CC BY
8Если ß > а, то для функции f(x) = sin ж правые и левые части этого неравенства имеют одинаковые порядки как функции S, а при ß ^ а мы имеем строгое неравенство, так как у правых и левых частей разные порядки. Поэтому обычно это неравенство рассматривается для 1^р<оои/5>а:>0.
2. Отметим, что для функции f(x) = sin ж правые части неравенств пп. 1 и 2 теоремы Д, как и правые части неравенств п. 4 теоремы Д и неравенства (2) теоремы 1, имеют разные порядки как функции 5.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 13-014)043) и программы "Ведущие научные школы РФ" (грант НШ+3682.2014.1).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. М.: Мир, 1965. Т. 1, 2.
2. Конюшков A.A. Наилучшее приближение тригонометрическими полиномами и коэффициенты Фурье // Матем. сб. 1958. 44(86). 53-86.
3. Ульянов П.Л. Вложение некоторых классов функций H// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1968. 32, № 3. 649-686.
4. Ульянов П. Л. Теоремы вложения и соотношения между наилучшими приближениями (модулями непрерывности) в разных метриках // Матем. сб. 1970. 81(123), № 1. 104-131.
5. Коляда В.И. О соотношениях между модулями непрерывности в разных метриках // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1988. 181. 117-136.
6. Потапов М.К., Симонов Б.В., Тихонов С.Ю. О соотношениях между модулями гладкости в разных метриках // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2009. № 3. 17-25.
7. Trebels W. Inequalities for moduli of smoothness versus embeddings of function spaces // Arch. Math. 2010. 94. 155-164.
8. Tikhonov S., Trebels W. UPyanov inequalities and generalized Liouville derivatives // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. Sect. A. 2011. 141, N 1. 205-224.
9. Tikhonov S. Weak type inequalities for moduli of smoothness: the case of limit value parameters //J. Fourier Anal. Appl. 2010. 16, N 4. 590-608.
10. Simonov В., Tikhonov S. Sharp UPyanov-type inequalities using fractional smoothness //J. Approx. Theory. 2010. 162. 1654-1684.
11. Потапов M.К., Симонов Б.В., Тихонов С.Ю. Модули гладкости положительных порядков функций из пространств Lp, l^p^oo// Современные проблемы математики и механики. T. VII. Математика. Механика. Вып. 1. (К 190-летию П.Л. Чебышёва). М.: Изд-во МГУ, 2011. 100-109.
12. Симонов Б.В. Некоторые вопросы теории приближений и теоремы вложения: Канд. дис. М., 1985.
13. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: Физ.-мат. лит., 1961.
14. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977.
15. Taberski R. Differences, moduli and derivatives of fractional orders // Comment. Math. Prace Mat. 1976/77. 19, N 2. 389-400.
16. Харди Г.Г., Литлвуд Д.Е., Полиа Г. Неравенства. M.: ИЛ, 1948.
Поступила в редакцию 04.02.2013
УДК 514.77+519.176+515.165.7
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ПО НАПРАВЛЕНИЯМ ВЕСА МИНИМАЛЬНОГО ЗАПОЛНЕНИЯ НА РИМАНОВОМ МНОГООБРАЗИИ
Е. И. Степанова1
В работе показано, что вес минимального заполнения, а также отношение Штейнера-Громова и суботношение Штейнера, рассматриваемые как функции конечных подмножеств связного полного риманова многообразия, дифференцируемы по направлениям.
Ключевые слова: риманово многообразие, минимальное заполнение.
It is proved that the weight of the minimal filling, the Steiner-Gromov ratio, and the
1 Степанова Екатерина Ивановна, — асп. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: ekfilaCigmail .com.
Steiner subratio regarded as functions of finite subsets of a complete connected Riemannian manifold have directional derivatives in all directions.
Key words: Riemannian manifold, minimal filling.
1. Введение. Задача о минимальном заполнении конечного метрического пространства впервые была поставлена А. О. Ивановым и A.A. Тужилиным в [1]. Она возникла на стыке двух известных проблем — проблемы Штейнера о кратчайшей сети, соединяющей конечное число точек, и проблемы Громова о минимальном заполнении гладкого многообразия. Задача состоит в поиске связного взвешенного графа наименьшего веса, затягивающего данное конечное метрическое пространство так, что для любых двух точек этого метрического пространства вес любого пути, соединяющего их в графе, не меньше расстояния между ними в метрическом пространстве.
Опишем более подробно проблему Штейнера: для данного множества точек в метрическом пространстве требуется построить кратчайший связный граф, соединяющий все эти точки, при этом длина ребра в графе равна расстоянию между вершинами, являющимися концами этого ребра. Решение этой задачи есть граф-дерево, множество вершин которого состоит из данного множества точек и, возможно, других точек метрического пространства. Это дерево называется минимальным деревом, Штейнера. Нахождение минимального дерева Штейнера имеет большое практическое применение, например, его можно использовать для построения кратчайшей дорожной сети или поиска родственных связей в генетике.
Однако проблема Штейнера NP-трудна, т.е., вероятно, не существует полиномиального алгоритма для ее решения [2]. Поэтому изучаются различные смежные вопросы, которые, кроме того, представляют самостоятельный интерес: строятся приближенные решения, рассматриваются свойства сетей и решения поставленных задач в частных случаях.
В качестве одного из приближенных решений естественно взять кратчайшую сеть без добавления новых точек (минимальное остовное дерево). Эффективные алгоритмы построения минимальных остовных деревьев хорошо известны (см., например, [3]). Минимальные заполнения можно также рассматривать как приближенные решения, оценивающие длину кратчайшего дерева снизу, в отличие от минимальных остовных деревьев, которые оценивают длину сверху. Естественно, при построении подобных приближений необходимо учитывать возможную погрешность.
В случае, когда в качестве приближения выбирается минимальное остовное дерево, за меру погрешности принято брать отношение длин минимального дерева Штейнера и минимального остовного дерева, которое называется отношением, Штейнера, соответствующего граничного множества. Наибольшая возможная погрешность, т.е. инфимум отношений Штейнера по всем конечным подмножествам объемлющего пространства, называется отношением Штейнера этого пространства.
В случае минимального заполнения рассматривается отношение веса минимального заполнения и длины минимального дерева Штейнера. Оно называется суботношением, Штейнера, для данного множества. Инфимум суботношений Штейнера по всем конечным подмножествам объемлющего пространства называется суботношением, Штейнера, этого пространства. Инфимум суботношения по всем п-точечным множествам называется суботношением Штейнера степени п объемлющего пространства.
В работах [4-9] используется вариационный подход к проблеме Штейнера в евклидовой плоскости, т.е. рассматриваются производные длины минимального дерева Штейнера по направлениям. С помощью дифференциальных свойств минимальных деревьев Штейнера и отношения Штейнера там описаны минимальные деревья Штейнера в евклидовой плоскости и их свойства для широкого класса граничных множеств.
А. О. Иванов и А. А. Тужилин в [10] доказали дифференцируемость по направлениям длин минимальных остовных деревьев и минимальных деревьев Штейнера в связных полных римановых многообразиях; это позволило им наложить существенные ограничения на геометрию множеств, для которых отношение Штейнера равно отношению Штейнера объемлющего пространства.
В данной работе доказана дифференцируемость веса минимального заполнения для конечного числа точек на связном полном римановом многообразии. Этот результат предполагается использовать для вычисления суботношения Штейнера евклидовой плоскости (и других связных полных римановых многообразий), а также для описания множеств, на которых оно достигается.
2. Минимальные заполнения. Пусть Л4 = (М, р) — конечное метрическое пространство; G = (V., Е) — связный граф, соединяющий М (т.е. МсУ);ш:ё-> К+ — весовая функция на ребрах графа, определяющая взвешенный граф Q = (G,w). Сумму будем называть весом графа и обозначать через üj(Q).
Заполнением конечного метрического пространства A4 назовем соединяющий М взвешенный граф Я = (G,u)), такой, что для любого пути 7, соединяющего вершины графа, лежащие в М, вес этого пути не меньше расстояния между соответствующими точками М. Тогда граф G назовем типом, этого запол,-
нения. Число mf(.M) = \niu)(Q) по всем заполнениям Q пространства A4 назовем весом минимального заполнения, а любое заполнение Q, для которого U)(Q) = mi(M), — минимальным заполнением пространства Л4.
Если же фиксировать некоторый граф G, соединяющий М, то inf U)(G) по всем заполнениям пространства A4, имеющим тип G, называется весом минимального параметрического заполнения, и обозначается mpf(M., G), а любое заполнение Q типа G, для которого w(Ç) = mpf(A4, G), — минимальным параметрическим заполнением, типа, G. Очевидно, что mf(.M) = inf mpf(.M, G), где инфимум берется по всем возможным графам, соединяющим M.
В [1] доказано, что минимальное заполнение и минимальное параметрическое заполнение существуют для любого конечного метрического пространства и любого типа заполнений.
Тип заполнения определен неоднозначно: мы всегда можем добавить и исключить ребра нулевого веса. Как показано в [1], каждое заполнение можно считать бинарным, деревом,, т.е. деревом, в котором все вершины имеют степень 1 или 3, причем множество вершин степени 1 совпадает с M и называется границей дерева,. Далее всегда будем считать заполнения бинарными деревьями. В этом случае, так как бинарных деревьев с границей M конечное число, вес минимального заполнения пространства Л4 задается следующей формулой:
mf (M) = min mpf (M,G),
GeTr(M)
где Tr(M) — множество всех возможных бинарных деревьев, соединяющих М.
3. Мультиобходы. Пусть S — конечное множество мощности п. Назовем мультициклическим порядком, кратности к на множестве S отображение 7г : ^nk —^ такое, что
1) для любого j € выполняется ir(j) ф ir(j + 1);
2) для любого элемента s € S его прообраз при отображении тт состоит ровно из к элементов.
Пусть G = (V., Е) — бинарное дерево с границей М, состоящей из п вершин. Пусть е € Е — любое
ребро дерева G. После его удаления дерево G распадется на две связные компоненты, обозначим их G\ и G2- Положим Mi = M П Gi. Обозначим через Vc{e) = {М\, М2} полученное разбиение M.
Мультициклический порядок на M назовем мультиобходом G, если существует такое число I, что для каждого е € Е и Mi € Vg(&) существует ровно I элементов р € ^„д., для которых тт(р) € Mi, но ж('р + 1) Mi. Такое число I назовем кратностью мультиобхода, мультиобходы кратности I также будем называть I-обходами. Множество всех мультиобходов G обозначим T{G).
В статье [11] доказано, что если мультициклический порядок является мультиобходом, то его кратность как мультиобхода равна его кратности как мультициклического порядка (в сделанных выше обозначениях k = I).
Если M = (M, р) — метрическое пространство, тт — произвольный мультициклический порядок кратности к на нем, то мультипериметром пространства A4 по отношению к порядку тт называется величина
^ nk— 1
р(М, тг) = P^tj)'*и + !))•
3=0
Чтобы ввести понятие неприводимого мультиобхода, будем рассматривать векторное пространство U =
= I aij G c базисом Uij (здесь и далее двойной индекс ij имеет значение {i,j}, т.е.
Uij = иji и суммирование ведется по всем двухэлементным подмножествам множества М).
Для любого мультициклического порядка тт кратности к на множестве M определим тт' € U:
nk— 1
к' = «7г(г)тг(г+1)-1=0
Два мультициклических порядка тт и а назовем эквивалентным,и, (тт ~ а), если тт' = а'.
Суммой мультициклических порядков тт\ и 7Г2 кратности к и I соответственно называется любой мультициклический порядок тт, такой, что тт' = т\\ +тт'2■ Сумма мультициклических порядков существует и единственна с точностью до эквивалентности [11].
Произведением, мультициклического порядка на натуральное число m называется любой мультициклический порядок а, такой, что а ~ тт + ... + тт (в сумме m слагаемых). Аналогично сумме произведение существует и единственно с точностью до эквивалентности.
Назовем мультиобход тт бинарного дерева G неприводимым, если ни при каком натуральном m мультиобход тптт не раскладывается в сумму мультиобходов дерева G нетривиальным образом, т.е. из
mir ~ 7Ti + 7Г2 следует 7Ti ~ ктт, 7Г2 ~ (т — к)тт для некоторого натурального к ^ т. Множество всех неприводимых мультиобходов дерева G обозначим T'(G).
В статье [11] показано, что у фиксированного бинарного дерева с п граничными вершинами есть не более С?,™-3 неприводимых мультиобходов.
4. Минимальные деревья в метрическом пространстве. С минимальными заполнениями тесно связаны две конструкции — минимальные деревья Штейнера и минимальные остовные деревья.
Пусть X — произвольное множество и i — дерево, у которого все вершины лежат в X, тогда будем говорить, что t — дерево во множестве X.
Если (Х,р) — метрическое пространство, то для каждого дерева t в X определена его длина p(t), равная сумме длин всех его ребер (при этом длина каждого ребра равна расстоянию между инцидентными ему вершинами).
Пусть (X, р) — произвольное метрическое пространство, М — его конечное подмножество. Рассмотрим множество Т(М) всех деревьев t(M) в X, соединяющих М, т.е. все точки из М являются вершинами деревьев t(M). Число smt(M) = inf¿(м)ет(м) p(t(M)) назовем наименьшей длиной дерева в X, соединяющего М, а каждое дерево, для которого p(t(M)) = smt(M), — минимальным деревом, Штейнера для М. Множество вершин минимального дерева Штейнера может содержать точки из X, не принадлежащие М. Такие точки называются точкам,и, Штейнера,.
Теперь рассмотрим множество S(M) всех деревьев в X, которые соединяют Мшу которых множество вершин совпадает с М. Такие деревья называются ост овны м и деревьям,и, для, М. Число mst(M) = inft(jvi)e5(jvi) p(t(M)) называется длиной минимального остовного дерева в X, соединяющего М, а каждое дерево, для которого p(t(M)) = mst(M), — минимальным ост овны м деревом, для, М.
Заметим, что конечное подмножество М в X можно рассматривать как конечное метрическое пространство, если взять ограничение метрики р на множество М (ограничение метрики также будем обозначать через р). Тогда для метрического пространства (М,р) можно рассмотреть минимальное заполнение. В этом случае будем говорить, что имеется минимальное заполнение для множества М. Оно уже не будет являться деревом в X, так как ни одна вершина, отличная от элемента М, не принадлежит X. Вес минимального заполнения множества М будем обозначать через mf (М).
Если множество М в X содержит не менее двух точек, то все три числа mst(M), smt(M) и mf(М) положительны, так что определены отношения sr(М) = smt(M)/mst(M), ssr(M) = mf(M)/smt(M) и sgr(M) = mf(M)/mst(M). Число sr(M) называется отношением Штейнера для, множества М, ssr(M) — суботношением Штейнера для М, a sgr(M) — отношением Штейнера-Громова для М. Таким образом, введенные отношения характеризуют связь между минимальными деревьями Штейнера, минимальными остовными деревьями и минимальными заполнениями.
5. Дифференцируемость по направлениям веса минимального заполнения на римановом многообразии. Пусть W — связное полное риманово многообразие, М = {х\,... ,хп} С W и Mt = {x\(t),..., xn(t)} С W, t € [0,1],Жг(0) = Xi, — некоторая гладкая деформация множества М, т.е. набор гладких кривых Xi(t).
Введем на множестве Mt метрику, индуцированную римановой метрикой на W. Получим конечное метрическое пространство A4t = (Mt,pt).
Сформулируем основной результат данной работы.
Утверждение. Функция mf(Mt) дифференцируема по t при t = 0+.
При доказательстве этого утверждения воспользуемся полученной А.Ю. Ереминым в статье [11] формулой веса минимального заполнения конечного метрического пространства:
т{(ЛЛ) = min max р(Л4, п).
GeTr(M) 7геГ'(с)
Подставляя сюда выражение для мультипериметра, находим
^ nk— 1
mi(M) = min max р(Л4,тт) = min max — > p(ir(i), ir(i +1)). v 7 G€Tr(m) TreT'(G) 7 GeTr(M) 7reT'(G) 2k u' v "
Далее нам понадобится следующая лемма, доказанная в [10].
Лемма 1. Пусть 71 и 72 — две гладкие кривые на W, определенные на, отрезке [0,1]. Тогда, функция f(t) = p(7i(t), 72 (i)) дифференцируема при t = 0+.
Но в формуле, выражающей вес минимального заполнения через мультипериметр, как раз стоит сумма расстояний между кривыми при t = 0. Так как композиция дифференцируемых функций дифференцируема, то для доказательства исходного утверждения достаточно применить следующую лемму.
Лемма 2. Пусть {fi(t)},t € [0,1], — конечный набор функций, дифференцируемых при t = 0+ и т,аких, что значения /¿(0) одинаковы, при всех г. Тогда, функции f(t) = min, /¿(t) и F(t) = max, /¿(t) также дифференцируемы при t = 0+. При этом /'(0) = min, f[(0) и F'(0) = max, f[(0). TT т r min, m - /(0)
Доказательство. Допустим, что iim^.o+-не существует или если существует, то он
не равен пищ/ДО). Это означает, что существует такое число е > 0, что для любого 5 > 0 существует to € (0,5), такое, что
min^(i0)-/(0)_min/Ko)
^ е.
to
Раскрывая модуль, получаем совокупность неравенств
-min,/,(to)-/(0)^miDt/K0)+g; to
minj fi(t0) - /(0) . ,, .
-^-— ^ miiij /ДО) - e.
to
Теперь избавимся от минимумов в левых частях неравенств:
Ш-Но)
^ min, /г'(0) + е при всех j,
to
-^ min, /¿(0) — e при некотором k = k(to).
to
Но так как функции /¿(t) при всех г дифференцируемы в нуле справа, то для таких j, что /j(0) = min, /¿(0), выполнено следующее: для любого е' > 0 существует число 5' > 0, такое, что при всех t из интервала (0, 5')
верно неравенство ^^ ^ ^ < min, /¿(0) + е'. Значит, если взять е' = е и 5 = 5', то при t = to должно
быть выполнено ^ -< min, /г'(0) + е, что противоречит первому неравенству из совокупности.
to
Также из дифференцируемости функций /¿(t) следует, что для каждого г и любого е' > 0 существует 6' > 0, такое, что для любого t € (0,5') выполнено неравенство ^ ^ ^ ^ > /¿(0) — е'. Возьмем е' = е,
5 = 5' и t = to- Тогда при любом г верно неравенство Ai^L1—1Ю. > /г'(0) — е ^ тт^Д(0) — е, что
to
противоречит второму утверждению из совокупности.
Значит, Ип1£_1.о+ — % ^%^-1Ю. существует и равен пищ/ДО), т.е. функция f(t) дифференцируема
справа в нуле и /'(0) = min, f[(0).
Утверждения, касающиеся функции F(t), доказываются аналогично.
В статье [10] доказано, что функции длин минимального дерева Штейнера и минимального остов-ного дерева также дифференцируемы по направлениям на римановом многообразии (из чего следует и дифференцируемость отношения Штейнера для двух и более точек). Учитывая это, получаем
Следствие. Пусть множество Mt содержит не менее двух точек. Тогда, функции ssr(Mt) и sgr(Mt) дифференцируемы при t = 0+ и
dssr(Mt)
dt
dsgr(Mt)
dt
i=0+ smt(M) 1
1 (mf'(Mo) - ssr(M) smt'(Mo)) ,
i=0+ mst(M)
(mf'(Mo) - sgr(M) mst'(Mo)) .
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 13-01-00664а) и программы "Ведущие научные школы РФ" (грант НШ-81.2014.1).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Иванов А.О., Тужилин A.A. Одномерная проблема Громова о минимальном заполнении // Матем. сб. 2012. 203, № 5. 65-118.
2. Garey M.R., Graham R.L., Johnson D.S. Some NP-complete geometric problems // Proc. 8th Ann. ACM Symp. on the Theory of Computing. N.Y., 1976. 10-22.
3. Емеличев В.А., Мельников О.И, Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. Лекции по теории графов. М.: Наука, 1990.
4. Rubinstein J.H., Thomas D. A variational approach to the Steiner network problem // Ann. Oper. Res. 1991. 33. 481-499.
5. Rubinstein J.H., Thomas D. The Steiner ratio conjecture for six points //J. Combin. Theory. Ser. A. 1991. 58. 54-77.
6. Rubinstein J.H., Thomas D. The Steiner ratio conjecture for cocircular points // Discrete and Comput. Geom. 1992. 7. 77-86.
7. Rubinstein J.H., Thomas D., Weng J. F. Degree-five Steiner points cannot reduce costs for planar sets // Networks. 1992. 22. 531-537.
8. Rubinstein J.H., Thomas D. Graham's problem on shortest networks for points on a circle // Algorithmica. 1992. 7. 193-218.
9. Rubinstein J.H., Thomas D, Wormald N. Steiner trees for terminals constrained to curves // SIAM J. Discrete Math. 1997. 10. 1-17.
10. Иванов А. О., Тужилин А. О. Дифференциальное исчисление на пространстве минимальных деревьев Штейнера в римановых многообразиях // Матем. сб. 2001. 192, № 6. 31-50.
11. Еремин А.Ю. Формула веса минимального заполнения конечного метрического пространства // Матем. сб. 2013. 204, № 9. 51-72.
Поступила в редакцию 11.02.2013
УДК 517.521.7
ЛАКУНАРНЫЕ ТАУБЕРОВЫ УСЛОВИЯ ДЛЯ НЕКОТОРОГО КЛАССА МЕТОДОВ ВОРОНОГО
И. В. Горохова1
В статье рассматриваются методы суммирования Вороного-Нёрлунда, изучаются вопросы включения методов, доказывается лакунарная тауберова теорема.
Ключевые слова: методы Вороного-Нёрлунда, тауберовы теоремы, лакунарные условия.
The Voronoi-Nörlund summability methods and some Tauberian conditions for these methods are considered in the paper. The Tauberian gap theorem is proved.
Key words: Voronoi-Nörlund summability methods, Tauberian conditions, gap theorem.
1. Введение. Основные определения. В работе рассматриваются некоторые широко распространенные методы суммирования числовых рядов, изучаются тауберовы условия для этих методов.
Везде в дальнейшем, если не оговорено противное, — последовательность действительных
чисел, ^ ап — соответствующий ей ряд (когда пределы суммирования не указаны, считаем, что оно производится от 0 до +оо), п — неотрицательное целое число, а — неотрицательное действительное число.
Пусть Q — некоторый метод суммирования числовых рядов. Запись ^ ап = S(Q) будет означать, что ряд ^ ап суммируем методом Q к числу S (в частности, ^ ап = S(C, 0) означает, что ряд сходится к числу S). Говорят, что метод Qi включается методом 0.2 (запись Qi С О2), если из того, что ^ап = S'(Qi), следует, что ^ап = S{0,2). Говорят, что метод Q регулярный, если (С, 0) С П.
Условие R на последовательность называется тауберовым для метода Q, если для любого
ряда, такого, что = S(Q) и {ап} удовлетворяет условию R, выполнено = S(C, 0).
Пусть {Рп}п=о— неубывающая последовательность положительных чисел. Ряд называется суммируемым методом Вороного (W, Рп) (за рубежом более известен как метод Нёрлунда) к числу S, если
lim Wn = S, где Wn = t/=0pn~t' — среднее Вороного. Для регулярности метода (W, Рп) необходимым
ГИ-+00 п
Рп
и достаточным является условие lim —- = 1 (см. [1, с. 89]).
ГИ-+00 Рп—\
Функцию, вообще говоря, комплексного переменного P(z) = ^ Pnzn называют производящей функцией метода (W, Рп). Везде в дальнейшем, если не оговорено противное, z — комплексное число, \z\ < 1; х — действительное число, \х\ < 1. При этом будем писать Р(х) = ^ Рпхп лишь в том случае, когда нас будет интересовать поведение функции Р на действительной оси.
1 Горохова Ирина Владимировна — ассист. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: gorvvinQbk.ru.
