Длина минимального заполнения пятиточечного метрического пространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 517.982.256 + 515.124.4

ДЛИНА МИНИМАЛЬНОГО ЗАПОЛНЕНИЯ ПЯТИТОЧЕЧНОГО МЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА

Б. Б. Беднов1

Длина минимального заполнения произвольного пятиточечного метрического пространства выражена как функция попарных расстояний между точками этого пространства.

Ключевые слова: банахово пространство, кратчайшая сеть, минимальное заполнение, точка Штейнера.

The length of minimal filling of arbitrary five-points metric space is represented like function of length between points from this metric space.

Key words: Banach space, shortest network, minimal filling, Steiner point.

Пусть (X, p) — метрическое пространство и G = ( V., E) — связный граф с множеством вершин V и множеством ребер Е. Отображение Г : V —> X называется сетью в X, параметризованной графом G, или сетью типа, G. Вершинами сети Г называются точки Г(г?), v € V, ребрами сети Г — пары Г(г?), Г (го) при условии, что пара v, w соединена ребром в графе G. Длиной ребра Г(г;)Г(ги) называется число p(T(v),T(w)), а длиной |Г| сети Г — сумма длин всех ее ребер. Если M С X — конечное множество и M С Г(У), то говорят, что сеть Г соединяет (или затягивает) множество М. Число

|smt|(M,X) = inf{|r| : сеть Г соединяет M} называется длиной кратчайшей сети для M в X, a

smt(M, X) = {Г : Г — сеть в X, соединяющая М, |Г| = |smt|(M, X)}

есть (возможно, пустое) множество кратчайших сетей для M в X.

Теория кратчайших сетей в метрических пространствах весьма обширна и бурно развивается [1]. Недавно в работе А. О. Иванова и A.A. Тужилина [2] наметилось новое направление этой теории, которое связано с введенным ими понятием минимального заполнения конечного метрического пространства и является частным случаем специального обобщения проблемы М. Громова.

Пусть (М, р) — конечное метрическое пространство. Число

|mf|(M) = inf{|smt|(ip(M),Y) : Lp : M —ï Y},

где инфимум берется по всем изометричным вложениям пространства M в различные метрические пространства Y, называется длиной минимального заполнения пространства M, а сети — элементы множества mf(M) = {smt(ip(M),Y) : |smt|(<^(M), Y) = |mf|(M)} — называются минимальными заполнениями пространства M.

Для всякого конечного множества M в метрическом пространстве (X, р), рассматриваемого как метрическое пространство с той же метрикой р, выполнено очевидное неравенство |smt|(M, X) ^ \mï\(M).

Для произвольных конечных метрических пространств M величина |mf|(M) может быть вычислена по минимаксной формуле через длины мультиобходов деревьев, соединяющих множество М, которая получена А.Ю. Ереминым [3].

Для трехточечного пространства Мз = ({х\, Х2, %з}, р) минимальное заполнение можно получить [2] в четырехточечном расширении ({х\, Х2, Жз, s}, р), где

p(s,Xi) = ^(p(Xi,Xj) +p(Xi,Xk) - p(Xj,Xk))

1 Бедное Борислав Борисович — канд. физ.-мат. наук, переводчик-секретарь каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, доцент каф. ФН-12 "Математическое моделирование" МГТУ им. Н.Э. Баумана, e-mail: noriiiiQinbox.ru.

(г = 1,2,3, {г,з,к} = {1,2,3}), в виде сети-дерева с ребрами [в,х 1], [й,Ж2] и [«,а?з]- При этом

|т!|(М3) = 1,х2,х3),

где Р(х 1,Ж2,Жз) — периметр треугольника Ж1Ж2Ж3.

Для четырехточечного пространства М4 = ({ж1, Ж2, ж3, ж4}, р) минимальное заполнение имеет длину

\т{\(М4) = ^(тах(М4) + тт(М4)),

где тах(М4) и тт(М4) — соответственно максимальная и минимальная из сумм р(ж1,ж2) + р(ж3,ж4), р(жьж3) + р(ж2,ж4), р(жьж4) + р(ж2,ж3), и может быть реализовано сетью в некотором не более чем 6-точечном расширении М4 [2].

Цель настоящей работы — вычислить длину минимального заполнения произвольного пятиточечного метрического пространства (Мб,р) = ({х\,..., жб},р) через величины р(хг,х^).

Будем говорить, что метрическое пространство (X, р) реализует минимальное заполнение для своего конечного подмножества М, если |зт1;|(М,X) = |т!|(М) и множество эпЛ(М,Х) непусто.

Теорема А [4]. Для действительного банахова пространства X следующие свойства эквивалентны:

1) X реализует минимальное заполнение для всякого конечного набора своих точек;

2) X реализует минимальное заполнение для всякого набора из четырех своих точек;

3) X предуально к Ь\.

Напомним, что пространство X называется предуальным к Ь\ или пространством Линденштра-усса, если X* изометрически изоморфно Ь\(р?) = Ь\(Е, Е, ¡л) для некоторого множества Е, некоторой сг-алгебры Е подмножеств Е и некоторой <т-аддитивной меры ¡л, определенной на Е. К этому классу пространств относятся все пространства С (О) действительнозначных функций, непрерывных на (хаусдорфовом) компакте пространства Со(Е), и многие другие. Пространство размерности п предуально к Ь\ тогда и только тогда, когда оно изометрически изоморфно (здесь обозначает п-мерное пространство с нормой ||ж|| = (((ж1,... ,жга)|| = тах{|жр| : р € {1,... ,п}).

В банаховом пространстве (X, || • ||) сети можно представлять себе как связные конечные объединения отрезков, соединяющих точки этого пространства, т.е. как связные графы в X с ребрами-отрезками. Поэтому в силу теоремы А в настоящей работе используется термин "длина минимального заполнения" вместо употребляемого в [2] термина "вес минимального заполнения".

Нетрудно показать, что кратчайшая сеть Г € 8т1(Мп, X), затягивающая в X заданное п-точеч-ное множество Мп, является деревом, которое имеет не более п — 2 дополнительных (отличных от точек из Мп) вершин, причем каждая из этих дополнительных вершин имеет степень не меньше 3 (см., например, [5]).

Построение минимального заполнения множества М в настоящей работе сильно связано со свойствами минимального заполнения типа звезды для М. Напомним необходимые определения.

Для заданного набора М = {ж1,...,жга} € X множество точек Штейнера (в англоязычной литературе — медиан) $1(М,Х) состоит из таких точек € X, для которых

п ( п

:жех1 =: И(М, X). к= 1 1а;=1 J

Число

и(М)= ы ШММ),У),

где внешний инфимум берется по всем изометричным вложениям пространства М в различные метрические пространства (У,£>), называется длиной минимального заполнения, типа звезды, пространства М. Звезды, соединяющие М, с длиной, равной ^(М), называются минимальными заполнениями типа звезды, пространства М.

Будем говорить, что метрическое пространство (X, р) реализует минимальное заполнение типа звезды, для своего конечного подмножества М, если найдется такая точка в € X, что р(хг, •§) = |в1;|(М) (т.е. $1(М,Х) непусто и \81\(М,Х) = ^[(М)). Для минимального заполнения типа звезды верна следующая теорема, аналогичная теореме А.

Теорема Б [4]. Для действительного банахова пространства X следующие свойства эквивалентны:

1) X реализует минимальное заполнение типа звезды, для, всякого конечного набора своих точек;

2) X реализует минимальное заполнение типа звезды, для, всех троек и четверок своих точек;

3) X предуально к L

Далее т[а, Ъ] обозначает метрический отрезок с концами а и b в банаховом пространстве X:

т[а, Ь] = {х € X : \\х — а|| + \\х — 6|| = ||а — 6||}.

В общем случае для множества М с попарно различными элементами в предуальном к L\ пространстве верна

Теорема В [6]. Пусть пространство X предуально к LДля множества М = {х\,... ,хп} с попарно различными элементами из X имеет место формула

|st|(M, X) = i max j^L(Mj) :MiU...UMfc = M

где максимум берется по всем, попарно не пересекающимся, не менее чем двухточечным подмножествам Mj С М. Число L(Mj) обозначает максимальную сумму длин ребер цикла, обходящего все вершины из Mj по одном,у разу. При этом

к

st(M,X) = P| st(М*,А) =Пm[xp,xg], 3 = 1

где {M*}j?=1 — такие попарно не пересекающиеся, не менее чем двухточечные подмножества множества М, для которых Ylj=i L(M*) = 2 • |st|(M, X), а последнее пересечение берется по тем парам индексов p,q, для которых xp,xq € М* соединены ребром, в цикле с длиной L(M*), обходящем множество М* при каждом, фиксированном, j = 1,... ,k.

Заметим, что для двухточечного множества Mj цикл вырожден и состоит из одного ребра, посчитанного дважды.

Разбиение множества М из теоремы В на попарно не пересекающиеся подмножества задает в пространстве X граф £>, состоящий из циклов и отдельных ребер. Для 5-точечного множества М граф Z может быть всего двух видов: либо цикл из трех ребер и отдельное ребро, либо цикл из пяти ребер.

Следующая лемма характеризует точки Штейнера в произвольном банаховом пространстве X через элементы сопряженного пространства X*.

Лемма А [7]. Пусть (X, || • ||) — банахово пространство, х\,...,хп € X. Элемент yo € X принадлежит множеству st({a?i,... ,хп},Х) тогда и только тогда, когда найдутся т,а,кие функционалы /ь..., fn еХ*, что Éj=i/j = °; maxll/jll = 1 и fj(xj~yo) = \\fj\\-\\xj-yo\\ (j = l,...,n).

Последнее равенство означает, что либо ||/j|| = 1, либо Xj = yo.

Также для точки Штейнера s тройки a i, аг, 0 € верна

Лемма Б [8]. Пусть a\,(i2 € q^q • Вслкии элемент s € st({ai, 0}, 1%) достигает нормы во всех координат,ах р, в которых достигает нормы хотя бы один из элементов a¿; г = 1,2, причем знаки sp и а? совпадают.

То есть для любого такого функционала / € I™, что /(ai) = ||/|| • ||ai||, верно /(s) = ||/|| • ||s||.

Нам понадобится пример кратчайшей сети для четырех точек в предуальном к L\ пространстве.

Лемма В. Пусть пространство X предуально к L\, М4 = {х\, х2, Хз, x¿\ С X, s € st(M4,X), min(M4) = \\x\ — x2\\ + ||жз — Ж4Ц. Дерево, состоящее из отрезков [х\, а], [х2, а], [а, Ъ], [Ь, жз], [b, Х4], где а € st({жi, Ж2, s}, А), b € э1;({жз, Ж4, s},X), есть элемент множества smt(M4, А).

Доказательство этой леммы можно извлечь из доказательства теоремы 2 работы [4]. Для полноты картины все же приведем его здесь.

Доказательство. Возьмем точку s € st(M4, А). По теореме В имеем Y^k=1 ll^fc-s|| = тах(М4). Рассмотрим какие-нибудь элементы а € st({xi,x2,s},X) и b € st({a?3, Ж4, s}, А). Тогда сеть, состоящая из отрезков [х\,а], [x2,а], [a, s], [s,b], [b, Ж3], [b, Ж4], соединяет М4 и имеет длину ^P(xi,x2,s) +

\P(X3,X4,S) = \ (j2k=i \\хк ~sll + \\xi ж2II + ||жз ж4= ^(max(M4) + min(M4)) = |mf|(M4) = |smt|(M4,X). В силу неравенства ||а — s|| + ||6 — s|| ^ ||а — 6|| дерево, состоящее из отрезков [х\, а], [х2,а], [a,b], [Ь,х3], [Ь,х4], также имеет длину |smt|(M4,X). Лемма доказана.

Теорема. Длина минимального заполнения Ъ-т,очечного метрического пространства М5 равна половине длины, минимального цикла, содержа,щего не менее трех ребер из графа Z.

Таким образом, указанный в теореме цикл и есть "экстремальный" (1-)обход множества М5 из формулы А. Ю. Еремина [3, теорема 4.4]. В доказательстве теоремы строится также "минимальное" дерево М, для которого этот обход максимален.

Доказательство. Напомним, что любое n-точечное метрическое пространство (Мп, р) можно изометрично вложить в пространство ограниченных функций В(Мп) = Г^ [9, теорема 1.2.10]. Поэтому считаем, что множество М5 = {xi,... , Ж5} содержится в пространстве IК тому же по теореме А имеем |smt|(Mra, = |mf|(Mra), по теореме Б имеем \st\(Mn, = \st\(Mn) для произвольного множества Мп С Без ограничения общности считаем 0 € st(М5,1^). Через &р обозначим стандартный базисный вектор с единицей на р-м месте и нулями на остальных местах, р = 1,2,... ,5. Далее полагаем st(М) := st(M, 1^).

Пусть Q — цикл наименьшей длины, который обходит М5 и содержит не менее трех ребер из графа Z. Без ограничения общности считаем, что Q последовательно проходит вершины х\, Х2, Ж3, ж4, Ж5. Также без ограничения общности считаем, что ребра [xi,x2¡, |жз,ж4], [ж4,жб] цикла П содержатся в графе Z. Действительно, если Q имеет три подряд ребра из Z, например [х\,х2], [ж2,жз], [жз, Ж4], то граф Z совпадает с Q и ребра [х\, Х2], [жз, ж4], [ж4, Ж5] цикла Q содержатся в графе Z. При этом из условия 0 € st^i,...,Ж5) и теоремы В следует, что \\х\ — Жг|| = ЦЖ1Ц + ||ж2||,||жз — Ж4Ц = ||ж3|| + ||ж4||, ||ж4 - ж5|| = ||ж4|| + ||ж5||.

Выразим длину Q следующей формулой:

|Q| = \\Х\ - Ж2|| + ||Ж2 — Жз || Ч- ||Жз - Ж4|| + ||Ж4 - Ж5|| + ||Ж5 - 1| =

= ||Ж1|| + ||Ж2|| + ||Ж2-ЖЗ|| + ||ЖЗ|| + ||Ж4|| + ||Ж4|| + ||Ж5|| + ||Ж1-Ж5|| = |St | (М5) +||ж4 || + ||Ж1-Ж5 || + ||ж2"Ж3 || • (1)

Построим дерево М длиной соединяющее М5. Для точек x\,x^,Q найдем их точку Штей-нера s.

Лемма. Если 0 € st^i, Х2, Ж3, ж4, Ж5), s € st^i, Ж5,0) и ребра [х\, Ж2], |ж4, Ж5] и л,ибо [х\, Жз], л,ибо [ж3,ж5] содержатся, в графе Z, то \\х¿ — s|| = Цж^Ц + ||s||, г = 2,3,4.

Действительно, из условия 0 € т[ж1,ж2] следует, что есть координата р, для которой \х\\ = llalli) 1ж21 = ||ж21| и знаки у х\ шхр2 разные. По лемме Б модуль р-й координаты элемента s равен ||s|| и ее знак совпадает со знаком х\. При этом ЦжгЦ + ||s|| = |жз| + |sp| = \хр2 — sp|, что равно ||жг — s||. Аналогично доказывается, что ||жз — s|| = ||жз|| + ||s|| и ||ж4 — s|| = ||ж4|| + ||s||: следует рассмотреть ребро [жз,жб] или [ж1,жз] вместо [Ж1,Ж2] для доказательства первого равенства и ребро [ж4,жб] для доказательства второго.

Заметим, что условие ||а — Ь\\ = ||а|| + ||Ь|| означает, что существует координата р € {1,...,5}, для которой |ар — bp\ = \ар\ + l^l, а функционал g = ер ■ \ар\/ар € 1\ удовлетворяет условиям д(а) = \\ah~9(b) = ||6||. Поэтому в силу равенств ||жг — s|| = ЦжгЦ + ||s||, ||жз — ж4|| = ||жз|| + ||ж4|| найдутся такие функционалы /2 = — /ь/з = —/4 единичной нормы, что fi(s) = ||s||,/¿^¿) = Цж^Ц, г = 2,3,4. Следовательно, /25 /з5 /45 /1 удовлетворяют условиям леммы А для точек ж2,жз,ж4,з при уо = 0. При этом |st|(Ж2,Жз,ж4, s) = ||ж2|| + ||ж3|| + ||ж4|| + ||s|| = ||ж2 - s|| + 11Ж3 - ж41| = тах({ж2,ж3,ж4,8}). Заметим, что тт({ж2,жз,ж4,s}) равен либо ||жг — жз|| + ||ж4 — s|| = ||жг — жз|| + ||ж4|| + ||s||, либо ||Ж2 - Ж4|| + ||ж3 - s|| = ||ж2 - ж4|| + ||жз|| + ||s||.

Из минимальности цикла Q следует, что

|Q| ^ ||ж1 - ж2|| + ||ж2 - ж4|| + ||ж4 — жз|| Ч- ||ж3 - ж5|| + ||ж1 - ж5|| ^

< ||Ж1|| + ||Ж2|| + ||Ж2-Ж4|| + ||Ж4|| + ||ЖЗ|| + ||ЖЗ|| + ||Ж5|| + ||Ж1-Ж5|| = | St | (М5) + ||ж3 || + ||Ж1 - Ж51| + ||ж2 - Ж4 ||.

То есть Цжг — Жз11 + ||ж4|| ^ ||жг — ж4|| + ||жз|| в силу равенства (1). Поэтому |т1|(ж2, Жз, ж4, s) = |(||ж2 — s|| + ||жз— ж4|| +1|ж2—Жз11 + ||ж4—s||). По лемме В кратчайшая сеть для множества {жг, Жз, ж4, s} состоит из ребер [жг, а], [жз, a], [a, b], [Ь, ж4], [b, s], где а € в1;(ж2,жз,0), b € st(ж4,s,0). Дерево М, состоящее из ребер [жг, а], [жз, a], [a, b], [b, ж4], [b, s], [s, Xi], [s, Ж5], имеет длину

|т!|(ж2,жз,ж4,s) + ||ж! -s|| + ||ж5 -s|| = ^(||ж2 -s|| + ||ж3 -ж4|| + ||ж2 -ж3|| + ||ж4 -s||) + ||ж! -ж5|| =

= (||®2 II + |И| + ||ж3|| + ||ж4|| + ||ж2 - ж3|| + ||ж4|| + |И| + ||Ж1 - ж5|| + ||Ж1 - «II + ||ж5 - «II) =

= \{\Ы\ + ||жз|| + N11 + 11^2 -ж3|| + ||ж4|| + ||Ж1 -ж5|| + 1Ы1 + ||ж5||) =

Здесь последнее равенство повторяет (1), а предпоследнее равенство верно в силу свойств точки Штейнера 8 € 81](Ж1,Ж5,0).

Из доказанного следует, что |т1|(М5) ^ Докажем обратное неравенство. Рассмотрим сеть-дерево Г, соединяющее М5 в и имеющее длину |Г| = |т1|(М5). В силу теоремы 2.1 работы [2] считаем Г бинарным деревом (деревом с вершинами степени 1 или 3), возможно, с ребрами нулевой длины. Количество дополнительных вершин в Г не больше 3. Поэтому на Г существует такая точка уо, что она разбивает Г на два поддерева Г1 и Г2 и ребро (без ограничения общности считаем, что это ребро [хк,Уо]), причем Г1 П Г2 = {уо} и Гд содержит ровно две точки из \ {жк}, <7 = 1,2. Пусть, скажем, Г1 содержит XI и жj, а Г2 содержит Х[ и хт. Тогда

К|(М5) = |Г| = |Г1| +||2/о+

^ \8%\(Хг,Ху,у0) + || 2/0 "Ж к\\ + Щ{Х1,Хт,Уо) = ^-Р(Хг,Ху,у0) + \\уо ~ Хк\\ + \р{Х1,Хт,у0) =

2

^ ~ + + ~XmW + IIУ° ~ хь\\ ) =: ^о-

,9=1

Докажем, что Ао ^

1) Пусть ребра [ж^, ж^], [х[, хт] содержатся в графе 2,. Так как в 2, есть ребро с вершиной в то без ограничения общности это ребро [ж&,жг]. Тогда цикл XkXíXjXlXm содержит не менее трех ребер из 2. и

= -^(\\хк-уо\\ + \\xi-yo\\ + \\xi-Xj\\ + 11 Xj у о 11 + \\xi-yo\\ + \\xi-xm\\ + \\хт-у0\\ + \\хк~Уо\\) >

> l(\\xk - Zill + N - Ж,II + ||ж, - жг|| + II®, - хт\\ + \\хт-хк\\)> ±|ii|. (2)

2) Пусть ребро [xi,xj] содержится в 2, а ребро [жг,жт] не содержится в 2. Тогда либо цикл XkXiXjXlXm, либо ЦИКЛ XkXiXjXmXl В Случае СВЯЗНОГО 2 И либо ЦИКЛ XiXjXkXlXm, либо ЦИКЛ XkXiXjXlXm в случае несвязного 2 содержит не менее трех ребер из 2. К такому циклу (содержащему ребра [xi, Xj], [жг, жт]) применима оценка, аналогичная (2).

3) Пусть ребра [ж^ж^-], [жг,жт] не содержатся в 2. Тогда нетрудно проверить, что вершина жk в графе 2 степени 2 и соединена и с вершиной из Г1, и с вершиной из Г2 (без ограничения общности считаем, что это вершины жi и хт соответственно). Ясно также, что тогда ребро [xj,xi] принадлежит 2 и цикл XkXiXjXlXm содержит не менее трех ребер из 2. Поэтому применима оценка (2).

Теорема доказана.

Непосредственно из построения дерева М получается

Следствие. Для произвольного метрического пространства р) существуют тлкие сеть Г € smt(M5,/^0) С mf(M5) и точка Штейнера s € st(M5,^); что s принадлежит одном,у из ребер графа Г.

Замечание. Из построения дерева М следует, что ребро цикла Q, обе вершины которого соединены с одной дополнительной вершиной М, могут как принадлежать графу 2, так и не принадлежать. Ребро цикла Q, не удовлетворяющее этому условию, обязательно принадлежит графу 2.

Автор приносит благодарность А. О. Иванову за консультации и интерес к работе, рецензенту — за важные замечания.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект №15Ч)Ю8335).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Иванов А.О., Тужилин A.A. Теория экстремальных сетей. Современная математика, М.; Ижевск: 11К11. 2003.

2. Иванов А.О., Тужилин A.A. Одномерная проблема Громова о минимальном заполнении // Матем. сб. 2012. 203, № 5. 65-118.

3. Еремин А.Ю. Формула веса минимального заполнения конечного метрического пространства // Матем. сб. 2013. 204, № 9. 51-72.

4. Бедное Б.Б., Бородин П.А. Банаховы пространства, реализующие минимальные заполнения // Матем. сб. 2014. 205, № 4. 3-19.

5. Бедное Б.Б., Стрелкова Н.П. О существовании кратчайших сетей в банаховых пространствах // Матем. заметки. 2013. 94, № 1. 46-54.

6. Бедное Б.Б. Длина минимального заполнения типа звезды // Матем. сб. 2016. 207, № 8. 31-46.

7. Рубинштейн Г.Ш. Об одной экстремальной задаче в линейном нормированном пространстве // Сиб. матем. жури. 1965. VI, № 3. 711-714.

8. Бедное Б.Б. О точках Штейнера в пространстве непрерывных функций // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2011. № 6. 26-31.

9. Богачее В.И., Смоляное О.Г. Действительный и функциональный анализ: университетский курс. М.; Ижевск: НИЦ РХД, 2009.

Поступила в редакцию 14.12.2016

УДК 517.926.4

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОДНОВРЕМЕННОЙ УСЛОВНОЙ СТАБИЛИЗИРУЕМОСТИ И ДЕСТАБИЛИЗИРУЕМОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ

Т. В. Салова1

Доказано, что любая линейная гамильтонова система одновременно условно (относительно подпространства половинной размерности) стабилизируема и дестабилизируема бесконечно малыми гамильтоновыми возмущениями.

Ключевые слова: линейные системы, гамильтоновы системы, стабилизируемость, де-стабилизируемость.

It is proved that each linear Hamiltonian system is simultaneously conditionally (with respect to a subspace of half dimension) stabilizable and destabilizable by infinitesimal Hamiltonian perturbation.

Key words: linear systems, Hamiltonian systems, stabilizability, destabilizability.

Пусть для заданного n € N в евклидовом пространстве R2ra фиксирована симплектическая структура [1, §37], задаваемая ортогональным кососимметрическим оператором J € EndR2"- (J-1 = J* = — J). Обозначим через %2n пространство линейных гамильтоновых систем вида

ж = A(t)x, X € R2r\ t € R+ = [0, оо),

с ограниченными кусочно-непрерывными оператор-функциями А : R+ —>■ EndR2"- (отождествляемыми с самими системами), у которых по определению при каждом t € R+ оператор JA(t) симметричен. Линейное пространство %2а наделим равномерной на полуоси t € R+ нормой ал = ||-А|| = sup |A(t)| < оо, |A(t)| = sup \A(t)x\. Для системы А € Tí2n обозначим через Tío(A) множество всех

í€R+ \х\ = 1

систем В € Ti2"1, удовлетворяющих условию lim |B(t) — A(t)| = 0, а через Xa(í, т) (í,r € R+) ее

t—>оо

оператор Коши.

Определение [2]. Система А € И2п при некотором k G N называется:

1) к-мерно устойчивой, если существует такое fc-мерное подпространство S решений системы А, что для любого е > 0 найдется такое число ö > 0, при котором любое решение х G S, удовлетворяющее неравенству |ж(0)| <5, удовлетворяет и неравенству \x(t)\ < е при всех t € R+;

1 Салова Татьяна Валентиновна — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. математического анализа мех.-мат. ф-та

МГУ, e-mail: m-message®mail.ru.