CC BY
7УДК 517.982.252+517.982.256
ОГРАНИЧЕННАЯ СТРОГАЯ СОЛНЕЧНОСТЬ СТРОГИХ СОЛНЦ
В ПРОСТРАНСТВЕ C(Q)
А. Р. Алимов1
Установлено, что пересечение произвольного строгого солнца M в C(Q) с замкнутым промежутком П С C(Q) (в частности с замкнутым шаром) является строгим протосолнцем при естественном условии M П intn = 0. Показано, что такое свойство характеризует замкнутые промежутки в C(Q).
Ключевые слова: строгое солнце, строгое протосолнце, солнце, функциональный интервал, промежуток, линейное нормированное пространство.
The intersection of a sun M in C(Q) with a closed span П С C(Q) (in particular, with a closed ball) is shown to be a strict protosun, provided that the natural condition Mnintn = 0 is satisfied. This property is shown to characterize closed spans in C(Q).
Key words: strict sun, strict protosun, sun, interval of functions, span, normed linear space.
Для непустого подмножества M линейного нормированного пространства X и точки x G X множество ближайших точек из M для x обозначается через Pmx = {y G M | p(x, M) = ||x — y||}, где p(x, M) : = infz£M ||x — z|| — расстояние от x до M (или наилучшее приближение элемента x множеством M).
Напомним, что множество M С X называется солнцем (см., например, [1]), если для каждой точки x G X \ M существует точка y G Pm x (точка светимости), такая, что
y G PM [(1 — A)y + Ax] для всех A ^ 0. (1)
Замкнутое множество M называется строгим протосолнцем, если для каждой точки x G X \M утверждение (1) выполнено при всех y G Pm x (при этом не обязательно предполагается, что Pm x = 0); множество M называется строгим солнцем, если для каждого x G X \ M множество ближайших точек Pm x из M для x непусто и условие (1) выполнено для любого y G Pm x.
Понятие "солнце" было введено Н.В. Ефимовым и С. Б. Стечкиным в 1958 г. (при этом под солнцем ими понималось то, что сейчас мы называем строгим протосолнцем). Понятие "строгое протосолнце" вводится во избежание путаницы в определении понятия строгого солнца, под которым обычно понимается "строгое солнце существования" в смысле данного выше определения. Однако в некоторых зарубежных работах под солнцем понимается "строгое солнце без обязательного свойства существования ближайшего элемента", что в наших терминах означает строгое протосолнце. Отметим, что имеется тесная связь между понятием строгого (прото)солнца и известным критерием Колмогорова ближайшего элемента [2, 3].
Известно, что в конечномерном пространстве любое солнце линейно связно и локально линейно связно. В бесконечномерном пространстве солнце может быть несвязным. Однако до сих пор нет ответа на давно открытый вопрос о связности (и соответственно об аппроксимативных свойствах) пересечения солнца и замкнутого шара в линейном нормированном пространстве X (конечно, исключая тривиальный случай гладкого пространства). Ответ на данный вопрос в общей постановке получен лишь в некоторых частных случаях, в частности в локально равномерно выпуклых пространствах, равномерно неквадратных пространствах и в пространствах lœ(n) и Со (см. [4, 5] и приведенные там ссылки). Для ограниченно-компактного строгого солнца известно, что его пересечение с замкнутым шаром всегда связно (при этом практически ничего не известно о солнечности пересечения; см. [6-8]).
В настоящей работе мы исследуем данный вопрос в пространстве C(Q) для строгих солнц и прото-солнц, причем рассматриваются пересечения с наиболее естественным в данной ситуации классом множеств — замкнутыми промежутками (в частности, замкнутыми промежутками в C(Q) являются замкнутый шар и экстремальная гиперплоскость).
Дадим соответствующие определения. Следуя [9], для /ь/2 : Q —► К определим интервал [[/ь/г]] функций:
[[/1,/2]] = {/ G C(Q) | / (t) G [fi(t), /2(t)] Vt G Q}.
1 Алимов Алексей Ростиславович — канд. физ.-мат. наук, науч. сотр. лаб. вычислительных методов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: alexey.alimov@gmail.com.
Множество П С C(Q) называется промежутком, если включение [[/i,/2|] С П выполнено при всех fi, /2 G П. Известно [9], что подмножество П С C(Q) является замкнутым промежутком, если и только если П представимо в виде П = [[/1, /2]], где /1, /2 : Q —>■ К, /1 ^ /2, /1 полунепрерывна сверху на Q, а /2 — снизу. Замкнутый промежуток в C(Q) всегда является множеством существования.
Настоящая работа продолжает исследования, начатые в [6] для пространства 1те(п). В [6] были охарактеризованы замкнутые множества П С Rn, пересечение с которыми чебышёвского множества (солнца, строгого солнца) M в 1те(п) сохраняет (в естественной постановке) аппроксимативные свойства исходного множества M. Оказалось, что такими множествами П в точности являются замкнутые промежутки в Rn. В [6] были также получены новые характеризации чебышёвских множеств, солнц и строгих солнц в (n) в терминах аппроксимативных свойств их пересечений с замкнутыми промежутками в Rn. К примеру [6], множество M С Rn является чебышёвским в 1те(п), если и только если для любых точек ж, у G Rn, таких, что [[ж, у]] П M = 0, любая точка из [[ж, у]] имеет единственную ближайшую в [[ж, у]] П M. Аналогичные утверждения получены для солнц и строгих солнц в 1те(п). Вопрос пересечения ограниченно-компактных строгих солнц с промежутками в C (Q) был затронут в [7]. Случай двумерных пространств с произвольной нормой полностью исследован в [8].
В теореме 1 установлено, что пересечение произвольного строгого протосолнца M в C(Q) с замкнутым телесным промежутком П С C(Q) является строгим протосолнцем при естественном предположении, что MПш!П = 0. При этом если строгое солнце M С C(Q) ограниченно-компактно, а П — произвольный замкнутый промежуток в C(Q), MПП = 0, то MПП — солнце (необязательно являющееся строгим солнцем). Теорема 2 утверждает, что замкнутые телесные промежутки П в C(Q) характеризуются свойством, что пересечение П с произвольным строгим протосолнцем M в C (Q), M П ш!П = 0, является строгим протосолнцем. В теореме 3 дается характеризация строгих солнц в C(Q) в терминах аппроксимативных свойств их пересечений с замкнутыми промежутками.
Мы будем рассматривать пространство C(Q) непрерывных функций, заданных на метризуемом компакте Q. Всюду ниже ЪёП обозначает границу множества П, ш!П — его внутренность. Также В(ж, r) и В(ж,г) — соответственно замкнутый и открытый шары с центром ж и радиусом r.
С понятием строгой солнечности тесно связано понятие регулярного множества. Понятие регулярного подмножества линейного нормированного пространства было введено Б. Брозовским и Р. Вегманом [2]. В частном случае C(Q) напомним, что подмножество M С C(Q) называется регулярным (по Брозов-скому-Вегману), если для любых ж, у G M и для любого замкнутого множества 0 = A С Q, такого, что infteA |ж(£) — y(t) | > 0, найдется последовательность (vn) точек из M, такая, что vn ^ у и (vn(t) — y(t)) (ж(£) — у(£)) > 0 для всех t G A. Мы ниже воспользуемся следующим утверждением [2].
Теорема А. Непустое подмножество M пространства C(Q) является строгим протосолнцем в том и только том случае, если оно регулярно. (В частности, регулярное множество существования является строгим солнцем.)
Для ограниченного множества 0 = M С X обозначим через m(M) оболочку Банаха-Мазура множества M, т.е. пересечение всех замкнутых шаров, содержащих M. Для краткости далее будем писать т({ж,у}) = т(ж,у). Легко видеть [5], что т(ж,у) = [[ж,у]] в C(Q).
Основными результатами работы являются теоремы 1-3.
Теорема 1. Имеют место следующие утверждения.
(а) Пусть M — строгое протосолнце в C(Q), П — замкнутый телесный промежуток в C(Q), причем M П int П = 0. Тогда M П П — строгое протосолнце в C(Q).
(б) Пусть M — строгое протосолнце в C(Q), П — замкнутый телесный промежуток в C(Q), причем M П ^П = 0 и M П П является множеством существования. Тогда M П П — строгое солнце в C(Q).
(в) Пусть M — ограниченно-компактное строгое солнце в C(Q), П — замкнутый промежуток в C(Q), M П П = 0. Тогда M П П — солнце в C(Q).
В частности, пересечение строго солнца M в C(Q) с произвольным замкнутым шаром В(ж, r) является строгим протосолнцем в C(Q) при условии, что M П В(ж,г) = 0 (при этом M П В(ж,г) — строгое солнце, если M П В(ж, r) — множество существования).
Утверждение (в) теоремы 1 содержится в [7, теорема 4]. Отметим, что условие M П ^П = 0 в теореме 1 нельзя заменить на условие M П П = 0. В [10] построен пример строгого солнца M в 1^(3), такого, что M П В(ж,г) = 0 для некоторого шара В(ж,г), однако M П В(ж,г) не является строгим солнцем в 1^(3) (будучи, конечно, солнцем). Похожая задача рассматривалась в [11] для чебышёвских множеств в пространстве Со.
В следующей теореме дается характеризация замкнутых промежутков в C(Q) в терминах солнечно-
сти их пересечений со строгими солнцами в C(Q). Напомним, что множество с непустой внутренностью называется телом.
Теорема 2. Для тела П С C(Q) следующие условия эквиваленты:
(а) П С C(Q) является замкнутым промежутком;
(б) П П M является строгим протосолнцем в C(Q) для всякого строгого солнца M (строгого про-тосолнца M) в C (Q), такого, что M П intn = 0;
(в) П П M является строгим солнцем в C(Q) для всякого компактного строгого солнца M в C(Q), такого, что M П int П = 0.
В следующей теореме дается характеризация строгих солнц в C(Q) в терминах солнечности их пересечений с замкнутыми телесными промежутками.
Теорема 3. Следующие утверждения эквивалентны:
(а) M — строгое протосолнце в C(Q);
(б) M П П — строгое протосолнце в C(Q) для любого зам,кнут,ого телесного промежутка П в C(Q), такого, что M П int П = 0;
(в) MПш(ж, у) — строгое протосолнце в C(Q) для любых ж, у G C(Q), таких, что M П int ш(ж, у) = 0.
Перейдем к доказательствам теорем 1-3.
Пусть u,v G C(Q). Для 5 > 0 положим As = As(u,v) := {t G Q | |u(t) — v(t)| ^ 5} и рассмотрим множество ms(u,v), состоящее из всех точек z G C(Q), для которых выполнено включение
z G Г W),*», 1 r 1 ^ t G As;
| (min{u(t),v(t)} — 5, ma^{u(t),v(t)} + 5), t G Q \ As.
Мы воспользуемся следующими техническими результатами.
Предложение А [7]. Пусть w,u, v G C(Q), R > 0. Предположим, что u G B(w,R), v G B(w,R), 0 < 25 < R — ||w — v||. Тогда ms(u, v) С B(w, R).
Предложение 1. Пусть П С C(Q) — замкнутый промежуток c непустой внутренностью, u G П, v G int П. Тогда ms(u, v) С int П при 0 < 5 < 3-1p(v, bd П).
Доказательство предложения 1. Пусть z G ms(u, v). Предположим, что z / int П. Поскольку П — промежуток, а z / П, то z можно отделить [12] (возможно, нестрого) от П при помощи экстремальной гиперплоскости (т.е. порождаемой экстремальным функционалом), которая в C(Q) всегда имеет вид H = {ж | x(to) = ао}. Считаем, что П С {ж | x(to) ^ ао}. Из определения ms(u, v) сразу следует, что случай io G As невозможен. Предположим, что to G Q \ As. По условию B(v, 35) С int П. Следовательно, расстояние от v до любой экстремальной гиперплоскости {ж | x(t) = ß}, не пересекающейся с int^ всегда не менее чем 35. Для каждого to картина, по существу, одномерная. Поскольку |u(to) — v(to)| < 5, мы имеем |(min{u(to),v(to)} — 5) — (max{u(to),v(to)} + 5) | < 35 и |z(to) — h(to)| > 5 для любого h G H. Поэтому min{u(to), v(to)} — 5 < ao, max{u(to),v(to)} + 5 < ao, и в результате z(to) < ao. Однако, согласно свойству экстремальной отделимости, z(to) ^ ao. Противоречие с предыдущим неравенством. □
Напомним определение [1] опорного конуса К(у,ж) к шару В(ж, ||ж — у||) в его граничной точке у: К(у,ж) = Ur>o В(—гу + (r + 1)ж, (r + 1)||ж — у||). Хорошо известно (см., например, [1, теорема 3.1]), что множество M С X является строгим солнцем (строгим протосолнцем) в X тогда и только тогда, когда для каждой точки ж / M множество Pmж непусто и К(у, ж) П M = 0 для любого у G Pmж (соответственно пересечение К(у,ж) П M пусто для любого у G Pm ж).
Доказательство теоремы 1. Пусть M — строгое протосолнце. Без ограничения общности считаем, что 0 GM П П, р(0, M П П) = 1. Пусть у G Pm пп0 = 0 (при этом существование такого у необязательно подразумевается). Чтобы установить, что MПП — строгое протосолнце, необходимо показать, что К(у, 0)П (M П П) = 0. Для краткости обозначим B = B(0,1), В = В(0,1).
Пусть ВП^П = 0. По теореме об экстремальной отделимости [12] два промежутка В и П c непересекающимися внутренностями можно отделить экстремальной гиперплоскостью. Следовательно, К(у, 0) П П = 0, и понятно, что К(у, 0) П (M П П) = 0, что и требуется.
Итак, далее считаем, что В П int П = 0. Предположим противное: пусть ж G К(у, 0) П (M П П). Пусть сначала ж G int П. Так как ж G К(у, 0), то, согласно [1, лемма 3.1], имеем [ж, у] П В = 0. Это означает, что точка жа := аж + (1 — а)у при малых а > 0 содержится в шаре В (и, понятно, в int^ поскольку ж G int^. Зафиксируем такое малое а. Выберем 5 > 0 из условий 25 < 1 — ||жа||, 35 < р(жа, bd^ и положим As = As(жа,у) := {t G Q | |жа(^ — у(t)| ^ 5}. Из определения 5 ясно, что As = 0. По предложению A, примененному к набору у = u, жа = v, w = 0, R =1 и у = u, имеем ms(жа,у) С В, а из
предложения 1 следует, что m(xa,y) С int П. Далее, для точек y, x G M и замкнутого множества As выберем в соответствии c теоремой А такую последовательность (vn) С M, что (vn (t) — y(t)) (x(t) — y(t)) > 0 для всех t G A^ и vn ^ y. Проверим, что
vn G m^(xa, y) при всех достаточно больших n ^ N. (2)
Действительно, выберем такой номер N, что ||vn — y|| < 5 для всех n ^ N. Если t G A^ и n ^ N, то |xa(t) — y (t) | ^ 5, откуда vn(t) G (y(t),xa (t)); а если t G Q \ A^, то поскольку ||vn — y|| < 5, то для vn выполнено vn (t) G (min{xa(t),y(t)} — 5, max{xa (t), y (t)} + 5). Итак, включение (2) установлено. Выше, однако, мы показали, что m(xa,y) С (B П intn), откуда vn G M, vn G intn и vn G B при n ^ N. Это противоречит тому, что y — ближайшая точка к 0 из П П M.
Пусть теперь x G bdn. Как и раньше, считаем, что x G ¿(y, 0) П M. Согласно доказанному, будем предполагать, что множество K(y, 0) П int П не содержит точек из M. По условию найдется точка w G (MПintn). Для 0 < ß < 1 рассмотрим точку Wß = ßw + (1— ß)x. Поскольку w G intn, x G П, то Wß G intn. Точка x содержится в открытом выпуклом множестве ¿(y, 0), откуда получаем, что Wß G ¿(y, 0) при всех малых ß > 0. Зафиксируем такое ß. Так как x,Wß G ¿(y, 0), то по определению опорного конуса x, Wß G B(—dy, (d + 1)) при достаточно большом d > 1. Выберем число 5 из условий 0 < 35 < p(wß, bd^ и 0 < 25 < d + 1 — ||dy + Wß||; здесь 5 > 0, поскольку Wß G B(—dy, (d + 1)). Как и выше, положим Ai = Ai (x, Wß ) := {t | |x(t) — Wß (t)| ^ 5}. Из определения 5 следует, что A^ = 0. Для точек x, w G M и замкнутого множества A^ С Q выберем в соответствии с теоремой А последовательность (vn) С M, такую, что vn ^ x, (vn(t) — x(t)) (w(t) — x(t)) > 0 для всех t G A^. Выберем номер N, такой, что ||vn — x|| ^ 5 при n ^ N. Как и в (2), можно показать, что vn G im(x,Wß) при n ^ N. По предложению A, примененному к набору x = u, Wß = v, w = —dy, R = (d + 1), получим im(wß,x) С B(—dy, (d + 1)), а по предложению 1 имеем mô(x,Wß) С тШ, т.е. m^(x,Wß) С (-¿(y, 0) П тШ). Но vn G M, vn G m^(x,Wß), откуда vn G (KT(y, 0) П int П). Противоречие с предположением, что множество ¿(y, 0) П int П не содержит точек из M.
Итак, предположение, что -¿(y, 0) П (M П П) = 0, было неверно и y — точка светимости из M П П для 0 (т.е. для y выполнено условие (1)). Теорема 1 доказана. □
Импликация (в)^(а) в теореме 2 установлена в [7, теорема 4], импликация (а)^(в) содержится в теореме 1, а утверждение (б)^(в) тривиально.
Доказательство теоремы 3. Поскольку m(x,y) = [[x,y]] в C(Q), то (б)^(в). Импликация (а)^(б) установлена в теореме 1. Любой замкнутый шар в C (Q) имеет вид m(x,y). Рассматривая пересечения M с шарами достаточно большого радиуса, получаем (в)^(а), а следовательно, и (б)^(а). □
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Власов Л.П. Аппроксимативные свойства множеств в линейных нормированных пространствах // Успехи ма-тем. наук. 1973. 28, № 6. 3-66.
2. Brosowski B., Wegmann R. Charakterisierung bester Approximationen in normierten Vektorraumen // J. Approx. Theory. 1970. 3, N 4. 369-397.
3. Yang W., Li Ch., Watson G.A. Characterization and uniqueness of nonlinear uniform approximation // Proc. Edinburgh Math. Soc. 1997. 40. 473-482.
4. Кощеев В.А. Связность и солнечные свойства множеств в линейных нормированных пространствах // Матем. заметки. 1976. 19, № 2. 267-278.
5. Алимов А.Р. Связность солнц в пространстве c0 // Изв. РАН. Серия матем. 2005. 69, № 4. 3-18.
6. Алимов А.Р. Сохранение аппроксимативных свойств чебышёвских множеств в lœ(n) при пересечении с подмножествами Rn // Изв. РАН. Серия матем. 2006. 70, № 5. 3-12.
7. Алимов А.Р. Монотонная линейная связность чебышёвских множеств в пространстве C(Q) // Матем. сб. 2006. 197, № 9. 3-18.
8. Алимов А.Р. Сохранение аппроксимативных свойств чебышёвских множеств и солнц на плоскости // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2008. № 4. 46-49.
9. Васильева А.А. Замкнутые промежутки в векторнозначных функциональных пространствах и их аппроксимативные свойства // Изв. РАН. Серия матем. 2004. 68, № 4. 75-116.
10. Алимов А.Р. Геометрическая характеризация строгих солнц в lœ(n) // Матем. заметки. 2001. 70, № 1. 3-11.
11. Alimov A.R. Characterisations of Chebyshev sets in c0 // J. Approx. Theory. 2004. 129. 217-229.
12. Алимов А.Р., Протасов В.Ю. Отделимость выпуклых множеств экстремальными гиперплоскостями // Фунд. и прикл. матем. 2011/2012. № 5. 3-12.
Поступила в редакцию 05.10.2011
