CC BY
33
УДК 512.64
Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2006, вып. 3
Амос Удерцо
СВОЙСТВА УСТОЙЧИВОСТИ
ДЛЯ КВАЗИДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ СИСТЕМ
1. Введение. Изучение свойств устойчивости для систем с равенствами и неравенствами вызывало определенный интерес ученых в последние десятилетия [1,2] и продолжает быть предметом интенсивных исследований в различных областях прикладных наук. В настоящей работе изучается поведение отображений, представляющих собой решения параметрических систем, в связи с конкретными свойствами регулярности функций и отображений, связанными с такими системами. Точнее, в статье представлены результаты о локальной разрешимости для систем, описываемых с помощью операторных уравнений или конечного числа неравенств в банаховых пространствах, а также приведены точные оценки ошибки (расстояние от множества решений), выраженных в терминах данных системы при различных предположениях о дифференцируемое™.
Используя неравенства или операторные уравнения для описания ограничений модели или дифференциальных/интегральных уравнений динамики модели в математическом программировании, можно получить полезную информацию об управляемости модели или применить ее для дальнейшего изучения двухуровневых оптимизационных задач. Более того, эти результаты можно рассматривать как некую разновидность теоремы о неявной многозначной функции в постановке, в которой нельзя использовать теорему Люстерника. Тем самым классическая теория обогащается новым средством экстенсивного анализа. В самом деле, с теоретической точки зрения, представленные в статье результаты связаны с такими важными разделами как метрическая регулярность, локальная открытость и липшицевое поведение отображений, которые являются объектами исследований в литературе по нелинейному анализу (см., например, [3-12] и литературу в них) и, можно считать, вытекают из задачи распространения знаменитой теоремы Банаха ТНаудера на нелинейные отображения и многозначные функции.
Обобщенные дифференциальные условия, при которых получены наши результаты, выражены в терминах конструкций квазидифференциалыюго исчисления в смысле Демьянова-Рубинова (см. [13, 14]). Последнее представляет собой специальный подход к негладкому анализу, который использует несколько понятий выпуклого анализа и позволяет включить в предложенную теорию также системы недифференцируемых функций и отображений. Квазидифференциалыюе исчисление получило большое распространение как средство для изучения задач недифференцируемой оптимизации и близких вопросов и с теоретической, и с вычислительной точки зрения.
В настоящей работе упомянутая проблематика рассматривается с помощью граничных оценок типа Гоффмана, что приводит к единому подходу в исследовании систем с равенствами и неравенствами. Варианты, представляющие самостоятельный интерес и основанные на вариационном подходе, в котором применяется принцип Экланда, получены с помощью такой техники в [15, 16], распространенной на более широкий класс функций, при условиях гладкости на банаховом пространстве, чего можно избежать, используя предположения о квазидифференцируемости. Более того, вместо использования субдифференциала Фреше (как в [15]) или аксиоматических предсуб-дифференциалов (как в [16]), весьма элегантных и эффективных в соответствующих
© Амос Удерцо, 2006
пространствах, квазидифференциальное исчисление позволяет определить двойственные константы, возникающие в оценках ошибок, которые сравнительно несложно найти. В действительности, из сравнения этих аналогичных подходов можно заключить, что квазидифференцируемость действует на современное состояние теории как дополнительное условие на данные системы, что тем не менее дает возможность добиться большей общности в выборе банаховых пространств и уменьшить вычислительные трудности.
2. Предварительные сведения. В основном в работе используются стандартные обозначения. Через Ж и Ж+ обозначены пространство вещественных чисел и подмножество неотрицательных вещественных чисел соответственно. Если г € К, то [г]+ обозначает max{r,0}, а [г]_ есть max{-r,0}. Через (X, || • ||), X*, В*, и 0* обозначены вещественное банахово пространство, его топологическое сопряженное пространство, сопряженный единичный шар, сопряженная единичная сфера и нулевой элемент соответственно; двойственность между банаховым пространством и ему сопряженным -через (-,•). (P,d) есть метрическое пространство. Если х принадлежит метрическому пространству, то В(х,6) - замкнутый шар с центром в точке х и радиусом 5 > 0. Если дано подмножество А С X*, то со А и cl * со А - выпуклая оболочка и ее выпуклое замыкание относительно *-слабой топологии соответственно, а ст(-, А) - опорная функция множества А. Полугруппа, составленная из всех *-слабых компактных и выпуклых подмножеств X*, в которой определена сумма множеств Минковского, обозначается /С(Х*).
Пусть даны функция / : X —> К и точка х € X. Обозначим df(x) - субдифференциал / в х в смысле выпуклого анализа. Для отображения F : X —> Y классические понятия дифференцируемое™ (такие как первая вариация Лагранжа, производные Гато и Фреше) будем заменять их производной по направлению. Символ F'(x,v) обозначает производную F в х € X по направлению v € X. Если F - функция переменных (х,р), то F'(-,p)(х, v) - ее производная по ж в (х,р) по направлению v. Основное предположение об обобщенной дифференцируемости далее есть квазидифференцируемость в смысле Демьянова-Рубинова. Напомним, что функция / : X —> Ж называется квазидиффе-ренцируемой в точке х е X, если ее производная в точке х может быть представлена в виде
f'(x,v) =a(v,A)-a(v,-B), \/v Е X,
при некоторых А, В е /С(Х*). Класс эквивалентности в /С(Х*) х К,(Х*)/^, содержащий пару (А, В), где ~ есть отношение эквивалентности, определяющее все пары выше-написанного представления, обозначим Vf(х) = [df(x),df(x)]. Особое свойство, отличающее квазидифференцируемость от других понятий негладкого анализа, состоит в том, что оно не является двойственным никакому понятию тангенциальной аппроксимации. Основные результаты, относящиеся к квазидифференцируемости и правилам квазидифференциального исчисления, считаются известными и (наряду с другими свойствами и деталями) могут быть найдены в монографиях, сборниках и статьях, посвященных этому вопросу (см. [13, 14] и литературу в них).
Распространение понятия квазидифференцируемости на отображения, принимающие значения в банаховых пространствах (см. [17]), не является таким простым делом, поскольку оно требует введения структуры частичного порядка в пространстве образов с особыми свойствами, и не будет непосредственно применяться в настоящей статье. Вместо этого будет использоваться скалярное сужение (scalar reduction), впервые появившееся в работе [18] для описания условий оптимальности типа Лагранжа для квазидифференцируемых задач, но затем исчезнувшее.
Определение 1. Отображение F : X —» ¥, допускающее производную в точке х Е X по любому направлению v Е X, называется скалярно квазидифференцируе-мым в х, если для любого у* Е Y* функция (y*,F(-)) квазидифференцируема в ж или, что то же, если для каждого у* Е Y* существует два элемента Ау-, Ву. в /С(Х*) такие, что
(У* о i^fov) - (y*,F\x,v)) = а(и, Л„.) - Vu € X.
Для любого у* Е Y* класс эквивалентности пары называется скаляризован-
ным (скалярным) квазидифференциалом F в ж и обозначается
Отображение Z>F(x) : Y* —> /С(Х*) х /С(Х*)/_
=Vy,F(x)
назовем скаляризованной коквазипроизводной F в х.
Пример 1 (Гладкий случай). Пусть F : X —> Y - дифференцируемое в точке х по Гато отображение, X, Y - банаховы пространства, VF(x) - производная Гато в точке х. Поскольку для любого у* Е Y* имеем Vy*F(x) — [{VF*(x)y*}, {0*}], где VF*(z) - сопряженный к VF(x) оператор, а VF*(x)y* Е X*, как VF(x), линейная и непрерывная, то в гладком случае скаляризованная коквазипроизводная Fax может рассматриваться как сопряженный оператор к классической производной Гато в точке х. Формально VF(x) и VF*(x) - разные объекты (они действуют в различных пространствах), но в нашем случае элементы Vy*F{x) могут быть выбраны таким образом, чтобы оказалось VF(x) : X* ->• Y*.
Пример 2 (Конечномерный случай). Пусть Y = Жт. Отображение F : X —> Y,
F(x) — (/i(х),..., fm(x)) является скалярно квазидифференцируемым в точке х тогда и только тогда, когда любой функционал fi : X —> Ж, где г — 1,..., тп, квазидифферен-цируем в х. Для любого у* = (yi,... ,ym) Е Жт имеет место следующее представление Vy*F(x) в терминах квазидифференциалов каждой компоненты F:
тп m
drF{x) = - Т,Ы-дт,
г-1 i—1
m m
drF(x) = ^Ш+дШ ~
t= 1 г=1
Пример 3 (Пространства Банаха-Канторовича). Пусть пространство (Y, || • ||)
частично упорядочено выпуклым конусом С (с вершиной в начале координат). Напомним, что его положительный двойственный конус С® = {у* Е Y* : (у*, у) ^ 0, Уу Е Y} называется производящим, если имеет место равенство Y* = С® — С®. Если Y - конечномерное пространство, то последнее неравенство всегда имеет место, если конус С - острый (лучевой, т. е. не содержит прямых). Вообще, достаточное условие, для того чтобы С® был производящим конусом, состоит в том, чтобы С® имел непустую топологическую внутренность. Некоторые известные признаки репродуктивности положительного двойственного конуса формулируются в терминах свойства нормальности конуса С (см., например, [19]). Пусть (Y, || • ||) - пространство Банаха-Канторовича. Согласно [17] (см. также [14]), отображение F : X —» Y, допускающее производную по направлениям в точке х, называется С-квазидифференцируемым в ж Е X, если
найдутся С-сублинейное отображение : X —> ¥ и С — суперлинейное отображение Fx ■ X —> Y, допускающие представление F'(x,v) = Fx(v) + Fx(v),Vv 6 X. Далее, если отображение F является С-квазидифференцируемым в ж с репродуцирующим конусом С®, то F также скалярно квазидифференцируемо в той же точке. Действительно, возьмем любое у* G Y*. По предположению, сделанному выше, у* — yl+y2, где у{ и у2 с соответствующими элементами С® и —С®. Теперь достаточно заметить, что у* о Fx + У2 0 Fx ~ сублинейный функционал, a y*¿ о + у* о F% - суперлинейный.
Поскольку далее нам понадобится формула для вычисления квазидифференциала сложной функции, в следующей лемке устанавливается правило скаляризации, которое оказывается чрезвычайно простым в предположении гладкости по Фреше в пространстве образов. Напомним, что пространство (¥, || ■ ||) называется гладким по Фреше, если его норма дифференцируема по Фреше везде, кроме начала координат. Из теоремы Экланда-Лебурга известно, что банаховы пространства, допускающие гладкую по Фреше перенормировку, представляют собой (собственный) подкласс пространств Ас-плунда. Любое пространство с сепарабельным сопряженным пространством, как и каждое рефлексивное банаховое пространство, может быть перенормировано так, чтобы стать гладким по Фреше пространством (конечно, любое гильбертовое или евклидовое пространство является гладким по Фреше), так что предположение выше не является слишком ограничительным (см. [20, 21]).
Лемма 1. Пусть Р - метрическое пространство, U С X х Р - открытое множество, F : U —> ¥ - непрерывное отображение. Пусть (х,р) € U таково, что F(x,p) ф 0. Предположим, что пространство (¥, || ■ ||) - гладкое по Фреше, a F - скалярно квазидифференцируема по первой переменной в точке (х,р). Тогда функционал f : X х Р —» Ж, определенный формулой
/(я,р) = ||F(s,p)||, квазидифференцируем по первой переменной в точке (х,р) и при этом
Vf(;p)(x) = Vy.F(;p)(x),
где у* € д\\ ■ ||№,р)) С §* (т.е. Vf(-,p)(x) € VF(-,p)(x)[S*]).
Доказательство. Так как, по предположению, норма пространства Y -гладкая по Фреше в каждом ненулевом элементе ¥ и F(x,p) Ф 0, то ||F(-,p)||'(x,ií) = V|| • У(F(x,p))F'(-,p)(x,v). Теперь, учитывая, что F скалярно квазидифференцируемо в (х,р), легко видеть, что ||F(-,p)||'(a;,v) может быть представлено в виде разности сублинейных функционалов. Для завершения доказательства достаточно заметить, что {VII • ||(у)} = д\\ ■ 11Ы - {у* G : (у*,у) = IMI} при условии, что у ф 0.
Ниже формулируются условия разрешимости, метрической регулярности, выводятся оценки ошибки в терминах квазидифференциала суммы для соответствующей квазидифференцируемой функции /, а именно с помощью множеств
V+f(x)=df(x) + df(x).
Такая квазидифференциальная конструкция уже использовалась, в частности, в [14], чтобы вывести теоремы о неявной функции. Следует, однако, заметить, что, как это имеет место для некоторых объектов в негладком анализе, такая сумма ни в коем случае не является квазидифференциальным инвариантом (в том смысле, что если (Л,Б) G Vf(x) = [df(x),df(x)]i то А + В ф df(x) + df(x)). Другими словами, отображение V+ f : X —> /С(Х*), связывающее эту квазидифференциальную сумму с каждой
точкой квазидифференцируемой функции, является не однозначной, а многозначной функцией. Таким образом, ниже используется одно и то же обозначение Т>+ / для любого возможного выбора из этой многозначной функции. 3. Устойчивость.
Предложение 1. Пусть / : X —> Жи {+оо} - собственная полунепрерывная снизу (п. н. сн.) функция, определенная на банаховом пространстве. Предположим, что х ^ S — {х G X : f(x) ^ 0} и / квазидифференцируема в каждой точке множества B(x:S). Тогда для любого ß G (0, S) имеет место неравенство
f(x) ^ mß min {ß, d(x, £)}, (1)
где
mß = in{ {||w7*|| : w* G V+f(x), x G X\S : ||x - x\\ < min{/?, d(x, 5)}}.
Доказательство. Зафиксируем произвольное e > 0 и положим ф(х) = [/(ж)]_|_. Поскольку
ф(х)<ш£ф{х) + (1 + е)№,
ж€А
а ф ограничено снизу и п. н. сн., то в окрестности точки х можно применить принцип Экланда, согласно которому существует такое z£ G X, что
\\ze - ж|| < min {ß, d(x, 5)}, ф{ге) ^ f{x)
Последнее неравенство означает, что точка ze является точкой (безусловного) минимума для функции
которая квазидифференцируема в z£ G В(х, 6). следовательно, как вытекает из хорошо известного условия оптимальности [13, 14]),
-dg{ze)<Zdja{ze). (2)
По правилам квазидифференциального исчисления (см., например, [14]) находим
Vg(ze) =
+ '5WO
mm {ß,d(x,S)}
так что включение обеспечивает существование элементов и* G дф(г£) и v* G дф(г£), таких, что
е (l+g)/(g) ТВ* /ОЧ
и +v G —7—. , иш . (3)
mm {р, d{x, Ь) j
Поскольку \\ze — ж|| < d(x,S), то ze £ S и потому, учитывая, что / является п. н. сн., имеем Т>ф(ге) — Vf(ze). Итак, из включения (3) следует существование элемента w* G V+f(ze), где \\ze - < min{P,d(x, S1)} и f(ze) ^ f(x), такого, что
Ito-Iis (1 + £)/(ï)
min {ß,d(x,S)Y
Вспоминая определение тр и учитывая произвольность е, получаем неравенство (1), что завершает доказательство.
Замечание 1.
(¡) Отметим, что, поскольку включение в (2) справедливо для любой пары из Т>д(г:), то утверждение предложения 1 остается справедливым для любого выбора с соответствующим значением тр, которое зависит от определения суммы квазидифференциалов.
(11) Стоит также заметить, что, в отличие от граничных оценок, полученных подобным способом (см. [15, 16]), предложение 1 не налагает никаких условий гладкости (надежности, доверительности и т. п.) на пространство (X, || ■ ||), ввиду предположения о квазидифференцируемости /, и не требует никаких нечетких правил суммирования субдифференциалов.
Стоит отметить, что подобное применение вариационного принципа Экланда (как сделано в предложении 1) позволяет получить достаточное условие непустоты множества решений 5 в терминах квазидифференциалов, а также, как показано ниже, глобальную оценку границ ошибки.
Предложение 2 (Глобальные граничные оценки). Пусть / : X —> ®и{+оо} -собственная п. н. сн. функция, определенная на банаховом пространстве. Предположим, что / квазидифференцируема в каждой точке X и
771 = Ы || : Е £>+/(ж), ж е Х\5} > 0.
Тогда 5 ф 0 и ¿(ж, 5) ^ т_1[/(ж)]+, Уж Е X.
Доказательство. Предположим от противного, что 5 = 0. Тогда шГхех/(^) ^ 0. Поскольку/(ж) ^ Шх<Ех/(х) + /(ж), то для любого ж € X можно применить принцип Экланда, из которого вытекает: для каждого Л > 0 существует такое гд 6 В(ж, Л), что
/Ы</(ж) + ^||ж-гЛ||, Уж е Х\{гл}.
Рассуждая, как при доказательстве предложения 1, получаем существование IV* Е Т>+/(г\), для которого будет ||ги*|| ^ /(ж)/Л, откуда следует ш ^ /(ж)/А. Учитывая произвольность Л > 0, из последнего неравенства получаем ш = 0, что приводит к противоречию.
Неравенство в утверждении предложения 2 тоже доказывается применением принципа Экланда к функции ф(ж) = [/(ж)]+ в окрестности произвольной точки ж Е Х\5 (если ж 6 5, то неравенство очевидно). Действительно, предполагая от противного, что т-1/(ж) < ¿(ж, 5), и выбирая Л так, чтобы тп~1$\х) < А < с1(х,3), можно найти х\ Е В(ж, А) С Х\5 такое, что некоторого ии* Е Т>+/(х\) окажется ||«;*|| ^ /(ж)/А < т, а это противоречит определению т. Полученное противоречие завершает доказательство.
Предложение 2 позволяет сразу получить в качестве следствия следующую квазидифференциальную версию теоремы Такахаши о существовании точки глобального минимума для п. п. сн. функционала (см. [22]).
Следствие. Пусть : X —> Ми {+оо} - собственная п. н. сн. функция, заданная на банаховом пространстве. Если <+> ограничена снизу, квазидифференцируема на X и существует такое т > 0, что для любого х, для которого <р(х) > т^х^С®), будет
—<9/(ж) П [3/(ж) + тГ] = 0, (4)
то существует ж е X такое, что </з(ж) = т^ех^О^)-
Доказательство. Для функции /(ж) — <р(х) — inf^ex <р(х) множество точек глобального минимума ip имеет вид S = {ж € X : /(ж) ^ 0}. Используя предположение (4), нетрудно проверить, что для любого х £ X\S будет infw.eX>+/(a:) llw*ll ^ т-Теперь, по предложению 2, получаем S ф 0.
Отметим, что применение граничных оценок к формулировке достаточного условия существования глобального минимума позволяет также получить оценку расстояния любой точки пространства от непустого множества точек глобального минимума в терминах квазидифференциалов.
Пусть дано отображение F : X х Р —> Y. Рассмотрим параметрическую систему
F(x,p) = 0,
для которой множество решений есть S(p) = {х £ X : F(x,p) — 0}. Под этот абстрактный формализм попадают различные формулировки систем с ограничениями, условия равновесия или оптимальности. Следующая теорема обеспечивает условие разрешимости в терминах квазидифференциалов, а также метрическую оценку ошибки, выраженную в терминах данных системы.
Теорема 1. Пусть F : X х Р —>■ Y - непрерывное отображение. Предположим, что (Y, || • ||) допускает гладкую (в смысле Фреше) перенормировку, а Р - метрическое пространство. Допустим, что F - скалярно квазидифференцируемо по первой переменной в каждой точке открытого множества U Ç X х Р. Если (ж,р) £ U таково, что х £ S(p) и
а = inf inf {IKII : w* £ V+F(-,p)(x), (ж,р) £ U, x ? S(p)} > 0, Il V11=i
то существуют такие ô и г) > 0, что
B(x,r])xB{p,5)ÇU, Б(ж,г?)пЭД#0, Vp £ В(р, 5),
и
d(x,S(p)) ^ a_1||F(®,p)||, V(x,p) £ В(х,т/) x B(p,S).
Доказательство. Определим функцию / : X x Р —> К+ следующим образом:
f(x,p) = \\F(x,p)\\.
Из непрерывности F ясно, что функция /(-,р) - собственная и п. н. сн. для любого р £ Р, в то время как функция /(ж, •) непрерывна в р. Поэтому для произвольного фиксированного е > 0 найдется такое 5 > 0, что
|/(ж,р)-/(ж,р)|<£, \/р£В(р,6).
Следовательно, учитывая, что ж £ S(p), имеем
f(x,p)<e, Vp £ B(p,ô). (5)
Поскольку U - открытое множество, то без ограничения общности е и 5 можно выбрать таким образом, что будет
В xB(p,S)ÇU.
Вначале докажем, что для любого p G В(р,5)
Для этого заметим, что если р = р, то (6) справедливо по предположению х G S(p). Зафиксируем р G B(p,ö)\{p} и допустим, от противного, что пересечение (6) пусто, следовательно, d(x,S(p)) ^ 2е/а. При сделанных предположениях относительно F и Y функция / квазидифференцируема по первой переменной и для любого (х,р) G U, X £ S(p), по лемме 1 имеем T>f(-,p)(x) = Vy*F(-,p)(x) для соответствующего элемента у* G Y* с \\у*\\ = 1. Теперь, применяя в окрестности х предложение 1, где вместо / берем /(-,р), вместо ß - е/а, а вместо S - S(p), найдем min {e/a, d(x, S(p))} = e/a и, следовательно,
f(x,p) > inf inf{|K||: w* eV+F(;p)(x), xeX\S(p): l|y*ll=1
||ж — ж|| < e/a} min {e/a,d(x,S(p))} ^ a- — e.
Так как p G B(p,ö), то последнее неравенство противоречит (5). Итак, непустота в (6) доказана, поэтому, полагая г/ — 2е/а, убеждаемся в справедливости первой части утверждения.
Остающееся неравенство будет доказано применением снова предложения 1 (на этот раз в точке х). Выберем произвольные х G B(x,r¡) и p G B(p,ô). Если x G S(p), то доказывать нечего, так как /(ж,р) ^ 0. В противном случае вначале проверим, что
тх= inf inf{|K||: w* eV+F(-,p)(z), НП1=1
z G X\5(p) : \\z-x\\<d(x,S(p))}>a. (7)
Поскольку принята формула (6), то
2e 2е 4е
||z-a;|| < d(x, S(p)) ^ ||ж-ж|| + d(®,S(p)) ^ — + — = —,
т. е.
\\z-x\\ ^ \\z - х\\ + \\х - х\\ ^ -Л
Учитывая, что z G В{х, применимость леммы 1 для у* G §* и так как г 0 5(р) (напомним, что \\z — х\\ < d(x, S(p))), получаем неравенство (7). Из этого неравенства (по предложению 1, где х и ¡3 заменены соответственно па х и d(x, S(p))) вытекает
ad(x, Sip)) ^ mxd(x, S(p)) ^ f(x,p).
Ввиду произвольности x G В(х,г]) и p G B(p,S), последнее неравенство и завершает доказательство.
Рассмотрим отображение, представляющее собой множество решений системы включений F(x,p) G В(0,а), для любого фиксированного значения параметра p G Р, при наличии возмущений значения а. Это приводит к определению многозначной функции Sp : [0, +оо) —> 2х, зависящей от а, которая демонстрирует интересные свойства равномерной локальной устойчивости. В формулировке нижеследующего результата
С£>(Х) есть класс всех замкнутых и ограниченных подмножеств пространства X, в котором введена хаусдорфова метрика И(А, В) — max{supa£yl d(a, В), sup6eB d(b, Л)}, где d(a, В) - расстояние точки а от множества В.
Следствие. Пусть выполнены все условия теоремы 1. Для любого (х,р) G U найдутся такие 5 и г) > 0, что все отображения Sp : [0, +оо) —> CBÇK), где р G B(p,ô),
Sp(a) = Sp(a) ПВ(х,Т]) = {ж G X : F(x,p) G B(0, а)} П B(x, rj),
являются непрерывными и липшицевыми на [0, +оо) равномерно на р G В(р,5) с константой Липшица а~~х, где а определено в теореме 1.
Доказательство. Заметим, что в действительности множество Sp замкнуто и ограничено, поскольку F непрерывна. Зафиксируем (х,р). Поскольку все утверждения теоремы 1 остаются верными при замене S(p) на Sp(a), то, используя возмущение fa(x,p) = [||.F(a:,p)||-a]+ функции / (отметим, что Vfa(-,p)(x) = Vf(-,p)(x)), получим, что найдутся такие 5 и rj > 0, для которых Sp(a) Э S(p) П В(x,rj) ф 0 и
d(x,Sp(a)) ^ a-1[||F(a:,p)|| — a]+, У(ж,р) G B(x,V) х В(р,6), (8)
где значения 5 и rj не зависят от а. Пусть ai, a2 G [0,+оо), ai < aЯсно, что
suPzesP(«i)d(®»^(a2)) = °-
Вместе с тем из неравенства (8) имеем
At с ( \\ s ~Qi]+ ^ «2 ~ ai w _ « sup d(x,Sp(a 1)) ^ sup --— ^-, Vp G В(р,д).
x&Sp(a2) xeSp(a2) °
Поэтому
n(Sp(ai),Sp(a2)) <a-1|ai -a2|, Vai,a2 G [0, +00), VpG£(p,5).
Теперь рассмотрим параметрическую систему конечного числа неравенств вида
fi(x,p) ^ 0, г G I- {!,...,m},
для которой множество решений есть R(p) = {х G X : /¿(ж,р) ^ 0, Уг G /}. В следующей теореме для описанной выше системы получены условия разрешимости и оценка ошибки в терминах квазидифференциалов для случая I0(x,p) = {г G I : /¿(ж,р) = 0} и I+(x,p) = {i G I : /¿(ж,р) > 0}.
Теорема 2. Пусть fi : X х Р —>■ Е; i = 1,... - заданные функции, Р - Atem-рическое пространство. Предположим, что каждая из функций fi(-,p) непрерывна и квазидифференцируема в любой точке открытого множества U Ç X х Р, а каждая
функция fi(x, ■) - п.н.сн. на Р. Пусть (х,р) G U такова, что х G Rip). Если
£ +
г£/+(х,р)
£ [<»(Ш->р)(*) и -5Л(.,Р)(Х)) + ,
i£l0(x,p)
и: ж£Д(р)|>0, 78'
6 = inf| |К|| : w* G +
(ж,р) G
то существуют такие г] и 6 > 0, что В(х,г/) x Bip,5) Ç U,
B(x,ri)nR(p) ф 0, VpeB(p,ô)
d{x, Rijp)) ^ b-1 ¿T[fi(x,p)]+, V(x,p) G B(x,V) x Bip, S). i=1
Доказательство. Определим функцию / : X x Р —> М+ так:
m
г=1
Ясно, что х С В.{р) тогда и только тогда, когда /{х,р) ^ 0. Так как /г непрерывны, то для любого достаточно мгилого £ > 0 найдется такое 5 > 0, что /(х,р) < е для всех р е В(р,5) и В^,х) х В(р,д) С и. Рассуждая, как при доказательстве теоремы 1, можно показать, что
Действительно, возьмем ix,p) G £/ такое, что х $ Rip), и оценим V+ f(-,p)(x), чтобы применить предложение 1. Применяя правила квазидифференциального исчисления (см. [13, 14]), с одной стороны, имеем
m
¿=1
Из непрерывности /¿(-,р) следует
{д.М',р)(х), _ ге1+(х,р),
со Ш;р)(х) и -Ш;р)(х)], г е 10(х,р),
т,
поэтому
д/(;Р)= Е Ш;Р)(*) + Е <»Ш;Р)(х)и-дМ;р)(х)1.
ге1+(х,р) г£1о{х,р)
С другой стороны, аналогичные вычисления дают
тп
дЦ-Жх) = = Е Ш,Р){*)-
г— 1 г€/+(ж,р)и/о(ж,р)
Итак,
V+H;p)ix) = Е +
iei+(x,p)
+ Е мш-,рх*)и-ш-,Р)(х))+m-,pm-
i€lo(x,p)
Положительность Ь влечет положительность значения тр (это получаем, применяя предложение 1 при выбранной выше функции /). Оставшаяся часть доказательства проводится, с естественными изменениями, так же, как при доказательстве теоремы 1.
4. Некоторые приложения. Из полученных выше свойств параметрических ква-зидифференцируемых систем нетрудно найти условие метрической регулярности (локальной открытости). Последние понятия связаны с липшицевым поведением отображений и многозначных функций и оказали значительное влияние на оптимизацию и связанные с ней области (см. [5, б, 9, 11]).
Определение 2. Пусть Ф : X —> ¥ - отображение одного банахова пространства в другое (X, || • ||) и (¥, || ■ ||). Будем говорить, что Е
(1) является метрически регулярным в окрестности ж £ X, если существуют константа х > 0 и окрестность 1У С X х ¥ точки (ж, Ф(ж)) такие, что
ф^ф-Чг/)) < х||Ф(ж) - у\\, V(х,у) £ IV;
(и) накрывает с линейным порядком в окрестности ж, если найдутся константа я > О и окрестность IV С X х ¥ точки (ж, Ф(ж)), для которых
У(ж, у) £ IV : ||Ф(ж) -у\\<г Зг£ В{ж, зй) : у = Ф(г).
Многозначная функция Ф : X —у 2У называется липшицевоподобной в окрестности точки (ж, у), где у £ Ф(ж), если найдутся константа х > 0 и окрестность И' С X х ¥ точки (ж,у) такие, что с?(у,Ф(ж)) ^ хд(х,и), если (ж,у) £ И7 и у £ Ф(и).
Внимательное изучение введенных выше понятий показывает, что каждое из них является (отличной друг от друга) переформулировкой одного и того же явления, как показано ниже.
Предложение 3. Пусть Ф : X —> ¥ - отображение одного банахова пространства в другое и пусть ж £ X. Следующие утверждения эквивалентны:
(¿) отображение Ф метрически регулярно в окрестности точки ж;
(и) отображение Ф накрывает с линейным порядком в окрестности ж;
(111) многозначная функция Ф-1 : ¥ —> 2х липшицевоподобна в окрестности (Ф(ж), ж).
Детальное доказательство последнего предложения (которое справедливо и в более общем виде) можно найти, например, в [6]. Различные условия метрической регулярности были установлены в последние десятилетия с помощью различных конструкций негладкого анализа (см., например, [4-11,16]). В [23] было получено условие метрической регулярности непрерывных отображений с использованием одного понятия ква-зидифференцируемости (именно понятия сильного наклона), или (суб-) квазидиффе-ренцируемости по Фреше. Это условие было сформулировано в терминах .ОЗ-опорных множеств в предположении £>5-полудифференцируемости снизу функции ||Ф(-) — у\\. В отличие от этого, следующий результат дает классическое квазидифференциальное условие без каких-либо предположений о свойствах такой функции, а прямо выраженное в терминах данной системы.
Теорема 3 (о метрической регулярности). Пусть Ф : X —> ¥ - непрерывное отображение одного банахова пространства в другое. Предположим, что (¥, || ■ ||)
*) В соответствующей литературе выражения «быть псевдолипшицевой» или «обладать свойством Обена» имеют один и тот же смысл.
допускает гладкую (в смысле Фреше) перенормировку, а Ф скалярно квазидифференци-руемо в каждой точке открытого множества и. Если ж 6 и и
II) = т£ т£{||го*|| : го* е Ъ+Ф{х), х е Щ > О, ||у ||=1 у
то Ф метрически регулярно в окрестности ж.
Доказательство. Достаточно определить отображение —> ¥ так:
Е(х,у) — Ф(ж) — у, а затем применить теорему 1, заменив метрическое пространство Р на ¥. Действительно, легко видеть, что Р1 скалярно квазидифференцируемо по первой переменной, если таким свойством обладает Ф, так что
Э+Р(-,у)(х)=Ъ+ Ф(ж), V(x,y)eUxY.
Поэтому положительность х(Ф, II) влечет положительность константы а (что требуется в теореме 1).
Замечание 2. Отметим, что условие метрической регулярности, которое дает теорема 3, состоит в том, что квазидифференциальное условие надо проверять на всем открытом множестве. Это условие вряд ли можно «сжать» к условию в точке, чтобы получить свойство метрической регулярности в окрестности рассматриваемой точки. Эта трудность является типичной и для других подходов к изучению критериев метрической регулярности в бесконечномерных пространствах и приводит к необходимости использовахшя дополнительных предположений, чтобы обойти ее (см., например, [11]). В рамках предлагаемого нами подхода, если Ф допускает соответствующую многозначную функцию Т>у* Ф : X —» 2х , которая полунепрерывна сверху в сильной топологии в точке х равномерно по у* € В*, то относительно е > 0 можно найти £ > 0 такое, что при V+Ф(x)(y*) = Т)рФ(х) будет
Р+Ф(ж)[8*] С V+Ф(x)[S*} + еВ*, Уж € В(ж, О-
Это означает, что если т£цу*ц=1 т£{||ги*|| : е Ф(ж)} > 0, то можно выбрать С > 0 так, чтобы оказалось т^.ц^ т£{||'ш*|| : и;* е Т>р Ф(ж), ж е -В(ж,С)} > О, для того чтобы получить условия метрической регулярности в окрестности ж. Учитывая дифференцируемость по Гато отображения Ф в окрестности данной точки ж € X и отображения ж »->■ УФ (ж), непрерывного в операторной норме (и потому Ф строго дифференцируемо в ж), то, полагая Р^Ф(ж) = {У^*(ж)у*} + {0*}, получим, что вышеуказанное условие выполнено, так что неравенство
х(Ф,ж)= м ||УФ*(ж)у*|| > О Из/* 11=1
становится точечным критерием локальной метрической регулярности. Отметим, что ус{Ф,ж) есть не что иное, как двойственная константа Банаха для УФ(ж) (и ее положительность является необходимой и достаточной для того, чтобы линейное отображение УФ (ж) было отображением «на» (сюръективным), как следует из теоремы Банаха-Шаудера (см. [24])). Потому в этом классическом гладком случае теорема 3 сводится к знаменитой теореме Люстерника-Грейвса (см. [4]). В этом смысле константа я{Ф, II) может рассматриваться как двойственная постоянная Банаха для линейных отображений.
В качестве применения сформулированного выше критерия метрической регулярности рассмотрим необходимые условия типа Лагранжа для экстремальных задач с
ограничениями - равенствами для скалярно квазидифференцируемых систем. Точнее, рассмотрим задачу оптимизации вида
(V) ттф), П = {х <Е X : Ф(ж) = 0},
хеп
где </? : X —> Ж и Ф : X —> ¥ заданы. Литература, посвященная недифференцируемой оптимизации, обычно ограничена изучением необходимых условий экстремума для задачи ('V). В рамках квазидифференциального исчисления есть условия, которые можно использовать в этой задаче, представив соответствующую допустимую область с помощью функциональных ограничений (см. [13, 14]). Ниже предлагается другое условие оптимальности, использующее непосредственно скалярный квазидифференциал отображения, описывающего ограничения, который более точно описывает исходное множество ограничений.
Через символ <5(9Ф*(ж)) обозначаем класс всех выборок для многозначной функции дФ*(х) : ¥* —> 2х*, определенной с помощью дФ*(х)(у*) — ду*Ф(х). Другими словами, s е 6(дФ*(ж)) означает s(y*) G ду*Ф(х).
Теорема 4 (Необходимое условие оптимальности). Пусть в задаче (V) пространство (¥, || ■ ||) допускает гладкую (по Фреше) перенормировку, отображение Ф : X —> ¥ непрерывно и скалярно квазидифференцируемо во всех точках окрестности U точки х € где х(Ф,11) > 0, а <р - квазидифференцируемый функционал, локально липшицевый в х. Если х - локальное решение задачи (V), то существует такая константа I > 0, что
-дф) с р| (дф) + е сРсо (J [ду.Ф(х) + 8(у*)}\
Доказательство. При сделанных предположениях из теоремы 1 следует, что Ф метрически регулярно в окрестности точки х. Отсюда и из локальной липшицевости ip в ж, с помощью принципа точных штрафов (см., например, [5, 21]), заключаем, что существует такое I > 0, что х является локальным решением для задач безусловной минимизации
min [>-р(х) + /||Ф(ж)||], Vi
х£Х
Так как х € П, то отсюда ||Ф(-)||'(я,гО = ||Ф'(ж,г>)||, и для любого v € X должно быть
0 ^ (v + №(-)\\)\x,v) = v\x,v)+Z\\*'(x,v)\\ =
- ip'(x,v) + 1 тах(у*,Ф'(ж,г>)), Vu G X. г/* ев*
Поэтому для каждого 5 € в(<ЭФ*(ж)) имеем
а(ь,дф)) - а(и,дф)) + 1 тах [а(и,9 .Ф(ж)) + (s(y*),v)] ^ 0, Vt> £ X,
2/*ев*
откуда, по правилам исчисления выпуклого анализа (см., например, теорему 3 в гл. 4.4.2 [24]), получаем
-дф) С дф)+£ сГсо |J [9гФ(ж) + s(y*)].
у*е в*
Произвольность s G <5(дФ*(х)) завершает доказательство.
Автор благодарит В. Ф. Демьянова за перевод статьи на русский язык и внимание к работе.
Summary
Uderzo Amos. Stability properties of quasidifferentiable systems.
Stability properties of solution maps for parametric systems with finitely many inequalities and with operator equations are considered. The study of such properties is performed in a nonsmooth setting in Banach spaces, upon quasidifferentiability assumptions in the sense of Demyanov Rubinov, through a unifying variational approach which relies on a Hoffman error bounds inequality. Several solvability results in presence of parameters are established in form of implicit multifunction theorems. Applications to the formulation of sufficient conditions for metric regularity and local openness of nondifferentiable maps are discussed, along with their employment in deriving optimality conditions for quasidifferentiable extremum problems.
Литература
1. Robinson S. M. Stability theory for systems of inequalities. 2. Differentiable nonlinear systems // SIAM J. Numer. Anal. 1976. Vol. 132. P. 497-513.
2. Robinson S. M. Local structure of feasible sets in nonlinear programming. Pt III: Stability and sensitivity // Math. Program. Study. 1987. Vol. 30. P. 45-66.
3. Aubin J.-P. Lipschitz behavior of solutions to convex optimization problems // Math. Oper. Res. 1984. Vol. 9. P. 87-111.
4. Dmitruk A. V., Milyutin A. A., Osmolovskii N. P. Lyusternik's theorem and the theory of extrema // Uspekhi Mat. Nauk. 1980. Vol. 35(6). P. 11-46.
5. Ioffe A. D. Variational methods in local and global nonsmooth analysis // NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C. Math. Phys. Sci. 1999. Vol. 528. P. 447-502.
6. Ioffe A. D. Metric regularity and subdifferential calculus // Uspekhi Mat. Nauk. 2000. Vol. 55(3). P. 103-162.
7. Kurnmer B. Metric regularity: characterizations, nonsmooth variations and successive approximation // Optimization. 1999. Vol. 46. P. 247-281.
8. Aze D., Corvellec J.-N., Lucchetti R. E. Variational pairs and applications to stability in nonsmooth analysis // Nonlinear Analysis. 2002. Vol. 49. P. 643-670.
9. Mordukhovich B. Sh. Complete characterization of openness, metric regularity, and Lipschitzian properties of multifunctions // Trans. Amer. Math. Soc. 1993. Vol. 340. P. 1-35.
10. Mordukhovich B. Sh. Stability theory for parametric generalized equations and variational inequalities via nonsmooth analysis // Trans. Amer. Math. Soc. 1994. Vol. 343. P. 609-657.
11. Mordukhovich B. Sh., Shao Y. Differential characterizations of covering, metric regularity, and Lipschitzian properties of multifunctions between Banach spaces // Nonlinear Anal. TMA. 1995. Vol. 25(12). P. 1401-1424.
12. Mordukhovich B. Sh. Lipschitzian stability of parametric constraint systems in infinite dimensions // Nonconvex Optim. Appl. 2005. Vol. 77. P. 39-59.
13. Demyanov V. F., Rubinov A. M. Quasidifferential calculus // Optimization Software. New York: Springer, 1986. 288 p.
14. Demyanov V. F., Rubinov A. M. Constructive nonsmooth analysis. Frankfurt am Main: Springer; Peter Lang, 1995. 416 p.
15. Ledyaev Y. S., Zhu Q. J. Implicit multifunction theorems // Set-Valued Analysis. 1999. Vol. 7. P. 209-238.
16. Ngai H. V., Thera M. Error bounds and implicit multifunction theorem in Smooth Banach Spaces and applications to optimization // Set-Valued Analysis. 2004. Vol. 12. P. 195-223.
17. Demyanov V. F., Rubinov A. M. On Quasidifferentiable Mappings // Math. Operationsforsch. u Statist. Ser. Optimization. 1983. Vol. 14(1). P. 3-21.
18. Glover В. M. On quasidifferentiable functions and non-differentiable programming // Optimization. 1992. Vol. 24(3-4). P. 253-286.
19. Peressini A. L. Ordered topological vector spaces. New York; London: Harper & Row, 1967. 228 p.
20. Deville R., Godefroy G., Zizler V. Smoothness and renormings in Banach spaces. Harlow: Longman Scientific & Technical, 1993. 376 p.
21. Pang J.-S. Error bounds in mathematical programming // Math. Programming. 1997. Vol. 79. P. 299-332.
22. Takahashi W. Existence theorems generalizing fixed point theorems for multivalued mappings // Fixed point theory and applications. Pitman Res. Notes Math. Ser. Vol. 252. Harlow: Longman Sci. Tech., 1991. P. 397-406.
23. Uderzo A. Fr£chet quasi differential calculus with applications to metric regularity of continuous maps // Optimization. 2005. Vol. 54(4-5). P. 469-493.
24. Ioffe A. D., Tikhomirov V. M. Theory of extremal problems. Amsterdam: North-Holland Publishing Co, 1979. 460 p.
Статья поступила в редакцию 6 марта 2006 г.
