CC BY
34
Л. Р. Алимов. Пространства Мазура и 4.3-свойство пересечения (ВМ)-пространств
УДК 517.982.252+517.982.256
ПРОСТРАНСТВА МАЗУРА И 4.3-СВОЙСТВО ПЕРЕСЕЧЕНИЯ (ВМ)-ПРОСТРАНСТВ
А. Р. Алимов
Алимов Алексей Ростиславович, доктор физико-математических наук, научный сотрудник лаборатории вычислительных методов механико-математического факультета, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, [email protected]
Устанавливается ряд комбинаторно-геометрических свойств конечномерных (ВМ)-пространств. Такие пространства замечательны тем, что в них удается получить положительный ответ на ряд давно стоящих задач геометрической теории приближений, в частности, на вопрос о существовании непрерывныхе-выборок на солнца (множества Колмогорова) при всех е > 0. Показано, что конечномерное полиэдральное (ВМ)-пространство является пространством Мазура, удовлетворяет 4.3-свойству пересечения, а его единичный шар является порождающим множеством (в смысле Половинкина - Балашова -Иванова).
Ключевые слова: (ВМ)-пространство, 4.3-свойство пересечения, пространство Мазура, множество Мазура, зонотоп, порождающее множество.
001:10.18500/1816-9791 -2016-16-2-133-137
При изучении связности солнц в линейных нормированных пространствах А. Л. Браун (А. Ь. Вгс№п) [1] ввел класс (ВМ) линейных нормированных пространств. В таких пространствах оказывается возможным установить ряд нетривиальных геометрическо-топологических свойств солнц (см. [2]) и в том числе доказать существование непрерывных е-выборок на них для любого е > 0. В частности, известно, что в (ВМ)-пространстве любое ограниченно компактное солнце монотонно линейно связно [2]; более того, такое свойство характеризует полиэдральные конечномерные (ВМ)-пространства [3].
Ниже все пространства будут предполагаться действительными.
Напомним, что линейное нормированное пространство X называется (ВМ)-пространством, если
В(0, ||ж||) П (ш(ж,у) \ {ж}) = 0, когда [ж, ж—у] П В(0, ||ж||) = 0.
Здесь ш(ж, у) — пересечение всех замкнутых шаров, содержащих ж и у (оболочка Банаха - Мазура, или шаровая оболочка точек ж и у), В (ж, г) и В(ж,г) — соответственно замкнутый и открытый шары с центром ж и радиусом г.
Класс(ВМ)-пространств содержит в себе все гладкие пространства, все двумерные пространства с полиэдральным единичным шаром, пространства (п), с0, с, все замкнутые идеалы пространства С(ф), все подрешетки С(ф) с единицей, а также замкнут по отношению к формированию конечной -прямой суммы [1] и бесконечной со-прямой суммы сепарабельных (ВМ)-пространств. (Если Х\, Х2 — линейные нормированные пространства, то -прямой суммой Х1 и Х2 называется прямая сумма Х1 и Х2 с нормой ||(ж15ж2)||^ = шах{||ж1 ||Х1, ||ж2||х2}.) Строго выпуклое пространство лежит в классе (ВМ), если и только если оно гладкое. Любое двумерное пространство с полигональным шаром лежит в классе (ВМ). Известно, что I1, I1 (п) / (ВМ), п ^ 3. Для более подробного ознакомления с результатами, упомянутыми выше, мы отсылаем читателя к обзору [2].
Напомним, что конечномерное пространство называется полиэдральным, если его единичная сфера содержит конечное число крайних точек.
Браун [1, 3] установил, что полиэдральные(ВМ)-пространства конечной размерности в точности являются -прямыми суммами
х = Х1 е^ ■ ■ ■ е^ хг (1)
конечного набора симметричных полиэдральных пространств Х1,...,ХГ размерности 1 или 2. Браун [3] также получил характеризацию двумерных и трехмерных (ВМ)-пространств. Характеризация Брауна трехмерных (ВМ)-пространств записывается следующим образом:
X гладко или имеет вид X = У е^ К, где У — двумерное (ВМ)-пространство. (2)
© Алимов А. Р., 2016
(Щ^^ЩрёЬ Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16, вып. 2
Ниже мы устанавливаем ряд комбинаторно-геометрических свойства конечномерных (BM)-пространств.
Многогранник P с Rn называется зонотопом, если его можно представить в виде проекции куба Cd с Rd некоторой размерности. Зонотоп является центрально-симметричным многогранником, у которого все грани любой размерности центрально-симметричные. Хорошо известно, любой двумерный политоп P является зонотопом, если и только если P центрально-симметричен. Из этой характериза-ции и определения прямой суммы следует, что единичный шар конечномерного полиэдрального (BM)-пространства (полиэдрального пространства вида (1)) необходимо является зонотопом [3]. Как следствие, все грани единичного шара полиэдрального (ВМ)-пространства центрально-симметричные. (Этот факт, очевидно, перестает быть верным для неполиэдральных пространств.) Отсюда вытекает, в частности, что I1 (n) / (BM), n ^ 3.
Замечание 1. Класс всех зонотопов не исчерпывается шарами полиэдральных пространств вида (1) (шарами полиэдральных (BM)-пространств). Действительно, хорошо известно, что в трехмерном случае существует в точности пять комбинаторно различных параллелоэдров: куб, центрально-симметричная шестиугольная призма, ромбододекаэдр, удлиненный додекаэдр и усеченный кубоокта-эдр (многогранник P с Rd размерности d называется d-мерным параллелоэдром, если пространство Rd можно разбить на параллельные копии P, не пересекающиеся по внутренним точкам). В двумерном и трехмерном случаях любой параллелоэдр является зонотопом (однако это уже не так в случае размерности 4). Легко видеть, что указанные выше параллелоэдры (зонотопы) с номерами 3-5 не представляются в виде (1).
Также несложно убедиться в том, что шар полиэдрального пространства вида (1) не обязан являться параллелоэдром. Действительно, рассматривая в R3 шар, образованный ф^-прямой суммой отрезка и произвольного центрально-симметричного многогранника, не замощающего плоскость, мы получаем шар полиэдрального (ВМ)-пространства, не являющийся параллелоэдром.
Пусть n, k e N, n > k ^ 2. Пространство X имеет n.k-свойство пересечения (X e (n.k.I.P)), если для любого набора n замкнутых шаров B(a, r), i = 1,...,n, таких, что n'k=1 B(air,air) = 0 при 1 ^ i1 ^ ...ik ^ n, пересечение nn=1 B(ai5r) = 0 также непусто. Данное понятие введено и исследовалось О. Лимой и независимо В. Г. Болтянским и П. С. Солтаном, которые получили ряд фундаментальных результатов о свойствах (^Ы^-пространств. В последние годы наблюдается значительный интерес к (^Ы^-пространствам в связи с вопросами минимального заполнения подмножеств банаховых пространств и оптимальными сетями (см., например, Б. Б. Беднов и П. А. Бородин [4], А. О. Иванов, А. А. Тужилин, З. Н. Овсянников и др.).
Согласно классической теореме Хелли из выпуклого анализа, если dim X = n, то X e ((n + 2).(n + 1).1.P); как следствие, любое одно- или двумерное пространство лежит в классе (4.3.1.P). Это влечет, что ф^-прямая сумма таких пространств также обладает свойством (4.3.1.P).
o
Обратное утверждение установлено О. Лимой (A. Lima; см. [5]), а также независимо В. Г. Болтянским и П. С. Солтаном [6, замечание 7.9] в терминах чисел Ханнера. Приведем соответствующий результат.
Пусть M с Rn — выпуклое тело и k — натуральное число. Тогда k-е число Ханнера вк(M) определяется следующим образом:
вк(M) := sup{m | X e (m.k.I.P)},
где X — (полу)нормированное пространство, имеющее M своим (квази)шаром. В [6] показано, что если M компактно и в2(М) = го, то M — параллелепипед. Более того, если M — выпуклое компактное центрально-симметричное тело и в3(M) = го (т.е. X e (ro.3.1.P)), то M представляется в виде (1) конечного набора пространств X15... ,Xr размерности 1 или 2.
Таким образом, если X конечномерно и полиэдрально, то
X e (4.3.1.P) ^ X = X1 ф^ ■ ■ ■ ф^ Xr, где dimX^ ^ 2. Отсюда с учетом (1) и (2) вытекает следующее утверждение.
Л. Р. Аппмов. Пространства Мазура п 4.3-свопство пересечения (ВМ)-просгрансгв_
Предложение 1. Предположим, что X конечномерно и полиэдрально или dim X = 3 и X негладко. Тогда следующие свойства эквивалентны: а) X е (BM); б) X е (4.3.1.P).
Отсюда, с учетом того, что если X е (4.3.1.P), dimX < го, то X е (ro.3.1.P) (см., например, Болтянский, Мартини, Солтан [7, § VIII, теорема 5]), то мы приходим к следующему результату: если X е (BM) имеет конечную размерность и полиэдрально или dimX = 3 и X негладко, то X е (ro.3.1.P).
Замечание 2. Стоит упомянуть, что пространство X = (n) лежит в классе (BM) и удовлетворяет более сильному свойству пересечения (4.2.1.P), причем пространства X = l^(n) в точности составляют класс конечномерных (4.2.1.P)-пространств (последнее утверждение установлено в [5]).
Замечание 3. Пространство R3 с евклидовой нормой лежит в классе (BM) (как гладкое пространство), но не удовлетворяет свойству пересечения (4.3.1.P) (для доказательства этого достаточно рассмотреть четыре шара с центрами в вершинах правильной пирамиды).
Установим ещё одно свойство конечномерных (ВМ)-пространств.
Напомним, что замкнутое ограниченное выпуклое множество M называется множеством Мазура (см. [8,9]), если выполняется следующее свойство отделимости: для любой гиперплоскости H, находящейся на положительном расстоянии от M, найдется шар B такой, что M с B и H П B = 0. Это определение эквивалентно тому, что если f е X*, sup f (M) < А, то найдется шар B D M такой, что sup f(B) < А. Линейное нормированное пространство, в котором класс множеств Мазура совпадает с классом пересечений замкнутых шаров, называется пространством Мазура (такой класс пространств введен А. С. Гранеро (A. S. Granero) и Х. Морено (J. P. Moreno); см. [8,9]) в честь Станислава Мазура, который первым установил (1933 г.), что любое замкнутое ограниченное выпуклое подмножество Rn можно представить в виде пересечения замкнутых евклидовых шаров.
Пространства Мазура естественно возникают в связи с вопросом об устойчивости пересечений выпуклых подмножеств линейных нормированных пространств. Классическими примерами пространств Мазура являются классические пространства c0(1), ), C(K), K — стоуновский хаусдорфов компакт, а также любое двумерное пространство (см. [8]). Класс пространств Мазура также включает в себя все рефлексивные пространства с дифференцируемой по Фреше нормой [9]. Известно, что l:(3) не является пространством Мазура. Легко проверяется, что ф^-прямая сумма пространств Мазура является пространством Мазура.
Предложение 2. В классе конечномерных полиэдральных пространств X следующие свойства эквивалентны: а) X е (BM); б) X является пространством Мазура.
Доказательство предложения 2. Согласно следствию 4.2 из обзора [9] конечномерное полиэдральное пространство X является пространством Мазура, если и только если семейство MX пересечений замкнутых шаров в X устойчиво — это означает по определению, что C + D е MX (замыкание векторной суммы множеств C и D), если C, D е MX■ Далее [9, теорема 3.2], в конечномерном полиэдральном пространстве семейство MX устойчиво, если и только если X представимо в виде (1) (или эквивалентно единичный шар X представляется как прямая сумма выпуклых многогранников размерности один или два). Теперь для окончания доказательства остается вспомнить, что конечномерные полиэдральные (BM)-пространства характеризуются свойством (1). □
Следующий основной результат следует из предложений 1 и 2 и замечания 3.
Теорема. 1. В классе конечномерных полиэдральных пространств X следующие свойства эквивалентны: a) X е (BM); б) X — пространство Мазура; в) X е (4.3.1.P).
2. Если dimX = 3, то условия a) и б) эквивалентны, при этом ни одно из этих условий не влечет в).
3. Если dimX = 3 и негладко, то условия а)-в) эквивалентны.
Отметим, что в пп. 1, 2 пространство X не предполагается полиэдральным.
Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16, вып. 2
Замечание 4. Хорошо известно, что если норма || ■ || конечномерного банахова пространства дифференцируема, по Гато, в точке x, то она дифференцируема по Фреше в x. С учетом сказанного выше отсюда вытекает, что любое конечномерное гладкое пространство является пространством Мазура (а также (ВМ)-пространством).
Отметим связь между шарами (BM)-пространств и порождающими множествами. Выпуклое замкнутое множество M с X называется порождающим множеством (см., например, [10]), если для любого множества C с X такого, что множество A = ficGC(M — c) непусто, существует выпуклое замкнутое множество B с X такое, что замыкание (геометрической) суммы A + B совпадает с M. Понятие порождающего множества было введено Е. С. Половинкиным и далее активно исследовалось в работах Г. Е. Иванова, М. В. Балашова, Р. Н. Карасева, Х. Морено, Р. Шнайдера и др. Название «порождающее» связано с тем, что каждое такое множество M порождает класс M-сильно выпуклых множеств, элементами которого являются множества, образованные всевозможными пересечениями сдвигов множества M. Известны некоторые классы порождающих множеств. К ним относятся эллипсоиды, надграфики квадратичных положительно определенных функций, плоские выпуклые замкнутые множества. Шар пространства I1 (3) не является порождающим множеством. Полное описание порождающих множеств остается открытой проблемой [10,11].
Напомним, что прямая сумма порождающих множеств является порождающим множеством [10, теорема 2.4]. Соответственно, если конечномерное полиэдральное X лежит в классе (BM), то его единичный шар представляется в виде (1) как прямая сумма одно- и двумерных многоугольников. Поэтому такое пространство имеет порождающий шар. С другой стороны, любое гладкое (по Гато) пространство является (BM)-пространством (см. [2]) и, значит, не всякое гладкое (BM)-пространство имеет порождающий шар — это следует, например, из известной характеризации Г. Е. Иванова гладких порождающих множеств [11].
Нами получен следующий результат.
Предложение 3. Предположим, что X е (BM) конечномерно и полиэдрально или dim X = 3 и X негладко. Тогда X имеет порождающий единичный шар.
Следующий результат фактически содержится в [12, лемма 4.12].
Предложение 4. Если пространство Мазура X рефлексивно, то единичный шар пространства X является порождающим множеством.
Обратная импликация в предложении 4 неверна в общем случае: любое гладкое (по Гато) конечномерное пространство является пространством Мазура, но не все гладкие пространства (размерности ^ 3) обладают порождающим единичным шаром [11].
Замечание 5. В заключение отметим связь (полиэдральных конечномерных или негладких трехмерных) (BM)-пространств с известным неравенством Шнайдера об объемах проекционных тел [13]: согласно гипотезе Шнайдера (см., например, [13, §7.4]) неравенство Шнайдера превращается в равенство в точности на пространствах вида (1), где X1,... ,Xr — конечный набор банаховых пространств размерности 1 или 2 (т.е. на указанном выше классе (BM)-пространств).
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 16-01-00295). Библиографический список
1. Brown A. L. Suns in normed linear spaces which Seville (Spain), Sept. 2002 - Febr. 2003. Sevilla :
are finite-dimensional // Math. Ann. 1987. Vol. 279. Universidad de Sevilla, 2003. P. 139-146.
P. 87-101. DOI: 10.1007/BF01456192.
4. Беднов Б. Б., Бородин П. А. Банаховы простран-
2. Алимов А. Р., Царьков И. Г. Связность и другие геометрические свойства солнц и чебышёв-ских множеств // Фунд. и прикл. матем. 2014. Т. 19, № 4. С. 21-91.
o
5. Hansen A. B., Lima A. The structure of finite dimensional Banach spaces with the 3.2. intersection property // Acta Math. 1981. Vol. 146. P. 1-23. DOI: 10.1007/BF02392457.
Матем. сб. 2014. T. 205, № 4. С. 3-20.
ства, реализующие минимальные заполнения //
3. Brown A. L. Suns in polyhedral spaces // Seminar of Math. Analysis. Proceedings / eds. D. G. Alvarez, G. Lopez Acedo, R. V. Caro; Univ. Malaga and
Л. Р. Алимов. Пространства Мазура и 4.3-свойство пересечения (BM)-пространств
6. Болтянский В. Г., Солтан П. С. Комбинаторная геометрия и классы выпуклости // УМН. 1978. Т. 33, вып. 1 (199). С. 3-42. DOI: 10.1070/RM1978 v033n01ABEH003730.
7. Boltyanski V., Martini H., Saltan P. S. Excursions into combinatorial geometry. Berlin : Springer, 1997. 422 p. DOI: 10.1007/978-3-642-59237-9.
8. Granero A. S., Moreno J. P., Phelps R. R. Mazur sets in normed spaces // Discrete Comput Geom. 2004. Vol. 31. P. 411-420. DOI: 10.1007/s00454-003-0808-5.
9. Moreno J. P., Schneider R. Intersection properties of polyhedral norms // Adv. Geom. 2007. Vol. 7, № 3. P. 391-402. DOI: 10.1515/ADVGE0M.2007.025.
10. Балашов М. В., Половинкин Е. С. M-сильно выпуклые подмножества и их порождающие множества // Матем. сб. 2000. Т. 191, № 1. С. 26. DOI: 10.4213/sm447.
11. Иванов Г. Е. Критерий гладких порождающих множеств // Матем. сб. 2007. T. 198, № 3. C. 5176. DOI: 10.4213/sm1481.
12. Балашов М. В., Иванов Г. Е. Слабо выпуклые и проксимально гладкие множества в банаховых пространствах // Изв. РАН. Сер. матем. 2009. Т. 73, № 3. C. 23-66. DOI: 10.4213/im2646.
13. Schneider R. Convex bodies : The Brunn-Minkowski theory. Cambridge : Cambridge Univ. Press, 1993. DOI: 10.1017/CB09780511526282.
Mazur Spaces and 4.3-intersection Property of (BM)-spaces
A. R. Alimov
Alexey R. Alimov, Moscow State University, Vorob'evy gory, 119899, Moscow, Russia, [email protected]
The paper puts forward some combinatorial and geometric properties of finite-dimensional (BM)-spaces. A remarkable property of such spaces is that in these spaces one succeeds in giving an answer to some long-standing problems of geometric approximation theory, and in particular, to the question on the existence of continuous e-selections on suns (Kolmogorov sets) for all e > 0. A finite-dimensional polyhedral (BM)-space is shown to be a Mazur space, satisfies the 4.3-intersection property, and its unit ball is proved to be a generating set (in the sense of Polovinkin, Balashov, and Ivanov).
Key words: (BM)-space, 4.3-intersection property, Mazur space, Mazur set, zonotope, generating set.
This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 16-01-00295).
References
1. Brown A. L. Suns in normed linear spaces which are finite-dimensional. Math. Ann., 1987, vol. 279, pp. 87-101. DOI: 10.1007/BF01456192.
2. Alimov A. R., Tsar'kov I. G. Connectedness and other geometric properties of suns and Chebyshev sets. Fund. prikl. matem., 2014, vol. 19, no. 4, pp. 21-91 (in Russian).
3. Brown A. L. Suns in polyhedral spaces. Seminar of Mathem. Analysis, Proceedings, eds.: D. G. Alvarez, G. Lopez Acedo, R. V. Caro, Univ. Malaga and Seville (Spain), Sept. 2002 -Feb. 2003. Universidad de Sevilla, Sevilla, 2003, pp. 139-146.
4. Bednov B. B., Borodin P. A. Banach spaces that realize minimal fillings. Sb. Math., 2014, vol. 205, no. 4, pp. 3-20. DOI: 10.1070/SM2014v205n04 ABEH004383.
o
5. Hansen A. B., Lima A. The structure of finite dimensional Banach spaces with the 3.2. intersection property. Acta Math., 1981, vol. 146, pp. 1-23. DOI: 10.1007/BF02392457.
6. Boltyanskii V. G., Soltan P. S. Combinatorial geometry and convexity classes. Russian Math. Surveys, 1978, vol. 33, no. 1 (199), pp. 1-45. DOI: 10.1070/RM1978v033n01ABEH003730.
7. Boltyanskii V., Martini H., Soltan P. S. Excursions into Combinatorial Geometry. Berlin, Springer, 1997, 422 p. DOI: 10.1007/978-3-642-59237-9.
8. Granero A. S., Moreno J. P., Phelps R. R. Mazur sets in normed spaces. Discrete Comput Geom., 2004, vol. 31, pp. 411-420. DOI: 10.1007/s00454-003-0808-5.
9. Moreno J. P., Schneider R. Intersection properties of polyhedral norms. Adv. Geom., 2007, vol. 7, no. 3, pp. 391-402. DOI: 10.1515/ADVGE-OM.2007.025.
10. Balashov M. V., Polovinkin E. S. M-strongly convex subsets and their generating sets. Sb. Math., 2000, vol. 191, no. 1, pp. 26-64. DOI: 10.1070/ SM2000v191n01ABEH000447.
11. Ivanov G. E. A criterion of smooth generating sets. Sb. Math., 2007, vol. 198, no. 3, pp. 343-368. DOI: 10.1070/SM2007v198n03ABEH003839.
12. Balashov M. V., Ivanov G. E. Weakly convex and proximally smooth sets in Banach spaces. Izv. Math., 2009, vol. 73, no. 3, pp. 455-499. DOI: 10.1070/ IM2009v073n03ABEH002454.
13. Schneider R. Convex Bodies : The Brunn-Minkowski Theory. Cambridge, Cambridge University Press, 1993. DOI: 10.1017/CBO9780511526282.
