CC BY
82
ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том б. № 3 (2014). С. 98-111.
УДК 514.17 : 517.547.2 ТЕОРЕМА ХЕЛЛИ И СДВИГИ МНОЖЕСТВ. I
Б.Н. ХАБИБУЛЛИН
Аннотация. Мотивировка рассматриваемых геометрических вопросов — исследование условий, при которых экспоненциальная система функций с показателями, являющимися нулями некоторой суммы (конечного или бесконечного) семейства целых функций экспоненциального типа, неполна в пространствах функций, голоморфных внутри компакта С и одновременно непрерывных на компакте. Когда С — выпуклый компакт, эта задача оказалась тесно связанной с Теоремой Хелли о пересечении выпуклых множеств в следующей трактовке. Пусть С и S — два множества в конечномерном евклидовом пространстве, заданные соответственно как пересечения и как объединения некоторых подмножеств. Даются критерии, при которых некоторый параллельный перенос (сдвиг) множества С полностью покрывает (соответственно содержит, соответственно пересекает) множество S. Эти критерии и подобные им формулируются в терминах геометрических, алгебраических и теоретико-множественных разностей подмножеств, порождающих С и S.
Ключевые слова: теорема Хелли, неполнота систем экспонент, выпуклость, сдвиг, геометрическая, алгебраическая и теоретико-множественная разности.
Mathematics Subject Classification: 52A35, 52A20
1. Введение
1.1. Источником наших исследований послужила следующая задача, которую пока в целях простоты изложения обсуждаем в этом пункте только в одномерном комплексном упрощенном варианте. Подробное изложение, включая многомерную ситуацию, дано в заключительном разделе второй части работы.
Рассмотрим не более чем счетную последовательность точек Л = [А&}k>i на комплексной плоскости C без точек сгущения в ней, среди которых могут быть и повторяющиеся. Последовательности Л сопоставляется система (кратных) экспонент
ЕхрЛ := [zpeXkz: z G C, 0 ^ p ^ пл(\к) — 1},
где пл{A) — число повторений точки Л G C в последовательности Л. Ненулевой целой функции экспоненциального типа L соответствует последовательность нулей Zero^, перенумерованная с учетом кратности. При этом Л ^ Zero^ означает пл(А) ^ nZerOL(А) для всех A G C. Индикатор роста
h(e, В := limsup l0g IL(te<">' , 0 G R, (1)
t>0,t^+^ t
— непрерывная 2^-периодическая тригонометрически выпуклая функция [1]—[3], которая является опорной функцией некоторого выпуклого компакта (индикаторной диаграммы), или опорной функцией hs(0) = h(—6,L) сопряженной диаграммы S функции L. Пусть
B.N. Khabibullin, Helly’s Theorem and shifts of sets. I.
© ХАВивуллин Б.Н. 2014.
Работа поддержана РФФИ (грант 13-01-00030-a).
Поступила 25 февраля 2014 г.
теперь С — компакт в С, задана последовательность ненулевых целых функций {Ь^} экспоненциального типа соответственно с сопряженными диаграммами в к, к = 1, 2,..., сумма которых ^2к равна целой функции Ь экспоненциального типа. Если существует сдвиг компакта С, покрывающий все множества семейства § = {51,52,... }, и функция Ь — ненулевая функция, то для любой последовательности Л ^ Zero^ система ЕхрЛ неполна в пространстве Но1(П) голоморфных в области П функций для любой области П 3 С в естественной топологии равномерной сходимости на компактах. Возникает вопрос: при каких условиях сдвиг компакта С покрывает объединение сопряженных диаграмм вк ? Ока-
залось, что задача поддается различным вариантам решения с помощью Теоремы Хелли, если компакт С — выпуклый. С переспективой дальнейших применений мы рассматриваем случаи, и когда сам компакт С задан как пересечение выпуклых компактов. Ответы даются в терминах геометрических разностей множеств или же в терминах опорных функций. В целях предстоящих приложений, в частности, к теории целых функций вполне регулярного роста, которые мы в настоящей работе пока не затрагиваем, и для полноты изложения рассмотрены также и ситуации, когда вместо геометрических разностей используются алгебраические или теоретико-множественные разности множеств.
Работа разбита на две части, что представляется естественным, поскольку первая часть носит чисто геометрический характер, а вторая часть — более алгебраический и, прежде всего, теоретико-функциональный характер. Результаты работы были частями анонсированы на конференциях [4]—[7].
1.2. Всюду N и R — множества натуральных и вещественных чисел и для п G N R™
— n-мерное (векторное или точечное аффинное) евклидово пространство с обычным скалярным произведением {•, •), а его элементы — векторы или точки. Символ 0 обозначает и число нуль, и нулевой вектор, и начало отсчета.
Далее, зачастую не указывая на конкретный источник, пользуемся близкой к общепринятой терминологией, обозначениями и широко известными фактами из [8]—[13]. Так, A х B := [(a,fl): a G A,fl G B} — декартово произведение множеств A, B. Для множества S произвольной природы card S — мощность S, т. е. для конечного множества S —число элементов в нем. Для S С R™ через int S и co S обозначаем внутренность и выпуклую оболочку множества S. Для х G R™ полагаем |ж| := \J{х, х), х G R™, В(х, г) := {у G R™: |у — ж| < г} — открытый шар с центром х радиуса г > 0. Соглашение. Когда речь идет о выборе набора элементов из множества или наборе множеств из семейства множеств, удобно допускать, что в этом наборе могут быть повторяющиеся соответственно элементы или множества.
В первой части работы предприняты исследования, продиктованные классической Теоремой Хелли о выпуклых множествах начала XX века, которую в одной из самых простых начальных форм можно напомнить в виде [8, Введение]: пусть некоторое семейство S выпуклых множеств в R™ конечно или каждое множество из него замкнуто и ограничено; тогда, если пересечение любых п +1 множеств из S непусто, то непусто и пересечение всех множеств из S (подробнее Теорема Хелли о выпуклых множествах сформулирована ниже в начале раздела 2). Некоторое представление (очень далекое от полного) о необъятном объеме публикаций по Теореме Хелли можно почерпнуть из ссылок и списка литературы статьи. Если обсуждение результата или чьей-либо работы имеются в каких-нибудь обзорах или монографиях, то именно на последние дается ссылка. Здесь мы развиваем в различных направлениях одно из ключевых следствий Теоремы Хелли. Сформулируем его в виде теоремы.
Результат параллельного переноса множества S С R™ будем называть сдвигом множества S. Следующее важное следствие теоремы Хелли доказано независимо и в различной
степени общности П. Винченцини (1939 г.) и В. Кли (1953 г.), а родственные вопросы рассматривал М. Эдельштейн (1958 г.).
Теорема УХБ (Винченцини—Кли—Эдельштейна [8, 2.1]). Пусть семейство § выпуклых множеств конечно или состоит только из компактов, а С С К™ — выпуклое, но, дополнительно, ограниченное и замкнутое, если § бесконечно. Тогда существование сдвига множества С, который «покрывает всё» (аналогично «пересекает всё», аналогично «содержится во всех») множества из §, полностью обеспечивается существованием такого рода сдвига для каждого набора п + 1 множеств семейства §.
2. Теоремы Хелли о выпуклых множествах
Нам потребуется ряд модификаций классической Теоремы Хелли [8]—[13].
Определение 1. Ненулевой вектор у € К™ называем направлением звёздности1 для множества С С К™ (относительно бесконечности), или направлением рецессии, если для любой точки с € С луч
Гу (с) := {с + гу: Ь > 0} (2)
содержится в С. Вектор у € К™ называется направлением линейности, если как у, так и противоположный ему вектор —у — направления звёздности для множества С, т. е. для каждой точки с € С прямая
1У(с) := {с + гу: г € Е} = гу(с) и (г-у(с)) = 1-у(с)
содержится в С. Множество С полиэдрально, если С — пересечение конечного числа замкнутых полупространств, определяемых конечной системой линейных неравенств вида
(а,х) — Ь ^ 0 при некоторых а € К™, Ь € К. (3)
Очевидно, для пустого подмножества в К™ и для самого К™ любой ненулевой вектор — направление звёздности и линейности. Кроме того, 0 С К™ и К™ еще и полиэдральны, поскольку 0 может рассматриваться как множество решений любой несовместной конечной системы линейных неравенств вида (3), а К™ = {х € К™: (0,х) ^ 0}.
Теорема Хелли (о выпуклых множествах). Пусть для семейства
С := {Са: а € А}, А — множество индексов, (4)
выпуклых множеств Са в К™ выполнено одно из двух условий:
(Г) множество индексов А конечно (условие конечности [8, Введение]);
(ё) все множества Са, а € А, замкнуты (условие замкнутости) и для некоторого конечного подмножества А0 С А все множества Са полиэдральны при а € А0, а всякое направление звёздности, общее для всех множеств Са, а € А, есть направление линейности для множеств Са при всех а € А \ А0 (условие на направления звёздности [9, Теорема 21.5], [14]).
Если пересечение любого набора п +1 множеств (см. Соглашение из Введения) из этого семейства С непусто, то и пересечение всех множеств из него непусто.
Замечание 1. Теорема Хелли о выпуклых множествах имеет место и при следующем более простом, но при этом и более жестком по сравнению с условием (ё) ограничении (Ь) все множества Са, а € А, замкнуты (условие замкнутости) и для некоторого подмножества А' С А пересечение [)аеА, Са непусто и ограничено (условие ограниченности [15, Теорема 5], [16, 1.1]).
1 Можно еще сказать, что любая точка в С «из бесконечности видна в направлении —у» (ср. с понятием множества, звёздного относительно точки из этого множества [10, Определение 7.1]). Иначе говорят, что С удаляется в то по направлению у [9, гл. II, § 8].
Это условие — частный случай условия (d), поскольку при выполнении (b) можно выбрать Ао = 0, а общих направлений звёздности для всех множеств Са, а Е A, попросту не существует по условию ограниченности. По этой причине версия Теоремы Хелли о выпуклых множествах с ограничением (b) не вошла в основную формулировку Теоремы Хелли.
3. Разности множеств и вспомогательные результаты
о геометрической разности
Определение 2. Пусть S,C — произвольные множества в М™.
Теоретико-множественную разность, или разность, этих множеств обозначаем в наиболее распространенной форме С \ S := {х Е R™: х Е С,х Е S}.
Для А Е R полагаем XS := {As: s Е S} — произведение S на число А. При этом полагаем
-5 := (—1)S.
Геометрическая сумма, или сумма Минковского, множеств S и С совпадает с их алгебраической, или векторной, суммой и задается как1
5 + С := {s + с: s Е S,c Е С}С R™. (5)
В частности, для х Е R™ полагаем S + х := S + {ж} =: х + S — сдвиг, или параллельный перенос, множества S на вектор х.
Геометрическая разность, или, довольно часто, разность Минковского [10, Определение 8.5], этих множеств определяется как
С — 5 := {х Е R™: 5 + ж С С} С Rn, (6)
где мы используем широко применяемое обозначение2 Л. С. Понтрягина [17], [18,
§ 2, C. Геометрическая разность], [13], [19]. В частности, для х Е Мп полагаем С — х := С — {ж} = С + (-ж) — сдвиг С на —х. Тогда С — S = Р|seS(С — s).
Алгебраическая, или векторная, разность этих множеств, также зачастую называемая, в разногласии с (6), разностью Минковского3, определяется как
С — S := С +(—1)S = {с — s: с Е C,s Е S} = С + (—S). (7)
Отметим, что при С = 0 и card S > 1, вообще говоря, С — S С С — S = С — S (см. [10, гл. I, § 8, Определение 8.5, Предостережение], [13, Предложение 1.1.1, Замечание 1.1.1]).
Для доказательства основной Теоремы 1 будет частично использована следующая элементарная, но представляющая самостоятельный интерес
Лемма 3.1 (о наследовании геометрической разностью свойств «уменьшаемого»). Для пары произвольных множеств S,C С R™ если
[cl] множество С замкнуто, то и геометрическая разность С — S замкнута;
[bd] С ограничено и S = 0, то и геометрическая разность С — S ограничена;
[co] множество С выпукло, то и геометрическая разность С — S выпукла;
[ds] у — направление звёздности для С, то у — направление звёздности и для С — S;
[dl] у — направление линейности для С, то у — направление линейности и для С — S; [ph] С полиэдрально, то и геометрическая разность С — S полиэдральна.
Часть результатов (но не все) этой Леммы при специальном ограничении выпуклости множества С могла бы быть доказана из простого равенства для геометрических разностей С — S = С — co S, но мы предпочли прямые доказательства для всех случаев.
1У некоторых авторов для операции суммы Минковского используется символ ®.
2Распространены и другие обозначения для операции геометрической разности множеств. Так, в [10, Определение 8.5] используется обычный знак минус — , символы + в [20, § 1], [21], [22] или — в [23, Определение 1] и т. п.
3Иногда с использованием для обозначения операции алгебраической разности знака 0.
Доказательство. [о1| Доказано в [19, Теорема 12.3], но мы даём чуть иное доказательство подробнее. Если С = 0, то С—в = 0, когда в = 0, и С — в = К™, когда и в = 0, т. е. С — в замкнуто в любом случае. Если же С = 0,а Хк Є С — Б, Хк Є К™, к Є N и существует предел Хк = х, то для любого в Є имеем в + Хк Є С и 8 + X = + Хк) Є С
в силу замкнутости множества С. Отсюда в + х С С, т. е. х = 1іт^те Хк Є С — в.
[Ъ^ Если С = 0, то для в = 0 имеем С — в = 0 — ограниченное множество. Пусть теперь С = 0. Тогда С С В(0,г) для некоторого г > 0. Зафиксируем какой-либо элемент в Є 5. Если х Є С — в, то з + х Є В(0,г) и х Є В(0,г + |з|). Отсюда С — в С В(0,г + |з|) и ограничено ввиду фиксированности г и з.
[со] Доказано в [19, Теорема 12.4], но мы доказываем несколько больше (см. ниже (9)). Если х\,х2 Є С — Б, то + х1 С С и $ + х2 С С, а для любых чисел А^ А2 Є К имеем Аі^ + \1х1 С \1С и Х2в + \2х2 С \2С. Отсюда ввиду включения (Л1 + Х2)в С Х1в + Х2в и равенства \1С + \2С = (Л1 + \2)С при А1 ■ Л2 > 0 для выпуклого С [10, Теорема 8.2]
получаем
(А1 + \2)Б + (А1Ж1 + Х2Х2) С А^ + Л2$ + Х1Х1 + А2Ж2 = (А^ + А1Ж1) + (А2$ + А2Ж2)
С \-\_C + \2С = (А1 + А2)С*, при условии А1 ■ А2 > 0. (8)
Таким образом, доказано утверждение: для в С К™ и выпуклого множества С С К™ для любых А1, А2 Є К при А1 ■ А2 > 0 справедливы соотношения
\1(С — 5) + \2(С — в) С (А1 + \2)С — (А1 + \2)в = (А1 + ^)(С — 5), (9)
где последнее равенство приведено в [13, Предложение 1.1.1, второе равенство после
(1.1.3)]. При этом [со] — частный случай этого утверждения при значениях А1,А2 > 0
и А1 + А2 = 1.
Возможно и иное доказательство [со]. Если в + х С С, то со($ + х) С со С, откуда со Б + х С со С и х Є со С — со в. Отсюда С — в С со С — со 5. Очевидно, С — в 3 С — со в, поскольку в С со в. Таким образом,
С — со 5 С С — 5 С со С — со 5 для любых С, в С К™
и
С — в = С — со в, если С — выпуклое множество. (10)
Но геометрическая разность двух выпуклых множеств — выпуклое множество [10, Теорема 8.8], откуда ввиду (10) вновь следует [со].
^8]. Из комментариев после Определений 1 и 2 утверждение верно для С = 0 или в = 0. Пусть теперь у — направление звёздности для С. По Определениям 1 и 2 это означает, что С + Ьу С С для любого числа і > 0. Тогда для х Є С — 5, т. е. + х С С, получаем 5 + (х + Ьу) С С + Ьу С С при всех і > 0. Следовательно, х + Ьу Є С — в при каждом і > 0. По Определению 1 вектор у — направление звёздности для С — в.
[Ш]. По Определению 1 это утверждение — очевидное следствие предыдущего.
[рЬ]. Из комментариев после Определения 2 если С = 0, то С — Б = 0, когда Б = 0,
и С — в = К™, когда в = 0. Таким образом, из комментариев после Определения 1 при
С = 0 разность 0 — Б полиэдральна. Аналогично при Б = 0 разность С — Б = С — 0 = К™
— полиэдральное множество.
Пусть теперь С = 0 и в = 0. По Определению 1 полиэдральное множество С задается конечной системой линейных неравенств вида (3), т. е. для некоторого конечного набора векторов а,к Є К™ и чисел Ьк Є К, к = 1,... ,т Є N
С = {х Є К™: {а,к,х) — Ьк ^ 0,к = 1,... т}. (11)
Точка х принадлежит С — S, т. е. S + х С С, если и только если х + s Е С для любого s Е S. Отсюда по описанию (11) х Е С — S, если и только если
(ak, х) + (ak, s) — bk ^ 0 для всех s Е S, к = 1,... ,т. (12)
Если хотя бы для одного номера к здесь sups€iS(ak, s) = +то, то С — S = 0 полиэдрально. В противном случае (12) эквивалентно конечной системе линейных неравенств
(ak, х) — b'k ^ 0, к = 1,... ,т, где b'k := bk — sup(ak, s) Е R, (13)
seS
поскольку S = 0. Последняя система полностью определяет С — S. □
Далее также потребуется обратная к пп. [ds] и [dl] Леммы 3.1
Лемма 3.2. Пусть С — замкнутое выпуклое множество в R™, S С R™, S = 0, и у Е R™ — направление звёздности (соответственно направление линейности) для С — S = 0. Тогда у — направление звёздности (соответственно направление линейности) для С.
Доказательство. По Определению 1 достаточно доказать Лемму 3.2 для направлений звёздности у. Условия Леммы 3.2 означают, что для любой точки х Е С — S = 0 луч гу(х) из (2) содержится в С — S. Другими словами, S + х С С влечет за собой S + гу(х) С С.
Рассмотрим произвольный элемент s Е S = 0. Тогда s + х Е С и s + х + ty Е С для любого
t > 0. Таким образом, для некоторой точки s + х Е луч 1у(s + х) содержится в С.
Предложение 1 ([9, Теорема 8.3]). Если С С R™ — замкнуто и выпукло и для некоторой точки с Е С луч гу(с) (соответственно прямая 1у(с)) содержится в С, то С звёздно (соответственно линейно) в направлении у.
По этому Предложению у — направление звёздности для С. □
4. Покрытие сдвигами и геометрическая разность
Как будет пояснено в конце этого раздела, развитием существенной части Теоремы VKE [8, 1, 2.1] и одним из обобщений Теоремы Хелли может считаться
Теорема 1 (о покрытиях сдвигами). Пусть C — семейство выпуклых множеств в R™ из (4), а также задано семейство произвольных множеств
S := {S/з С R™: /3 Е B}, B — множество индексов. (14)
Допустим, что выполнено условие конечности (F) card А < то и card{^ Е B: Sp = 0} < то
или для C выполнено условие (d) из Теоремы Хелли, но с дополнительными ограничениями А0 = 0 или cardB < то. Положим
С := П Са) S := U Sp. (15)
«ел рев
Следующие четыре утверждения попарно эквивалентны (с учётом Соглашения из Введения) :
(T) некоторый сдвиг множества S содержится в множестве С;
(C) для любого набора п +1 множеств из C некоторый сдвиг множества S содержится в пересечении этого набора п +1 множеств;
(S) для любого набора п +1 множеств из S некоторый сдвиг множества С покрывает, (включает в себя) все п + 1 множеств из этого набора;
(CS) для любых наборов п +1 индексов
ац,... ,«n+l Є A и Pl,...,Pn+l Є B (16)
пересечение
n+l
П (°а
k=l
геометрических разностей Cafc — Spk непусто.
Условие (17) в (CS) по Определению 2 геометрической разности можно заменить на любое из следующих двух эквивалентных ему условий:
(CSC) для любых наборов индексов (16) существует вектор х Е R™, для которого сдвиги Spk + х содержатся в Cafc при всех к = 1,... ,п + 1;
(CSS) для любых наборов индексов (16) существует вектор х Е R™, для которого сдвиг Сак — х покрывает Spk при всех к = 1,... ,п +1.
Теперь мы можем дать
Доказательство Теоремы 1. Если S = 0, то из (15) все Sp = 0 и каждое из четырех утверждений-высказываний Теоремы 1 о сдвигах истинно. Если хотя бы одно из множеств Са пусто, то С = 0 и каждое из четырех утверждений Теоремы о сдвигах с учетом Соглашения из Введения влечет за собой пустоту всех Sp и S. Значит и в этом случае все эти четыре утверждения истинны. Поэтому далее в доказательстве можно считать, что S = 0 и все Са = 0. Истинность пар двойных «вертикальных и горизонтальных» импликаций сторон «прямоугольника»
(T) ^ (C)
ь \ ь
(S) ^ (CS)
даже без каких бы то ни было условий на семейства C и S здесь достаточно очевидна. Отметим лишь, что импликации (C)^(CS) и (S)^(CS) еще более прозрачны, если рассматривать (CS) соответственно в форме (CSC) и (CSS). Таким образом, в доказательстве нуждается только справедливость «диагональной» импликации (CS)^(T). При этом пустые множества Sp из семейства S не влияют на пересечение (17), поскольку Са — 0 = R™ для любого Са С R™. Поэтому, переходя от множества индексов B к подмножеству индексов {[3 Е B: Sp = 0} и сохраняя для него прежнее обозначение B, можем считать далее, что все множества Sp непусты.
Рассмотрим теперь семейство множеств
C — S := {Cap := Са — Sp: (а,/3) Е А х B}. (18)
Лемма 4.1. Если в обозначениях (18) и (15) пересечение
П
Са,р (19)
(«,Р)ЄЛхБ
непусто, то некоторый сдвиг множества 5 содержится в С, т. е. выполнено высказывание (Т).
Действительно, пусть х Є К™ принадлежит пересечению (19). Это означает, что
8р + х С Са для всех а Є А и /З Є В.
Отсюда
8р + х С Рі Са для любого @ Є В.
Следовательно,
^ Бр + X = ^ (Бр + х) С ^ Са-,
р€Б р£Б абЛ
т. е. в + х С С, что и требовалось. В свете Леммы 4.1 для доказательства импликации (СБ)^(Т) достаточно обосновать применимость Теоремы Хелли о выпуклых множествах к семейству (18).
При выполнении (СБ) и по предшествующим соглашениям в семействе С — §
(!) все множества Са, р непусты, и, более того, непусто любое пересечение Щ+11 Сак ,рк из
(17) для произвольных наборов индексов (16);
(!) все множества Са,р выпуклы — п. [со] Леммы 3.1;
(!) все множества Са,р замкнуты, если все Са замкнуты, — п. [с1] Леммы 3.1;
(!) имеется лишь конечное число множеств Са,р при условии конечности (Г), т. е.
сагё(С — §) < то.
Условие (Г). В силу последнего если выполнено условие конечности (Г), то при условии (СБ) при наших соглашениях условие конечности (Г) выполнено для семейства С — §. Значит, Теорема Хелли о выпуклых множествах применима к семейству С — §, и справедливость импликации (СБ)^(Т) в этом случае доказана.
Условие (ё). При условии А0 = 0 пусть у — общее направление звёздности для Са,р = Са — Яр при всех (а,Р) € А х В. Тогда по Лемме 3.2 вектор у — общее направление звёздности для всех Са, а € А. Отсюда по условию (ё) вектор у — направление линейности для Са при всех а € А, а из п. [Ш] Леммы 3.1 вектор у — направление линейности для всех Са,р при (а,Р) € А х В. Таким образом, для семейства С — Я выпуклых замкнутых множеств из (18) выполнено условие вида (ё) (без конечного подмножества индексов А0). Следовательно, к семейству С — § применима Теорема Хелли, и по Лемме
4.1 получаем требуемое утверждение (Т).
Пусть теперь при условии (ё) множество индексов В конечно. Рассмотрим разбиение множества индексов А х В на два непересекающихся подмножества индексов
А х В=(Ао х В) У((А \ Ао) х В).
Тогда конечное подсемейство
{Са,р : (р-,Р) € А0 х В}
семейства С — § состоит по п. [рЬ] Леммы 3.1 из полиэдральных множеств. Пусть теперь у
— направление звёздности для всех множеств семейства С — §. Вновь по Лемме 3.2 вектор у — общее направление звёздности для всех Са, а € А. Отсюда по условию (ё) вектор у — направление линейности для Са при всех а € А \ А0, а из п. [Ш] Леммы 3.1 вектор у — направление линейности для всех Са,р при (а,0) € (А \ А0) х В. Таким образом, для семейства С — Я выпуклых замкнутых множеств из (18) выполнено условие вида (ё) (в роли А0 выступает А0 х В). Следовательно, к семейству С — § применима Теорема Хелли, и по Лемме 4.1 получаем требуемое утверждение (Т). □
Замечание 2. Теорема 1 о сдвигах имеет место и при условии (Ь) из Замечания 1, поскольку оно — частный случая условия (ё) при А0 = 0.
Комментарий 1 (к Теореме 1). Убедимся, что теорема Хелли и большая часть Теоремы УХЕ (в части, касающейся терминов «покрывает всё», «содержится во всех») — это частные проявления Теоремы 1.
1. Для произвольного одноточечного непустого множества в, например в = {0}, и одноэлементного семейства § = {$} импликация (С)^(Т) Теоремы 1 о покрытиях сдвигами дает в точности приведенную выше в начале раздела 2 общую Теорему Хелли о выпуклых множествах.
2. Если семейство C одноэлементное, т. е. состоит из одного выпуклого множества С, то импликация (S)^(T) Теоремы 1 о покрытиях сдвигами дает как частный случай Теорему VKE из Введения в части «сдвиг множества С «покрывает всё».
3. Если семейство S одноэлементное и состоит из одного выпуклого множества S, то импликация (С)^(Т) Теоремы 1 о покрытиях сдвигами переходит в частный случай Теоремы VKE из Введения в части «содержит в себе», но только необходимо взаимно поменять местами обозначения-символы: S вместо С, C вместо S и наложить требования либо конечности C, либо компактности S.
4. Вывод части «пересекает всё» Теоремы VKE и ее обобщения перенесен в раздел 4 после Теоремы 2 о пересечениях сдвигов, поскольку несколько неожиданно (во всяком случае, для нас) он оказался связан не с геометрической разностью, а с алгебраической разностью множеств.
Комментарий 2 (предшествующие специальные версии Теоремы 1). Справедливость импликации (С)^(Т) Теоремы 1 была установлена или отмечена ранее в [8] в следующих трех весьма частных случаях:
% семейство C выпуклых множеств конечно, а S — выпуклое множество [8, 2.1] (Теорема VKE);
% семейство C состоит из выпуклых компактов, и S также выпуклый компакт [8, 2.1] (Теорема VKE);
% семейство C состоит из замкнутых полупространств, имеющих ограниченное пересечение, а S — выпуклое тело, т. е. выпуклый компакт с непустой внутренностью int S = 0 [8, 6.18].
В специальном случае, когда S из (14) — это семейство всех одноточечных множеств {s}, s Е S, т. е. B := S — еще и множество индексов и Ss := {s}, s Е S, справедливость импликации (S)^(T) легко выводится из [8, 2.1] (необходимо рассматривать K = S) в следующих двух также очень особых ситуациях:
% S конечно, а семейство C состоит из одного выпуклого множества С [8, 2.1] (Теорема VKE);
% семейство C состоит из одного выпуклого компакта С (для выпуклого тела С см. [8,
6.2], а при int С = 0 доказательство легко следует из [8, 2.1] (Теорема VKE)).
5. Пересечение сдвигов и алгебраическая разность
Дадим «алгебраическое» развитие той же Теоремы VKE из Введения.
Теорема 2 (о пересечении сдвигов). Пусть теперь семейство
C := {Са С R™: а Е А}, А — множество индексов, (20)
состоит из произвольных (ср. с (4)) непустых множеств Са, и семейство множеств (ср. с (14))
S := {Sp С R™: /3 Е B}, B — множество индексов, (21)
также состоит из произвольных непустых множеств Sp. Предполагаем, что каждая алгебраическая, т. е. векторная, разность (Определение 2, (7))
Са — Sp :=: Са + (—Sp) выпукла при всех а Е А, ft Е B. (22)
Допустим, что выполнено одно из двух условий:
(F) условие конечности из Теоремы 1, т. е. card А + card B < то;
(id) каждая алгебраическая разность в (22) замкнута, для некоторых конечных подмножеств А0 С А, B0 С B алгебраические разности в (22) полиэдральны при всех
(а,Р) € А0 х В0, а также всякое направление звёздности, общее для всех алгебраических разностей (22) при всех (а,Р) € А х В, оказывается направлением линейности для алгебраических разностей (22) при всех (а,Р) € (А х В) \ (А0 х В0).
Следующие утверждения эквивалентны (см. Соглашение из Введения):
(I) существует единый вектор х € К™, для которого при любом индексе /3 € В каждый сдвиг Бр + х пересекается со всеми Са из С;
(СБ1) для любых наборов п +1 индексов
а\,...,ап+\ € А и 01,...,0п+1 € В
пересечение
п+1
Р| {Сак — $рк) (23)
к=1
алгебраических разностей из (22) непусто.
Доказательство. Импликация (1)^(СБ1) очевидна по определениям и справедлива для любых систем непустых множеств. Обратную же импликацию (СБ1)^(1) доказываем одновременно при условиях и (Г), и (1ё). Поскольку множества (22) выпуклы, к ним применима Теорема Хелли о выпуклых множествах. Здесь условию (Г) соответствует условие конечности (Г), а условию (1ё) — условие (ё). Если в Теореме Хелли вместо наборов индексов А, А0 расматривать соответственно наборы индексов А х В, А0 х В0, а вместо системы множеств Са — систему множеств из всевозможных алгебраических разностей (22), то по Теореме Хелли пересечение
П (Са — вр) = 0.
(а,р)еЛхБ
Пусть х — некоторая точка из последнего пересечения. Т. е. всегда найдутся са € Са и 8р € вр, для которых X = Са — 8р, или
вр + х Э 8р + х = са € Са для любых пар (а, /3) € А х В.
А это и есть искомый единый вектор сдвига х из (I). □
Напомним, что в начале раздела 4 после формулировки Теоремы 1 и условий (СБС)-(СББ) последний из 4-х пунктов (1)-(4) остался нераскрытым (вывод части «пересекает всё»). Теперь мы сможем вернуться к последнему пункту из пп. (1)-(4), для того чтобы восполнить наш пробел о выводе части «пересекает всё» Теоремы УХЕ из Введения и обобщить её.
Следствие 1. Пусть С С Кп непусто и задано семейство множеств (21), алгебраические разности С — вр выпуклы при всех /3 € В, где В конечно или, в противном случае, все эти алгебраические разности замкнуты и хотя бы одна из них ограничена. Если для каждого набора п +1 множеств
{Яр, ....вр^ } (24)
из семейства (21) некоторый сдвиг множества С пересекает одновременно все п + 1 множеств из (24), то найдется сдвиг множества С, пересекающий все множества семейства §.
Доказательство. Ввиду одноточечности семейства С = {С} пересечение принимает достаточно простой вид, а условие непустоты пересечения (23) и означает последнюю фразу в формулировке доказываемого Следствия. При бесконечности множества В замкнутость алгебраических разностей и, прежде всего, ограниченность хотя бы одной из этих алгебраических разностей (см. и ср. раздел 2, Замечание 1, п. (Ь), сразу после формулировки
Теоремы Хелли) поставляет нам условие (і^. Таким образом, выполнены все условия
Теоремы 2 о пересечении сдвигов, и бедствие 1 доказано.
□
Комментарий 3. Следующие комментарии и замечания дополняют Теорему 2 о пересечении сдвигов:
* если cardB =1 и Sp = {0}, то Теорема 2 — в точности Теорема Хелли о выпуклых множествах, сформулированная выше;
* при условиях card A = 1, т. е. C состоит из одного выпуклого множества С, все Sp, ft Е B, выпуклы и множество индексов B конечно или же С и все множества Sp Е S компактны, Теорема 2 доказана в [8, 2.1];
* выпуклость всех алгебраических разностей в (22) можно заменить на более жесткое условие выпуклости всех Са Е C и всех Sp Е S, поскольку алгебраическая разность двух выпуклых множеств выпукла;
* часть условия (id) «каждая алгебраическая разность в (22) замкнута, ... » можно заменить на более жесткое условие «для каждой пары Ca,Sp одно из множеств замкнуто, а другое компактно, . . . », так как алгебраическая разность замкнутого множества и компакта — замкнутое множество;
* часть условия (id) «для некоторых конечных подмножеств А0 С A, В0 С B алгебраические разности в (22) полиэдральны для всех пар (a, ft) Е А0 х B0, ...» можно заменить на более жесткое условие «для некоторых конечных подмножеств индексов А0 С A, B0 С B каждое из множеств Са при а Е А0 и Sp при ft Е B0 выпукло и полиэдрально, .. . », так как алгебраическая сумма полиэдральных выпуклых множеств полиэдральна [9, Следствие 19.3.2];
* если для некоторых подмножеств А' С А и B' С B пересечение
ограничено, то направлений звёздности, общих для всех алгебраических разностей, (22) не существует, и заключительная часть условия ^ё) об общих направлениях звёздности выполнена автоматически;
* если в паре Са, вр одно из множеств, Са или вр замкнуто, выпукло и неограничено, а другое ограничено, то направление звёздности для алгебраической разности из (22) будет и направлением звёздности (соответственно линейности) для неограниченного множества соответственно Са или вр (см. Предложения 1). Это может облегчить поиск общих направлений звёздности при проверке условия ^ё) Теоремы 2.
6. ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННЫЕ РАЗНОСТИ
Для полноты изложения приведем в определенном смысле аналог Теорем 1 и 2 для теоретико-множественной разности множеств, которую в этом разделе называем для краткости просто разностью.
Теорема 3 (о разностях множеств). Пусть, по-прежнему, семейства множеств С и § определены соответственно как в (4) и (14) и как в (15)
П (Со- - •%)
(а,/3)eA'xB'
(25)
oGA
^GB
Предполагаем, что все разности1
Са \ Бр выпуклы при всех а € А и /3 € В. Допустим, что выполнено одно из двух условий
1 Такое часто возможно, даже если сами множества и невыпуклы.
(F) условие конечности из Теорем 1 и 2, т. е. card A + cardB < то;
(dd) каждая разность в (26) замкнута, для некоторых конечных подмножеств A0 С A, B0 С B разности в (26) полиэдральны для всех пар (а,Р) Є A0 x B0, а также всякое направление звёздности, общее для всех разностей (26) при всех (а,Р) Є A x B, оказывается направлением линейности для разностей (26) при всех
разностей из (26) непусто.
Доказательство. Для любых наборов индексов А', В' и множеств произвольной природы Са, а € А1 и вр, [3 € В' справедливо элементарное общее теоретико-множественное равенство для разностей
Следовательно, если множество С \ в не пусто, то такова же и правая часть в (29). Таким образом, утверждение (В) Теоремы влечет за собой непустоту множеств вида (28) при любом наборе индексов (27), т. е. доказано (СББ).
Импликацию (СВБ)^-(Б) доказываем одновременно при условиях и (Г), и (ёё). Так как множества (26) выпуклы, к ним применима Теорема Хелли о выпуклых множествах. Здесь условию (Г) соответствует условие (Г), а условию (СББ) — условие (ё), если в Теореме Хелли вместо наборов индексов А, А0 рассматривать соответственно наборы индексов А х В, А0 х В0, а вместо системы множеств Са — систему множеств из всевозможных разностей (26). □
Комментарий 4 (к Теореме 3).
# Если са^В =1 и вр = 0 — пустое множество, то Теорема 3 — в точности Теорема Хелли о выпуклых множествах из раздела 2.
# Часть условия (ёё) «каждая разность в (26) замкнута, ...» можно заменить на более жесткое «все Са € С замкнуты, а все вр € § открыты, ... », поскольку в этом случае каждая разность (26) замкнута.
# Если для некоторых подмножеств А' С А и В' С В пересечение
ограничено, то направлений звёздности, общих для всех разностей (26), не существует, и заключительная часть условия (ёё) об общих направлениях звёздности выполнена автоматически, так как их просто нет.
(^,Р) € (А х В) \ (Ао х Во).
Следующие утверждения эквивалентны (с учётом Соглашения из Введения): (Б) разность С \ в — непустое множество;
(СББ) для любых наборов п +1 индексов
а.1,... ,a.n+l Є A и Pl,...,Pn+l Є B
(27)
пересечение
n+1
(28)
(а,3)
К примеру, при A = A' и B = B' в обозначениях (25) имеем
(29)
П (Са У S))
(а, 3)eA'xB'
# Если все множества Са Е C замкнуты, выпуклы и неограничены, а все множества Sp Е S ограничены, то направление звёздности (линейности) для разности из (26) будет и направлением звёздности (соответственно линейности) для неограниченного множества Са, что легко следует из Предложения 1. Это может облегчить поиск общих направлений звёздности при проверке условия (dd) Теоремы 2.
Замечание 3. Дальнейшие богатые результатами вариации на тему Теоремы Хелли о выпуклых множествах, в некоторой мере пересекающихся с нашими результатами (особенно из раздела 5 в части аналогов или обобщений трансверсалей для семейств множеств) наряду с уже приведенными выше источниками можно найти у Дольникова В. Л., Богатого С. А., Бобылева Н. А., Карасева Р. Н. [24]—[27] и многих других.
Автор глубоко признателен рецензенту за крайне полезные замечания и важную дополнительную информацию по тематике статьи.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. М.: Физматгиз. 1956.
2. B. Ya. Levin Lectures on entire functions. Transl. Math. Monographs. Providence RI. Amer. Math. Soc. V. 150. 1996.
3. Хабибуллин Б. Н. Полнота систем экспонент и множества единственности (издание четвертое, дополненное). Уфа: РИЦ БашГУ. 2012.
4. Хабибуллин Б. Н. Трансляты выпуклых множеств // Современные методы теории краевых задач. Материалы Воронежской весенней математическай школы «Понтрягинские чтения-XXIV». Воронеж: Издательско-полиграфический центр ВГУ. 2013. С. 207-208.
5. Хабибуллин Б.Н. Теорема Хелли, трансляты множеств и опорная функция // Нелинейные уравнения и комплексный анализ. Сборник тезисов. Уфа. Институт математики УНЦ РАН. 2013. С. 51-53.
6. Хабибуллин Б.Н. Теорема Хелли и покрытие транслятами // Материалы XI Казанская летняя школа-конференция «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы». Казань. Институт математики и механики им. Н. И. Лобачевского. 2013. С. 196-199.
7. B.N. Khabibullin Helly’s Theorem and translation of convex sets // Asymptotic geometric analysis. Saint-Petersburg. EIMI. 2013. P. 9-10.
8. Данцер Л., Грюнбаум Б., Кли В Теорема Хелли. М.: Мир. 1968.
9. Рокафеллар Р. Т. Выпуклый анализ. М.: Мир. 1973.
10. Лейхтвейс К. Выпуклые множества. М.: Наука. 1985.
11. Тихомиров В. М. Выпуклый анализ // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления. Математический ин-т им.В.А. Стеклова РАН. Москва. 1987. Т. 14. С. 5-101.
12. Магарил-Ильяев Г. Г., Тихомиров В. М. Выпуклый анализ и его приложения. М.: Эдиториал УРСС. 2000.
13. Половинкин Е.С., Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. М.: Физматлит. 2004.
14. R.T. Rockafellar Helly’s theorem and minima of convex functions // Duke Math. J. 1965. V. 32. P. 381-398.
15. L. Sandgren On convex cones // Math. Scand. 1954. V. 2. P. 19-28.
16. V. Klee Infinite-dimensional intersection theorems // Convexity: Proceedings of the Seventh Symposium in Pure Mathematics of the American Mathematical Society Eds. V. Klee. 1963. P. 349-360.
17. Понтрягин Л.С. Линейные дифференциальные игры преследования // ДАН СССР. 1967. № 175. С. 764-766.
18. Понтрягин Л.С. Линейные дифференциальные игры преследования // Матем. сборник. 1980. Т. 112(154), № 3(7). С. 307-330.
19. Петров Н. Н. Введение в выпуклый анализ. Ижевск. Удмуртский государственный университет. 2009.
20. Толстоногов А. А. Дифференциальные включения в банаховом пространстве. М.: Наука. 1986.
21. Демьянов В. Ф., Рубинов А. М. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. М.: Наука, 1995.
22. Печерский С. Л. Значение Шепли ТП игр, разности c-ядер выпуклых игр и точка Штейнера выпуклых компактов // Математическая теория игр и её приложения. 2012. Т. 4, вып. 3. С. 58-85.
23. Аввакумов С.Н., Киселев Ю.Н. Опорные функции некоторых специальных множеств, конструктивные процедуры сглаживания, геометрическая разность // В сб. «Проблемы динамического управления». М.: МАКС Пресс, 2005. Вып. 1. С. 24-110 (электронная версия http://oc.cs.msu.su/download/76/kiselev05.pdf).
24. Дольников В. Л. Теоремы типа Хелли для трансверсалей семейств множеств и их приложения. Диссертация и автореферат на соискание ученой степени д.ф.-м.н. Ярославль. 2000.
25. Богатый С. А. Топологическая теорема Хелли // Фундамент. и прикл. матем. 2002. Т. 8. № 2. С. 365-405.
26. Бобылев Н. А. Теорема Хелли для звёздных множеств // Труды международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения Л. С. Понтрягина (Москва, 31 августа - 6 сентября 1998 г.). Том 7. Геометрия и топология. Итоги науки и техн. Сер. «Соврем. мат. и ее прил.» Темат. обзоры, 68. М.: ВИНИТИ, 1999. С. 16-26.
27. Карасeв Р. Н. Топологические методы в комбинаторной геометрии // УМН. 2008. Т. 63, 6(384). С. 39-90.
Булат Нурмиевич Хабибуллин,
ФГБОУ ВПО «Башкирский государственный университет», ул. З. Валиди, 32,
450074, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]
