CC BY
20
Исследование способов классификации пифагоровых троек как элемент вариативной части математического
образования
Смольянова Елена Григорьевна старший преподаватель кафедры математического анализа факультета математики и информационных технологий janovaeg@mail.ru
Булавкин Герман Борисович студент 4-го курса факультета математики и информационных технологий Национальный исследовательский Мордовский государственный университет
имени Н.П. Огарёва ул. Большевистская, д. 68, г. Саранск, 430005, (8342) 476569, 270242
Аннотация
В статье предлагается конспект занятий по одной из тем элективного курса «Пифагоровы тройки и их классификация» для учащихся профильных (математических) учебных заведений и методическое сопровождение. Основная цель такого курса - формирование и развитие исследовательских компетенций у такой категории учащихся.
The article presents aset of lecture notes for one of the chapters of the elective course "Pythagorean triples and their classification" for students of mathematics departments of educational institutions and methodological support. The main purpose of this course is to develop researchcompetencein this particular category of students.
Ключевые слова
Современные технологии в математическом образовании, исследовательские компетенции, эвристические стратегии (методы), элективные курсы, диофантовы уравнения
Modern technologies in mathematics education, research competence, heuristic strategies (methods), elective course, Diophantine equations.
Введение
Учебный план профильного обучения математике обязывает включать элективные курсы (учебные курсы по выбору) как элемент вариативной части содержания школьного математического образования. Основная цель таких курсов-удовлетворение индивидуальных образовательных стремлений и интересов учащихся. На них, в частности, возлагается и задача обеспечения необходимой степени подготовки определённой части школьников к занятию математикой уже в рамках их будущей профессиональной деятельности. Последнее можно осуществить только за счёт развития более глубокого понимания логики математического мышления, знакомства с теоретическими и практическими методами математического исследования в рамках какой-нибудь конкретной научной проблемы [1-2]. Ясно, что формулировка этой проблемы и основные математические «инструменты», необходимые для её изучения, должны быть вполне доступны слушателям элективных курсов. Но самое главное, чтобы в рамках предложенной для знакомства темы, была
заложена возможность придумать («открыть») что-то самим. Например, обнаружить какую-нибудь интересную закономерность, не очевидную зависимость между математическими объектами, возможность, позволяющую объединить различные математические понятия по какому-нибудь общему признаку, неожиданные интерпретации, например, геометрические вовсе не в геометрических задачах и т.д. В результате такого обучения учащиеся получают ценнейшие навыки индивидуального и коллективного научного творчества (на доступном им уровне), выполняя различные творческие задания руководителя курса. На таких занятиях можно познакомить школьников с элементами программирования, а также математического и компьютерного моделирования.
Исследовательская деятельность учащихся - важная составляющая профильного математического образования. Приобщение одарённых детей к участию в школьных исследовательских проектах, предметных конференциях разного уровня, научно-образовательных форумах учащихся, интеллектуальных марафонах и пр. -неотъемлемая часть современного учебного процесса. Неоспоримым так же является факт, что любая компетенция, а исследовательская - особенно, формируется только в процессе совместной деятельности ученика и его учителя. Напомним, что она понимается как способность средствами изучаемого материала осуществлять исследовательскую деятельность в рамках соответствующей научной области (в данном случае - математики). В идеале, в процессе обучения исследовательская деятельность «под руководством»» должна развиться до уровня проектно-исследовательской, то есть деятельности по проектированию собственных исследований. Достичь такого уровня результатов можно только с помощью привлечения эвристических методов обучения, которые подразумевают особые, нестандартные, оригинальные подходы к решению и восприятию конкретных задач и задачной ситуации вообще, стимулируют и развивают интуитивное мышление, рефлексию, умение замечать «побочные», но от того не менее, может быть, перспективные, «ответвления» исследования [3-4]. Всё это в конечном итоге поможет реализовать индивидуальные способности учащихся до более высокого уровня, добиться повышения эффективности обучения и соответственно качественно новых образовательных итогов. Заметим особо, что умения рефлексировать результаты научного поиска надо специально вырабатывать у обучаемых, демонстрируя это, в частности, на собственном примере в процессе всего обучения. Обращение «к себе», к своему опыту, знаниям, индивидуальным особенностям восприятия и интерпретации информации, поможет научиться самостоятельно осознавать результаты собственной деятельности, выдвигать гипотезы, планировать следующие шаги исследования.
Считаем целесообразным предложить сначала познакомиться с материалами занятий по одной из тем авторского элективного курса «Пифагоровы тройки и их классификация» и только после этого обсудить отдельные методические моменты.
Исторический экскурс
Как известно, упорядоченная тройка (х, у, г) натуральных чисел называется пифагоровой, если х, у, г удовлетворяют следующему уравнению второй степени:
х2+у2=г2. (1)
Уже у древних вавилонян, т.е. задолго до Пифагора, встречаются упоминания о тройках чисел с таким свойством. Самая известная из них: (3,4,5). Принято говорить, что (х, у, г) — примитивная пифагорова тройка, если числа в этом наборе -взаимно простые. Поэтому такая тройка не может быть получена как «кратность» другой пифагоровой тройки. Предполагают, что в античные времена такие тройки чисел использовались для построения прямых углов. Действительно, решения уравнения (1) реализуются любым прямоугольным треугольником с катетами х,у и
гипотенузой г. В настоящее время известны разные способы нахождения (генерации) пифагоровых троек. Некоторые из них, естественно, имеют очень древнюю историю [5-6].
I. (2 •п + Ъ 2 • п • (п + 1),2 • п + 1, 2 • п • (п + 1) + 1), где пЕЫ
(Метод Пифагора).
Заметим, что при любом п разность сп — Ьп = 1.
II.(2 •п, п2 — 1, п2 + 1), где п Е Ы, п > 1.(Метод Платона (427-347 гг. до н.э.)).
При таком способе выбор нечётного п даст решение, которое повторит одно из решений метода Пифагора, а точнее, окажется его «кратностью». Вполне очевидно, что ни одним из этих алгоритмов невозможно получить все решения уравнения (1).
III. (т2 —п2, 2 •т^п, т2 + п2),где т и п — взаимно простые натуральные числа. (Метод Евклида и Диофанта).
IV. ((т2 — п2) • I, (т2 + п2) • I), где т,п,1 Е N ,т > п.
Этот способ генерации пифагоровых троек является общим в том смысле, что предъявляет общий вид всех всех натуральных решений уравнения (1) . Он упоминается в «Началах» Евклида уже около 340-287 гг.до н.э.
Известны и другие способы получения пифагоровых троек. Источником многих из них являются всевозможные алгебраические тождества. Некоторые современные алгоритмы основаны на связи генерируемых троек с так называемой корневой - их общим «предком». Этот принцип заложен, например, в следующих формулах [6]:
При этом под (х,у,г) подразумевается произвольная начальная тройка, которая «запускает» бесконечный процесс генерации. Доказано, что каждая примитивная пифагорова тройка может быть получена за счёт какого-то из трёх этих правил, если выбирать (х,у,г) = (3,4,5). Существует способы генерации, основанные на применении чисел из последовательности Фибоначчи и много разных других [7-8]. Излагать их суть в рамках данной статьи не представляется возможным. Обобщение пифагоровых троек на равенства вида
даёт так называемые пифагоровы п —наборы. Известны специально разработанные алгоритмы для отыскания пифагоровых четвёрок, пятёрок и т.д. Кстати сказать, способы получения таких наборов целых чисел представляют интерес не только для математиков, но и специалистов, занимающихся кодированием информации. Как известно, разработкой мер защиты информации занимается такая наука, как криптография. Пифагоровы п — наборы могут быть использованы при создании криптографических ключей. Но для этого необходимо, чтобы они были легко генерируемые, имелись в неограниченном количестве и появлялись по закону, который бы внешне напоминал случайный.
(х — 2 • у + 2 • г, 2 • х — у + 2 • г, 2 • х — 2 • у + 3 • г) ; (х + 2 • у + 2 • г, 2 • х + у + 2 • г, 2 • х + 2 • у + 3 • г); (—х + 2 • у + 2 • г, —2 • х + у + 2 • г,—2 • х + 2 • у + 3 • г).
2
Треугольники Паскаля и Пифагора-интеграция понятий
Все наши дальнейшие рассуждения будут связаны с применением тождества из статьи [9], в истинности которого можно убедиться непосредственно:
^ % 2 ( п^(п — 1) \ (п + 1)^(а + п^(с — Ь)) + (п^а + Ь +----(с — Ь)) =
= (
п • а + с +
п-(п+1) 2
(С — Ь))
(2)
где(а, Ь, с) — пифагорова тройка и п + 1 = к2(к Е Ы,к > 1).С помощью (2) можно, очевидно, сгенерировать любое количество пифагоровых троек (ак,Ьк,ск), исходя из произвольной пифагоровой тройки ( а, Ь, ) = ( а1, Ь1, 1) — как начальной. Например, если (а,Ь,с) = (92,2115,2117) , то первые десять результатов последовательной генерации будут такими:
Рис. 1. Результаты последовательной генерации пифагоровых троек
Перепишем (2) в следующем виде:
(п + 1)• ( С„0 •а + С^(с — Ь))2 + (С° • Ь + С^ • а + • (с — Ь))2 =
= (С^ • с + СОТ1 • а + • (с — Ь))2 (3)
Число к = с — Ь , как известно, называют ростом прямоугольного треугольника (либо самой пифагоровой тройки) с катетами а, Ь и гипотенузой с. Обратим внимание на коэффициенты элементов упорядоченных наборов (а, к), (Ь, а, к), (с, а, к):
I а катет и. рост
С0 С1
II ь катет а катет и рост
С0 С1 С2
III С гипотенуза а катет и рост
/-П—1 ьп-1 пп-1 ип /-П — 1 °п+1
Рис. 2. Блоки коэффициентов
Таким образом, формулы для расчёта генерируемых тождеством (2) пифагоровых троек можно восстановить с помощью треугольника Паскаля (с учётом особой закономерности расположения в нём блоков соответствующих коэффициентов):
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1
Рис. 3. Расположение блоков коэффициентов в треугольнике Паскаля
Применение к решению диофантова уравнения т • х2 + у2 = г2.
Ясно, что тождеством (2) в случае не целого \1п + 1 можно находить любое количество целочисленных решений диофантова уравнения
т • х2 + у2 = г2, (4)
(т Е И,х,у,г Е I). При этом общий вид решений такой:
(х,у,г) = (х(а,Ь,с),у(а,Ь,с),г(а,Ь,с)), где (а, Ь, с) — произвольная пифагорова тройка. Приведём пример. Найдём десять натуральных решений следующего уравнения вида (4):
13 •х2 +у2 = г2.
Десять пифагоровых троек (а1,Ь1,С1)(1 = 1,2,... ,10) , необходимых для решения поставленной задачи, возьмём из Рис. 1. Подставим п = 12 в равенство (2):
13 • (<ц + 12 • (С1 — Ь1))2 + (12 •а1 + Ь1 + 66 • (С1 — Ь1))2 =
= (12^а1+с1 + 78^(с1 — Ъ1))2.
Заметим, что
Ьк = ск — Ък = — Ъ1) • к2 = 2 • к2, (кеК,к>1) при генерации пифагоровых троек с помощью (2). Следовательно,
Х1 = а1 + 24^ I2,
у1 = 12 • а1 + Ъ1 + 132 • I2 , г1 = 12 • а1 + с1 + 156 • I2, (I = 1,2,...,10).
Представим результаты расчётов:
(Х1,у1,г^ (116,3351,3377)
(Х2,У2,г2) (292,5277,5381)
(Хз,уз,гз) (540,7983,8217)
(х4,у4,г4) (872,11673,12089)
(х5,у5,г5) (1300,16575,17225)
(х6,у6,г6) (1836,22941,23877)
(Х7, у7, ) (2492,31047,32321)
(Х8,у8,?8) (3280,41193,42857)
(х9,у9,г9) (1212,53703,55809)
(Х10,у10,^10) (5300,68925,71525)
Рис.4. Десять решений диофантова уравнения(4) при т = 13
Нахождение корневых пифагоровых троек
Обратимся снова к тождеству (2). Выпишем формулы для вычисления ак, Ък и
с к:
ак
= \1п + 1 • а — \1п + 1 •!!• Ъ + \1п + 1
■п^ с,
Ък = п^ а
ск = п • а — ■
(п-2)-(п+1)
2
п-(п+1) 2
Ъ +
(5)
(напомним, что п + 1 = к2 ). Например, полагая п = 3 , п = 8 и п = 15 получим соответственно следующие правила генерации пифагоровых троек:
(2 • а — 6 • Ъ + 6 • с, 3 • а — 2 • Ъ + 3 • с, (3 • а — 24 • Ъ + 24 • с, 8 • а— 27 •Ъ+ 28 • с, (4 • а — 60 • Ъ + 60 • с, 15^а — 104^Ъ + 105^с,
3 • а — 6 • Ъ + 7 • ), 8 • а — 36 • Ъ + 37 • с), 15 • а — 120 • Ъ + 121 • ).
Рассматривая же (5) как систему линейных уравнений относительно неизвестных а, Ъ и , мы можем в каждой конкретной сгенерированной последовательности пифагоровых троек перемещаться и в обратном направлении: от тройки (ак, Ък, ск) к тройке (а, Ъ, с) = (а1, Ъ1, с1) как корневой по отношению к любой из троек в этой последовательности. То есть все такие пифагоровы тройки в «пределах» одной последовательности троек находятся в отношении «предок-потомок». Но прежде поймём, как мы будем осуществлять однозначный выбор значения к > 1, зная, что
ск — Ък = (С1 — Ъ1) • к2.
2
2
<
кк = ск — Ък = (с1 — Ъг) • к2 = 2 • 12 ^к = 1.
Договариваемся, что тройку в роли корневой для любой(ак,Ьк,ск) мы ищем исключительно с ростом, равным 1 или 2, т.е. при любом к > 1^(с — Ь) Е {1; 2}. Так, если
(ак,Ък,ск) = (150720,607009,625441), то соответствующее значение роста:
Ик = ск — Ьк = (С1 — Ь1)^к2 = 2^962.
Следовательно,
с — Ь = 2, к = 96. Другое «предложение» для к, например, к = 48 — считаем недопустимым, хотя формально оно тоже подходит:
Ик = 2 • 962 = 8 • 482. Обратим внимание ещё на одно обстоятельство. Так, в случае,
(ак,Ьк,ск) = (6,8,10)
получаем, что
\ = —Ок = (С'1 — 01)
Это может означать только одно: такую тройку можно обсуждать только в «статусе» корневой и никак иначе.
Кроме того, считаем вполне допустимым получать корневыми тройки, состоящие из неположительных, но целых, решений уравнения (1). Будем называть их (в рамках нашего исследования) тоже пифагоровыми тройками. Все заявленные выше договорённости понадобятся нам в дальнейшем при поиске способов классификации пифагоровых троек.
Замечание. С учётом того, что значение к будет определено однозначно для каждой тройки (ак,Ък,ск) , предлагаем систему уравнений (5) преобразовать к следующему равносильному виду:
_ а^—к• п-(с-Ь)
а = к '
п^а + Ъ = Ък—^—)^(с — Ъ), (6)
^•а + с = ск--— • (с — Ь).
Заметим, что матрица её коэффициентов и обратная к ней имеют нижнетреугольный вид:
1 0 0 1 0 0 А = (п 1 0); А-1 = ( — п 1 0). \п 0 1/ V —п 0 1)
Приведём пример. Найдём, например, корневую тройку (а1, Ь1, с1)для тройки (ак,Ьк,ск) = (150720,607009,625441). Поскольку значение к выше было однозначно найдено, нам остаётся выполнить только расчётную часть:
п^ (п — 1) п^ (п + 1)
п = к2 — 1 = 962 — 1 = 9215 ^---- = 42453504; ---- = 42462720
22 и решить соответствующую систему уравнений вида (6):
150720 — 96 • 9215 • 2
в =-96-,
9215 • 9214
9215 •а + Ъ = 607009 ---2 ,
2
9215 • 9216
9215 • а + с = 625441 ---2.
2
В результате будем иметь: (а,Ъ,с) = (—16860,71064899,71064901).
Если же применять при решении этой задачи систему уравнений (5),то ту же тройку
(а, Ь, с) = (—16860,71064899,71064901) мы найдём из такой системы:
С 96•а - 884640•Ь + 884640•с = 150720, {9215 •а - 42453504•Ь + 42462720•с = 607009, {9215 •а - 42462720•Ь + 42462721•с = 625441,
поскольку
\1п + 1 • п = 884640,
!!• (п — 1) П^ (п + 1)
---- = 42453505, ---- = 42462720,
22 (п — 2)^(п + 1) п2 +п +2
--—--= 42453504, -= 42462721,
22 Программируя связи (5) между элементами генерируемых троек, можно предъявить «списочный состав» всех «родственников» корневой тройки, например в виде, представленном на Рис.5.
Поиск классификационного признака пифагоровых троек
Договоримся не различать «кратные» пифагоровы тройки (а • I,Ь • I, с • I), (I Е Я), отождествляя их все с тройкой (а, Ь, с), рост й, которой равен либо 1, либо 2. В статье [10], например, алгоритм формирования (и соответственно признак различия) пифагоровых троек определяется как раз значением разности с — Ь, т.е. ростом прямоугольного треугольника с катетами а, Ь и гипотенузой с. А именно, установлено, что «бесконечное множество пифагоровых троек содержит бесконечное число подмножеств, различающихся по признаку разности величин с — Ь».. Поставим задачу поиска такой классификационной характеристики, которая позволит различать разные подмножества пифагоровых троек по признаку принадлежности их к разным «генеалогическим предкам». Итак, пусть (ак,Ьк,ск)— произвольная пифагорова тройка, полученная из (2) при к > 1. Введём в рассмотрение соответствующую ей
тройку (1, — рациональных чисел и будем её называть (дробной) копией
последней. Нетрудно проверить, что
Ьк = 2'{ш-Гг(х)); ак = 2'{ш+^^
где
х а а + Ь — с
х2 + г п с — Ь
а тройка (а, Ь, с) —корневая для (ак, Ьк,ск). Так, для
(ак,Ьк,ск) = (150720,607009,625441) получаем, с учётом предыдущих результатов, что
а + Ь — с —16860 + 71064899 — 71064901 —16860
г =-=-=-- 1 = —8431.
— Ь 71064901 — 71064899 2
Упражнение. Доказать, что
11 Ш-fЛ1) = ш-fЛr).
На Рис.6 представлен общий вид графика функции
при отрицательном значении параметра и изображения нескольких копий. Покажем, что мы сможем различать пифагоровы тройки по значению . Иначе говоря, можно будет использовать этот параметр в качестве классификационного признака,
поскольку частное гк = —— 1 определяется исключительно выбором начальной
тройки (а, Ъ, с) и номером к. Убедимся в этом:
ак
Гк =;—г — 1*
Ск — Ьк
_^(п^а + п2 •(с — ь)) _а + к2 •(с — Ь) — (с — Ь) _
Гк + 1= к2^(с — Ъ) = к • (с — Ь) =
а + Ь — с г 1
= к + к^с — ъ) = к + к = Щ),к>1
и, значит, гк =
к + -—1, к > 1. Выясняется, что г, гк и номер к удовлетворяют следующему уравнению связи:
к2 — (1 + гк) • к + г = 0. А вывод состоит в следующем: мы научились различать тройки (а'к, Ь'к, с'к) и (а", Ь!г',с'"), которые формально связаны с одним и тем же положительным решением (|а|,Ь,с) уравнения (1), по признаку г' Ф г". Аналогично и тройки (А,В, С), (В,А, С) будут различаться по значению г. Так, если (ак, Ък, ск) = (20,21,29), то
3
Ик=ск—Ьк = 22^2*к = 2,рк=р2=~.
Тогда (4,3,5) - корневая тройка с г = 1. Это её будет отличать от пифагоровой тройки (3,4,5) с г = 2.
-377040, 61700449, 61701601), к = 24 -363492, 62441075, 62442133), к = 23 -349668, 63154325, 63155293), к = 22 -335580, 63839659, 63840541), к = 21 -321240, 64496561, 64497361), к = 20 -306660, 65124539, 65125261), к = 19 -291852, 65723125, 65723773), к = 18 -276828, 66291875, 66292453), к = 17 -261600, 66830369, 66830881), к = 16 -246180, 67338211, 67338661), к = 15 -230580, 67815029, 67815421), к = 14 -214812, 68260475, 68260813), к = 13 -198888, 68674225, 68674513), к = 12 -182820, 69055979, 69056221), к = 11 -166620, 69405461, 69405661), к = 10 -150300, 69722419, 69722581), к = 9 -133872, 70006625, 70006753), к = 8 -117348, 70257875, 70257973), к = 7 -100740, 70475989, 70476061), к = 6 -84060, 70660811, 70660861), к = 5 -67320, 70812209, 70812241), к = 4 -50532, 70930075 , 70930093), к = 3 -33708, 71014325, 71014333), к = 2 -16860, 71064899, 71064901), к = 1
Рис.5. Фрагмент генеалогического древа пифагоровой тройки (1 50 720,607009,625441)
Средства формирования исследовательских компетенций
А теперь, как и обещали, отметим, какими именно средствами в данном элективном курсе предполагается достичь вышезаявленных результатов обучения.
1) Выбранная тематика курса относится к элементарной теории чисел и такой её раздел, как «Диофантовы уравнения», вполне допускает получение определённого (посильного для учащихся классов с углубленным изучением математики) вклада в развитие существующих подходов и алгоритмов решения соответствующих типов задач.
2) Исторический экскурс - необходимая часть элективных курсов по математике (в адекватном объёме) поскольку, как известно, математика -общекультурная ценность и инструмент познания мира и самого себя.
3) Тождество (2), которое положено в основу исследования, во-первых, -авторское, а, во-вторых, - удачно в том смысле, что допускает развитие за счёт различных математических интерпретаций, вполне доступных для слушателей курса. И здесь главная роль отводится руководителю курса как «подводящему» к этим интерпретациям и помогающему в их реализации.Например, если суметь усмотреть возможность преобразования тождества (2) за счёт привлечения биномиальных коэффициентов (эвристика!), то обнаружится неожиданная связь между понятиями из разных предметных областей математики (т.е. интеграция понятий) -треугольником Пифагора (геометрический объект) и треугольником Паскаля (алгебраический объект). Это уже означает, что в тот момент были сделаны первые шаги на пути к открытию. Моё глубокое профессиональное убеждение состоит в том, чтобы «разрешать» обучаемым делать «открытия».И в этом контексте учитель осознаётся как «руководитель» этого открытия.При этом основным математическим инструментом должно стать умение преобразовывать исследуемые объекты - тождества, уравнения, условия связи и т.д., поскольку идея преобразование - это основа основ в математике.
Побочное свойство тождества (2) выразилось в возможности применения этого тождества к решению диофантова уравнения вида (4). И здесь слушателям курса демонстрируется профессиональное стремление математика и, исследователя вообще, проанализировать все возможные ответвления от основной задачи. Этому надо учить учащихся, которые хотят знать больше о методах решения и интерпретации математических задач, потому что они изначально имеют высокий уровень интереса и мотивации к изучению математики.
На протяжении всех занятий, предусмотренных программой этого курса, учащиеся имеют возможность получать конкретные результаты совместной исследовательской деятельности в виде сгенерированных с помощью (2) решений различных типов уравнений Диофанта и, что не менее важно, непосредственно проверить истинность этих расчётов. Например, что действительно
13 • 53002 + 689252 = 715252
или что
(—16860)2 + 710648992 = 710649012. Это их должно вдохновить на продолжение теоретических исследований и выдвижение новых гипотез. Даже просто из любопытства, учащиеся захотят посмотреть, «что из этого получиться» (за время обучения они наверняка уже увлеклись происходящим).
4) Генерация пифагоровых троек, находящихся в отношении «предок-потомок» - процесс, который непременно вызовет интерес у слушателей курса. Очевидная причина - во-первых динамика, движение, заложенное в этом процессе, а во-вторых, возможность вернуться в любой момент к началу. Это даёт особое ощущение неразрывности, преемственности связей и создаёт условия для развития рефлексии.
5) Поиск классификационного признака пифагоровых троек - реальная современная научная проблема, решением которой занимаются как профессионалы, так любители математики.И тот факт, что мы «делимся» с учащимися этой математической проблемой и даже рассчитываем на определённый прогресс в её решении - уже демонстрирует доверие к их знаниям и эвристическим возможностям. Конечно, сначаланужно познакомить слушателей с некоторыми известными подходами к такой классификации.
6) Реализация межпредметных связей прослеживается в момент появления в исследовании функций /- (х) и их графиков. Предлагая учащимся построить графики таких функций и копии пифагоровых троек, написав соответствующую программу на уроке информатики, мы только расширяем эти связи. Вообще, всякая возможность визуализировать результаты исследования или запрограммировать их, должна приветствоваться. Кроме того, способы получения бесконечных наборов целых чисел представляют интерес не только для математиков, но и специалистов, занимающихся кодированием информации.
Литература
1. Элективные курсы в профильном обучении: Образовательная область «Математика» // Учебное издание (общая редакция А.Г.Каспржака) /Министерство образования РФ. - Национальный фонд подготовки кадров. - М.: Вита-Пресс, 2004.-96 с.
2. Сикорская Г.А. Из опыта разработки элективных курсов математического направления в профильной школе. - Вестник МГОУ. Серия «Педагогика», №4, М.: Изд-во МГОУ, 2008.-172 с.
3. Смольянова Е.Г., Малышкина Н.В. Исследовательская работа учащихся в условиях лицея // Математика / Издательский дом «Первое сентября». -2009. -№19. - С. 26-27.
4. Смольянова Е.Г., Малышкина Н.В. Гипербола и биквадратные уравнения // Математическое образование. - 2018. - №1(85).- С. 5-9.
5. Гельфонд А.О. Решение уравнений в целых числах. - М.: ГРФМЛ, 1978. - 63c.
6. Деза Е.И. Специальные числа натурального ряда: Учебное пособие / Е.И. Деза. -М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2011. - 240 с.
7. Дружинин В.В. Метод квадратичного тождества при решении диофантовых уравнений // Научно-технический вестник Поволжья. Физико-математические науки: Казань. -2013, №1. - С 19-23.
8. Коротков А.В. Таблицы чисел Пифагора, Диофанта, Фибоначчи. Ч. 3. Новочеркасск: Изд-во НОК, 2016. - 46 с.
9. Смольянова Е.Г., Воробьева У.А. Об одном методе генерации пифагоровых
п —наборов и некоторых их обобщений // XXI научно-практической конференции молодых учёных, аспирантов и студентов Национального исследовательского МГУ им. Н.П.Огарёва. Естеств. науки. - Саранск, МГУ, 2017. - С. 171-174.
10. Бескровный И.М. Системный анализ свойств пифагоровых троек // Современные наукоёмкие технологии. -2013. - №11. - С. 135-142; URL: http ://www .top-technologies.ru/ru/article/view?id=33537(дата обращения:01.01.2019).
