CC BY
11Далее, при ц € Р\ в силу леммы 5 и инвариантности топологической энтропии относительно топологического сопряжения [1, с. 121, следствие 3.1.4] выполнено неравенство
а при /л € Ро в силу леммы 6 — равенство
•)) = ¥>(•)))) =
Следовательно, любая точка пространства является точкой разрыва, а поэтому функция /х |—> /^0р(5'(/х)')) не принадлежит первому классу Бэра на В. Теорема доказана.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Каток А.Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. М.: Факториал, 1999.
2. Бэр Р. Теория разрывных функций. М.: ГТТИ, 1932.
3. Ветохин А.Н. О некоторых свойствах топологической энтропии динамических систем // Матем. заметки. 2013. 93, вып. 3. 347-356.
Поступила в редакцию 20.05.2015
УДК 514.77+519.176+515.165.7
БИФУРКАЦИИ МИНИМАЛЬНЫХ ДЕРЕВЬЕВ ШТЕЙНЕРА И МИНИМАЛЬНЫХ ЗАПОЛНЕНИЙ
ДЛЯ НЕВЫПУКЛЫХ ЧЕТЫРЕХТОЧЕЧНЫХ ГРАНИЦ И СУБОТНОШЕНИЕ ШТЕЙНЕРА ЕВКЛИДОВОЙ ПЛОСКОСТИ
Е. И. Степанова1
В работе строятся бифуркационные диаграммы топологий минимальных деревьев Штейнера и минимальных заполнений невыпуклых четырехточечных границ на евклидовой плоскости. На основе этого результата получено значение четырехточечного суботношения Штейнера плоскости. Найдены все конфигурации, на которых оно достигается.
Ключевые слова: минимальное дерево Штейнера, минимальное заполнение, суботношение Штейнера.
Bifurcation diagrams for topologies of Steiner minimal trees and minimal fillings for nonconvex four-pointed boundaries are constructed. Using this issue, the four-pointed Steiner subratio of the Euclidean plane is recieved. All configurations for which it is obtained are found.
Key words: Steiner minimal tree, minimal filling, Steiner subratio.
1. Введение. Проблема Штейнера отсылает нас к работам XVII в. П. Ферма, Э. Торричелли, Б. Кавальери, В. Вивиани занимались поиском точки на плоскости, сумма расстояний от которой до трех других минимальна. Первое чисто геометрическое решение задачи о трех точках получено скорее всего Я. Штейнером в XIX в.
В настоящее время проблема Штейнера многогранно изучается (см., например, [1-4]), так как представляет интерес не только с чисто математической точки зрения, но и с практической: умение быстро строить и описывать кратчайшие и близкие к ним сети имеет большое значение, например, при проектировке транспортных линий, микросхем, при моделировании эволюционных процессов.
Одно из обобщений задачи Штейнера — задача о минимальном заполнении метрического пространства, возникшая совсем недавно в работе А. О. Иванова и А. А. Тужилина [5]. Она исходит из идей М. Громова о минимальном заполнении риманова многообразия. Требуется найти взвешенный
1 Степанова Екатерина Ивановна — асп. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: ekfilaQgmail.com.
граф наименьшего веса, соединяющий конечное метрическое пространство, с учетом определенных естественных условий на веса ребер.
Для конечного подмножества плоскости мы можем построить как минимальное дерево Штей-нера, так и минимальное заполнение, а оценить связь между ними можно с помощью суботношения Штейнера, (аналогично с помощью отношения Штейнера, оценивается связь между минимальным деревом Штейнера и минимальным остовным деревом [1, 3, 6]). Взяв инфимум суботношения по какому-то классу конечных подмножеств R2, мы получим числовую характеристику R2. В настоящей работе изучается класс четырехточечных подмножеств.
Дадим необходимые определения.
Пусть М — некоторое конечное множество точек метрического пространства (X, р).
Определение 1. Рассмотрим дерево t, у которого множество вершин V(t) содержит М, а ребра представляют собой некоторые пары его вершин. Дерево t называется соединяющим множество М, а множество М — граничным множеством (границей, множеством граничных вершин) дерева t. Вершины из множества V(t) \ М называются внутренним,и или точкам,и Штейнера,.
Определение 2. Рассмотрим множество Т(М) всех деревьев, которые соединяют М и все вершины которых лежат в X. Число smt(M) = inft^T(M) p(t)> гДе p(t) — сумма длин всех ребер дерева t, назовем длиной минимального дерева Штейнера для М, а каждое дерево из Т(М), у которого длина равна smt(M), — минимальным деревом, Штейнера. Минимальное дерево Штейнера для М будем обозначать SMT(M) или просто SMT.
Замечание 1. Мы рассматриваем в качестве (X, р) плоскость с евклидовой метрикой. Каждые две вершины любого SMT в ней соединяются единственным отрезком, который мы и будем считать соответствующим ребром.
Пусть М = (М, р) — конечное метрическое пространство (например, конечное подмножество X с индуцированной из (Х,р) метрикой). Рассмотрим множество всех взвешенных деревьев (t,u)), соединяющих М, где со : е —>■ R, е — произвольное ребро дерева t. Вес произвольного подграфа определяется как сумма весов всех входящих в него ребер.
Определение 3. Дерево (t,oj) называется заполнением пространства A4, если ш(е) ^ 0 для любого ребра е дерева t и 7) ^ p(v,w) для любого пути 7, соединяющего вершины v,w € М. Множество всех заполнений A4 обозначим через F(M).
Определение 4. Число mf(.M) = infназывается весом минимального заполнения, пространства A4, а каждое заполнение (t,uj) € F(A4), для которого uj(t) = mi(A4), — минимальным заполнением, пространства Л4. Множество всех минимальных заполнений Л4 будем обозначать через MF(M).
Замечание 2. Если в качестве конечного метрического пространства Л4 = (М, р) рассматривается конечное подмножество М метрического пространства (X, р) с индуцированной метрикой, то заполнение пространства (М, р) будем также называть заполнением множества М и обозначать через MF(M) (или MF), вес заполнения обозначим через mf(M).
Определение 5. Если в подмножестве М метрического пространства (X, р) больше одного элемента, то числа smt(M) и mf(M) определены и положительны. Величина ssr(M) = mf(M)/smt(M) называется суботношением Штейнера множества М.
Определение 6. Можно рассматривать инфимум суботношения Штейнера в некотором классе С подмножеств М € X : inf^ec ssr(M). Если в качестве С взять класс множеств, в которых не меньше двух и не больше п точек, то получим п-точечное суботношение Штейнера пространства (X, р), а если С — класс всех конечных множеств в (X, р), в которых больше одного элемента, то infuse ssr(M) называется суботношением Штейнера пространства (Х,р).
Утверждение 1 [1]. Все внутренние вершины в SMT на R2 имеют степень 3 (внутренние вершины степени 2 можно исключить). Граничные вершины имеют степени 1, 2 или 3. При этом углы между всеми ребрами больше или равны 120°.
2. Бифуркации топологий минимальных деревьев для невыпуклых четырехточечных границ. Обозначим класс четырехточечных множеств, в которых ровно три точки лежат на одной прямой, через Сз, а класс, в каждом множестве которого точки расположены в вершинах невыпуклого четырехугольника (и никакие три не лежат на одной прямой), через NC. Также введем обозначение V = С3 U MC. Выпуклую оболочку множества М будем обозначать через conv(M).
1. Минимальные деревья, Штейнера,. Анализируя геометрию SMT для плоских множеств (утверждение 1), можно установить, что для любого множества на плоскости из четырех точек не может быть более двух минимальных деревьев Штейнера (этот факт для границ общего положения был ранее доказан Г. А. Карпуниным [2] с помощью теории Морса минимальных сетей).
Предложение 1. Для, М € НС возможны только такие варианты, топологий SMT;
1) единственное .иинилшльное дерево Ште.йне.ра,, которое представляет собой трехзвенную ломаную с углами .между звеньями не меньше 120°;
2) единственное .иинилшльное дерево Ште.йнера с одной внутренней точкой и четырьмя ребрами;
3) единственное .иинилшльное дерево Ште.йнера,, представляющее собой три отрезка, сходящиеся, под углом 120° в одной из граничных точек;
4) два, минимальных дерева Ште.йне.ра,, каждое с одной внутренней точкой и четырьмя ребрами.
Теперь фиксируем треугольник А1А2А3 = conv(M), а точке А4 = Ad \ conv(M) разрешим занимать произвольное положение внутри него или на его границе. Треугольник А1А2А3 разбивается на области в зависимости от того, какая топология SMT реализуется при каждом возможном положении точки А4. Если все углы треугольника А1А2А3 меньше 120°, то треугольник делится на три области (рис. 1), а если один из углов, считаем ZA2, больше или равен 120°, то на две, и общая граница областей проходит от вершины А2 к стороне А1А3.
Границы, разделяющие области, мы назовем 8т1-кривы„ми. Когда точка А4 находится в области, на границе которой лежит А\, SMT(M) содержит ребро, соединяющее А4 с А\\ аналогично с А2 и
При попадании точки А4 на smt-кривую реализуются два соответствующих SMT(M).
В ДА1А2А3 с углами, меньшими 120°, имеем точку, в которой пересекаются три smt-кривые. Она служит внутренней вершиной SMT ({Ai, А2, ^4з})- В этой точке все три топологии SMT(M) сливаются в одну, указанную в случае 3 предложения 1. Если же в ДА1А2А3 имеем АА2 ^ 120°, то
при попадании точки А4 в вершину А2 также реализуется одна топология SMT(M) = AiA2 U А2А3.
Предложение 2. Если AAiA2A3 не равнобедренный, то smt-кривые являются, кусками кривых порядка, не ниже 3 и не выше 5 с. узловой точкой в точке Ште.йне.ра, S АА1А2А3; если же какие-то стороны, равны, то соответствующая smt-кривая, будет частью биссектрисы, от точки S до оставшейся, стороны.
2. Минимальные заполнения. В отличие от минимальных деревьев Штейнера минимальных заполнений для четырехточечного подмножества плоскости может быть не более трех.
Пусть множество М содержится в классе МС. Опять фиксируем ДА1А2А3 = conv(M), разделим его на области постоянства топологии MF в зависимости от расположения точки А4 = Ad \ conv(M). Из формулы веса минимального заполнения четырехточечного множества [5] следует, что Д.А1.А2.А3 разбивается на шесть областей тремя кривыми, каждая проходит через свою вершину треугольника А1А2А3 и все пересекаются в одной точке (рис. 2). Назовем эти кривые mi-кривыми, при попадании точки А4 на любую из них реализуются две топологии MF, а в точку их пересечения все три топологии.
Если ДА1А2А3 не равнобедренный, то mf-кривые являются кусками ветвей гипербол Содди [7], проходящих через вершины треугольника, а точку их пересечения называют точкой Содди [8] (или equal detour point [9]); в работе [9] ее обозначают через Х(176). Если же какие-то две стороны равны, то mf-кривая, проходящая через их общую вершину, является биссектрисой треугольника А1А2А3.
Будем говорить, что объект лежит внутри mi-кривой, если он расположен в выпуклой части треугольника, ограниченной этой mf-кривой.
Предложение 3. Пусть все углы, ДА1А2А3 меньше 120°. Тогда, точка Ште.йне.ра, для, .множества {А\, А2, A3} расположена, внутри всех mi-кривых (в единственной выпуклой части из •тех, на, которые делится, ДА1А2А3 mf-кривыми), если ДА1А2А3 не равнобедренный, и на, границе выпуклых частей, если он равнобедренный.
Предложение 4. Если ДА1А2А3 не равнобедренный, то smt.-кривая, пересекающая некоторую его сторону не по вершине, леж'нт внутри mi-кривой, пересекающей ту же сторону не по вершине..
3. Четырехточечное суботношение Штейнера плоскости R2. Далее нам понадобится класс Т четырехточечных множеств, в которых точки образуют определенную конфигурацию. А именно в каждом множестве из Т все точки лежат в вершинах равнобедренных трапеций, у которых основания видны из точки пересечения диагоналей иод углом 60°.
Рис. 1. Области постоянства топологий SMT в треугольнике с углами меньше 120° и smt-кривые
Рис. 2. Области постоянства топологий MF и mf-кривые
Учитывая бифуркационную картину топологий SMT и MF для невыпуклых множеств, можно получить следующий результат.
Теорема. Для любых четырех точек евклидовой плоскости суботношение Штейнера больше или равно л/З/2, причем эта граница достигается только для, множества точек из класса Т.
В [5] вычислено значение ssr3(R2) = \/3/2. В работе З.Н.Овсянникова [10] установлено, что ssr5(R2) < л/З/2. То есть max{n : ssrra(R2) = л/З/2} = 4.
Автор выражает благодарность А. О. Иванову и А. А. Тужилину за постановку задачи и постоянное внимание к работе, а также Д. П. Ильютко и А. Б. Жеглову за полезные обсуждения.
Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 13—01—00664а, и программы "Ведущие научные школы РФ ", грант НШ-581.2014.1.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Иванов А.О., Тужилин A.A. Теория экстремальных сетей. М.; Ижевск: Изд-во Ин-та компьютерных исследований, 2003.
2. Карпунин Г.А. Аналог теории Морса для плоских линейных сетей и обобщенная проблема Штейнера // Матем. сб. 2000. 191, № 5. 64-90.
3. Иванов А.О., Тужилин A.A., Цислик Д. Отношение Штейнера для многообразий // Матем. заметки. 2003. 74, № 3. 387-395.
4. Ильютко Д.П. Разветвленные экстремали функционала А-нормированной длины // Матем. сб. 2006. 197, № 5. 75-98.
5. Иванов А.О., Тужилин A.A. Одномерная проблема Громова о минимальном заполнении // Матем. сб. 2012. 203, № 5. 65-118.
6. Cieslik D. The Steiner ratio of metric spaces. A report. Preprintreihe Mathematik, 2010.
7. Yiu P. Introduction to the geometry of the triangle. Florida Atlantic University Lect. Notes, 2001.
8. Акопян A.B. Геометрия в картинках. М.: МЦНМО, 2011.
9. Kimberling С. Encyclopedia of triangle centers. URL: http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html. 10. Овсянников З.Н. Суботношение Штейнера для пяти точек на плоскости и четырех точек в пространстве
// Фунд. и прикл. матем. 2013. 18, № 2. 167-179.
Поступила в редакцию 20.05.2015
УДК 519.7
СЛОЖНОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ И ФУНКЦИИ ГОЛОСОВАНИЯ В БАЗИСЕ АНТИЦЕПНЫХ ФУНКЦИЙ
О. В. Подольская1
Изучается сложность реализации булевых функций схемами из функциональных элементов в базисе, состоящем из всех характеристических функций антицепей булева куба. Установлено, что сложность реализации функции четности от п переменных есть [^^J ' сложность ее отрицания равна сложности функции голосования от п переменных и составляет l"2^"] •
Ключевые слова: антицепная функция, сложность схем, функция четности, функция голосования.
The complexity circuits of Boolean functions is studied in a basis consisting of all characteristic functions of antichains over the Boolean cube. It is established that the circuit complexity of an n- variable parity function is L2^] ^^ complexity of its negation equals the complexity of the n-variable majority function which is f2^] •
Key words: antichain function, circuit complexity, parity function, majority function.
1 Подольская Ольга Викторовна — асп. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:
olgavipodolskayaQgmail .com.
