Сохранение аппроксимативных свойств чебышевских множеств и солнц на плоскости Текст научной статьи по специальности «Математика»

46

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2008. №5

Краткие сообщения

УДК 517.982.256

СОХРАНЕНИЕ АППРОКСИМАТИВНЫХ СВОЙСТВ ЧЕБЫШЕВСКИХ МНОЖЕСТВ

И СОЛНЦ НА ПЛОСКОСТИ

А. Р. Алимов

Подмножество М линейного нормированного пространства (X, ||-||) называется чебышевским [1], если для каждой точки х € X множество Рмх = {у € М | Цх — уЦ = р(х,М)} ближайших точек из М к х состоит из одной точки. Здесь р(х, М) = т^ем Цх — хЦ — расстояние от х до М. Множество М называется солнцем, если для каждого х € X \ М найдется точка у € Рмх, такая, что

у € Рм[(1 — Х)у + Ах] для всех А > 0; (1)

множество М — строгое солнце, если Рмх = 0 для всех х € X \ М и (1) выполнено для любой точки у € Рмх. В конечномерном пространстве X всякое чебышевское множество является солнцем.

Недавно автором [2, 3] был изучен вопрос сохранения аппроксимативных свойств чебышевских множеств, солнц и строгих солнц в пространствах X = £^(и) и С(^) при пересечении с подмножествами из X. В настоящей работе изучается аналогичный вопрос для нормированной плоскости X2 = ^2, ||-||) с произвольной нормой.

Для х € X и г > 0 посредством В(х,г) и В(х,г) мы будем обозначать замкнутый и соответственно открытый шар с центром в х и радиусом г; В = В(0,1).

Пусть (■, ■) — скалярное произведение на X2 с отношением ортогональности Норме ||-|| мы сопоставим полярную норму ||х||* = 8ир{(х,у) I ||у|| < 1} и радоново трансформированную норму ЦхЦ# = Цх^Ц*, х € X2 (см. [4] и [5]).

Все объекты, определяемые посредством этой нормы, мы будем обозначать индексом #. Единичный шар В #(0,1) можно себе представить как повернутый на 90° шар В * пространства ^2, ||-||*). Также имеет место равенство |Н|## = ||-||. Примером радоново трансформированной нормы для максимум-нормы на плоскости служит ^1-норма.

Пусть (X, ||-||) — линейное нормированное пространство. Следуя [6], для а,Ь € X определим |||-интервал между точками а и Ь:

[[а, Ь]] = {х € X I Ца — ЬЦ = Ца — хЦ + Цх — уЦ}. (2)

Геометрические и аппроксимативные свойства интервалов в функциональных пространствах недавно были рассмотрены А.А.Васильевой [7].

Множество М С X называется Ц^Ц-выпуклым (или выпуклым по Менгеру) [8, 9], если М П ([[х,у]] \ {х, у}) = 0 для всех х,у € М, х = у. Определим Ц^Ц-геодезический сегмент в X как непрерывную кривую, длина которой равна расстоянию в норме ||| между концевыми точками.

Следующее утверждение хорошо известно (см., например, [8]): если множество М полно и ||- Ц-выпукло, то каждые две точки из М можно соединить по крайней мере одним ||-Ц-геодезическим сегментом, содержащимся в М.

Множество М С X называется [[■, ■]]-выпуклым, если [[а, Ь]] С М для всех а,Ь € М. Это свойство, очевидно, эквивалентно следующему (см. [10, §9]): если а,Ь € М и х € X, то равенство Ца — ЬЦ = Ца — хЦ + Цх — уЦ влечет, что х € М.

Важное свойство ||-||-выпуклых множеств на плоскости установлено П. Грубером [11]: замкнутое множество в М2 можно представить как результат стягивающей ретракции по лучам, если и только если оно ЦЦ-выпукло. Более того, множество М С X2 обладает свойством, что для каждой точки X2 множество Рмх ее ближайших точек из М непусто и стягиваемо, если и только если М замкнуто и ||-||#-выпукло ([4]; см. также теорему A ниже).

На плоскости X2 интервал [[х,у]] можно достаточно просто описать [9, лемма 3; 10 теорема 9.6]):

[[х,у]] = (х + М+ ■ £) П (у — М+ ■ £), (3)

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2008. №5

47

где £ — наименьшая замкнутая грань шара B#(0,1), относительная внутренность которой содержит точку (у — x)/\\y — x\\.

Отметим [10, с. 58], что интервал [[x, у]] является [[•, •]]-выпуклым для любых x,y Е X2 и что (см. [9, лемма 6]) единичный шар B = B^.^ в X2 является [•, •]]#-выпуклым.

Ниже мы воспользуемся понятиями \Н\#- и [•, •]]#-выпуклости при изучении чебышевских множеств и солнц на нормированной плоскости (X2, \Н\).

Структура чебышевских множеств и солнц на плоскости X2 изучалась многими авторами начиная с Л.Н.Х. Бунта и Т. Моцкина (см. [1]). Среди последних работ отметим [4, 9, 11—13].

В следующем утверждении импликация (a)^(b) доказана Беренсом и Хетцельтом в [9, 14]; импликация (Ъ)^(о) установлена Грубером в [4].

Теорема A. Пусть множество M С X2 непусто и замкнуто. Следующие утверждения эквивалентны:

(a) M — солнце;

(b) M \У\\#-выпукло;

(c) Pmx непусто и стягиваемо для всех x Е X.

Подмножество M С X2 полустрого метрически выпукло (см. [4]), если оно метрически выпукло и для каждой пары различных точек x,y Е M, такой, что луч, проведенный через точки 0 и x — у, пересекает границу единичного шара в негладкой точке, интервал (a, b) содержится во внутренности M.

В следующем утверждении эквивалентность (a)^(c) установлена Грубером [4], а эквивалентность (a)^(b) доказана Хетцельтом [5].

Теорема B. Следующие утверждения эквивалентны на плоскости X2:

(a) M — чебышевское множество;

(b) M \\^\\# -выпукло и не содержит отрезков в своей границе, параллельных собственной грани шара B(0,1);

(c) M полустрого метрически выпукло относительно радоново трансформированной нормы Ц-\\#.

В теореме C охарактеризованы строгие солнца на плоскости X2 (см. [5]).

Теорема C. Пусть множество M С X2 непусто и замкнуто. Следующие утверждения эквивалентны:

(a) M — строгое солнце;

(b) M \\^\\# -выпукло и если граница множества bdM содержит отрезок I, параллельный некоторой грани шара B, то выполнено следующее утверждение: пусть H+, H- — два различных полупространства с границей aff I, тогда если а Е {+, —} и M П ri Ha = 0, то ri I С c1ri#CT Ha.

Здесь bd A, ri A и cl A — граница и соответственно относительная внутренность и замыкание множества A; aff A — аффинная оболочка множества A, т.е. наименьшее аффинное подпространство, содержащее A.

Основными результатами работы являются теоремы 1-3. В теореме 1 мы характеризуем [[•, •]]#-выпуклые подмножества плоскости R2 в терминах солнечности их пересечений с солнцами в X2. Теорема 2 описывает солнца в X2 в терминах солнечности их пересечений с [•, •]]#-выпуклыми подмножествами и [[•, •]]#-интервалами в R2.

Теорема 1. Подмножество 0 = П С (X2, Ц-\\) замкнуто и [[•, •]]#-выпукло, если и только если M П П является солнцем в X2 для любого солнца M в X2, такого, что M П П = 0.

Теорема 2. В пространстве (X2, Ц-\\) следующие утверждения эквивалентны:

(a) M — солнце в X2;

(b) M П П является солнцем в X2 для любого [[•, •]]#-выпуклого множества П в R2, такого, что П П M = 0;

(c) M П [x, У]]# является солнцем в X2 для любых x,y Е X2, таких, что [x, у]]# П M = 0.

Обозначим T(M) = {x Е X | card Pmx = 1}; иными словами, T(M) состоит из всех точек X, у

которых имеется единственная ближайшая из M. В этих обозначениях множество M чебышевское в X, если T(M) = X.

В теореме 3 мы описываем множества П, такие, что если M — чебышевское множество в X2, такое, что M П П = 0, то П С T(M П П).

Теорема 3. 1) Пусть 0 = П С (X2, Ц-\\) — замкнутое, [•, •]]#-выпуклое множество. Тогда П С T(M П П) для каждого чебышевского множества M в X2, M П П = 0.

2) Пусть П — связное подмножество R2, замкнутое или открытое, такое, что П С T(M П П) выполнено для любого чебышевского множества M в (X2, \Н\), M П П = 0. Тогда П — [•, •]]#-выпуклое множество.

Доказательство теоремы 1. Рассмотрим солнце М в X2. Пусть П — [[■, ■]]#-выпуклое множество, П П М = 0. Считая, что М П П состоит не менее чем из двух точек, рассмотрим х,у € М П П, х = у. По условию [[х,у]]# С П. Так как по теореме A множество М ||-||#-выпукло, то М П П также ||^||#-выпукло. Ясно, что П замкнуто. Теперь солнечность пересечения М П П вытекает из теоремы A.

Пусть П — подмножество из X2, такое, что М П П является солнцем в X2 для любого солнца М в X2, М П П = 0. Рассмотрим произвольные точки х,у € П. Нам требуется установить, что [[х,у]]# С П. Предположим противное. Тогда найдутся и, г € П и ■ € [[и, V]] #, ■ € П. Определим ломаную Ь как объединение двух отрезков: Ь = [и, ■] и [',г]. Так как ■ € [[и, V]]#, то Ь ||-||#-выпукло. По теореме A множество Ь является солнцем в X2; ЬПП = 0. По предположению ЬПП — солнце. Но это невозможно, так как в конечномерных линейных нормированных пространствах все солнца линейно связны (см., например, [1, 15]), а Ь П П не связно. Полученное противоречие показывает, что П есть [[■, ■]]#-выпуклое множество. Полагая М = получаем, что П замкнуто. Теорема 1 доказана. □

Доказательство теоремы 2. Импликации (а)^(Ъ), (а)^(е) следуют из теоремы 1, так как интервал [[■, ■]]# всегда ||-||#-выпукл; утверждение (Ъ)^(е) понятно. Установим (е)^(а). Пусть х,у € М. По предположению [[х,у]]# П М солнце. По теореме A пересечение ||-||#-выпукло. Отсюда следует также и ||-||^-выпуклость М. Следовательно, М — солнце. Теорема 2 доказана. □

Доказательство теоремы 3. 1. Пусть П — [[■, ■]]#-выпуклое множество и пусть М — чебышевское множество в X2, МПП = 0. Если ё1шП = 0, доказывать нечего. Пусть ё1шП = 1. Выберем х,у € П, х = у. По условию [х,у] С П, т.е. П (линейно) выпукло. По теореме B множество М ||-||#-выпукло. Ясно, что пересечение выпуклого одномерного множества П с замкнутым ||-||#-выпуклым множество М выпукло. Следовательно, П С T(M П П).

Пусть теперь ё1шП = 2. Понятно, что Рмппх = 0. Предположим, что Рмппх состоит более чем из одной точки. Из теоремы A вытекает, что Рмппх является или отрезком, или объединением двух отрезков с общей начальной точкой. Рассмотрим произвольно точку у € Рм ппх, принадлежащую относительной внутренности некоторого отрезка (обозначим его I) из Рмппх. Положим ха = ах + (1 — а)у для 0 < а < 1. Тогда ха € П, ха € М. По предположению из того, что В(ха, Цха — у||) С еопу(х, I) (здесь еопу(х, I) — выпуклая оболочка х и I), следует, что В(ха, Цха — у||) С П для всех достаточно малых а. Поэтому для таких а имеем Рмппха = Рмха. Но мы выбрали у из относительной внутренности отрезка I С Рмппх. Следовательно, Рмха содержит в себе и некоторую окрестность точки у в I. Это противоречит чебышевости М в X2.

2. Установим, что П [[■, ■]]#-выпукло. Предположив противное, рассмотрим точки и, г € П, такие, что [[и, г]]# С П. Ясно, что [[и, г]]# С П невозможно, если ё1ш[[и, г]]# < 1; поэтому далее считаем, что ё1ш[[и,г]]# = 2. Сначала рассмотрим точку ■ € т^[и, г]]#, ■ € П, и определим Ь = [и, ■] и [',г]. Докажем, что Ь — чебышевское множество в X2.

Поскольку ■ € [[и, г]]#, то Ь — ||- Ц#-геодезический сегмент, соединяющий и и г. Отсюда из (2) следует, что Ь ||-||#-выпукло. По теореме A Ь — солнце. Предположим, что Ь не является чебышевским множеством в X2. Пусть х € X2 — точка, имеющая более чем одну ближайшую из Ь. По теореме B множество Рьх стягиваемо и, следовательно, представляет собой отрезок или объединение двух отрезков с общей начальной точкой. В обоих случаях Р^х содержит невырожденный отрезок (скажем, I), принадлежащий [и, ■ ] или [■, г].

Грубер [4, утверждение 10] установил, что

(*) если вектор § € ЪёВ# параллелен отрезку из Ъё В, то § является негладкой точкой шара В#.

Пусть а,Ь — концевые точки отрезка I и пусть § € Ъё В# — точка, в которой граница Ъё В# шара В# пересекается с линией, проходящей через 0 и Ь — а. Согласно (*), § — негладкая точка шара В # . Далее [4, утверждение 9],

если е,й € X2, с = й, таковы, что линия, проходящая через 0 и с — й, пересекает границу шара В (**) в экстремальной точке, то [с, й] является единственным геодезическим сегментом, соединяющим с и й.

Теперь, применяя (**) к паре точек а,Ь, в силу того что точка § негладкая, заключаем, что отрезок [а, Ь] является единственным ||-||#-геодезическим сегментом, соединяющим а и Ь. Без ограничения общности предположим, что а, Ь [и, ■ ]. Из только что доказанного имеем:

(***) [и,■] является единственным |||#-геодезическим сегментом, соединяющим и и

Отсюда следует, что [и, ад]]# является отрезком. С другой стороны, w Е int [и, v]]#, что противоречит (***). Следовательно, предположение о том, что L не являлось чебышевским, было неверно.

Рассмотрим пересечение LПП. Воспользуемся хорошо известным утверждением: пусть Y С Rra, n Е N, и пусть K — чебышевское множество в Y (Y снабжено некоторой нормой), тогда оператор метрического проектирования Pk на K в Y непрерывен; отсюда K связно, если Y связно. Полагая Y = П и K = L П П, из начального предположения П С Т(П П L) (П связно) получаем, что L П П связно. С другой стороны, так как w / L, то w разделяет множество L ПП. Это противоречит только что доказанному утверждению, что L П П связно. Следовательно, [[u, v]]# С П.

Итак, если u,v Е П, то int [и, v]] С П. На один момент предположим, что u,v Е ^П (это возможно, поскольку dimП = 2). Определим точки u',v', лежащие на прямой, проходящей через и и v, таким образом, что и Е (u',v), v Е (u,v'), u',v' Е int П. Из (3) вытекает, что [[и, v]] С int[u', v']]. Согласно только что доказанному, int [[и', v' ]] С П, откуда [[ и, v]] С П для всех u,v Е int П. Если П открыто, то доказательство завершено. Окончательно получаем, что замыкание любого [•, •]]-выпуклого множества снова [•, •]]-выпукло [10, теорема 10.2]. Следовательно, П [[•, -^-выпукло. Теорема 3 доказана. □

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 06-01-00160.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Карлов М.И., Царьков И.Г. Выпуклость и связность чебышевских множеств и солнц // Фунд. и прикл. матем. 1997. 3, № 4. 967-978.

2. Алимов А.Р. Сохранение аппроксимативных свойств чебышевских множеств в при пересечении с подмножествами R" // Изв. РАН. Сер. матем. 2006. 70, № 5. 3-12.

3. Алимов А.Р. Монотонная линейная связность чебышевских множеств в пространстве C(Q) // Матем. сб. 2006. 197, № 9. 3-18.

4. Gruber P.M. Planar Chebyshev sets // Mathem. Structure — Computational Math. — Math. Modelling. Vol. 2. Sofia: Bulgar. Acad. Sci., 1984. 184-191.

5. Hetzelt L. On suns and cosuns in finite dimensional normed real vector spaces // Acta math. Acad. sci. hung. 1985. 45, N 1-2. 53-68.

6. Menger K. Untersuchungen iiber allgemeine Metrik // Math. Ann. 1928. 100. 75-163.

7. Васильева А.А. Замкнутые промежутки в векторнозначных функциональных пространствах и их аппроксимативные свойства // Изв. РАН. Сер. матем. 2004. 68, № 4. 75-116.

8. Kirkland W., Khamsi W.K., Kirk W. An Introduction to Metric Spaces and Fixed Point Theory. N.Y.: Wiley, 2001.

9. Berens H., Hetzelt L. Suns and contractive retracts in the plane // Теория приближений функций / Под ред. Н.П. Корнечука и др.: Тр. Междунар. конф. Киев, 31 мая - 5 июня, 1983. М.: Наука, 1983. 483-487.

10. Boltyanski V., Martini H, Soltan P.S. Excursions into Combinatorial Geometry. Berlin; Heidelberg; N.Y.: Springer, 1997.

11. Gruber P. Fixpunktmengen von Kontraktionen in endlichdimensionalen Raumen // Geom. Dedic. 1975. 4. 173-198.

12. Алимов А. Р. Чебышевские компакты на плоскости // Тр. Матем. ин-та РАН. 1997. 219. 8-26.

13. Alimov A.R. Solstice property for a system of 2-spaces // East J. Approx. 1998. 4, N 1. 25-34.

14. Hetzelt L. Uber die beste Coapproximation in R": Dis. Erlangen, 1981.

15. Brown A.L. On the connectedness properties of suns in finite dimensional spaces // Proc. Cent. Math. Anal. Austral. Natl. Univ. 1988. 20. 1-15.

Поступила в редакцию 28.02.2007

УДК 519.718.7

О СХЕМАХ, ДОПУСКАЮЩИХ ЕДИНИЧНЫЕ ТЕСТЫ ДЛИНЫ 1 ПРИ КОНСТАНТНЫХ НЕИСПРАВНОСТЯХ НА ВЫХОДАХ ЭЛЕМЕНТОВ

Ю. В. Бородина

Будем рассматривать схемы из функциональных элементов [1, 2] в базисе {&, ф, 1, 0}. В качестве неисправностей будут выступать единичные константные неисправности типа " 1" на выходах конъюнк-торов & и сумматоров ф (ровно один из этих элементов может быть неисправным и выдавать значение 1 независимо от входных данных).