~t~2 \п+2 Л ¿Л. Л.-)

*п)я,р+ -х-Ц-,

ц м а2

где

Л, 2 3

)д0 ^0 5 др^ Л2

В частности, при получаем формулу Бинс для чисел Фибоначчи

\\ — /■п \ _

2 I \ 2 0 6 | \ 2 6 | Ъ

Приведем несколько первых многочленов Фибоначчи:

2

Ф дОр

?2 0 3др Фз)я,Р+ Г 0 4д2р 0 др2 Ф4 к,Р+ 0 5д3р 0 4д2р2 Ф5)9,р+ д5 0 0 7д3р2 0 д2р3

Теперь введем многочлены Фибоначчи-Ыв Ап)и, п 1,2,.... Это - многочлены от и и V степени п по и с такими же коэффициентами, что и у многочленов Фибоначчи Ф„ 1, но показатели у переменного и убывают на 2, а именно,

АО«, и 1

п к к

ип 2кук

2кфг

ип о У 22(ип гу0 VI)

Через многочлены Фибоначчи они выражаются так:

и 1 )«, п 2- )5+

Из (3) следует конечно-разностное уравнение для А„)и,

Ап)и,у+ иАп V Ап 2)и,у+ )6+

Имеет место следующее равенство:

д-П+1 у"+1

Ап)х 0 у, ху+ --. )7+

х у

Это равенство проверяется с помощью конечно-разностного уравнения (5) и начальных условий А0 2, и.

Приведем несколько первых многочленов Фибоначчи-Ьш:

Ао)и,п+ 2 А^и, и А2)и, и2 О у

и3 0 3иу

АО«, и4 0 4и2у О V2

А5)и, и5 0 5и3и 0 Аш)2 А6)и,у+ и6 0 6и4гг 0 7и2ь20 V3

Многочленами Люка Пп)д7р+, п 2,3,..., мы называем следующие однородные многочлены степени п от двух переменных д, р:

Пп)я,Р+ д^п 1 )д,р-Ю я2рЪп )8+

Из (2) находим:

Многочлены Люка удовлетворяют тому же рекуррентному соотношению (3). Решая это уравнение (3) с начальными условиями £^1 , Ф2 д2 0 3др, получаем:

Пп)д,р+ А?0 А?.

Приведем несколько первых многочленов :

)Я-,Р+ Я

^2)9,Р+ 92 0 3др

)9,р+ <?3 0 4д2р

^4)9, Р+ я4 0 5д3р0 Зд2р2

я5 0 б^рО 693Р2 д6 0 795р0 ;д>20 З93р3 )д,Р+ д7 0 896р0 25д5р2 0 8д* р3

Отметим связь с числами Фибоначчи и Люка:

Ф„)2,2+ Пп)2,2+ Ьп.

§ 2. Граф «отрезок»

Пусть Мп есть множество }2,3,..., п| . Оно есть множество вершин для графа «отрезок» 1п , ребро соединяет вершины к и к 0 2 , 2 ^ к < п .

Теорема 1. Величины з)1п+и и})1п-\- выражаются через числа и многочлены Фибоначчи:

Доказательство. Обозначим для краткости ап з)Лг+, Ьп и>)1п-\~. Размещения из Б)1п-\— это векторы )ж1, а'2,..., хп+с координатами 1 , 2 , в которых две единицы не могут стоять рядом. Множество 5*) /га+ распадается на два подмножества: первое состоит из векторов )х1,х2, ... ,хп 1,1+, второе - из векторов х2,... 2,1- 2+. Поэтому ап ап I 0 ап 2- Непосредственно находим а! 3, а2 4. Вместе с уравнением это доказывает (8). Вероятности указанных выше двух подмножеств равны дЬп 1 и др Ьп 2- Поэтому Ьп д Ьп г 0 дрЬп 2- Непосредственно находим Ъу дО р, Ь2 д2 0 3др. Вместе с уравнением это доказывает (9). □

Граф «цикл» Сп имеет то же самое множество вершин Мга, что и граф 1п из § 2, и он получается из графа 1п добавлением ребра, соединяющего 2 и п.

Теорема 2. Величины в)Сп+и ш)Сп+ выражаются через числа и многочлены Лю-

Доказательство. Обозначим для краткости сп в)Сп+, с1п кроме

того, используем обозначения ап и Ьп из § 2. Размещения из ¿?)С„Н1— это такие же векторы, что и выше в § 2, с запрещением векторов )2,х2,... ,хп 1,2+. Множество ,5')С',1+ распадается на два подмножества: первое состоит из векторов )ж1,... ,хп 1,1+, второе - из векторов )1, х2,.. ., хп 2,1,2-Ь Поэтому с„ ап г 0 ап 3 . Вместе с (8) и определением (1) чисел Люка это доказывает формулу (10).

Вероятности указанных выше подмножеств равны дЬп \ и д2 рЪп 3. Поэтому с1п д Ьп 1 0 д2 р Ьп з . Непосредственно находим Ь\ д 0 р, Ь2 д2 0 3др. Вместе с (7) это доказывает формулу (11). □

На цикле Сп действует циклическая группа Z„ сдвигами /¿' 0 А' 0 з по модулю п. Тем самым она действует в множестве 3)Сп-\~. Обозначим через ( множество орбит группы Ъп в 3)п+. Возьмем в каждой орбите группы Ъп в 5,)С'„+ по одному представителю (размещению) /г, получим радиальное множество К)Сп-Ь Оно находится во взаимно однозначном соответствии с множеством ( : Я)Сп-|—У ( .

з)1п+ Рп+2, ю)1п+ Ъп)д,р-|т

(8) (9)

§ 3. Граф «цикл»

8)Сп-\- Ьп,

(10) (11)

Нам надо вычислить число элементов в этом множестве и его вероятность, а именно, число Ц)Сп+ Д многочлен ¡3)Сп-^д1р+ F)R)Cn-^q,p+.

Напомним [Й] теоретико-числовую функцию Эйлера ^р)т-\~. Она указывает количество натуральных чисел, меньших т и взаимно простых с т. Имеет место соотношение

У ф)<1+ т. )23+

в, т

Теорема 3. Имеют место формулы:

2 , ,

d п

ß)Cn+ -М ip)d^ln/d)qd,p4 (13)

п w

d п

Доказательство. Для делителя г числа п обозначим через А)г-\- множество функций (размещений) из S)Cn+c наименьшим периодом г. Множество S)Cn+ есть дизъюнктное объединение { Л)г-Ь, где г пробегает все делители числа п . Группа Ъп сохраняет каждое множество А)г+, она имеет в А)г+ несколько орбит. Стационарная подгруппа функции из Д)г+есть г Z„ , ее порядок равен п/г .

Выше мы уже взяли в каждой орбите из ( по одной функции h. Подействуем на каждую h всей группой Z.„ . Получим отображение М множества 7Ln 0( на вс'ё множество S)n+. При этом каждая h , принадлежащая A)r-\-, даст г различных функций из А)г+, то есть всё А)г+, с кратностью п/г. Таким образом, множество Z„ 0( находится во взаимно однозначном соответствии с множеством функций из { A)r+ S)Cn+., взятых с кратностью п/г :

{ji

А)г+х-

Из этого равенства получаем равенство чисел и равенство многочленов:

п*)Сп+ U А)r+x-, (14)

г п

п *F)S)Cn+=qy р+ U F)A)r*q, р+х- . (15)

Применим формулу (12) к множителю п/г в правых частях (14) и (15) и переставим суммирования, мы получим

п

*)Сп+ U U 4)г+ (16)

v V

d п г (n/d)

nxF)S)Cn^p+ U F)Ä)r-^q,p+. (17)

d n r (n/d)

Объединение Т)т+ множеств А)г+, для которых г делит делитель т числа простоит из функций с периодом т (не обязательно наименьшим). Всякая функция из Т)т+

полностью определяется своими значениями в вершинах }2, 3,..., т\ , так что множество Т)т+ получается из функций из S)Ст+заменой q и р на дп-/т и рп,!т, соответственно, и потому вероятность множества Т)т-\- равна вероятности Qm)qn/m , рП/'т-\-, а количество Т)т+ функций равно числу Люка L т . Поэтому внутренняя сумма в (16) есть Ln/d , атшутртнняя сумма в (17) есть Qчто и доказывает теорему. □

Пример 1. Граф С6 .

Количество размещений без соседей равно числу Люка L6 29 . Делители числа 6 - это числа 2,3,4,7. Значения на них функции Эйлера таковы: у)2+ 2, у)3+ 2, (р)4 + 3 , у)7+ 3 . Имеется 5 орбит группы Z6 :

111111 )r 2+=

121212,212121 )г 3^

112112,211211,121121 )г 4+=

111212,211121,121112,212111,121211,112121 )г 7+=

111112,211111,121111,112111,111211,111121 )г 7+

В качестве представителей можно взять функции, стоящие на первом месте. Далее используются следующие многочлены Люка:

fii )q,p+ q

)q,p+ q2 о зqp ^з)д,Р+ q3 0 4q2p n6)q,p+ q6 0 7q5p0 -q'p2 0 3q3 p3.

Многочлен /3)(76-t}i/, p+ F)R)C6Jp=q7 p+ есть

P)C6^q,p+ q60 q5pO 3q4 p2 0 q3 p3.

Равенство (13) есть

P)C6^q,p+ * }ile)g,iHO з хП2)д3,Р3-ю з xtt^VV

§ 4. Граф «два отрезка»

Граф «два отрезка» Кп состоит из двух экземпляров отрезка 1п , см. § 2, соответствующие вершины (с одним и тем же номером) соединены ребром. Вершины занумерованы парами )&,г+, где к 2 г 2,3. Ребра соединяют )k,i-\- с )Лг 0 2, г+, к < п, а также )&, 2+с )к. 3+. Поэтому размещение / на Кп есть двустрочная матрица )/jfc,i+, элементы которой есть 1 или 2.

Теорема 4. Последовательность s)Кп-{удоблетворяет конечно-разностному уравнению хп Зх„ 1 0 х„ 2 с начальными условиями xq 2, х\ 4 , явные выражения таковы

Числа ш)Кп+ выражаются через многочлены Фибоначчи и Фибоначчи-Ыз:

ш)Кп+ д"}ф„ 1)2,дрЧ0 рФ„ 2)2,др^ п ^ 3, (19)

*"}А,)2,щН0 РК 02,др^ (20)

Доказательство. Введем еще один граф К'п, он получается из графа К„ удалением одной крайней вершины: )тг, 2+или )2, тг+, - и выходящих из нее двух ребер. Обозначим хп з)Кп+, уп Возьмем размещение / из Б)Кп+- Если /„д 1,

то оставшаяся после удаления этого элемента матрица принадлежит 3)К'п-\-. Если же /„д 2, то должно быть /п 2 1, /п 1д 1 и оставшаяся после удаления этих трех элементов матрица принадлежит 3)К1 1+. Поэтому хп у„ 0 уп 1. Пусть теперь / | 3)К1г+. Если /„ 2 1, то оставшаяся после удаления этого элемента матрица принадлежит Я)Кп !-К Если же /п 2 2 , то должно быть /„ 12 1 и оставшаяся после удаления этих двух элементов матрица принадлежит 1-Ь Поэтому у„ хп 1 0 у„ 1 . Подставим в это уравнение найденное ранее значение: хп \ уп 1 0 уп 2 , получим Уп Зу„ 1 0 у« 2 ■ Точно такое же уравнение

хп 3:с„ 2 0 2

справедливо для , поскольку хп выражается линейно через уп . Характеристическое уравнение Л2 ЗА 2 1 имеет корни А1 2 0 3, Х2 2 3. Непосредственное вычисление дает х\ 4, хо 8 , поэтому

| АГ1 0 АГ1

отсюда получаем (17).

Обозначим теперь юп т)Кп+, гп Рассуждая, как и выше, получаем

систему

Щг д?п 0 Ч2р?п 1 ^ дшп 1 0 дргп г.

Исключая и>п 1 из второго уравнения с помощью первого, получаем конечно-разностное уравнение для гп . Точно такое же уравнение

юп д)д 0 р+ип ! 0 д3ршп 2 )32+

справедливо для шп , поскольку выражается линейно через хп . Здесь удобно ввести новое переменное Ьп :

шп дпЬп, )33+

тогда (21) превращается в уравнение

Ъп )д0 р-\Ъп 1О дрЬп 2- )34+

Для п 2 и п 3 мы вычисляем непосредственно:

Ш! д2 О Здр, ю2 qi О 5д3р0 3д2р2,

тогда с (21) согласуется значение 2. Для уравнения (23) характеристическое

уравнение есть Л2 )д 0 р-|А др 1, оно имеет корни

д 0 р 0 )q 0 р-р 0 5gp g 0 р )q 0 р-р 0 5qp

Al 3 ' 2 3 '

Учитывая начальные условия Ь0 2 , Ьг q 0 Зр, получаем

\rt+l \il+l

т «1 An Al Лл

i 1 2 0 p 1 2

Рассмотрим отдельно

Вспоминая (6), получаем Итак,

t

Л^ Аз Ai А2

дп+1 д^-1

Ai А2

^п Ai )g0 p,qp+

bn An)q 0 p,gp-K> pAi i)gO p,gp+

Возвращаясь к по формуле (22), получим выражение чисел и;) Кп+ч ерез м i ю го члены Фибоначчи-bis:

w)Kn+ qn^An)q 0 р, qp-ДО рА„ г)д0 р, qpW.

Вспомним, наконец, соотношение gO р 2 и соотношение А„)2, Ф„ i)2,u+, см. (4), окончательно получим (19) и (20). □

Уравнение (23) дает уравнение для tn :

tn)q,P+ )q 0 p-tfn i)g,p40 qptn 2)q,p+.

Из него следует, что коэффициенты многочленов tn) g, р+ образу ют любопытный арифметический треугольник - каждое число есть сумма трех над ним стоящих (одно справа, одно слева, одно сверху):

2

2 2 2 4 2 2 6 6 2 2 8 24 8 2 2 ; 36 36 ; 2 2 22 52 74 52 22 2

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Райзер Г.Дж. Комбинаторная математика. М.: Мир, 1966.

2. Виноградов И.М. Основы теории чисел. Москва; Ленинград: Гостехиздат, 1952.

Поступила в редакцию 13 апреля 2018 г. Прошла рецензирование 18 мая 2018 г. Принята в печать 26 июня 2018 г. Конфликт интересов отсутствует.

Молчанов Владимир Федорович, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор кафедры функционального анализа, e-mail: v.molchanov@bk.ru

Крюкова Екатерина Евгеньевна, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, магистрант по направлению подготовки «Математика», e-mail: e.kryukowa2011@yandex.ru

Для цитирования: Молчанов В.Ф., Крюкова Е.Е. Размещения без соседей // Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки. Тамбов, 2018. Т. 23. № 124. С. 655-665. Б01: 10.20310/1810-0198-2018-23-124655-665

DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-124-655-665

PLACEMENTS WITHOUT NEIGHBOURS

V. F. Molchanov, E. E. Kryukova

Tambov State University named after G.R. Derzhavin 33 Internatsionalnaya St., Tambov 392000, Russian Federation ID-mail: v.molchanov@bk.ru. e.kryukowa2011@yandex.ru

Abstract. In this paper we consider some problems in combinatorial analysis related to placements without neighbours on graphs, namely, we find numbers and probabilities of such placements for simplest graphs (segment, two segments, cycle), and also (which is more difficult) we solve the same problems for a cycle up to rotations. Keywords: recurrence relations; Fibonacci numbers; Fibonacci polynomials; Lucas numbers; Lucas polynomials

REFERENCES

1. Raiser G.J. Kombinatornaya matematika [Combinatorial Mathematics]. Moscow, Mir PubL, 1966.

2. Vinogradov I.M. Osnovy teorii chisel [Fundamentals of Number Theory]. Moscow. Leningrad, State Publ. of Technical and Theoretical Literature, 1952.

Received 13 April 2018 Reviewed 18 May 2018 Accepted for press 26 June 2018 There is no conflict of interests.

Molchanov Vladimir Fedorovich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, the Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Department of Functional Analysis, e-mail: v.molchanov@bk.ru

Kryukova Ekaterina Evgenievna, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, the Russian Federation, Masters Degree Student on Training Direction «Mathematics», e-mail: e.kryukowa2011@yandex.ru

For citation: Molchanov V.F.. Kryukova E.E. Razmeshcheniya bez sosedey [Placements without neighbours], Vestnik Tambovskogo umversileta. Seriya: estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2018, vol. 23, no. 124, pp. 655-665. DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-12^655-665 (In Russian, Abstr. in Engl.).

The work is supported by the Ministry of Education and Science of the Russian Federation (Project № 3.8515.2017/8.9).