CC BY
7УДК 517.982.256
ОБ п-АНТИПРОКСИМИНАЛЬНЫХ МНОЖЕСТВАХ
Б. Б. Беднов1
Определяется понятие п-антипроксиминального множества в банаховом пространстве, обобщающее понятие антипроксиминального множества. Исследуется вопрос о суп
С и
Ключевые слова: антипроксиминальное множество, банахово пространство. п
closed n-antiproximinal sets in the spaces С and L\ is studied.
Key words: antiproximinal set, Banach space.
Рассмотрим банахово пространство (X, || • ||) и непустое множество M в нем. Для точки x Е X определим метрическую проекцию PM(x) = {у Е M : Цх — уЦ = p(x,M)}, где p(x,M) = inf{||x — хЦ : z Е M}. Множество M называется антипроксиминальным, если для любой точки x Е X \ Mb множестве M нет ближайшей точки, т.е. Pm(x) = 0. Термин "антипроксиминальное множество" ввел Р. Холмс [1, § 30].
В.Кли [2] сформулировал вопрос о существовании в банаховом пространстве выпуклого замкнутого ограниченного антипроксиминального множества. Антипроксиминальные множества начал исследовать И.Зингер в книге [3, гл.1, §2 и приложение 1, §2]. Он называл такие множества "very non-proximinal".
XM M
[4] доказал, что в сепарабельном сопряженном пространстве выпуклых замкнутых ограниченных анти-проксиминальных множеств нет. М.Эделыптейн и А.Томпсон [5] в пространстве со построили первое выпуклое замкнутое ограниченное антипроксиминальное тело. С.Кобзаш [6-8] привел примеры таких тел в пространствах, изоморфных со, и доказал, что если измеримое пространство (E, £, f) содержит атом относительно меры f то в пространстве Li := Li(E, T,,f), для которого сопряженное пространство канонически изоморфно Lж := L^(E, T,,f), выпуклых замкнутых ограниченных антипроксиминальных множеств нет [9]. Д. Борвейн [10], М. Эделынтейн [11] и Р. Фелпс [12] доказали отсутствие выпуклых замкнутых огра-
X
[13] доказал отсутствие таких множеств в пространствах X = X1 х X2 с нормой Hx1 + x2H = ||xi|| + Hx21|, где рефлексивное пространство X2 = {0}. В.П.Фонф [14] построил выпуклые замкнутые ограниченные антипроксиминальные тела в широком классе пространств непрерывных функций. B.C. Балаганский построил пример такого тела в бесконечномерном пространстве С(Q) [15] для произвольного топологического хаусдорфова пространства Q, а также в некоторых пространствах Гротендика [16]. Д. Борвейн, М. Хименез-Севилла и X. Морено [17] доказали, что такие тела есть в пространстве X = Y х со с нормой ||(у, z)|| = max{||y||, ||z||}. Теория антипроксиминальных множеств развивалась и в других направлениях (подробнее см. обзор [18]).
Одна из самых интересных нерешенных задач теории антипроксиминальных множеств формулируется так: существует ли выпуклое замкнутое ограниченное антипроксиминальное тело в Li[0,1]?
В работе [19] для точек x1,...,xn Е X определена метрическая n-проекция Pm (x1,..., xn) = {у Е M : — У || = p(x1,..., xn, M)}, где p(x1,..., xn, M) = inf{^л=1 — хЦ : z Е M}, и поставлен вопрос об исследовании n-антипроксиминальных множеств.
Определение. Непустое множество M назовем п-антипроксиминальным, если для любых таких x 1,..., xn Е X, что p(x1, ...,xn,M) > p(x1,... ,xn,X), выполнено Pm (x1, ...,x.n) \ {xi}n=1 = 0■
M
x Е X\M замкнутый шар B(x, p(x, M)) не имеет с M общих точек. Аналогично п-антипроксиминальность означает, что для любых точек x1, ...,xn Е X с уровнем p(x1,..., xn, M) > p(x1,..., xn, X) замкнутый п-шар B(x1,..., xn, p(x1,..., xn, M)) = {у Е X : ^n=1 Ну — xk || ^ p(x1,..., xn, M)} не имеет с M общих
xi
1
множество.
1 Бедное Борислав Борисович — асп. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: noriiiiQinbox .ru.
Неравенство p(x\,...,xn,M) > p(xi,...,xn,X) в определении означает, что метрическая проекция Рм(xi,..., xn) не пересекается с множеством Рх(x\,..., xn) точек Штейнера набора xi,..., xn. Если это условие убрать, то определение потеряет смысл: при n = 2 для всякого непустого множества M = X можно найти такие две точки xi,x2, что интервал (xi,x2) пересекает M; тогда Рм(xi,x2) \ {xi,x2} D (xi ,x2) П M, и получится, что 2-антипроксиминальных множеств вообще нет.
Если же условие Рм(x]_,..., xn)\{xi}n=1 = 0 заменить на Рм(x]_,..., xn) = 0, то получится более узкий класс Zn(X) множеств в пространстве X, при n = 1, 2 совпадающий с уже введенным. Действительно, (1-)шар B(x, p(x,M)) и 2-шар B(xi,x2,p(x1 ,x2,M)) содержат соответственно точки x и xi,x2 строго внутри себя (при условиях p(x,M) > p(x,X) и p(xi,x2,M) > p(x1 ,x2,X) соответственно), и если Рм(x) \ {x} = 0 ми Рм(x1,x2) \ {x1 ,x2} = 0, то Рм(x) = 0 ми Рм(x1 ,x2) = 0 соответственно. При натуральном n ^ 3 класс Zn(X) в любом банаховом пространстве X не содержит выпуклых замкнутых множеств (см. ниже утверждение 1), поэтому исследование этого класса Zn(X) представляется бессодержательным.
n
множеств в пространстве со, пространстве C[K] непрерывных функций та хаусдорфовом компакте K и пространствах Li, сопряженные пространства к которым канонически изоморфны L^, при n = 2, 3,....
Лемма 1. Если множество M n-антипроксимипалъно, то для любого числа, к — делителя n — множество M является к-антипроксиммнальным,. В частности, всякое n-антипроксиминальное множество антипроксиминалъно.
Доказательство. При фиксированном n = kl рассмотрим к точек xi,...,xk £ X с условием p(x1,...,xk, M) > p(x1,...,xk ,X). Пусть ypk+r = xr при каждом фиксированном натуральном числе г £ {1,...,к} и каждом произвольном натуральном p £ {1,... ,l — 1^. Множества Рм (yi,..., yn) и Рм (xi,... ,xk) одинаковы, и в силу n-антипроксиминальности множества M множество Рм (yi,... ,yn) \ {yi}n=i = Рм (xi,... ,xk) \ {xi }k=i пусто, т.е. M k-антипроксиминально. Лемма доказана.
Функционал f £ X* называется опорным, к выпуклому замкнутому множеству A С X, если найдется такой элемент x £ A, что f(x) = sup{f(z) : z £ A} или f(x) = inf{f(z) : z £ A} (см., например, [6]). Функционал f, опорный к единичному шару B(X) пространства X, достигает нормы на некотором ненулевом элементе x £ X, т.е. f (x) = \\f || • ||x||. Единичную сферу пространства X обозначим S(X).
Лемма А [5, 15]. Непустое выпуклое замкнутое множество M С X антипроксиминалъно тогда и только тогда, когда любой ненулевой функционал, опорный к M, не является опорным к B(X).
M
Лемма Б [20, 19]. Пусть Y С X — замкнутое линейное подпространство и xi,...,xn £ X. Элемент y0 £ Y принадлежит множеству Ру(xi,... ,xn) тогда и только тогда, когда найдутся т,акие функционалы, fi,...,fn £ X *, что Yjj=i fj £ Y \ max Wfj || = 1 и fj (xj — yo) = Wfj || • Wxj — yoW (j = 1,...,n).
Лемма 2. Непустое выпуклое замкнутое множество M С X n-антипроксиминально тогда и только тогда, когда для всякого опорного к M ненулевого функционала, f не существует т,аких fi,...,fn £ X* uxi,...,xn £ S (X),4mo:1) fi +... + fn = f; 2) Ц^Ц = ... = ЦЩ > 0; 3) fk (xk ) = HfkH^xk Ц, к = 1,...,n; 4) 0 £ Рх (xi,...,xn).
Доказательство. Если множество M не n-антипроксиминадьно, то существуют xi,...,xn £ X с условием p(xi,..., xn, M) > p(xi,..., xn, X), для которых найдется y0 £ Рм(x]_,..., xn), причем y0 = xi для каждого i = 1,.. .,n. Имеем y0 £ B (xi,..., xn, p(xi,..., xn, M)) П M. Множества M и B := B(xi,..., xn, p(xi,..., xn, M)) выпуклы и замкнуты. Множество B имеет непустую внутренность. По лемме об отделимости [1, § 3g] существует гиперплоскость Y = {x £ X : f (x) = f (yo)} Э y0, разделяющая M и B. Ясно, что функционал f является опорным как к M, так и к B и yo £ Ру(xi,...,xn). Рассмотрим подпространство Y0 = Y — y0. Множество Ру0(xi — y0,...,xn — y0) содержит точку 0. По лемме Б найдутся такие функционалы fi,...,fn £ X *, что fj £ Y^ = {Xf : X £ К}, max Hfj || = 1 и fj (xj — Уо) = Hfj || • Hxj — yoU, j = 1,...,n, причем все Hxj — yoU отличны от нуля, что эквивалентно раскладываемости функционала f в сумму n опорных к B(X) функционалов одинаковой нормы. При этом точка 0 <£ Рх (xi — y0,...,xn — y0), посколь kv y0 <£ Рх (xi,..., xn).
Обратно: пусть для некоторого функционала f, опорного к множеству M в точке zo, существуют опорные к B(X) функционалы fi,...,fn £ X* и точки xi,...,xn £ S(X), удовлетворяющие условиям 1-4. По лемме Б в ядре Y функционала f для таких xi,...,xn точка 0 является ближайшей, но не точкой Штейнера, т.е. выполнено условие p(xi,...,xn,Y) > p(xi,...,xn,X). Поэтому n-шар B := B(xi,..., xn, p(xi,..., xn, Y)) имеет непустую внутренность. Следовательно, z0 £ Ру+z0 (xi + z0,...,xn + z0). Так так л ибо B + z0, либ о —B + z0 отделяется от M гиперплоскостью Y + z0 и ±xk + z0 = z0, то Mn
Утверждение 1. Для, всякого натурального n ^ 3 клас с Zn(X) в произвольном банаховом простран-X
Действительно, рассмотрим произвольный опорный функционал f, Hf || = 1 к выпуклому замкнутому множеству M С X в точке у Е M. По теореме Бишопа-Фелпса [21, гл. 1] множество опорных к B(X) функционалов плотно в X*, поэтому найдется такой опорный к B(X) функционал g, что Hf — gII < 1/(п — 1), ||g|| = 1. Возьмем такую точку x = 0, что g(x) = ||x||. Точки x1 = ... = xn_1 = x, xn = 0 и функционалы f = ... = fn_1 = g, fn = (n — 1)(f — g) удовлетворяют условию леммы Б, поэтому Pxer/(x1,..., xn) э 0 (Kerf — ядро функционала f). Так как п-шар B := B(x1,..., xn, p(x1,..., xn, Kerf)) имеет непустую внутренность, то либо B+у, либо —B+у отделяется от M гиперплоскостью Kerf+у, а значит, либо PM(x1 + у,... ,xn+у) э у, либо PM(—x1+у,..., —xn+у) э у Поскольку p(x1 + у,... ,xn+у,M) = (п — 1)||x|| > ||x|| = p(x1 + у,..., xn + у, X), получаем M Е Zn(X).
Теорема 1. Пусть M — выпуклое замкнутое множество в пространстве с0 и п Е N. Множество M п-антипроксиминально тогда и только тогда, когда M ант,ипроксим,инально.
Доказательство. Напомним, что функционал f Е со* = li не является опорным к B(co) тогда и f
Необходимость следует из леммы 1.
M
ционал fo не является опорным к B(co)■ Ясно, что такой функционал fo Е со* не раскладывается в конечную сумму опорных к B(^) функционалов, так как конечная сумма функционалов, v каждого из которых конечное число ненулевых координат, имеет конечное число ненулевых координат. Поэтому по лемме 2 множество M п-антипроксиминально для любого п Е N.
Теорема доказана.
Антипроксиминальное выпуклое замкнутое ограниченное тело V, построенное Эделыптейном и Томпсоном [5] в пространстве со, есть прообраз T_1(B(со)) под действием обратимого линейного непрерывного оператора T : со ^ со, для которого сопряженный оператор T* переводит всякий функционал, достигающий нормы, в функционал, не достигающий нормы.
Следствие 1. Множество V из [5] ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ для любого натурального п.
X
X*
X со
Пусть K — хаусдорфов компакт, С [K] — пространство непрерывных функций на компакте K. Напомним, что С*[K] = rba(K) обозначает линейное пространство, состоящее из регулярных ограниченных аддитивных функций множества (мер), определенных на алгебре, порожденной замкнутыми множества-K f Е rba(K)
Пусть f+ + f_ = ff есть разложение Хана для функционала f Е С*[K], S = S(f) — его замкнутый носитель, S + (f) = S(f+) и S_(f) = S(f_). Напомним, что функционал f Е rba(K) не достигает нормы тогда и только тогда, когда пересечение замкнутых множеств S+(f) и S_(f) непусто (см., например, [3, гл. 1, § 1]). Обозначим через 5t, t Е K, функционад, определенный равенством 5t(x) = x(t) при x Е С[K].
Если компакт K конечен, то пространство С[K] конечномерно, следовательно, рефлексивно. В таком пространстве нет выпуклых замкнутых антипроксиминальных множеств, а значит, нет и выпуклых п
Теорема 2. В простора,нет,ее С [K ] непрерывных функций на бесконечном хаусдорф овом ком пакт е K
1) антипроксиминальность выпуклого замкнуто го множества M эквивалентна, его 2-антипрокси-млмальности;
2) не существует выпуклых замкнутых ограниченных п-антипроксиминальных тел при п = 3, 4,... .
Доказательство. 1. По лемме 1 из 2-антипроксиминальности множества M следует его антипрокси-
2
ного множества M рассмотрим функционал f Е С*[K], опорный к этому множеству. По лемме А такой функционал не достигает нормы, т.е. S+(f) П S_(f) = 0 Пусть существуют такие опорные к B(С[K]) функционалы f 1,f 2 одинаковой нормы, что f1 + f2 = f Тогда точка t Е S+(f) П S _ (f) принадлежит либо множеству S+(f1) П S_(f2), либо множеству S_(f 1) П S+(f2) и хотя бы одно из этих множеств непусто. Это означает, что в точке t функции x1,x2 Е С[K], для которых fi(xi) = HfiH • Hxi||, i = 1, 2, достигают нормы с разными знаками, т.е. Hx11| + Hx2H = Hx1 — x2|| и 0 Е Pc[k](x1 ,x2). Поэтому разложение f = f1 + f 2
M2
2. Зафиксируем произвольную точку t Е K и натурадьное число п ^ 3. По теореме Бишопа-Фелпса [21, гл. 1] для произвольного выпуклого замкнутого ограниченного тела M С С[K] существует такой опорный к нему функционал /л £ С*[К], что ||/х|| = 1 (в частности, |/i({t})| ^ 1) и \\/л — < Это означает, что если разложение Хана меры f — f({t})5t есть f + + jl_, то
Hf — St || = Hf+H + H(f({t}) — 1)й + ГН = Hf+H +1 — f({t}) + Hf_ II,
т.е. 0^1 — //({£}) ^ ||Д || ^ Значит, точка £ € Б+(/х) и ||/х || = ||Д || ^ Пусть и\ = ¡л, — аЬ^У2 = ... = ип = + где о = ^ • Заметим, что Ц1/1Ц = Н^гН, каждый функционал из щ достигает
нормы и иг = Л- Рассмотрим такие х1,х2 = ... = хп =: в € Б{С[К]), что ии{хи) = Ции||. Заметим, что
п п
У] Цхг — в|| = Цх1 — в|| ^ 2 < п = ^2 Цхг — 0||,
г=1 г=1
поэтому 0 € Рс[к]{х1,..., хп). Следовательно, по лемме 2 множество М не п-антипроксиминально. Теорема доказана.
Теорема 3. В пространстве с нет выпуклых замкнутых п-антипроксиминальных множеств при п = 3, 4,....
Доказательство. Напомним, что функционал / = {/о, /1,..., /п,...) € Ц = с* (действие функционала / на вектор х = {х1,..., хп,...) € с задается форм улой / {х) = ^ '^=1 /кхк + /0 ■ Нш^.^ хп) не
достигает нормы на В{с) тогда и только тогда, когда выполнено хотя бы одно из трех условий: а) бес/
/ /о < 0
координат и /о > 0.
Рассмотрим функционал / € Б{с*), не достигающий нормы. Без ограничения общности считаем, что /о ^ 0 следовательно, V функционала / бесконечное число отрицательных координат. Фиксируем п ^ 3. Рассмотрим функционал д, имеющий только неположительные координаты, такой, что ||д|| ^ 1/п и / — д достигает нормы (т.е. функционал / — д имеет конечное число отрицательных координат). Обозначим
а ;= У-9\\/(п-1)-\\д\\ > 0 п — 2
и рассмотрим такую точку Ь € Б-{д), что {/ — д){Ь) = 0. Определим функционалы д1 = д — {п — 1)0.81, дк = {/ — д)/{п — 1) + , к = 2,...,п. Каждый го них достигает нормы; Цд11| = ||д|| + {п — 1)а = Ц/ — дЦ/{п — 1) + а = ЦдкЦ,к = 2,... ,щ ^п=1 дг = /■ Рассмотрим такие х1,х2 = ... = хп =: в € Б {с), что дк{хи) = Цдк||- Заметим, что
У^ Цхг — в|| = Цх1 — в|| ^ 2 < п = ^
l|Xi — 0||,
г=1 г=1
поэтому 0 € Рс {х1,... ,хп). По лемме 2 множество Кег/ не п-антипроксиминально. Теорема доказана.
п
к шару В {С [К]) функционала ¡л, носитель которого имеет единственную предельную точку, при п = 3, 4,...
Аналог теоремы 3 для произвольного пространства С [К] неверен, как показывает следующий Пример. Гиперплоскость Кег л при Цл+1| = Цл-1| и Б{л+) П Б{л-) = [0,1] в пространстве С[0,1]
3
Доказательство. Пусть заданный функционал л раскладывается в сумму трех опорных к единичному шару функционалов: и1 + и2 + и3 = ¡.Рассмотрим такие х1,х2,х3 € В {С [0,1]), на которых и1, и2, и3 соответственно достигают нормы. По теореме 1 из [23] точка 0 € Ра[о,1]{х1 ,х2,хз) тогда и только тогда, когда найдутся три точки Ь1,2^2,3^1,3 € [0,1], в которых соответствующие пары функций достигают нормы с противоположными знаками. Таким образом, в этих точках пересекаются носители соответствующих функционалов, причем с разными знаками. Назовем точку Ь € Б граничной для замкнутого множества 5 С [0,1^, если в любой открытой окрести ости точки Ь есть точки, не принадлежащие Б.
Докажем, что любая граничная точка носителя Б {иг), г = 1, 2, 3, принадлежит носителю каждой из функций и1,и2,из. При этом знаки двух носителей, содержащих эту точку, различны. Действительно, пусть Ь — граничная точка Б+{и1^. Так как Ь € Б-{л) и и1 + и2 + и3 = то Ь € Б-{и1) и Б-{и2) и Б-{и3). Но функционал и1 достигает нормы, поэтому Ь € Б-{и2) и Б-{из). Без ограничения общности Ь € Б-{из). Рассмотрим точку Ь € [0,1] \ Б+{и1) из е-окрестности точки Ь. Так как Ь € Б+{л), то Ь € Б+{и2) и Б+{из). Устремляя е к нулю, получаем последовательность точек из замкнутого множества Б+{и2) и Б+{и3^ ^ ^^^^^щуюся к Ь Поэтому Ь € Б+{и2) и Б+{и3). Так как и3 достигает нормы и Ь € Б-{и3), то Ь € Б+{и2).
Если ни одной граничной точки у носителей Б {иг), г = 1,2,3, нет, то без ограничения общности считаем Б-{и3) = [0,1] = Б+{и1) = Б+ {и2). Тогда и3 = — а, и1 + и2 = + а при некоторой положительной мере а. В салу равенств Ци1 + и2Ц = Ци11| + Ци21| = Цл+ + а|| = Цл- — а| = 11и31 получаем
различные нормы у что не удовлетворяет условию. Пусть без ограничения общности граничная точка Ь € 5+(^) П 3+(и2) П 5-(и3) (точка Ь играет роль точек и Ь2,3 в терминах теоремы 1 из [23]). Если множества 5и Б-(и2) пусты, то также верно равенство 1| + \\и21| = || и нормы у V различны, что не удовлетворяет условию. Если же хотя бы одно из множеств Б-(^1), Б-(^2) непусто, то найдется его граничная точка из множества 5-(^з) = 0, которая и есть точка Ь\г2- Действительно, если 5-(^з) = [0,то для граничной точки ¿1 множества (без ограничения общности) 5верно включение Ь1 € Б-(^з) П 5+(и2), так как граничная точка принадлежит трем носителям одновременно. Если же множество 5-имеет граничную точку ¿2, то эта точка граничная и для одного из множеств 5 5- (щ) • Поэтому ¿2 принадлежит положительному носителю оставшегося функционала. Таким образом, для данных и1 ,и2 ,и3 и соответствующих им х1,х2,х3 € В (С [0,1]) точка 0 € Рс[0>1\(х1,х2,х3), т.е. не выполнено условие 4 леммы 2. Доказательство завершено.
Заметим, что выпуклое замкнутое ограниченное антипроксиминальное тело У1, построенное Кобза-шем [6] в пространстве с, 2-антипроксиминально, но не п-антипроксиминально при п ^ 3 (множество У1 У
помощи изоморфизма пространств с и со). Заметим также, что выпуклое замкнутое ограниченное антипроксиминальное тело У2, построенное Балаганским [15] в пространстве С [К], 2-антипроксиминально, но не п-антипроксиминально при п ^ 3. Оба факта сразу следуют из теоремы 2.
Теорема 4. Для пространства Ь1(Е, £, ц), сопряженное к которому канонически изоморфно Ьте(Е, £,ц), в частности для пространства Ь1(Е, £,ц) с о-конечной мерой ц, верны следующие утверждения:
1) антипроксиминальность выпуклого замкнуто го множества М эквивалентна, его 2-антипрокси-млмальности;
2) не существует выпуклого замкнутого п-антипроксиминального множества при п = 3, 4,...;
3) если о-а,л,гебра, £ содержит хотя бы один атом относи тельно меры ц, то в простра, нет ее Ь1(Е, £,ц) нет выпуклых замкнутых ограниченных 2-антипроксиминальных множеств.
Получается, что вопрос о существовании выпуклого замкнутого ограниченного антипроксиминаль-ного тела в пространстве Ь1[0,1] эквивалентен вопросу о существовании выпуклого замкнутого ограни-2
шенными.
Доказательство. Напомним, что функционалы / € Ьте(Е, £,ц), которые не являются опорными к В(Ь1(Е, £,ц)), характеризуются равенством ц({Ь € Е : /(¿)| = \\/\\}) = 0.
2М 2М рассмотрим функционал / € , опорный к этому множеству. По лемме А такой функционал не достигает нормы. Пусть существуют такие опорные к В(Ь1) функционалы /1, /2 одинаковой нормы, что /1 + /2 = /■ Докажем, что для таких х1,х2 € Ь1, что /г(х^) = \\/^\ • \\х^\, г = 1, 2, точка 0 является точкой Штейнера, т.е. \х1 \\ + \\х2\\ = \х1 — х2Ц. Заметим, что х^) = 0 только в тех точках Ь € Е, где |/í(t)| = \\/^\, причем в таких точках знаки х^Ь) и / (Ь) совпадают. Так как каждый из функционалов / достигает нормы, а их сумма — нет, то мера множества {Ь € Е : /1(Ь) • /2(Ь) = ЦДЦ • \\/2\\} равна нулю. Поэтому ц({Ь € Е : х1(Ь) • х2(Ь) > 0}) = 0 следовательно, х1(Ь) • х2(Ь) ^ 0 для почти всех Ь € Е, и выполнено равенство \х1 \\ + \\х2\\ = \х1 — х2\\. Поэтому разложение любого неопорного к В(Ь1) функционала в сумму
М2
2. Докажем, что любой неопорный к В(Ь1) функционал / € 5(Ьте) раскладывается в сумму п ^ 3 В(Ь1)
что множество и+ := {£ € Е : /(Ь) ^ \\/\\ — 1/(п — 1)} имеет положительную меру. Тогда и+ либо имеет непрерывную часть положительной меры, либо содержит бесконечное число атомов (так как ц({Ь € Е : I/ (Ь)| = \\/ \\}) = 0). В случае существования непрерывной част и рассмотрим п непересекающихся множеств и1,...,ип С и + положительной меры. В случае бесконечного числа атомов в множестве и+ выберем п атомов и1, ...,ип С иПостроим функционалы
Ясно, что \\д^\те = 1/(п — 1^, каждый из функционалов нормы на В(Ь1), г = 1,...,п, и
*^Пп=1 ^ = /■ Для каждого г = 1,...,п рассмотрим такой элемент Xí € 5(Ь1), который равен нулю вне (и1 и.. .и ип) \ Щ, равен положительной константе на (и1 и.. .и ип) \ и и для которого д^х,1) = \\д^\ • Нxí\\.
гт, ¿е (С/1 и... и ип)\иг] Ь) — 1, Ь € и*
• / (Ь), Ь € Е \ и и ... и ип)
(г = 1,...,п).
Так как для почти всех t G Ui U ... U Un только одна функция из {xk}'n=i равна нулю, а остальные положительны, то точка 0 G Pli (xi,..., xn).
Пусть M — выпуклое замкнутое множество в Li, f — ненулевой функционал, опорный к M. Если f достигает своей нормы, то M не является антипроксиминальным, а значит, и не п-антипроксиминальным (леммы А и 1). Если же f не достигает нормы, то из приведенного выше разложения f = gi + ... + gn в силу леммы 2 получаем, что M не п-антипроксиминально.
3. Если ст-алгебра £ содержит хотя бы один атом относительно меры то в пространстве Li(E, Y, ¡л), сопряженное к которому канонически изоморфно Lнет выпуклых замкнутых ограниченных антипрок-
Li
2-антипроксиминальных множеств. Теорема доказана.
В каждом из рассмотренных выше пространств антипроксиминальность выпуклого замкнутого мно-2
2
Автор приносит благодарность П. А. Бородину за постановку задачи, внимание к работе и полезные замечания.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проекты № 14-01-00510, 15-01-08335) и программы "Ведущие научные школы РФ" (грант НШ-3682.2014.1).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Holmes R.B. A course on optimization and best approximation // Lect. Notes Math. Vol. 257. Berlin: Springer-Verlag, 1972.
2. Klee V. Remarks on nearest points in normed linear spaces //Proc. Colloq. Convexity. Copenhagen 1965. Copenhagen, 1967. 161-176.
3. Singer I. Best approximation in normed linear spaces by elements of linear subspaces. Bucharest; Berlin: Editura Academiei: Springer-Verlag, 1970.
4. Edelstein M. A note on nearest points // Quart. J. Math. 1970. 21. 403-407.
5. Edelstein M., Thompson A.C. Some results on nearest points and support properties of convex sets in co // Pacif. J. Math. 1972. 40, N 3. 553-560.
co c
449-457.
7. Cobza§ S. Antiproximinal sets in Banach spaces of continuous functions // Rev. anal, numer. §i teor. aproxim. 1976. 5. 127-143.
8. Cobza§ S. Antiproximinal sets in Banach spaces of co-type // Rev. anal, numer. §i teor. aproxim. 1978. 7. 141-145.
9. Cobza§ S. Antiproximinal sets in some Banach spaces // Math. Balkanica. 1974. 4. 79-82.
10. Borwein J.M. Some remarks on a paper of S. Cobzas on antiproximinal sets // Bull. Calcutta Math. Soc. 1981. 73. 5-8.
11. Edelstein M. Weakly proximinal sets //J. Approxim. Theory. 1976. 18, N I. 1-8.
12. Phelps R.R. Counterexamples concerning support theorems for convex sets in Hilbert space // Can. Math. Bull. 1988. 31, N 1. 121-128.
13. Floret K. On the sum of two closed convex sets // Meth. Oper. Res. 1978. 36. 73-85.
14. Фонф В.П. Об антипроксиминальных множествах в пространствах непрерывных функций на бикомпактах // Матем. заметки. 1983. 33, № 3. 549-558.
15. Валаганский B.C. Антипроксимипальпые множества в пространствах непрерывных функций // Матем. заметки. 1996. 60, № 5. 643-657.
16. Валаганский B.C. Об антипроксиминальных множествах в пространстве Гротендика // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2012. 18, № 4. 90-103.
17. Borwein J.M., Jiménez-Sevilla M., Moreno J.P. Antiproximinal norms in Banach spaces //J. Approxim. Theory. 2002. 114. 57-69.
18. Cobzaç S. Antiproximinal sets in Banach spaces // Acta Univ. carol, math, et phys. 1999. 40, N 2. 43-52.
19. Бородин П.A. О выпуклости Ж-чебышёвских множеств // Изв. РАН. Сер. матем. 2011. 75, № 5. 19-46.
20. Рубинштейн Г.Ш. Об одной экстремальной задаче в линейном нормированном пространстве // Сиб. матем. журн. 1965. VI, № 3. 711-714.
21. Дистель Док. Геометрия банаховых пространств. Киев: Вища школа, 1980.
22. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. М.: ИЛ, 1962.
23. Бедное Б.Б. О точках Штейнера в пространстве непрерывных функций // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2011. № 6. 26-31.
Поступила в редакцию 30.04.2014
