О принципе Лагранжа в задачах на экстремум Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

О ПРИНЦИПЕ ЛАГРАНЖА В ЗАДАЧАХ НА ЭКСТРЕМУМ

Садыгов М.А.

Садыгов Мисраддин Аллахверди оглы - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра оптимизации, механико-математический факультет, Бакинский Государственный Университет, г. Баку, Азербайджанская Республика

Аннотация: в работе рассматривается задача на экстремум при наличии ограничений в банаховом пространстве и получено обобщение принципа Лагранжа. Ключевые слова: липшицева функция, многозначное отображение, условия экстремума, строго выпуклое пространство.

1. Введение

Негладкая задача математического программирования в банаховом пространстве рассмотрена Ф. Кларком в [1] и [2]. В этой работе ограничения типа равенства заданы векторной функцией. В работе А.Д. Иоффе [3] ограничение равенства заданы оператором и используя понятие веера, получены небходимые условия экстремума. В настоящей работе ограничение равенства задается оператором, действующим из банахово пространства в строго выпуклое пространство и используя субдифференциал максимума и теорему Экланда устанавливаются необходимые условия экстремума для негладких экстремальных задач при наличии ограничений (см. также [4]).

1. Экстремальная задача с ограничением

Пусть X и Y банаховы пространства, f : X ^ R, i = 0,1,..., m, F: X ^ Y

и C е X, Rm+1 = {x e Rm+1: x > 0}. Рассмотрим задачу

f0(x) ^ min,

f(x) < 0, i = 1,...,m, F(x) = 0, x e C. (1) Если x0 является локальным решением задачи (1), то существует 5 > 0 такое, что x0 является решением задачи (1) в B(x0,5) = {x e X: ||x — x0|| < 5}. Если se (0,1) и f = (f,...,fm) , то положим

T = {(VX,y*)eRm+1 xY* :|(^0,X,y*)|| = 1}, G(x) = max ttfx) — f.« + s)+ (X,f(x)>+ (y*,F(x))}. (2)

(XjAy )eT 1 '

Обозначим t = (X0, X,y*) и dc(x) = inf{||x — y||: y e C}, H(x, t) = ^(x) — + s) + (X, f (x)) + (y*, F(x)>, L (x, t) = Xf (x) + (X f (x)> + (y*, F(x)) + kdc (x) .

Отображение F:X ^ Y называется липшицевым в окрестности точки x0, если существуют L и 5> 0 такие, что ||F(x) — F(z)|| < L||x — z|| при x,z e B(x0,5). Если ф : X ^ R липшицева функция в окрестности точки x0, то положим

фМ(х0;х) = lim ф(2 + tx) "ф(2) .

z^x0, tt

Легко проверяется, что х ^ ф[1] (х0; х) сублинейная и непрерывная функция в X . Положим дф(х0) = 0ф[1](х0;0) = (х* е X*: ф[1](х0;х) > ^х*при х е X} (см.[1]).

Если ф: X ^ R липшицева функция в окрестности точки х0, то сф(х0) слабо *

X»

_ . _ .

Банахово пространство Z называется строго выпуклым, если из равенства ||z + u|| = ||z|| +1IUI вытекает, что z и и линейно зависимы, где z, и е Z (см.[5], с. 496). Для того чтобы пространство Z было строго выпуклым, необходимо и достаточно, чтобы для каждого z* е Z*, z ^ 0, выражение sup^z*, z^ наибольшего значе-ния

zeB

достигался самое большее для одного z из Bz, где Bz единичный шар в Z .

Далее считаем, что T снабжено a(Rm+ х Y*,Rm+ х Y) топологией и 5> 0 фиксировано.

Лемма 1. Если функции f0, f и F непрерывны на множестве В(х0,8), то функция (х, t) ^ Н(х, t) непрерывна на множестве В(х0,8) х T.

Доказательство. Пусть £> 0 и (х, t) е В(х0, 8) х T. Так как f, f и F

непрерывны в В(х0, 8), то существует а > 0 такое, что |f0 (х) — f (х)| < —,

с р

||f (х) — f (х)|| < -, р(х) — Р(х^| < - при х е В(х, а) П В(х0, 8).

Рассмотрим окрестность точки t в Rm+1 х Y* вида

(t е Rm+1 х Y* : |((t — t), (f0(X) — f0(x0) + с), f (х), F®))) < g}. Тогда имеем

|Н(х; Х0,X,y*) — Н(х; I0,1,y*)| = |X0(f0(x) — f0(x0) + с) + (ХДх)) + (у*Дх)) — — Vf,® — fo(Xo) + р) — (ХДх)) — (y*Лх))| <

<

+

Х0(£0(х) - ^(х)) + (ХДх)" + ( У*, ВД - Р(х))|

+ |(Хо - ^о)(^о(х) - ^э(Хо) + В) + (Х - ХДх)) + (у* - у*, Р(х))| < < ^о(х) - Цх)| +1£ (х) - £ (х)|| +1|ВД - Б(х| +

+ |(Хо - Хо)(£о(х) - £,(хо) + в) + (Х - Х, £ (х)) + (у* - у*,Б(х^| < в

пРи х е В(х, а) п В(х0,8) и 1 е{ е Ят+' х У* :|((1 - !),(£ (х) - £ (х) + в)Дх)Лх)))| <В}.

Отсюда следует, что функция (х, 1) ^ Н(х, 1) непрерывна в В(х0,8) х Т.

Лемма доказана. Положим

М(х) = {1 = (Хо,Х,у*) е Т:0(х) = Хо(£о(х) -£о(хо) + в) + (Х,£(х)) + (у*Дх))} .

Следствие 1. Если функции f0, f и F непрерывны в B(x0,8) и Rm+1 X Y* -

строго выпуклое пространство (относительно нормы в Rm1 X Y*), то отображе-ние x ^ M(x) однозначно и непрерывно в B(x0, 8) .

Доказательство. По лемме 1 функция (x, t) ^ H(x, t) непрерывна в множес-тве B(x0,8)xT. Так как T с {(Х0,X,y*) е Rm+1 х Y* : ||(Х0,X,y*)|| < 1}, то в силу

теоремы Алаоглы [5, с. 459] (или теоремы Банаха-Алаоглы [6, c.80]) получим, что T (или относительно) слабо * компактное множество. Используя теоремы 1.3.29[7] или предложения 3.1.23[8, с.125] имеем, что отображение x ^ M(x) полунепре-рывно сверху как многозначное отображение. Кроме того из леммы 1 и теоремы Крейна-Мильмана [6, с. 86] получим, что M(x) непусто. Если Rm1 X Y* - строго выпуклое пространство, то покажем, что x ^ M(x) однозначное отображение. Предположим, что t!,t2 е M(x).Тогда имеем, что ||0,5^ + 0,5t2|| < ||0,5^|| +||0,5t2|| < 1. Если ||0,5^ + 0,5t2|| = ||0,5^| | +||0,5t2||, то из определения строго выпуклых пространств, имеем, что tj = t2. Если ||0,5^ + 0,5t2|| < 1, то существует V> 1 такое, что ||v(0,5^ + 0,5t2)|| = 1. Если обозначить (Х0, Х,у*) =v(0,5^ + 0,5t2) , то получим

G(x) > ^(fXx) -f0(x0) + 8) + f (x)) + (у*, F(x)) = vG(x) > G(x).

Получим противоречие (см. также доказательство теоремы 10.47 [2, с.223]). Отсюда следует, что x ^ M(x) однозначное отображение. Так как отображение x ^ M(x) полунепрерывно сверху как многозначное отображение, то отобра-жение x ^ M(x) непрерывно (см. [7, с. 37]). Следствие доказано.

Из теоремы 1.3.29 [7, с. 37] также следует, что функция максимума G(x) непрерывна.

Лемма 2. Если функции f, f и F непрерывно дифференцируемы по Фреше в

B(x0,8) и Rm1 X Y* -строго выпуклое пространство, то функция G строго

дифференцируема в точке x0 и G'(x0) = (t, (f0'(-), f '(•), F'Q)(x0)), где t = M(x0). Доказательство. По определению верхней производной по направлению Кларка

имеем G[1](x0; u) = lim ^(G(x + ци) - G(x)).

|li0, x >x0 Ц

Пусть xn ^ x0, Ц i 0 такие, что G[1](x0;u) = lim —(G(xn + цпи) - G(xn)).

Так как непрерывно дифференцируемое по Фреше отображение строго дифференцируемо, то имеем, что F(xn + цпи) - F(xn ) = F'(xn )цпи + Cö(xn, цпи), где

— (F(xn + Цп и) - F(xn) - F'(xn)^n и) = — (F(xn + Цп и) - F(xn) - F'^Ku) + Цп Цп

+ (F'(x0)u - F'(xn)u) = — S(xn,Цп«)) ^ 0 Цп

при xn ^ x0, Цп i 0. Аналогичные соотношения имеют место для f и f . Если

(Vn), X(n),y*(n)) = Ы(хп + ци) и (^(п), А(п), y*(n)) — (^0, X, у*), то G[1](x0;и) < lim—(Н(хп + Цпи; А0(п),X(n),y*(n)) — Н(хп; X0(n),X(n),y*(n))) =

n—^ВД I I

цп

7:— 1

= lim — (X0 (n)(f0 (хп + Цп") — f (х0) + р) + (Цп), f (xn + цп ")) + ( y * (n), F(xn + Цп ")) —

Ц ' '

-VnX^W — fo(Xo) + P) — (адЛхп))-(y* (n),F(Xn))) =

= lim —(А.0(п)(^(хп + Цп") — fo(x„ )) + (X(n),f (хп + Ц„и) — f(хп)) + (y*(n),F(Xn + Ц„и) — F(xn))) =

п — ВДII ' ' » '

3Цп

= lim — (X0 (п)(Г0(хп)Цп и + ®0(х„, Цп и)) + (Ж), (f 'ЮЦп и + ю(хп, Цп"))) +

п—ВДII 4 '

Цп

+ (y*(n),(F'(xn)ц„и) + ю(хп,цпи))^) = lim(Ao(n)f0(xn)и + (X(n),f'(х„)и) + (y*(n),F'(xn)и))) < < üm (X0(n)(f0 (хп) — f0 (х0 ))и + (X(n),(f'(хп) — f'(х0))и) + (у*(п),(F'(Xn) — F(Xo))и)) + + ^(^№0)" + (X(n),f'(х0)" + (y*(n),F'(Xo)w)) < ll^md(f0(хп) — №0))"! +

+ ||—f'(хп) — f '(х0))и|| +1 |(F(Xn) — F'(Xo))u||) + lim(An— (п)^'(х0)и + (X(n),f '(xo)u) +

+ (y* (п),^)")) = Шх0)и + (^ '(х0)"^у* №o)u).

По определению нижней производной по направлению Кларка имеем G[1]— (х0; и) = lim 1(G(x + ци) — G(x)).

ц10,х—х0 Ц

Пусть хп — х0, цп I 0 такие, что G[1]— (х0; и) = lim —(G(xn + цпи) — G(xn)). Если

п—ВД Цп

(А0 (п), А(п), у* (п)) = М(хп), то аналогично получаем

G[1]— (х0;и) > lim —(Н(хп + ц,и; А»,X(n),y*(п)) — Н(хп; Vn),X(n),y*(п)) >

п—вд Цп

> Мо(хс)и + (X,f''(х» + (у*,F(x>).

Поэтому G'(x0; и) = А0^'(х0)и + (АД '(х0)и) + (у*,F'(x0)u) при ие X. Лемма доказана.

Лемма 3. Если функции f, f и F удовлетворяют условию Липшица в В(х0,8)

Rm+1 v*

х Y строго выпуклое пространство, то 3GK) cö(t,(fo(0,f(0,F(0Xxo)), где t = М(х0).

Доказательство. По определению производной по направлению Кларка G[1](x0; и) = lim 1(G(x + ци) — G(x)) .

ц|0,х—х0 ц

Тогда существуют последовательности хп — х0, Цп I 0 такие, что

G[1](x0; и) = lim—(G(Xn + ц и) — G(Xn)).

п—ВД Цп

Не умаляя общности, считаем, что

f0S (х0; и) = lim ~ (f0 (хп + Цпи) — f0 (хп )) = lim ~ (f0 (хп + Цпи) — f0 (хп

п—ВД Цп п—ВД Цп

fs (x0; u) = lim — (f (xn + u) - f (xn ) = lim — (f (xn + u) - f (xn ))),

n—да Ii n—Ii

Mn Mn

Fs(Xo; и) = lim—(F(xn + In u) - F(xn)) = lim — (F(Xn + I и) - F(Xn)),

n—» In n—In

Если (X0 (n), X(n),y* (n)) G M(xn + , то имеем

G[11(Xo;u) < lim —(H(xn +Inu; X(n),X(n),y*(n))-H(Xn; Vn),X(n),y*(n)) =

= lim — [Xo (n)(fo (xn + In u) - fo (xo) + E) + (X(n),f (xn + InU^ + (y* (n), F(xn + InU^ -Mb

-Xo(n)(fo(xn) - fo(xo) + E) -(^n),^))-(y* (n),F(xn))]. Не умаляя общности, считаем, что (X0 (n), X(n), y* (n)) слабо * сходится к (Xo, X,y*). Тогда

G[1](xo;u)< lim—(Xo(fo(xn +InU)-fo(xn))^^,f(xn +InU)-f(x,)) + (y*,F(xn + I,u)-F^)) + + lim{(Xo(n)-«К; u) + (X(n)-X,fs(xo; u)) + (y* (n) - y* ,FK; u))> +

.0)f0s(x0; u) + (X(n)-^fs(x0; u)) + (y* (n) - у ,Fs(x0; u)

+ M«^)-l0)(f0(Xn +ЦпЦ) - f0(xn) - f0(X0; „)) + /l(n) -I,^ + ^nu) - f(xn) - f.( „) ) +

H-n \ H-n

^y*(n) - y*,F(Xn ~ F(Xn) - Fs(x0;o)}} < ^t,(f0,f,F^)[1](x0;o),

где t = (Xo,X,y*) . Поэтому SG^) сд^ОЛ-ЖОХ*,)).

Так как x + ^nO ^ x0 при n ^ да, то из следствия 1 получим, что

t = M(x0) . Лемма доказана.

Замечание 1. Отметим, что аналогично лемме 3 доказывается, что 5(G + Kdc)(xo) ^((ЩОДОЛОЮ) + Kdc(-))(xo), где t = M(xo) и K > 0 . Пусть семейство функций ft, определенных на X, параметризуется посредством параметра t е T, где T - топологическое пространство. Предположим, что каждая функция f (x) удовлеворяет условию Липшица в окрестности точки x е X. Положим (см. [1])

S[!f]ft(x) = co{£, е X*: е 9ft (x),3x; ^ x,3t; е T,t; ^ t, § - слабо* предельная точка }}.

Теорема 1. Если X банахово пространство, Rm1 X Y* строго выпуклое пространство, x0 является решением задачи (1), f, f и F удовлетворяют условию

Липшица в B(x0,8) с постоянной K0, то существует t = (X0, X, y*) е T такое, что

(X,f(xo)> = 0 и 0еат(Ш0+ (X,f(0)+ (y*,F(-)) + Kdc(-))(xo) при K > K.

Доказательство. По обозначению T = {(X, X, y*) е R+ х Rm х Y*: ||(X0, X, y* )|| = 1},

G(x) = max ЖВД-f0(x0) + e)+ (X,f(x))+ (y*,F(x))}. Считаем, что

c С B(x0,8).

Покажем, что О(х) > о при х е С . Если существует у е С такое, что О(у) < о, то из определения С(у) следует, что

£(у)<о, Б(у) = о, £(у)<£(х)-В- Так как х0 является минимумом задачи (1), то получим противоречие.

Ясно, что О(х0) = В. Поэтому выполняется неравенство 0(х ) < шГ 0(у) + в .

уеС

Тогда по теореме Экланда существует точка хе е С такая, что ||хе - х0 и

тп(0(х) ^л/В || х - х в| |) = 0(х В).

Поскольку £, { и Б удовлетворяют условию Липшица в В(х0,8) с постоянной К0, то легко проверяется, что О(х) также удовлетворяет условию Липшица в В(х0,8) с постоянной К0. Тогда в силу теорему 5.3.1 [8] имеем, что функция

Н(х) = О(х) Не

х - хВ + KdC (х) достигает в В(х0, 8) минимума в точке х , где К = К(в) > К + л/Е. Из предложения 2.3.2 [1] имеем, что о е Ш(хе) с 5(0(0 + ^с(0)(хе) + л/Ев*. (3)

где В единичный шар в X*. По условию Кт+: х У* -строго выпуклое пространство. Тогда множество

М(х) = {1 = (Хо,Х,у*) е Т: О(х) = Хо&(х) - + в) + (ХДх)) + (у*,Б(х))}

состоит из единственного элемента при х е В(х0,8) (см. [5], с. 496). Пусть

(Х0(в), Х(е), у*(в)) = М(х) . Тогда из замечания 1 получим

5(0(0 + Kdc (-))(хв) с 5(Хо (в)(£ (•) - £,(хо) + в) + (Х(в), £ (•)) + ( у* (в), Б(-)) + ^ 0)^). (4)

1 1

Если В = —, то в силу (3) и (4) существует е X*, сп <—;= , такая, что п п * л/п

^п е 5(Xo(i)fo(^) + (X£),f(•)) + (y*(^),F(^)) + Kadc(^))(x,), (5) где (X0(п), X(£),y*(^)) = М(хх) . Из следствия 1 следует, что х — М(х)

п

непрерывно в B(x0,8) . Так как T компактно [5, c.459] a(Rm1 х Y*,Rm+1 х Y) топологии, то, не умаляя общности, можно считать, что (X0 (1), X(^), у* (^)) сходится к (X0, А, у*) = М(х0). Поэтому по определению 3[т] из (5) имеем

0 е S^f) + (X,f (•)) + (y*, F(0) + K5dc(^))(xo).

Так как X > 0, то из (2) следует, что (X, f (х0)) = 0. Теорема доказана. Известно, что [9, с. 371] любое локально равномерно выпуклое пространство рефлексивно и если последовательность un слабо сходится к и и ||un|| сходится к

||и||, то ||un — u|| — 0. Отметим, что равномерно выпуклое пространство [8, с. 287] локально равномерно выпуклое пространство.

Теорема 2. Если выполняются условия теоремы 1, Кт+1 X V* строго выпуклое и локально равномерно выпуклое пространство, то существует 1 = (Х0, Х, у*) е Т

такое, что (Х, £(х0)^ = 0 и при К > К

0 е а(Ш0 +^ (•)) +( /,?(•))+кас(-))(хо).

Доказательство. Доказательство теоремы 2 совпадает с доказательством теоремы 1 до соотношения (5) включительно. Далее доказательство теоремы 2 продолжается

следуюшем образом. Из следствия 1 имеем, что х ^ М(х) непрерывно в В(х0,8).

Так как Т слабо компактно [5, с.460], то не умаляя общности можно считать, что

(ХШ, ад,у*Ш) сходится к (Хо, Х,у*) е М(Хо), т.е.

Ц^), Хф,у* £)) - (Хо, Х,у* )|| ^ 0 при п ^да, где

||(Хо,Х,у*)|| = Хо + |Х| +1|у*|. Ясно, что

(у*, Б(х) - Р(4))| < ||у*||||Р(х) - < Ко||у*||||х - 4 при х, 4 е В(х0,8). Тогда имеем, что у*,Б(-)^(х) ^ К0||у*||в,, при х е X, ||х — х0|| <8. Поэтому из (5) следует, что

5п е Э^ (•) + (Х, д.)) + (у*, Щ-)) + кас (-))(х р + Э((Хо 0 - (•) + (Х0 - X, £ (•)} +

+(у*(П) - у*Л-)))(хр.

Отсюда имеем, что

^п еб(ХоШ+ (ХЛ-))+ (у*,Г(-)) + Кёс(-))(х,) + ||((Хо(1),Х0,у*(1))-(Хо,Х,у*))||КВ„ (6) где| |(Х0, Х,у*)|| = |Х0| + ||Х0|| +1 |у*| . Из предложения 7.3.10 [2] следует, что субдифференциал Кларка слабо * замкнуто. Поэтому из (6) имеем

о е д(Х£о(-) + (Х, £ (•)> + ( у*, Р(-)) + Кёс(-))(хо).

Так как Х > о, то из (2) следует, что (Х, £(х0)^ = о. Теорема доказана.

Следствие 2. Если X банахово пространство, Кт+1 X V* строго выпуклое и локально равномерно выпуклое пространство, х0 является решением задачи (1),

£ удовлетворяют условию Липшица в В(х0, 8) с постоянной К0, отображение Б непрерывно дифференцируемо по Фреше в точке х0, то существует 1 = (Х0, Х, у*) е Т такое, что ^Х,£(х0)^ = о и удовлетворяется соотношение о еЭ(Х/о(0 + <ХД0) + Кёс(-))(хо) + Б(хо)*у* при К > Ко.

По теореме 2.2.2 [10, с. 145] функция ^у*, строго дифференцируема в точке

хо и у*, Е(-)^(х0) = Р'(х0)*у*. Поэтому справедливость следствия 2 следует из теоремы 2.

Отметим, что если Кт1 X V* не является локально равномерным выпуклым пространством, то следствие 2 также верно (см. [4]).

2. Экстремальная задача в полунормированном пространстве

Пусть X векторное пространство и топология задана через полунорму p. Пара (X,p) называется полунормированным векторным пространством (см. [11], с. 120). Отметим, что (X, p) локально выпуклое пространство и отделимо тогда и только тогда, когда p норма.

Пусть X векторное пространство над R и p полунорма на X, S С X и f : S ^ R. Если существует число L > 0 такое, что |f(x) - f(z)| < Lp(x - z) при x, z e S, то функция f называется липшицевой с постоянной L в множестве S .

Если S с X, то положим pc(x) = inf{p(x — z) : z e C} .

Лемма 4. Пусть C С X, S С X, C С S, функция f : S ^ R удовлетворяет условию Липшица с постоянной L на множестве S , функция f достигает минимума на множестве C в точке x e C. Тогда для любого X > L функция g(z) = f(z) + Xpc(z) достигает минимума на множестве S в точке x.

Доказательство. Предположим противное. Пусть X > L и х не является точкой минимума функций f (z) + Xpc(z) в S. Тогда существуют y e S и £ > 0 такие, что

f(y) + Xp C(y) < f(x) £X. По определению pC(z) найдется точка сe C

такая, что p(y — с) < pC (y) + £. Тогда

f (с) < f (y) + Lp(y — c) < f (y) + Xp(y — c) < f (y) + Xpc (y) + X£ < f (x),

а это противоречит предположению, что x доставляет минимум f на C . Лемма доказана.

Полунормированное пространство неотделимо. Поэтому в экстремальной задаче полунормированном пространстве трудно получить необходимое усло-вие экстремума. Отметим, что каждое неотделимое топологическое векторное пространство можно естественным образом связать с соответственным отделимым пространством.

Пусть N = {x e X : p(x) = 0}. Ясно, что N = {x e X : p(x) = 0} замкнутое подпространство в X [6, с.41]. Для каждого x e X обозначим через rc(x) = x + N класс смежности пространства X по N, содержащий x. Классы смежности является элементами векторного пространства X/N, называемого факторпространством пространства X по N. Положив p(rc(x)) = p(x), легко проверяется p является нормой в пространства X / N .

Отметим, что если |f (x) — f(z)| < Lp(x — z) при x,z e X, то

f (x) = f (z) = const при x, z e N и если f : X ^ R удовлетворяет (локальному)

условию Липшица, то f : X / N ^ R также удовлетворяет (локальному) условию Липшица.

Пусть X полунормированное пространство и Y банахово пространство, f:X ^ R, i = 0,1,...,m, F:X ^ Y и C С X . Функции f : X ^ R, i = 0,1,...,m, и F: X ^ Y удовлетворяют локально липшицеву условию.

Рассмотрим задачу

f0(x) ^ min,

f(x) < 0, i = 1,...,m, F(x) = 0, x e C. (?) Положим f(rc(x)) = f(x) при i = 0,1,...,m, F(rc(x)) = F(x) и C = {rc(x) : x e C} и рассмотрим задачу

f(£) ^ min, Щ) < 0, i = 1,...,m, F(Q = 0, ^e C. (8)

Отметим, что задачи (7) и (8) эквивалентны.

Таким образом изучение задачи математического программирования в полунормированном пространстве можно привести к задаче математического программирования в нормированном пространстве. 3. Векторная оптимизация

Пусть g = (gj,..., gn) -вектор-функция. Рассмотрим задачу

g(x) ^min, f(x) < 0, i = 1,...,m, F(x) = 0, xe C. (9) Допустимая точка x0 называется оптимальной по Парето для этой многокритериальной задачи, если не существует допустимой точки x, для которой gi(x) <gi(x0) при i = 1,...,n.

Рассмотрим обобщенную функцию Лагранжа

L(x,r,X,y*) = (r,g(x)> + (X,f(x)) + (y*,F(x)) + kdC(x) ,

где r e Rn, k > 0 и положим T = {(r, X, y*) e Rn x Rm x Y* : ||(r, X, y*)|| = 1}.

Теорема 3. Если X банахово пространство, Rn+m x Y* строго выпуклое пространство, x0 является решением задачи (9), g, f и F удовлетворяют условию

Липшица в B(x0,8) с постоянной K0, то существует t = (r, X, y*) e T такое, что

(X,f(x0^ = 0 и 0eö[T]^r,g(0) + (X,f(-)>+ (y,F(-)) + Kdc(-))(x0) при K > K0.

Теорема 4. Если выполняются условия теоремы 3, Rn+m x Y строго выпуклое и локально равномерно выпуклое пространство, x является решением задачи (9), то

существует t = (X0, X,y*) e T такое, что (X,f(x0)^ = 0 и

0e S(X0f0(- ) + (X,f(-)) + (y,F(-)) + KdCO)(x0) при K > K.

Теоремы 3 и 4 доказываются аналогично доказательствам теорем 1 и 2, при этом вместо S в определении функции G(x) надо положить вектор

s = (s,...,s) из Rn с положительными координатами, т.е. надо положить G(x) = (max^r, (g(x) - g(x0) + s)> + (X, f (x)> + (y*, F(x))}.

Список литературы

1. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука, 1988. 280 с.

2. Clarke F. Functional Analysis, Calculus of Variations and Optimal Control. SpringerVerlag, London, 2013. 591 p.

3. Ioffe А.Б. Necessary conditions in nonsmooth optimization // Mathematics of operations research, 1984. V. 9. № 2. P. 159-189.

4. Садыгов М.А. О принципе Лагранжа в задачах на экстремум при наличии ограничений // Вестник БГУ, 2017. № 1. С. 55-64.

5. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: Наука, 1962. 895 с.

6. Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975. 443 с.

7. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д. и др. Введение в теорию многозначных отображений. Воронеж, 1986. 103 с.

8. Обен Ж.П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. М.: Мир, 1988. 510 с.

9. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979. 400 с.

10. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. 429 с.

11. ЭдварсР. Функциональный анализ. М.: Мир, 1969. 1071 с.