О точках Штейнера в пространстве непрерывных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. М.: Едиториал УРСС, 2004.

2. Сергеев И.Н. Определение и свойства характеристических частот линейного уравнения // Тр. Семинара им. И.Г.Петровского. 2006. Вып. 25. 249-294.

3. Сергеев И.Н. Определение полных частот решений линейного уравнения // Дифференц. уравнения. 2008. 44, № 11. 1577.

4. Сергеев И.Н. Определение полных частот решений линейной системы // Дифференц. уравнения. 2009. 45, № 6. 908.

5. Сергеев И.Н. Определение характеристик блуждаемости решений линейной системы // Дифференц. уравнения. 2010. 46, № 6. 902.

6. Сергеев И.Н. Сравнение полных частот и показателей блуждаемости решений линейной системы // Дифференц. уравнения. 2010. 46, № 11. 1667-1668.

7. Сергеев И.Н. Характеристики колеблемости ляпуновского типа // Тр. Междунар. матем. конф. "Пятые Богда-новские чтения по обыкновенным дифференциальным уравнениям". Минск, 2010. 73-74.

8. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. СПб.: Лань, 2008.

Поступила в редакцию 08.12.2010

УДК 517.982.256 + 515.124.4

О ТОЧКАХ ШТЕЙНЕРА В ПРОСТРАНСТВЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ

Б. Б. Беднов1

В пространстве C [K] действительнозначных непрерывных функций на хаусдорфовом компакте K для всякой тройки функций /ь/2,/3 описано множество St(fi, /2, /3) точек Штейнера, т.е. множество таких функций s G C[K], для которых сумма ||/i — s|| + У/2 — s|| + ||/з — s|| минимальна. Доказана непустота множества St(/i, /2, /3); описаны тройки /i, /2, /3, для которых точка Штейнера единственна; предъявлена липшицева выборка из отображения (/i, /2, /3) ^ St(/i, /2, /з). С помощью этих результатов описаны все действительные двумерные банаховы пространства, в каждом из которых для всякой тройки элементов xi,Х2,Х3 и некоторой их точки Штейнера s = s(xi,x2,x3) сумма ||xi — s|| + ||x2 — s|| + ||x3 — s|| равна полупериметру треугольника xix2x3.

Ключевые слова: точка Штейнера, пространство непрерывных функций.

The set St(/i,/2,/3) of Steiner points is described for any three functions /ь/2,/3 in the space C[K] of real-valued continuous functions on a Hausdorff compact set K. St(/i, /2, /3) consists of all functions s G C[K] such that the sum |/i — s|| +1|/2 — s|| +1|/3 — s|| is minimal. It is proved that the set St(/i, /2, /3) is not empty; the triples /i, /2, /3 having a unique Steiner point are described; a Lipschitz selection is presented for the mapping (/ь/2,/3) ^ St(/i,/2,/3). These results imply the description of all real two-dimensional Banach spaces possessing the following property: the sum ||xi — s|| + ||x2 — s|| + ||x3 — s|| is equal to the semiperimeter of triangle xix2x3 for any triple xi,x2,x3 and some of its Steiner point s = s(xi,x2,x3).

Key words: Steiner point, space of continuous functions.

Рассмотрим три необязательно различных элемента xi,x2, x3 банахова пространства (X, || • ||). Точкой Штейнера для этих элементов называется любой такой элемент s = s(xi,x2, x3) G X, что

33 k=1 X k=1

1 Беднов Борислав Борисович — студ. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

В случае гильбертова пространства X = Н точка Штейнера з(х\,Х2,Хз) существует и единственна (см., например, [1, гл.7, §5]): она лежит в плоскости точек Х1, Х2, Хз и либо совпадает с одной из них (если в треугольнике Х1Х2Х3 есть угол, не меньший 120°), либо совпадает с точкой Торичелли (из которой все стороны треугольника видны под углом 120°).

Точка Штейнера всегда существует, если пространство X рефлексивно, а в нерефлексивном X она может и не существовать [2].

Наиболее просто точки Штейнера описываются в пространстве ^(М, Х,л) действительнозначных функций, суммируемых на множестве М по мере определенной на сигма-алгебре Х подмножеств М. Для трех функций /1 ,/2, /з из этого пространства точка Штейнера в существует, единственна и почти в каждой точке Ь £ М значение в(Ь) равно среднему из чисел Д(Ь), /2 (Ь), /з (Ь). При этом для точки Штейнера в Ь1(М, Х,л) выполнено равенство

з1

£||Л" «II = 2(11/1 " М + ИЛ " /зН + 11/2 - /зЮ- «

к=1

Нетрудно заметить, что в любом банаховом пространстве для любых элементов Х1,Х2, Хз и любой точки

а

Штейнера s = s{x 1,Ж2,Жз) верно неравенство ^fc=i IIхк ~ |(||ж1 — Ж2Ц + \\х\ — Жз|| + ||жг — Жз

равенство (*), вообще говоря, не выполняется.

Цель настоящей работы заключается в исследовании точек Штейнера в пространстве C [К] действительнозначных непрерывных функций на хаусдорфовом компакте К с обычной равномерной нормой.

Пусть /ь/2,/з е C[К],

St(/i, /2, /з) = Is е C [К] : £ ||/3 — s\\ = f £ ||/3 — g\\ { j=i

— множество точек Штейнера для функций /i, /2, /3.

Нам понадобится

Лемма 1 [3]. Пусть Y — замкнутое линейное подпространство банахова пространства X и xi,... ,Xn е X. Элемент yo е Y принадлежит множеству Py(xi,... ,Xn) = {z е Y : Xj=i \\xj — z\\ = inf£f=i \\xj — z\\} тогда и только тогда, когда найдутся такие функционалы /i,...,/n е X*, что

1) j=i /j е Y

2) max\\/j \\ = 1;

3) /j(xj — Уо) = \\xj — Уо\\ (j = 1,...,N).

Последнее равенство означает, что либо \\/j\\ = 1, либо Xj = yo.

В [3] доказано более общее утверждение: вместо линейного подпространства рассматривается выпуклое множество Y, вместо суммы расстояний минимизируется сумма расстояний с неотрицательными весами. В то же время эта лемма является обобщением хорошо известного критерия элемента наилучшего приближения для случая N = 1 [4].

Из леммы 1 вытекает

Лемма 2. Элемент s е St(/i, /2,/3) тогда и только тогда, когда найдутся такие Fi, F2, F3 е rba(K), что max\\Fi \\ = 1,Fi + F2 + F3 = 0,F (/ — s) = \\/ — s\\,i = 1, 2, 3.

Здесь rba(K) обозначает сопряженное к C[К] линейное пространство, состоящее из регулярных ограниченных аддитивных функций (мер) множества, определенных на алгебре, порожденной замкнутыми множествами. Нормой меры ц е rba(K) является ее полная вариация [5, гл.4, §6].

Рассмотрим такие две необязательно непрерывные функции / и g, что / (t) ^ g(t) для любого t е К. Напомним, что интервалом [/;g ]] в C[К] называется (см. [6], а также [7]) множество

/; g ]] = {h е C[К] : Ш е К h(t) е [/(t); g(t)]}.

Теорема 1. Пусть /i,/2,/3 е C[К].

(1) Функция s е St(/i, /2, /3) тогда и только тогда, когда для любых i,j е {1, 2, 3},i = j, найдется такая точка t = tj е К, что /i — s и /j — s достигают в t своих норм с противоположным знаком.

(2) Множество St(Д, /2, /3) = П?=1 [ ¡г-гг, /г+гг ] ф 0, где гг =: ±(11/, - /г|| + \\fk - ft\\ - \\fk - /,||)7 {i,j,k} = {1, 2, 3}.

Доказательство. (1). Заметим,что /2, /з)—д = Я^/ —д, /2 —д, /з —д). Поэтому без ограничения

общности считаем, что в = 0.

Необходимость. При совпадении всех функций /1 = /2 = /3 единственная точка Штейнера совпадает с /1, поэтому 0 = в = /1, и утверждение (1) верно.

При совпадении двух функций /1 = /2 единственная точка Штейнера также совпадает с /1, ибо ||/з — в|| + 2||/1 — в|| ^ ||/з — /1|| + У/1 — в|| ^ ||/з — Л||, поэтому 0 = в = /1, и (1) верно.

При различных / по лемме 2 найдутся такие , , Fз £ гЬа(К), что тах ||Fj || = 1,^1 + + Fз = 0, Fi(/i) = И/гИ, г = 1, 2, 3. Пусть Fi = F+ + F~ — разложение Хана меры Fi, А± — носители F± соответственно. Если / = 0, то функционал Fi достигает нормы на /, откуда А+ С[г £ К : /(г) = И/г1|}, А- С [г £ К : /() = —Ц/!}, так что А+ П А- = 0.

По крайней мере у двух функционалов из Fl,F2, Fз норма равна 1 по лемме 2 (точка Штейнера может совпадать лишь с одной из функций).

Предположим, что ||Fi || > 0 для любого г = 1,2,3. Пусть, например, для пары г = 1Д =3 не выполнено условие теоремы, т.е. функции /1 и /з не достигают одновременно своих норм с разными знаками ни в какой точке г £ К. Следовательно, А+ П А- = 0 и А- П А+ = 0.

Из того, что Fl = —^2 + Fз), следует, что А- С А+ и А+, к тому же и А- П А+ = 0, поэтому А- С А+, и аналогично А- С А+. Тогда А+ Э А- и А-. Но, так как F2 = — + Fз), имеем А+ С А- и А-. Таким образом, А+ = А- и А-. Аналогично А- = А+ и А+. Отсюда F2+ = + F-),F- = — + F3+), и

|^21| = |^2+|| + |^2"|| = |^3"|| + 1| + ||^3+П + = №1! + ||^31| > 1 (поскольку хотя бы одно из чисел

1| и 11^31 равно 1, а другое положительно), что противоречит неравенству ||^21| ^ 1.

Если же одно из чисел |^|| = 0, скажем 1| = 0, то по лемме 2 имеем /1 = в = 0. Тогда F2 = —Fз. Возьмем точку г из общего носителя F2 и Fз. Пусть для определенности г £ А+ = А-. Поскольку /2 (г) = ||/2|| и /з(г) = — |/з || для любого г £ А+ = А-, то это и есть искомая точка ¿23 и она же подойдет в качестве ^3 и ^2.

Достаточность. Возьмем произвольную функцию д £ С [К]. Существует такая точка г — г 12 £ К, что

/1(г) • /2(г) = —Ц/1Н/21|. Имеем Ид — /11 + Ид — /2 И > |(д — Л)(г)| + |(д — /2)(г)| > |(/1 — Л)(г)| = ИМ +1|/2||.

Аналогичные точки ¿23, ¿13 £ К найдутся для пар /2,/з и /1, /3 соответственно (точки могут совпадать). Тогда \\д-Ь\\ + \\д-12\\ + \\д-1з\\ = Ш9-М + \\9-/2\\) + Ш9~М + \\9-/з\\) + Ш9-/2\\ + \\9-/з\\) >

+

+

+

+

+

+ ИМ +

Следовательно, в = 0 £ Я^/, /2, /3).

Докажем утверждение (2). Покажем, что любая функция в £ Я1;(/1,/2,/з) лежит в пересечении указанных интервалов. Согласно п. (1), существует точка г^ £ К : (/ — в)(^) • (/j — в)(^) = —1|/ — в| • |/? — в||. Тогда |(/i — )(г' )| = И/i — в| + И/j — в| ^ И/i — И, и слеДовательно, |(/i — )(г')| = И/i — || = И/г — в|| + И/' — в|. Отсюда

в

— /¿И + И/к — /И —И/ — М

п,

г = 1, 2, 3, [%Д,к} = [1, 2, 3}. Поэтому в (г) £ [/i(t) — п; /¿(г)+п] для любого г £ К, т.е. в £ [ / — п, / + п ]|. Докажем, что П3=1 [/ — п,/ + п ]| = 0. Для любой пары функций /, /' и любого г £ К имеем

/т—п < /' (г) — г' < т+п, / (г) — Г' < мг) — п < / (г) + Г'

Г' — п < (/ — /i)(г) < п + Г' < ||/ — и\ п — ъ < (/ — /)(г) < п + ^ < И/ — '

ъ — п < (/ — /i)(г) < И!) — ЛИ, — И/ — /И < (/ — л)(г) < —

В последней совокупности одно из двойных неравенств верно. Таким образом, при каждом г £ К любые два из отрезков [^(г) — /^г) + пересекаются, а значит, все эти три отрезка имеют непустое пересечение и это пересечение непрерывно зависит от г. Следовательно, пересечение П3=1 [Л — / + Гi ]] всегда не пусто.

Покажем, что любая функция в £ П3=1 []| принадлежит множеству Штейнера Я^Д, /2, /з).

Нетрудно видеть, что ||в — /^ ^ Гi. Для любой пары £ [1, 2, 3} существует такая точка г £ К, что Ц(г) — /'(г) = ±И/ — /'И. В точке г пересечение отрезков /г) — п; /¿(г) + Гi] П [/'(г) — ; /'(г) + ] одноточечно, так как Гi + = ||/ — /'||. В точке г функция в однозначно определена и равна либо /¿(Ь) — = /'(г) + , либо /г(г) + Гi = /'(г) — . Поэтому в удовлетворяет условиям п. (1).

Теорема доказана.

'

Следствие. В пространстве С [К] для всякой тройки функций /1, /2, /з при любом в £ 8>Ь(/1, /2, /з) выполнено равенство (*).

Таким образом, в обоих пространствах С [К] и ^(М, Х,л) для всякой точки Штейнера в трех функций /1, /2, /з справедливо равенство (*). Возникает естественный вопрос об описании всех банаховых пространств X, в которых для всякой тройки элементов Х1,Х2,Хз их точка Штейнера в = в(Х1,Х2,Хз) существует (возможное дополнительное условие — и единственна) и удовлетворяет равенству (*).

Следующее утверждение отвечает на указанный вопрос в двумерном случае.

Теорема 2. Всякое действительное двумерное банахово пространство, в котором для всякой тройки элементов Х1,Х2,Хз и некоторой (а значит, для любой) их точки Штейнера в = в(Х1,Х2,Хз) выполнено равенство (*), изометрически изоморфно I2 = (М2, ||(£ь£2)|| = |<Ы + |<Ы)-

Пространство ¿2 можно интерпретировать и как пространство ¿1 суммируемых функций (на двух атомах), и как пространство С непрерывных функций (на двухточечном компакте).

Доказательству теоремы 2 предпошлем несколько лемм.

Лемма 3. Для функций /1,/2,в найдется точка Ь £ К, в которой (/1 — в)(Ь) ■ (/2 — в)(Ь) = —Ц/1 — в|| ■ Ц/2 — в||, тогда и только тогда, когда Ц/1 — в|| + Ц/2 — в|| = Ц/1 — /2Ц.

Доказательство. Необходимость. Имеем |(/1 — /2)(Ь)| = Ц/1 — в|| + Ц/2 — в|| ^ Ц/1 — /2Ц, и, следовательно, |(/1 — /2)(Ь)| = Ц/1 — /2|| = Ц/1 — в|| + Ц/2 — в||.

Достаточность. Рассмотрим точку ¿о £ К, в которой |(/1 — /2)(Ьо)| = Ц/1 — /2Ц. Если в ней не достигается хотя бы одна из норм Ц/1 — в||, Ц/2 — в||, то Ц/1 — /2Ц < Ц/1 — в|| + Ц/2 — вЦ, что противоречит условию. Значит, в точке ¿о обе функции /1 — в и /2 — в достигают норм, причем с разными знаками.

Лемма 4. Всякая функция в £ 81(/1, /2, 0) достигает нормы во всех точках Ь, в которых достигает нормы хотя бы одна из функций /г,г = 1, 2, причем знаки в(Ь) и /¿(Ь) совпадают.

Действительно, по теореме 1 для любого г = 1, 2 найдется точка Ьг £ К, в которой /г — в и —в достигают норм с противоположными знаками. При этом Ц/гЦ = Ц/г — вЦ + 11вЦ по лемме 3. Поэтому во всех точках, где /г достигает нормы, в достигает нормы с тем же знаком.

Лемма 5. Для функций /1, /2 найдется точка Ь £ К, в которой /1 (Ь) ■ /2^) = — Ц /1Ц ■ Ц/2Ц, тогда и только тогда, когда Я^Д,/ 0) = {0}.

Действительно, по лемме 3 существование указанной точки Ь равносильно равенству Ц/1 — /2Ц = + Ц/2Ц, что в свою очередь ввиду теоремы 1 равносильно равенству Гз = — 0Ц = Ь ■ (Ц/1Ц +

Ц/1 — /2Ц) = 0 для любого в £ Я1(/1,/2, 0).

Доказательство теоремы 2. Всякое, в том числе двумерное, сепарабельное банахово пространство изометрически вкладывается в пространство С[0,1] (см. [8, гл.У, §3]). Поэтому рассмотрим двумерное подпространство X2 С С[0,1] со свойством: для любых /1, /2, /з £ X2 существует функция в £ X2, удовлетворяющая равенству (*), что равносильно существованию в £ X2 П 81(/1, /2, /з). Выберем в X2 такой базис /1, /2, что /1(^1) = Ц/1Ц = 1, /2^2) = Ц/2Ц = 1, ¿1 = ¿2.

Рассмотрим функции д1 и д2, определенные по следующему правилу: д1 = /1, д2 = /2, если /1 и /2 не имеют общих точек максимума модуля, и д1 = /1 + /2, д2 = /1 — /2, если /1 и /2 имеют хотя бы одну общую точку максимума модуля. Тогда д1 и д2 не имеют общих точек максимума модуля. Следовательно, по лемме 5 найдутся ненулевые функции в1 £ ,д2, 0), в2 £ 8>Ь(д1, —д2, 0). Рассмотрим функции = в1/Цв1 Ц, и2 = в2/||в2Ц. По лемме 4 найдутся такие Ь+,Ь- £ К, что и1(Ь+) = и2(Ь+) £ {±1} и и1(Ь-) = —и2(Ь-) £ {±1}. Из-за этого и1 и щ линейно независимы и образуют базис пространства X2. Всякая функция Н = Аи + цщ £ X2 достигает нормы в одной из точек Ь+,Ь-. При этом ЦНЦ = |А| + Ц, а значит, X2 изометрически изоморфно ¿2. Теорема доказана.

Установим еще несколько свойств множеств Я^Д ,/2,/з) в пространстве С [К].

Теорема 3. Множество Я^/1,/2,/з) состоит из единственной функции в тогда и только тогда, когда выполнено одно из двух условий:

1) для каждого Ь £ К найдется такая пара функций /¿, /у, что |/г(Ь) — /у(Ь)| = Ц/г — /у Ц ( и при этом в = /а(Ь) + Га, где /а(Ь) = шш/(Ь), /у (Ь)});

2) для некоторого г £ {1, 2, 3} справедливо равенство Ц/у — /кЦ = Ц/г — /у Ц + Ц/г — /кЦ ( и при этом

в = /г).

Доказательство. Необходимость. Пусть функция в £ 81(/1, /2, /з) единственна, тогда три отрезка [/г(Ь) — Гг; /г(Ь) + Гг],г = 1, 2, 3, для любого Ь £ К пересекаются в одной точке.

Если существует такое ] £ {1, 2, 3}, что г у = Ц/у — вЦ = 0, то выполнен случай 2.

Если не существует такого I £ {1,2,3}, что Г1 = Ц/1 — вЦ = 0, то в каждой точке Ь выполнено одно из равенств /¿(ь) ± Гг = /у(Ь) Т Гу для некоторых г,]. Тогда (/г — /у)(Ь) = т(п + Гу) = тЦ/г — /уЦ, в(Ь) = /а(Ь) + Га,/а = т\п{/г, /у}, т.е. выполнен случай 1.

Достаточность. 1. Так как для любого Ь £ К найдутся такие г,], что /г(Ь) — /у(Ь)| = Ц/г — /у Ц = Гг + Гу,

то пересечение отрезков [/¿(г) — п; /г(г)+пг], [/(г) — ; /(г)+ ] есть точка, и П3=1 [/г — п,/г + п ] состоит из единственной функции.

2. Если для некоторого г £ [1, 2, 3} справедливо равенство И/' — /кИ = И/г — /'И + И/г — /кИ, то + пк = + п + п + пк. Следовательно, п = 0, и, согласно п. (2) теоремы 1, /г £ Я1(/1,/2,/3) — единственная точка Штейнера. Теорема доказана.

В связи с теоремой 1 естественно возникает вопрос о существовании хорошей выборки из многозначного отображения : (/1, /2, /з) ^ 81(/1, /2, /з) = [ тах (/г — пг), т1п (/г + п) ]]. Оказывается, что

существует липшицева выборка V : (С [К])3 ^ С [К] из этого отображения.

Теорема 4. Отображение V(/1, /2, /з)(г) = тш{/1 (г) + п, /2(г) + п2, /з(г) + пз} является липшицевой выборкой из отображения (здесь пг = ^(/1, /2, /з) _ числа из условия теоремы 1). При этом в случае метрического пространства К модуль непрерывности функции V удовлетворяет неравенству и(у, 5) ^

тахзи(/г,5), 5 > 0.

Доказательство. То, что отображение V — выборка из следует из теоремы 1. Докажем липшицевость. Возьмем две тройки непрерывных функций (/1, /2, /з), (д1,д2,дз) и соответствующие им точки Штейнера в(г) = т1п[/1 (г) + п1,/2(г) + п2,/3(г) + п3}, д(г) = т1п[д1 (г) + п1,д2(г) + п2,дз(г) + пз}. В каждой фиксированной точке г £ К оценим разность в(г) — д(г). Для этого рассмотрим случаи.

(а) Допустим, что в (г) = /¿(г) + п и д(г) = дг(г) + тг. Тогда

|в(г) — 9(г)| =

= ^/¿(*) -2дг(1) + II/, - /¿II + IIД - /¿II - ||Д - /,|| - \\д3-дг\\ - \\9k-9iW + \\дк ~ 93\\\ <

^ ^ II /г II \ \lfj fi\\ ИЯ] 9г\\ \ "Ь | И/к /г || И9к II | \ \lfk fj\\ И9к II |) • (**) Заметим, что

\И/п — /тИ — Идп — дтИ| ^ \ И/п — дпИ + Иди — дтИ + И/т — дтИ — Ьп — дтЦ| = И/п — дпИ + И/т — дтИ|. Тогда

|в(г) — д(г)| < 2 И /г — дгИ + И/' — д' И + И/к — дк И < 2(И/1 — д1 И + И/2 — д2 И + ||/з — дз И). (* * *)

(б) Пусть теперь в(г) = /¿(г) + п и д(г) = д'(г) + п',г = ^. Без ограничения общности считаем, что тах[/г(г) + пг,д'(г) + } = /¿(г) + щ. Поскольку /¿(г) + п ^ /(г) + и |в(г) — д(г)| = /¿(г) + п — д'(г) — ^ /'(г) + — д'(г) — , то последнее выражение в силу неравенств (**) и (***) не превосходит

2( И /1 — д1|| + И/2 — д2|| + И/з — дзИ).

Докажем утверждение касательно модуля непрерывности. Возьмем две точки а,Ь £ К с р(а, Ь) ^ 5.

Без ограничения общности V(Ь) ^ V(а). Пусть, скажем, тш(/г + пг)(а) = Д(а) + п1. Имеем (Ь) — V(а)| =

г

V(Ь) — V(а) ^ /1(Ь) + п1 — (/1 (а) + п1) = /1(Ь) — /1(а) ^ и(/1, 5), что и требовалось. Теорема доказана.

Можно ставить вопросы о существовании других выборок из отображения сохраняющих какие-либо структурные свойства функций /1, /2, /3. Например: верно ли, что если каждая из функций /1, /2, /з £ С[0,1] обладает заданной гладкостью, то найдется функция в £ Я^Д, /2, /з) той же гладкости (А. А. Васильева)?

Приведем пример такой тройки /1, /2 ,/з £ С [—1,1] многочленов степени не выше п £ М, что ни одна точка Штейнера этой тройки не является многочленом степени не выше п. Рассмотрим четное п = 2к, где к > 3 и не кратно двум, и Д(г) = Тп(г), /2(г) = Тп-^(г), /з = 0 на отрезке [—1;1], где Тп(г) = еов(п агсеов г) — многочлен Чебышева степени п. У функций /1 и /2 нет точки, где они одновременно достигают нормы с разными знаками. Поэтому по утверждению (1) теоремы 1 имеем 0 £ Я^/,/2,/з). Согласно лемме 4, количество глобальных экстремумов у любой функции в £ Я^Д,/,/з) не меньше п + 1+ п — 3 — 3 = 2п — 5. Здесь п + 1 и п — 3 — число точек экстремума у Тп и Тп_4 соответственно, а в трех точках г = —1, 0,1 эти многочлены равны друг другу и достигают нормы. Поскольку 2п — 5 > п + 1 при п > 6, любая функция в £ Я^Д, /2, /з) не является многочленом степени не выше п.

Автор приносит благодарность П. А. Бородину за постановку задачи и полезные замечания. Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 11—01—00952-а).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? М.; Ижевск: РХД, 2001.

2. Бородин П.А. Пример несуществования точки Штейнера в банаховом пространстве // Матем. заметки. 2010. 87, № 4. 514-518.

3. Рубинштейн Г.Ш. Об одной экстремальной задаче в линейном нормированном пространстве // Сиб. матем. журн. 1965. 6, № 3. 711-714.

4. Singer I. Best approximation in normed linear spaces by elements of linear subspaces. Bucharest: Acad. SRR; Berlin; Heidelberg; N.Y.: Springer-Verlag, 1970.

5. Данфорд Н, Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. М.: ИЛ, 1962.

6. Franchetti C, Cheney E.W. The embedding of proximinal sets //J. Approxim. Theory. 1986. 48, N 2. 213-223.

7. Васильева А.А. Замкнутые промежутки в векторнозначных функциональных пространствах и их аппроксимативные свойства // Изв. РАН. Сер. матем. 2004. 68, № 4. 75-116.

8. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965.

Поступила в редакцию 07.02.2011