Структурные характеристики информационной сети на основе спектрального анализа топологии Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.177

DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21 -2-674-678

СТРУКТУРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ИНФОРМАЦИОННОЙ СЕТИ НА ОСНОВЕ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА ТОПОЛОГИИ

© А.М. Межуев, М.Г. Третьяков, И.И. Пасечников

В работе показана возможность применения спектрального анализа графов при расчете информационных сетей (ИС), в т. ч. мобильных, на основе выявления связи их основных структурных характеристик и собственных значений матрицы смежности. Применительно к тензорной методологии анализа ИС значения спектра графа позволяют определить множество цепей замкнутого типа, что в свою очередь облегчает задачу определения систем координат информационного пространства состояний стационарной ИС.

Ключевые слова: спектральный анализ; матрица смежности; характеристический многочлен; диаметр сети; связность графа; спектр графа.

Описание структурных особенностей информационных сетей (ИС) основывается на методах представления топологии сети, в частности с использованием различного рода матриц (например, соседей, смежности, инцидентности, кратчайших путей), пересекающихся множеств, графов. Структурные характеристики ИС, такие как диаметр сети связи, ¿-связность, среднее число узловой (реберной) связности и др. , определяют размерность, сложность ИС, ее надежность и устойчивость функционирования. Особенность используемых подходов к получению и описанию топологических характеристик состоит не столько в используемых математических способах моделирования, сколько в отсутствии доскональной информативности. В связи с этим представляет интерес спектральный анализ графов и описание на его основе основных структурных характеристик ИС. Кроме того, получение комплекса структурных характеристик с применением единого математического аппарата и за конечное время является актуальной задачей для мобильных ИС. В работах [1-5] представлены результаты спектрального анализа различных графов, причем в трудах [3; 5] авторы, помимо проведения спектрального анализа графов, дают общее представление его применения в области вычислительных систем.

Целью работы является определение возможности представления топологий ИС, в т. ч. мобильных, с использованием спектрального анализа графов и выявление основных зависимостей между структурными характеристиками топологии ИС и спектральными свойствами графа, позволяющих проводить математический анализ ИС.

Топология ИС может быть представлена в неориентированного графа 0(п,т), где п - число вершин, т -число ребер. Поэтому рассмотрим полный двудольный граф и получим его спектр. Приведенный на рис. 1 граф является регулярным графом степени 2.

Преобразуем геометрический способ задания графа в матричный вид с использованием матрицы смежности. Начиная с вершины A, проиндексируем вершины: A-1, B-2, D-4.

Л--

0 1 0 1"

1 0 1 0

0 1 0 1

1 0 1 0,

(1)

где значение элемента а^ равно числу ребер из г'-й вершины графа в }-ю вершину. Характеристический многочлен матрицы смежности А есть определитель матрицы А - ХЕ, где Е - единичная матрица [1]. Рассчитаем матрицу А - ХЕ:

Л-IE =

-I 10 1 1 -X 10

0

1

1

v 1 0 1 -Ху

(2)

Определитель матрицы A - XE имеет вид: det( Л -XE) = а11Л11 + а12Л12 + а13Л13 + а14Л14

-X 1 0

Л„ =(- г ■ 1 -X 1 = 2X-

0 1 -X

11 0

Л12 =(-1)1+2 ■ 0 -X 1 = -X2

11 -X

1 -X 0

Л13 =(- Г3 0 1 1 = -2 X

1 0 - X

-X 1

Л14 =(-1)1+4 ■ ) 1 -X = - -X2

0 1

Рис. 1. Полный двудольный граф с регулярностью степени 2

Рис. 2. Полный граф, состоящий из 4 вершин

ра (к) = -щ = к4 - 4 к2.

Приравниваем характеристический многочлен к нулю и решим уравнение относительно X:

к4 - 4к2 = 0.

(3)

Полученные корни (-2, 0, 0, 2) с учетом их кратности называют собственными значениями X матрицы А [2]. Совокупность всех этих значений образует спектр графа:

Рис. 3. Регулярный граф степени 4, состоящий из 8 вершин

Бр{0) = [-2,0,0,2].

(4)

Связь спектра графа со структурными характеристиками ИС можно представить в виде утверждений [3].

Утверждение 1. Количество составляющих графа (собственных значений) всегда равно количеству вершин в структуре (в данном случае п = 4).

Утверждение 2. Все составляющие спектра графа по модулю не превосходят максимальной степени вершины графа, т. е.

— к1 —

(5)

где гтах - максимальная степень вершины (количество ребер, инцидентных вершине), X,- - собственное значение (для данного графа г = гтах = 2).

Утверждение 3. Если спектр имеет вид: 8р(0) = = [< х, х, ... х], причем количество элементов х = -1 равно < то граф является полным (т. е. в этом случае для любой пары вершин существует ребро, которое их соединяет), а количество вершин его составляет < + 1 [4]. Элементарную проверку данных утверждений проведем на следующем примере. Изменим граф на рис. 1 до полного графа (рис. 2). После проведения аналогичных представленных выше операций его спектр будет иметь вид Sp(G) = [-1, -1, -1, 3].

Утверждение 4. Число ребер т неориентированного графа без петель и кратных ребер (соединяющих одинаковые вершины) определяется полусуммой квадратов всех собственных значений:

1 п

11 х,:

2 ,=1

(6)

В соответствии с выражением (6) количество ребер графа со спектром ^р(О) = [-2,-2,-42,-42 ,4] (рис. 3) равно т = 16.

Представление топологии ИС с использованием матрицы смежности, нахождение с ее помощью спектра графа и на его основе определение множеств циклов (замкнутых контуров), например, из трех узлов, может существенно упростить аналитические методы расчета ИС. Такие треугольники - площади определенной формы - характеризуют в соответствии с полиэдральными сетями Г. Крона [6] (представление сети в виде совокупности п-мерных плоскостей) процессы взаимодействия объектов на более высоком уровне, например, применительно к ИС [7] - проблемы множественного доступа и задачи сетевого уровня с применением тензорной методологии анализа. Тензорная методология анализа ИС, находящихся в стационарном состоянии, позволяет определить точку, соответствующую состоянию ИС в информационном пространстве [7]. В свою очередь, система координат пространства состояний определяется совокупностью линейно-независимых разомкнутых и замкнутых контуров. Нахождение таких совокупностей на основе спектрального анализа графа позволит существенно упростить задачу построения системы координат.

Итак, количество треугольников £ в графе можно определить [1-2]:

1 п

=11 х/

(7)

1=1

Для графа, изображенного на рис. 3, количество треугольников равно Г = 16.

Если для спектра графа справедливо следующее неравенство

к12 > к22 + к32 + ■ ■■+к2,

(8)

то граф содержит хотя бы один треугольник.

Особое место при анализе ИС занимает задача обеспечения эффективности информационного обмена в ИС. Ее решение зависит от количества взаимодейст-

т

вующих соседних узлов. В работе [8] показано, что оптимальное число соседних узлов для ИС с регулярной топологией - 3, для сети со случайной топологией -7-8. Если обеспечить структурную устойчивость сети [9], то очевидно, что ИС с регулярными топологиями в задачах эффективности передачи данных будут обладать определенной привлекательностью. Степень регулярности графа (число «соседей» вершины регулярного графа) рассчитывается по формуле:

c(G) < p0 + min(p_, p+),

(12)

i n

=1Y X,

(9)

1=1

Для графа, изображенного на рис. 3, г = 4. Тогда среднее значение степени вершины определяется по формуле [3]:

f = " =1Y X,

Г) Л

(10)

т - число ребер; п - число вершин. Изменим граф рис. 3), предварительно убрав ребра ВН, СЕ и DF (для пояснения предыдущих результатов) (см. рис. 4). В результате:

- 2 ■ 13 f = — = 3,25.

(11)

Спектр неориентированного графа обладает следующими свойствами:

- все собственные значения являются действительными числами, а их сумма равна 0;

- все собственные значения графа, ни имеющего ребер, равны нулю;

- степень графа не превосходит число п - 1 (п -количество вершин), а наименьшее собственное значение по модулю не превосходит степень графа.

Зная значения коэффициентов характеристического многочлена, можно также получить некоторые структурные свойства ИС. Коэффициент аг характеристического многочлена зависит от множества всех ориентированных подграфов орграфа О, которые имеют в точности г вершин. Если подграф состоит из четного количества контуров, то он вносит в коэффициент а' единицу, в противном случае вносит число «-1».

Для регулярного графа среднее значение валентности не превышает наибольшее собственное значение графа.

Значение длины кратчайшего простого цикла нечетной длины в графе равно индексу первого, не равного нулю коэффициента характеристического многочлена среди нечетных по порядку расположения коэффициентов. Из вышесказанного следует, что граф, содержащий, по крайней мере, одно ребро, является двудольным тогда и только тогда, когда его спектр, рассматриваемый как множество точек действительной оси, симметричен по отношению к нулевой точке.

Число внутренней устойчивости с(О) графа О (наибольшее число вершин, ни одна пара из которых не соединена ребром) удовлетворяет неравенству

где р-, р0, р+ - собственные значения меньше нуля, равные нулю и больше нуля соответственно.

Проведем анализ характеристического многочлена:

0Xn + ajXn 1 +...+ an-1X1 + an

(13)

Информация о характере корней может быть получена на основе метода Захса (теоремы Захса), суть которого состоит в разложении графа на подграфы, а именно на циклы из трех вершин (треугольные) или фрагменты в виде простой цепи при п = 2. В результате коэффициенты характеристического многочлена можно рассчитать по формулам:

a0 =1 ,

= ^ (-1)PU) ■ 2c(U)(1 < n < N),

(14)

(15)

№S

где р(и) - число всех компонент в графе Захса; с(П) -число циклических компонент в графе Захса; 9п - множество всех графов Захса с п вершинами и суммирование проводится по всем графам Захса с п вершинами.

Отсюда имеют место выражения (табл. 1), вскрывающие зависимости между структурой графа, характеристическим многочленом и спектром графа [3].

Пропускная способность (производительность) ИС, как и время доведения пакетов в ИС зависят от диаметра топологии сети (максимальное расстояние, определенное на множестве кратчайших путей между парами вершин). В условиях отсутствия регулярного характера топологии сети представляет интерес нахождение среднего диаметра:

- 1 d d, = — Y/■

1 n-1 Y

- 1 n — d=1Yd,

n

(16) (17)

где щ - число вершин, находящихся на расстоянии I (число ребер) от любой выделенной вершины графа, п - число узлов. Для полного графа средний диаметр равен 1. Имеет место следующее неравенство:

Рис. 4. Граф с 8 вершинами и 13 ребрами

a

2

a

n

1=1

1=1

Таблица 1

Следствия теоремы Захса

Формула Описание Характеристика топологии (графа)

a = о Коэффициент при втором члене многочлена всегда равен нулю Граф связный

Х +...+xn = о Сумма собственных значений равна нулю при отсутствии петель Например, граф, характеризующий свойство отсутствия повторных передач в узлах

4 +... + 42 = ~2аг Зависимость между спектром графа и коэффициентом при третьем члене характеристического многочлена Позволяет определить число ребер графа (см. пункт 5)

4 +... + Хп3 = -3a3 Зависимость между спектром графа и коэффициентом при четвертом члене характеристического многочлена Позволяет определить число треугольных циклов (см. пункт 6)

a2 = -m Коэффициент при третьем члене многочлена по модулю равен числу ребер графа Число ребер графа

a} = -253 Коэффициент при четвертом члене многочлена равен удвоенному числу трехчленных циклов (треугольников), взятому с противоположным знаком Число треугольных циклов

- < d < d.

2

(18)

Поэтому при проектировании сетей наибольший интерес представляют сети с минимальным диаметром.

Для р-валентной сети (р = [2га/и]) минимальное значение диаметра определяется выражением:

d(n, p) >

log

p-1'

n(p - 2) + 2

= dmm(n P) ,

где ] ■ [ - ближайшее целое число справа.

Диаметр связного графа О, имеющего Ь различных собственных значений, удовлетворяет следующему неравенству:

d < b -1

(19)

Особое значение в системах мобильной связи имеет живучесть сети - свойство ее адаптированности к новой ситуации и устойчивости в условиях разрушающих действий [8]. Живучесть для графа характеризуется алгебраической связностью или ¿-связностью [5]. Граф называется к-вершинно (реберно) связным, если к -наименьшее число вершин (ребер), при удалении которых граф становится несвязным. Выделим некоторые свойства алгебраической связности:

- второе минимальное собственное значение графа (обозначим а(О)) равно нулю только тогда, когда граф несвязный;

- для двух непересекающихся по ребрам графов О1 и О2 на одном и том же множестве вершин справедливо следующее неравенство:

a(Gi uG2) > a(Gi) + a^).

(20)

Другими словами, введение в граф новых ребер не уменьшает алгебраической связности [3].

Из рассмотренного следует, спектр графа (топологии) ИС позволяет на основе собственных значений матрицы смежности вычислить совокупность структурных характеристик ИС, что является актуальным в условиях ее мобильности. Кроме того, имеется возможность вычисления множества замкнутых и разомкнутых путей, что позволяет существенно облегчить задачу определения систем координат в информационном пространстве состояний стационарной ИС при использовании тензорного анализа.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Характеристический многочлен матрицы. URL: https://ru.wikipe-dia.org/wiki/Характеристический_многочлен_матрицы (дата обращения: 21.02.2016).

2. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука. Глав. ред. физ.-мат. лит., 1967. 575 с.

3. Андреев А.М., Можаров Г.П., Сюзев В.В. Многопроцессорные вычислительные системы: Теоретический анализ, математические модели и применение: учеб. пособие. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. 334 с.

4. Цветкович Д., Дуб М., Захс Х., Королюк В.С. Спектры графов: Теория и применение. Киев: Наук. думка, 1984. 383 с.

5. Андреев А.М., Можаров Г.П. Анализ основных параметров компьютерных систем методом спектральной теории графов // Наука и образование. М., 2011. № 10. URL: http://www. techno mag.edu.ru/doc/232774.html (дата обращения: 21.02.2016).

6. Крон Г. Исследование сложных систем по частям - диакоптика. М.: Наука, 1972. 542 с.

7. Пасечников И.И. Методология анализа и синтеза предельно нагруженных информационных сетей: монография. М.: Машино-строение-1, 2004. 216 с.

8. Клейнрок Л., Сильвестр Дж. Методы многократного использования пространства в многопролетных пакетных сетях // ТИИЭР. 1987. Т. 75. № 1. С. 187-200.

9. Межуев А.М. Совместное решение задач алгоритмической и структурной адаптации в инфокоммуникационных системах // Наукоемкие технологии в космических исследованиях Земли. СПб., 2015. Т. 7. № 6. С. 36-43.

Поступила в редакцию 2 апреля 2016 г.

UDC 519.177

DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21 -2-674-678

STRUCTURAL CHARACTERISTICS OF INFORMATION NETWORK ON THE BASIS OF THE SPECTRAL ANALYSIS OF TOPOLOGY

© A.M. Mezhuev, M.G. Tretyakov, I.I. Pasechnikov

The work shows the possibility of the spectral analysis application of counts when calculating the information networks (IN), including mobile, on the basis of identification of communication of their main structural characteristics and own values of matrix of contiguity. In relation to tensor methodology of the analysis of IN values of a range of the count allow to define a set of chains of the closed type that in turn facilitates a problem of systems of coordinates definition of conditions of stationary IN information space. Key words: spectral analysis; contiguity matrix; characteristic polynomial; diameter of network; connectivity of count; count's range.

REFERENCES

1. Kharakteristicheskiy mnogochlen matritsy. Available at: https://ru.wikipedia.org/wiki/Kharakteristicheskiy_mnogochlen_ matritsy (accessed 21.02.2016).

2. Gantmakher F.R. Teoriya matrits. Moscow, Nauka Publ., 1967. 575 p.

3. Andreev A.M., Mozharov G.P., Syuzev V.V. Mnogoprotsessornye vychislitel'nye sistemy: Teoreticheskiy analiz, matematicheskie modeli i primenenie. Moscow, Bauman Moscow State Technical University, 2011. 334 p.

4. Tsvetkovich D., Dub M., Zakhs Kh., Korolyuk V.S. Spektry grafov: Teoriya i primenenie. Kiev, Naukova Dumka, 1984. 383 p.

5. Andreev A.M., Mozharov G.P. Analiz osnovnykh parametrov komp'yuternykh sistem metodom spektral'noy teorii grafov. Nauka i obrazovanie. Elektron. zhurn., Moscow, 2011, no. 10. Available at: http://www.techno mag.edu.ru/doc/232774.html (accessed 21.02.2016).

6. Kron G. Issledovanie slozhnykh sistempo chastyam — diakoptika. Moscow, Nauka Publ., 1972. 542 p.

7. Pasechnikov I.I. Metodologiya analiza i sinteza predel'no nagruzhennykh informatsionnykh setey. Moscow, Mashinostroenie-1 Publ., 2004. 216 p.

8. Kleynrok L., Sil'vestr Dzh. Metody mnogokratnogo ispol'zovaniya prostranstva v mnogoproletnykh paketnykh setyakh. Trudy instituta inzhenerovpo elektrotekhnike i elektronike, 1987, vol. 75, no. 1, pp. 187-200.

9. Mezhuev A.M. Sovmestnoe reshenie zadach algoritmicheskoy i strukturnoy adaptatsii v infokommunikatsionnykh sistemakh.

Naukoemkie tekhnologii v kosmicheskikh issledovaniyakh Zemli, St. Petersburg, 2015, vol. 7, no. 6, pp. 36-43.

Received 2 April 2016

Межуев Александр Михайлович, Военный учебно--научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина», г. Воронеж, Российская Федерация, кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры передающих и приемных радиоустройств, e-mail: [email protected]

Mezhuev Aleksander Mikhaylovich, Military Educational-Scientific Centre of Air Forces "Air Force Academy named after prof. N.E. Zhukovski and Y.A. Gagarin", Voronezh, Russian Federation, Candidate of Technics, Associate Professor, Associate Professor of Receivers and Transmitters Department, e-mail: [email protected]

Третьяков Максим Геннадьевич, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, магистрант по направлению подготовки «Прикладная информатика» института математики, естествознания и информационных технологий, e-mail: [email protected]

Tretyakov Maksim Gennadevich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, Russian Federation, Candidate for Master Degree of Preparation Direction "Applied Informatics" of Mathematics, Natural Science and Information Technologies Institute, e-mail: [email protected]

Пасечников Иван Иванович, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, доктор технических наук, профессор, профессор кафедры теоретической и экспериментальной физики, e-mail: [email protected]

Pasechnikov Ivan Ivanovich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, Russian Federation, Doctor of Technics, Professor, Professor of Theoretical and Experimental Physics Department, e-mail: [email protected]