CC BY
7Здесь ad — некоторая константа, зависящая только от, размерности пространства d.
Автор приносит благодарность научному руководителю Е. Б. Яровой за постановку задачи и
помощь в работе.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Cranston М., Coralov L., Molchanov S., Vainberg В. Continuous model for homopolymers //J. Funct. Anal. 2009. 256, N 8. 2656-2696.
2. Яровая Е.Б. Ветвящиеся случайные блуждания в неоднородной среде. М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ, 2007.
3. Яровая Е.Б. Спектральные свойства эволюционных операторов в моделях ветвящихся случайных блужданий // Матем. заметки. 2012. 92, № 1. 124-140.
4. Молчанов С.А., Яровая Е.Б. Ветвящиеся процессы с решетчатой пространственной динамикой и конечным множеством центров генерации частиц // Докл. РАН. 2012. № 3. 259-262.
5. Молчанов С.А., Яровая Е.Б. Предельные теоремы для функции Грина решетчатого лапласиана при больших уклонениях случайного блуждания // Изв. РАН. Сер. матем. 2012. 76, № 6. 123-152.
Поступила в редакцию 01.10.2014
УДК 517.982.256+515.124.4
ОБ ОТОБРАЖЕНИИ, СОПОСТАВЛЯЮЩЕМ ТРОЙКЕ ТОЧЕК БАНАХОВА ПРОСТРАНСТВА ИХ ТОЧКУ ШТЕЙНЕРА
К. В. Чеснокова1
Рассматриваются отображение St, сопоставляющее всяким трем точкам а, Ъ, с банахова пространства X множество St (а, Ь, с) их точек Штейнера, и соответствующий оператор Рг> метрического проектирования пространства X х X х X на его диагональное подпространство D = {(х,х,х): х € X}: Рв{а,Ъ,с) = {(s,s,s): s € St(a, b, с)}. В зависимости от свойств пространства X оценивается коэффициент линейности произвольной выборки из оператора Рп и как следствие — константа Липшица произвольной выборки из отображения St.
Ключевые слова: коэффициент линейности оператора метрического проектирования, точка Штейнера.
A mapping St sending any three points a, b, с of a Banach space X into a set St (a, b, c) of their medians and a corresponding operator Pr> of metric projection of a space X x X x X onto its diagonal subspace D = {(x,x,x): x G X}, Рв(а,Ъ,с) = {(s,s,s): s G St(a, b, c)}, are considered. The linearity coefficient of arbitrary selection from Pr> is estimated, depending on different properties of the space X. As a corollary, estimates for the Lipschitz constant of arbitrary selection from the mapping St are obtained.
Key words: the linearity coefficient of metric projections, median.
Будем говорить, что банахово пространство X обладает свойством существования точки Штейнера, если для всякой тройки a,b,c € X множество
St(a, Ъ,с) ={s£l: lis — all + lis — 611 + lis — ell = inf (||ж — all + \\x — 611 + \\x — ell)}
x£X
непусто. Всякое рефлексивное (в частности, конечномерное) банахово пространство обладает этим свойством. Примеры несуществования точек Штейнера приведены в [1].
Лемма А [2]. Для любых элементов Xi,X2,x% € X точка s G I принадлежит множеству St(xi,x2,xs) тогда и только тогда, когда найдутся тлкие функционалы f\, /2, /3, что /1 + /2 + /3 = о, ||/г||X* ^ 1, fi(Xi - s) = ||Жг - s||; % = 1, 2, 3.
1 Чеснокова Ксения Васильевна — асп. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: kchesnokovaQgmail.com.
Отображение Рв, сопоставляющее тройке а, Ъ, с множество Рв(а, Ъ, с) = {(8, в, : в € Ь, с)}, является оператором метрического проектирования пространства X3 = X х X х X с нормой Ц(ж1,ж2,жз)||з = \\Х1\\ + ||ж21| + ||жз|| на диагональное подпространство Б = {(ж,ж,ж): х € X}, т.е. всякий элемент из Рд(а, Ъ, с) — ближайший для тройки (а, Ъ, с) в И.
Всякая выборка st: X3, —>■ X из отображения Штейнера ^(а, Ь, с) € Ь, с) для всякой тройки а,Ь,с € X) порождает выборку р из отображения Рв- р(а,Ъ,с) = где в = st(а,Ъ,с). Для
выборки р можно ввести понятие выборочного коэффициента линейности, аналогичное понятию коэффициента линейности (однозначного) оператора метрического проектирования на чебышевское подпространство [3]:
\ / \ • , / ||91 + 92 -р(Я1 +92) Из х^З / \ , Л п . /п
Л(р) := т! -п---п-: 2 € X = р(д2) = о, 91 + 92 / о
I \т + Я2\\з
Выборочный коэффициент линейности обладает сходными свойствами с коэффициентом линейности:
1)0^ Х(р) ^ 1; при этом \(р) = 1 тогда и только тогда, когда выборка р линейна;
2) Х(р) > 0 тогда и только тогда, когда выборка р липшицева;
3)если А(р) > 0, то константа Липшица К = вир {\\р(х) — р(у) ||з/||ж — у||з : х, у € X3, х ф у} выборки р удовлетворяет неравенствам 1/А(р) — 1 ^ К ^ 1/А(р) + 1.
Доказательство этих свойств проводится так же, как в [3] для коэффициента линейности. Из свойства 3 следует, что константа Липшица к = вир-^^ж) — $,1(у)\\/\\х — у\\з~. х,у €Х3,ж/у} = К/3 исходной выборки st лежит в следующих пределах:
11,11
--^А:^—- + -. (1)
ЗА (р) 3 ЗА (р) 3'
Если множество 81(а,Ь,с) одноточечно для всякой тройки (а, Ъ, с), то диагональное подпространство И является чебышевским в X3, метрическая проекция Рв однозначна, всякая выборка р совпадает с Рв и выборочный коэффициент линейности А (р) равен коэффициенту линейности А(£>) = т1{р(91 + 92, -С)/||91 + 92Ц3 : Рю{я 1) = РюЫ = 0, 91 + 92 / 0}.
Цель настоящей работы — оценить коэффициент А (р) в зависимости от свойств пространства X и получить оценки константы Липшица для соответствующих выборок в! из отображения Штейнера.
Теорема 1. Пусть X — банахово пространство со свойством существования точки Штейнера. Тогда для, всякой выборки р из отображения Рв выполнено неравенство А(р) ^ 1/2.
Доказательство. Рассмотрим элемент 91 = (ж, 0, 0), х € X, х ф 0. Покажем, что р(д 1) = (0, 0, 0). Действительно, при уф 0 имеем Ц91 — (у, у, у)||з = || (ж—у, —у, —у)||з = у\\ +2||у|| > \\х — у\\ + ||у|| ^ ||ж|| = ||з- Аналогично для элемента 92 = (0,ж, 0) получаем р(д2) = (0,0,0). Поэтому
||(ж, х, 0) - (ж,ж,ж)||3 = ||ж|| = 1 ||(ж,ж,0)||з 2||ж|| 2'
Теорема доказана.
Замечание. Оценка в теореме 1 является точной: можно показать, что А(р) = А(-О) = 1/2 для произвольного пространства X = Ь\(Е, £,//) действительнозначных суммируемых функций. В частном случае одномерного пространства X = М это доказано в [3].
В строго выпуклом пространстве X множество точек Штейнера для трех элементов содержит не более чем одну точку.
Действительно, пусть для некоторой тройки £1, £2, £3 найдутся две различные точки Штейнера Х\ и Ж2- Легко показать, что тогда Х\, £2, ¿з не лежат на одной прямой и весь отрезок [ж1, Ж2] включен во множество Штейнера (21, 22, 23). Для всякой точки £ € [Ж1,Ж2], \\х\ — ¿|| : р — жг|| = 0 : (1 — в), выполнено
ззз з
Ы У" ||ж - гг\\ = У] р - гг\\ ^ У ((1 - 0)||Ж1 - гг\\ + в\\х2 - гг\\) = п+ У ||ж - гг\\,
х€Л *—' —' —' х€Л *—'
г=1 г=1 г=1 г=1
поэтому справедливы равенства = (1—0)||ж1—гг||+0||ж2—^¿Ц, г = 1,2, 3. Найдется элемент Хг, не
лежащий на прямой Ж1Ж2. Не ограничивая общности, примем г = 1. Для числа в, удовлетворяющего равенству (1—0)||ж1—21Ц = 0||ж2—^Ц, выведенное выше равенство р—^Ц = (1—0)||ж1—21||+0||ж2—21Ц
означает, что сумма норм одинаковых по норме, но не коллинеарных векторов равна норме их суммы, т.е. X не строго выпукло. Поэтому если строго выпуклое пространство X обладает свойством существования точки Штейнера, то отображение Рд однозначно.
Теорема 2. Пусть X — рефлексивное локально равномерно выпуклое пространство с локально равномерно выпуклым, сопряженным, пространством X*, dimX ^ 2. Тогда A(D) ^ 1/3.
Доказательству теоремы 2 предпошлем несколько лемм. Далее S(E) обозначает единичную сферу пространства Е.
В силу [4, гл. 2, §2, теорема 1 и следствие 1] справедлива
Лемма В. Пусть пространство X удовлетворяет условиям теоремы 2. Тогда отображение х —fx, сопоставляющее каждом,у элементу х € S(X) единственный функционал Д € S(X*), опорный к S(X) в точке х (fx{x) = 1), является гомеоморфизмом S(X) на S(X*).
Лемма 1. Пусть пространство X удовлетворяет условиям теоремы 2, а,Ь € S(X) и, ||Д + Д|| = 1, где fa,fb G S(X*) — функционалы, опорные к S(X) в точках а иЪ соответственно. Тогда, A(D) < \\а + Ь||/3.
Доказательство. Возьмем функционал Д = — (Д + Д) € S(X*). В силу рефлексивности пространства X найдется элемент с € S(X), для которого функционал Д опорный.
По лемме А имеем 0 € St (а, Ь, с). По той же лемме 0 € St (а, 0, tc) для любого t ^ 0, и тогда для элемента q\ := (а, 0, tc) € X3 имеем Pd(Qi) = (0,0,0).
Возьмем е > 0. Построим такой элемент q2 = (0,—b',a — tc), что ||Ь'|| = 1, ||6' — Ь\\ < е и
РвЫ = (0,0,0).
В силу леммы В найдется такое число 5 > 0, что из условий / = Д € S(X*), \\f—f~b\\ < 5 следует ||s + Ь|| <£■ Далее, выберем такой функционал / € S(X*), что ||/ - /_ь|| < 5 и ||/ + /_ СII < 1 (этот функционал / нетрудно найти в двумерной плоскости (Д, Д), пользуясь равенством ||/_5 + /_с|| = 1 и строгой выпуклостью кривой S(X*) П (Д, Д))- Пусть / = где —У € S(X). По сказанному выше, \\Ь — Ъ'|| < е.
Для достаточно большого t > 0 вектор а(а — tc) = (а — tc)/\\a — tc\\ € S(X) настолько близок К -с, ЧТО ||Д(а_4с) - /-ell < 1 - Wf-Ы + f-c\\- Отсюда || f(j(a—tc) + f-V II < II fa(a-tc) ~ f-c\\ + II f-V + /_с|| < 1. Получаем, что для точки 0, тройки элементов 0, —b', a — tc a функционалов Д := —(/_&/ + fa(a—tc))) f-b', fa(a—tc) выполнены условия леммы А, поэтому 0 € St(0, —Ъ', a — tc) и требуемая тройка q2 построена.
Используя сумму <?i + <?2 = (о, —Ъ', а), получаем
\(Т1) < p(gi +Q2,D) < II(а, -Ь',а) - (а,а,а)||3 _ \\а + Ь'\\ _ \\а + Ь'\\ < ||а + Ь|| +g
1 ||91 + 92||з " ||(а, —b', а)||з ~ 2||а|| + ||6'|| ~ 3^3'
откуда в силу произвольности е > 0 следует требуемое неравенство. Лемма доказана.
Лемма 2. В условиях теоремы 2 найдутся т,а,кие элементы а,Ъ € S(X), что ||а + Ь|| ^ 1, ||Д + Д|| = 1, где Д, Д € S(X*) — функционалы, опорные к S(X) в точках а иЪ.
Доказательство. Возьмем произвольное двумерное подпространство Х2 С X. На единичной сфере сопряженного ему пространства найдутся такие функционалы ¡р\, <р2, (рз, что Теперь на единичной сфере пространства Х2 выделим элементы а, Ъ, с, на которых функционалы ¥>1 =: Va, ='■ Vb, <Рз ='■ ¥с соответственно достигают своей нормы.
Удостоверимся, что сумма некоторой пары элементов из тройки а, Ъ, с лежит внутри единичного шара пространства Х2. Так как элементы а,Ъ,с находятся в двумерном пространстве, то они линейно зависимы и для некоторого ненулевого набора Ai, Л2, A3 выполнено \\а + ЛгЬ + A3 с = 0. Без ограничения общности |Ai| ^ IA2I |Аз| и Ai > 0. Покажем, что тогда Аг,Аз > 0. Из равенства fa + Щ + ^Рс = 0 имеем
<ра(Ъ) + 1 + <рс(Ъ) = 0, <ра(с) + <рЬ(с) + 1 = 0.
Поскольку каждое из слагаемых в этих равенствах по модулю ограничено единицей, то слагаемые сpa(b), <pc(b), (ра(с) 1 (Рь(с) принадлежат отрезку [—1; 0]. Покажем, что они не могут принимать значения —1 и 0. Действительно, если, скажем, <pc(b) = —1 (или, что то же самое, <ра(Ь) =0), то функционал —<рс является опорным к S(X2) в точке Ъ. Пространство X гладкое [4, гл. 2, §2, следствие 1], поэтому пространство Х2 гладкое. Отсюда имеем —ipc = ^Рь, что в силу (ра-\-(рь + ^рс = 0 влечет <ра = 0 и противоречит тому, что <ра € S(X2). Из равенства <ра(\\а + А2b + Азе) = Ai + А2<pa(b) + A3<fa(c) = 0 и условия Ai ^ IA2I |A31 тогда следует, что Аг,Аз могут быть только положительными. Итак, Ai А2 A3 > 0. Поделив равенство А^ + АгЬ + Азс = 0 на A3: ц\а + ¡12b + с = 0, /¿i, /¿2 ^ 15 получим
с = а) + Ц>2(—Ь). Значит, элемент — (а + 6) лежит в выпуклой оболочке conv{—а, —6, с} элементов единичной сферы, т.е. его норма не больше 1. так что ||а + 6|| 7 1.
Итак, мы нашли такие а, 6 G S(X2) и fa^fb G ^(Х^), что ||у0 + УьЦл^ = + Щх2 ^ 1-
Продолжим теперь функционалы ipa и до функционалов /а, /ь G S(X*) 110 теореме Хана-Банаха. Норма суммы fa + fb при втом может вырасти: ||/0 + /ь||л'* ^ 1- Рассмотрим дугу 7 = ¿>(Х)П{£(—а) + ф: £ ^ 0, i] ^ 0}. При движении точки s 110 этой дуге от элемента 6 до элемента —а соответствующие опорные функционалы fs G S(X*) изменяются также непрерывно. В точке —а имеем /_а = —/а, a значит, при движении элемента s 110 дуге 7 норма суммы ||/s + fa\\ принимает все значения от ||Л + /о|| ^ 1 Д° 11 f—a ~Ь fa11 = 0. Поэтому найдется такой элемент Ъ' G 7. что ||Д' + /0|| = 1- Нетрудно видеть, что дуга 7 лежит внутри параллелограмма с вершинами 0,6, —а + 6, —a, a значит, точка б' + а лежит внутри параллелограмма с вершинами а, а + 6,6,0. откуда ||6' + а|| 7 1. Лемма доказана.
Теперь теорема 2 прямо следует из лемм 1 и 2.
Теорема 3. Для всякого г > 0 существует такое двумерное гладкое строго выпуклое пространство X, что A(D) < е.
Доказательство. Пусть X — действительная двумерная плоскость с заданной системой координат Оху. Для всякого достаточно малого S построим специальную единичную сферу Sg в этом пространстве с помощью набора кривых 7¿,г = 1, ...,6 (рис. 1):
71 = {7i(í) = (cosí, siní): í G [0,тг/2]};
72 = {72(Í) = (¿COSÍ, 1 - 5 +5siní): í G [тг/2,Зтг/4]} ;
74 = {74(í) = (cosí, siní): í G [7Г, 37t/2]} ;
75 = (7s(í) = (¿cosí,-1 + 5 +¿siní): í G [Зтг/2, 7тг/4]} ;
7з — произвольная выпуклая кривая с концами в точках 72(37г/4) = (—\/2/26,1 — 5+\/2/25) и 74(71") = (—1,0), гладко соединяющаяся с кривыми 71 и 73; 7б — кривая, симметричная 73 относительно нуля.
У
Рис. 1 Рис. 2
Сфера сопряженного пространства состоит из кривых Гх, Г2, Гз, Г4, Г5, Гб (рис. 2): Гх = {Гx(í) = (cosí,siní): í G [0,7г/2]}; Г2,Гз — некоторые кривые, точки которых соответствуют функционалам, опорным к сфере в точках кривых 72,73, концами кривой Г2 являются точка Гх(7г/2) и некоторая точка соответствующая функционалу, опорному к сфере в точке а := 72(37г/4), концы кривой Г3 — точки /а и (—1,0); Г.х,Г5,Гб — кривые, симметричные Гх,Г2,Гз относительно нуля.
Вектор /а направлен под углом 37г/4 к оси Ох, поскольку касательная к сфере в точке а (параллельная ядру функционала /а) имеет угол наклона 7г/4. Евклидова длина /а близка к \/2, поэтому норма \\/а + Д|| близка к 1, и найдется близкий к Д функционал /у С для которого
II/« + fb'W = 1 (Wfb — fb'W ► 0 при 6 —> 0). Соответствующий функционалу ¡у вектор V € S s близок к Ъ, и ||а + Ь'\\ ^ ||а + Ь\\ + ||6 — Ь'|| < Зе при достаточно малых 6.
По лемме 1 получаем A(D) ^ е, что и требовалось. Теорема доказана. Из теорем 1-3 и неравенства (1) получаем
Следствие. Пусть X — банахово пространство со свойством существования точки Штей-нера. Тогда:
1) для, константы Липшица, k произвольной выборки st из отображения St справедливо неравенство k ^ 1/3;
2) если X — рефлексивное локально равномерно выпуклое пространство с локально равномерно выпуклым, сопряженным, пространством X*, dimX ^ 2, то k ^ 2/3;
3) для всякого M > 0 существует такое двумерное гладкое строго выпуклое пространство X, что k > M.
Для гильбертова (евклидова) пространства известно точное значение к = 2/\/3, вычисленное Ж.-П.Каханом [5, теорема 5.2]. Нам удалось вычислить точное значение A(D) = л/2А/1А для гильбертова пространства, но мы не приводим здесь соответствующие вычисления ввиду их громоздкости.
Автор приносит благодарность П. А. Бородину за постановку задачи и полезные обсуждения. Работа поддержана грантом РНФ № 14-21-00025.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гаркави А.Л., Шматков В.А. О точке Ламе и ее обобщениях в нормированном пространстве // Матем. сб. 1974. 95(137), № 2(10). 272-293.
2. Рубинштейн Г.Ш. Об одной экстремальной задаче в линейном нормированном пространстве // Сиб. матем. журн. 1965. VI, № 3. 711-714.
3. Бородин П.А. Коэффициент линейности оператора метрического проектирования на чебышевское подпространство // Матем. заметки. 2009. 85, № 2. 180-188.
4. Дистель Дж. Геометрия банаховых пространств. Киев: Вища школа, 1980.
5. Kahane J.-P. Best approximation in Ll{T) // Bull. Amer. Math. Soc. 1974. 80, N 5. 788-804.
Поступила в редакцию 04.03.2015
УДК 517.93
НЕПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ПЕРВОМУ КЛАССУ БЭРА ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ ЭНТРОПИИ НА ПРОСТРАНСТВЕ ГОМЕОМОРФИЗМОВ
А. Н. Ветохин1
Рассматривается параметрическое семейство гомеоморфизмов компактного метрического пространства в себя, удовлетворяющих условию Липшица, непрерывно зависящих от параметра. Построено такое семейство, что топологическая энтропия его гомеоморфизмов как функция параметра не принадлежит первому классу Бэра.
Ключевые слова: топологическая энтропия, классификация Бэра.
The parametric family of Lipschitz homeomorphisms of a compact metric space continuously-depending on the parameter is studied. We construct such a family that topological entropy of homeomorphism considered as a function of the parameter does not belong to the first Baire class.
Key words: topological entropy, Baire classification.
1. Постановка задачи. Напомним определение топологической энтропии динамической системы, порожденной непрерывным отображением [1, с. 120]. Пусть (X, d) — компактное метрическое
1 Ветохин Александр Николаевич — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. дифференциальных уравнений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vetokhinQfront.ru.
