Локальная структура минимальных сетей в пространствах А. Д. Александрова Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.177.2 + 515.122.23

ЛОКАЛЬНАЯ СТРУКТУРА МИНИМАЛЬНЫХ СЕТЕЙ В ПРОСТРАНСТВАХ А. Д. АЛЕКСАНДРОВА

Е. А. Завальнюк1

Получено полное описание локального устройства минимальных сетей в пространствах Александрова.

Ключевые слова: пространство Александрова, дерево Штейнера, кратчайшая сеть, локально минимальная сеть.

The full description is obtained for local structure of minimal networks in Alexandrov spaces.

Key words: Alexandrov space, Steiner tree, shortest network, locally minimal network.

1. Введение. Задача, решаемая в данной работе, есть частный случай проблемы Штейнера применительно к конкретным пространствам. Напомним, что классическая проблема Штейнера состоит в следующем. Пусть (X, р) — метрическое пространство и M — конечное подмножество в X. Графом в метрическом пространстве X будем называть взвешенный граф G = (V, Е,ш), такой, что V С X, а весовая функция ш совпадает с метрикой р, т.е. вес ребра равен расстоянию в X между его концами. Рассмотрим шо = inf u(G) — нижнюю грань весов простых связных графов G = (У,Е,ш), таких, что V D M. Если существует граф Go с вышеуказанными свойствами, вес которого равен шо, то он являет-

M

Штейнера для множества M обозначается через SMT(M). Вершины дерева Штейнера, принадлежащие множеству M, называются граничными, само множество M — границей. Если M — граница дерева N, то принято обозначать M = dN. Минимальные деревья Штейнера могут содержать вершины, отличные от граничных. Такие вершины называются точкам,и Штейнера,. Известно, что если \M\ = и, то дерево Штейнера для M содержит не более и — 2 точек Штейнера.

Естествен общий вопрос: как устроены деревья Штейнера? В общем случае они являются абстрактными графами. Однако если метрика пространства строго внутренняя, т.е. любые две точки соединимы некоторой кратчайшей геодезической и ее длина равна расстоянию между ее концами, то дерево Штейнера (если оно существует) можно реализовать в самом пространстве. Геометрической реализацией (или просто реализацией) графа G в пространстве (X, d) с внутренней метрикой будем называть объединение

X

G

мы будем называть сетью. Реализацию Г дерев a T е SMT (M), v которой каждая кривая является крат-

M

образом, минимальная сеть — это объединение конечного набора кратчайших, соответствующих ребрам некоторого минимального дерева Штейнера.

Сеть N в пространстве (X, d) с внутренней метрикой называется локально минимальной, если v произвольной точки пространства X существует окрестность U, такая, что множество Nu, состоящее из ограничений кривых, принадлежащих N, на окрестность U, является минимальной сетью с границей dNu := (dN П U) U (N П dU), где dU — граница окрестности U.

Глобальное устройство минимальных сетей сложно, однако их локальное устройство описано для многих классов метрических пространств. E.H. Гильберт и Г.О. Поллак [1] первыми сформулировали результат о локальной структуре минимальных сетей на плоскости, хотя он, видимо, был известен и ранее. Так называемый "ПрИНцИП 120 градусов" — утверждение о том, что для любых смежных ребер сети угол между ними в общей вершине больше или равен — был, по всей вероятности, известен еще со времен Ферма.

Локальная структура минимальных сетей на римановых многообразиях описывается так же, как на евклидовой плоскости (см. [2]). Минимальные сети исследовались и в нормированных пространствах (см. [3-5]), в частности в нормированных плоскостях [6], где, как оказалось, могут возникать точки Штейнера степени более 3.

Общие пространства ограниченной кривизны в смысле Александрова с этой точки зрения стали изучать недавно, хотя, скажем, случай поверхностей многогранников рассматривался в [2, 7]. В работе [8]

1 Завальнюк Евгений Анатольевич — асп. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: evgeny.zavalnyukQgmail.com.

показано, что упомянутый принцип имеет место для пространств с кривизной, ограниченной снизу. В настоящей работе устанавливается аналогичный результат для пространств с кривизной, ограниченной сверху, а именно справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Пусть X ^ пространство Александрова, M — конечный набор точек в X, множество SMT (M) деревьев Штейнера для которого не пусто. Если T е SMT (M) — дерево Штейнера для M, реализованное в X, то угол между любыми двумя ребрами в T, имеющими общую вершину, в этой вершине больше или равен 2п/3.

2. Необходимые определения. Пусть a, b — точки пространства (X, d) со строго внутренней метрикой и l = d(a, b). Кратчайшей в пространстве X, соединяющей точки a и b, называется изометричное отображение y ■ [0, l] ^ X, для которого y(0) = a, Y(l) = b. Такое отображение существует в силу определения строго внутренней метрики. Под отрезком, [ab] в пространстве X мы будем понимать образ отрезка [0, l] при отображении y Когда будет ясно, о какой метрике идет речь, расстояние между точками a и b

|ab|

попарно соединяющих три различные точки.

Определение 1. Величиной угла в точке a между отрезками [ab] и [ac] в пространстве (X, d) со строго

внутренней метрикой называется предел limP)(?^.a arceos ^ ' гДе Р е 1 е 1асЬ Р> 1 / а' если

этот предел существует.

Определение 2. Полная односвязная поверхность постоянной гауссовой кривизны k называется k-плоскостью. Иными словами, при к = 0 эта поверхность есть евклидова плоскость, при к > 0 — сфера радиуса 1 /у/к с ее внутренней метрикой, при к < 0 — полуплоскость {(х,у) £ R2 | у > 0} с римановой метрикой, коэффициенты которой имеют вид E = G = -1/ку2,F = 0. Мы будем обозначать k-плоскость через Pk, а расстояние между точками a,b на ней через \ab\k-

Определение 3. Пусть Aabc — треугольник в пространстве (X, d) со строго внутренней метрикой. Треугольником сравнения на к-плоскост,и для Aabc называется треугольник Aabc С Pk, такой, что \ab\k = \ ab\ , \aa\k = \bc\ , \aa\k = \ac\. Мы также будем обозначать его через Akabc.

Определение 3 корректно, поскольку такой треугольник единствен с точностью до движения

k

Определение 4. В условиях предыдущего определения углом сравнения на к-плоскост,и для Zabc называется угол Zaba треугольника сравнения Aabc. Его мы будем обозначать так же через Zkabc.

[ab] [ac]

углов сравнения на евклидовой плоскости, поэтому если она определена и равна в, то для любого положительного е найдется положительное такое, что для p е [ab], q е [ac] угол сравнения Zopaq в треугольнике Aoapq С R2 будет меньше или равен в + е, если \ ap\ и \aq\ не превосходят 5.

(X, d)

кривизны ^ к, если в некоторой окрестности каждой точки выполнено одно из эквивалентных условий:

(a) Aabc

сти, и каждой точки d е [ac] справедливо неравенство \bd\ ^ \bd\k, вде d — такая точка на стороне [aa] треугольника сравнения Aabc С Pk, что \ad\k = \ad\;

(b) условие сравнения углов: углы Zabc, Zbca, Zcab ^^^^^ro треугольника Aabc, лежащего в этой окрестности, определены и удовлетворяют неравенствам Zabc ^ Zkabc, Zbca ^ Zkbca, Zcab ^ Zkcab.

k

определении 5 заменить все неравенства на противоположные, то получится (с некоторыми оговорками на смежные углы при кратчайших) определение пространства ограниченной снизу кривизны.

Замечание 2. При к < l пространство кривизны ^ к является и пространством кривизны ^ I.

(a), (b)

ством Александрова называется пространство с кривизной, ограниченной сверху или снизу.

Нам понадобится так называемая "лемм,а о шарнирах", которую мы приведем без доказательства. Лемма 1. Пусть к произвольно, Aa\b\c\ и Aa2b2c2 — два треугольника в Pk, такие, что \a\b\\k = \a2b2\k, \ac\k = \a2c2\k- Тогда, Zb\a\c\ ^ Zb2a2c2 в том и только в том случае, когда, \bc\k ^ \b2c2\k-

(X, d) M С X

конечное множество, для которого существует минимальное дерево Штейнера. Для произвольного дерева T е SMT(M) рассмотрим его реализацию Г в X. Реализация Г по определению является минимальной

M

Определение минимальной сети предполагает ее существование. Достаточным условием существования кратчайшей сети для произвольного граничного множества является локальная, компактность пространства [10, разд. 4.5].

Будем считать, что в дереве T Е SMT(M) нет совпадающих вершин, т.е. соответствующая минимальная сеть Г не содержит вырожденных кратчайших. Этого всегда можно добиться, факторизовав дерево T по совпадающим вершинам — полученное дерево T будет принадлежать множеству SMT(M). Вершиной сети мы будем далее называть точку пространства, являющуюся вершиной реализованного

Г

T Е SMT(M), под степенью вершины сети Г мы будем подразумевать ее степень в дереве T Е SMT(M), а под точками Штейнера сети Г — вершины, являющиеся таковыми в T.

Выясним далее, как устроены кратчайшие сети в пространствах Александрова кривизны ^ k в окрестности своих вершин. Для этого нам понадобится несколько лемм о свойствах треугольников на сфере.

Лемма 2. Пусть R, а Е /3) — фиксированные числа. При каждом, x Е (0, R] рассмотрим треугольник Aaxbxcx на сфере радиуса, R со сторонами | axbx | = | axcx | = x; | bxcx | = 2x sin а (такой

а) z ^ R, что для любого х ^ z угол Zbxaxcx ^ ^ — е, где е = ^ — а > 0.

Доказательство. Пусть hx — середина [bxcx]. В силу равнобедренности треугольника Aaxbxcx имеем Zaxhxbx = п/2 и по теореме синусов сферической геометрии для треугольника Aaxbxhx получаем

sinZbxaxhx = sm("sin") где t = j^. Заметим, что Zbxaxcx = 2Zbxaxhx ввиду равнобедренности треугольника Aaxbxcx. Угол Zbxaxcx Е (0,п), значит, Zbxaxhx Е (0,п/2), поэтому угол Zbxaxhx можно корректно вычислить через значение его синуса: Zbxaxcx = 2 arcsin ^"^¡ц"0^ • Легко видеть, что при х —> 0 предел этого выражения равен 2а, значит, существует такое 5 > 0, что при X ^ 5 справедливо неравенство \Zbxaxcx — 2а\ < е. Раскрывая модули и подставляя а = ^ — е, получаем для z = min{¿, R} требуемое утверждение. Лемма доказана.

Замечание 3. В утверждении леммы достаточно потребовать |bxcx| ^ 2x sin а. Действительно, в силу леммы 1 угол Zbxaxcx не увеличится, если уменьшить

Следующая лемма обобщает соотношение катета и гипотенузы прямоугольного треугольника на сферическую метрику.

Лемма 3. Пусть Aabc — треугольник на сфере радиуса, R, такой, что Zabc = \ab\ ^ R. Тогда,

Zabc

\ac\ sin(\ab\/fí) ^ • \ab\ лг „ \ab\

геометрии, что sin ^ = ^' ^ sm1-^1. Угол величинои ^ лежит в первой четверти тригонометрического круга. Если угол величиной ^ic^R лежит в первой четверти, то требуемое неравенство выполнено в силу монотонности синуса, а если во второй, то оно выполнено автоматически. Лемма доказана.

Aabc R

дят, R и Zacb > 2п/3. Тогда,

aЦ > ^ +0, ^acl (*)

Доказательство. Запишем для Aabc теорему косинусов сферической геометрии: cos ^ = cos -^г cos Щ- + sin ^ sin Щ- cos Zacb. Введем для удобства следующие обозначения: х = Щ-, у = z = Щ-. Тогда с учетом Zacb > 2ж/3 получаем cosa; < cos2ycosz — 0, 5 sin 2у sin z = cosycos(z + у) — sin2 y cos z < cos(z + y), где последнее неравенство справедливо в силу положительности всех входящих в выражение косинусов. Так как x, z + y лежат в первой четверти, то мы окончательно получаем x > z + y. Лемма доказана.

Замечание 4. Неравенство (*) имеет место для евклидовой плоскости также в силу теоремы косинусов. Действительно, пусть Aabc — евклидов треугольник с углом Zacb > 2п/3. Тогда ^Ц2 > ^c\2 + \bc(2 + |ac||bc|, следовательно, ^Ц2 —db^ + 0, ^acD > 0, 75|ac|2 > 0, откуда и получается требуемое утверждение.

Прежде чем доказывать основной результат, поясним следующий момент. Согласно замечанию 2, пространство кривизны ^ k при k < 0 является также пространством кривизны ^ 0, поэтому корректно в качестве поверхности сравнения рассмотреть поверхность постоянной гауссовой кривизны k' = max{0, k], т.е. евклидову плоскость при k ^ 0 или сферу радиуса R = 1/л/к, при к > 0.

Лемма 5. Пусть X — пространство кривизны, ^ k; [pq], [pr] — от,резки крат,чай,ших в X, стыкующиеся, в точке p под углом в < 2п/3. Тогда, найдет,ся, такое x, что для точек qi Е [pq], ri Е [pr], pq^ = pr^ = x, треугольник срав нения, Aqipri С Pk' имеет у гол, Zqipr\, меньший, чем 2п/3. В случае k > 0 можно дополнительно добиться выполнения первенства |ql(x)rl(x)| ^ 2R.

Доказательство. Рассмотрим ó = \ — в) >0. Тогда

1) если k ^ 0, то то замечанию 1 найдется такое x, что для точек ql Е [pq], rl Е [pr], pq^ = \pr^ = x, соответствующий треугольник сравнения Aqipri С Pk' (Pk' = R2) имеет угол Zqipr i ^ в + 5 < 2п/3;

2) если k > 0, то по определению 1 угла найдется такое число y (возьмем его меньшим или равным

R), что для любого x ^ y и точек ql(x) Е [pq], rl(x) Е [pr], \pql(x)\ = \prl(x)\ = x, справедливо неравенство arceos 2х ^ 9 + 8, откуда \qi{x)r\{x)\2 ^ 2ж2(1 — cos(9 + 5)) = 4х2 sin2 Значит, |<?1(ж)г1(ж)| ^

2х sin а, где а = = 7г/3—0, Ь5. В частности, отсюда следует второе утверждение леммы. По лемме 2 для а = п/3 — 0, 55 найдется такое x ^ y, что в треугольнике Aq[ p'r' С Pk с длинами сто pon \p'q[ \k = \p'r[ \k = x, \q'ir'i\k = 2x sin а справедлива оценка Aq[p'r[ ^ 2n/3 — 0, 55. Пусть Aql(x)prl(x) С Pk — треугольник сравнения для треугольника Aql(x)prl(x). Так как \ql(x)rl(x)\k = \ql(x)rl(x)\ ^ 2x sin а = \q[r[\k, то, применяя лемму 1 к треугольникам Aqi(x)pfi(x) и Aq'^p'i^, получаем Aqi(x)pfi(x) ^ Aq^p'r'i ^ —0, 55 < 2п/3. Для найденного x обозначим через Тъ тi точки Tl(x) и Тi(x) соответственно.

q1 Е [pq] r1 Е [pr] |pq1| = |pr1| = x соответствующий треугольник сравнения Aqlpri С Pk' имеет угол Aqlpri < 2п/3. Лемма доказана.

Теорема 2. Пусть X — пространство кривизны ^ к и M — конечный набор точек в X, для которого существует минимальная сеть Г, соединяют,ая M. Тогда угол между любыми двумя ребрами в Г; имеющими общую вершину, в этой вершине больше или равен. 2-/г/3.

Доказательство. Обозначим через T дерево Штейнера, соответствующее минимальной сети Г Пусть [pq] и [pr] — ребра кратчайшей сети Г стыкующиеся в точке p под углом в (см. рисунок, а). Докажем, что в ^ 2п/3. Предположим противное, т.е. в < 2п/3. По лемме 5 найдутся та-

q1 Е [pq] r1 Е [pr] |pq1| = |pr1| ник сравнения Aqlpr i С Pk' (см. рисунок, б) имеет угол Aqlpr i < 2п/3. Пусть s и s — середины [qlrl] и [qlti] соответственно. Условие сравнения треугольников Apqlrl и AptlTl дает \ps\ ^ \ps\k'■ Пусть p'q's'r' С Pk' — четырехугольник (см. рисунок, в), составленный из треугольников сравнения Ap'q'ls' и Ap'r'lr' для треугольников ApqlS и AprlS соответственно. Тогда, в частности, \p'q[ \k' = \p'T[ \k' = x, \q[T\k' = \r[S'\k'.

Рассмотрим такую точку S'' па отрезке [ps], что \ps"\k' = \ps\ = \p's'\у ■ Поскольку треугольник Aqlpr i равнобедренный, то AqlSp = Arisp = n/2. Рассмотрим треугольник Aqls''s и докажем, что \ Ts''\k' ^ \ Tis\у ■ В случае к ^ 0 неравенство верно, поскольку треугольник плоский; в случае к > 0 в силу леммы 5 справедливо неравенство \ ТТ\ k' ^ 2R откуда \ Ts\k' ^ R

\Ts\k' = \Тs'\k', то \qls''\k' ^ \q[s'\k'. По лемме 1 для Aqlps'' и Aq[p's'

получаем Aq[p's' ^ Aqlps''. Аналогично Ar[p's' ^ ATlps''. Следовательно,

Aq'-lp'T'-l = Aqlp's' + Arlp's' ^ Aqlps'' + Arlps'' = AqlpTl < 2n/3. (**)

Точка Штейнера в кратчайшем дереве, соединяющем три различные точки евклидовой плоскости либо три достаточно близкие различные точки сферы, обладает следующими свойствами: во-первых, она единственна, и, во-вторых, любой угол при ней между ребрами-отрезками дерева Штейнера больше или равен 2п/3. Тогда если ü' — точка Штейнера для треугольника Aq'p'r[, то в силу неравенства (**) точка ü' отлична от p' и, кроме того, выполнено строгое неравенство \p'ü'\k' + \q'\ü'\k' + \Тü'\k' < \p'q[ \k' + \p'r[ \k'■ Так как треугольник A q^p'r[ равнобедренный, то и' лежит на луче p's'.

Предположим, что и' лежит гае отрезка [p's']. Докажем при этом предположении, что Aq[s'p' > 2п/3. Пусть Aq' s'p' ^ 2п/3, ^^^^а в ^^^у ^^^^^^^тпости найдется точка t' ^а отрез ке [p's'}, углы Aq[ r'p' и Ar[ r'p' при которой равны 2п/3. Таким образом, точка t' является точкой Штейнера для треугольника Aq[p'r а значит, должна совпасть с точкой и', вне от резка [p's'}, противоречие. Итак, Aq[ s'p' > 2п/3.

В силу леммы 4 и замечания 4 к ней \ q' s' \ у + 0.5 \ p' s' \ у < \ p'ql \ у. Так ка к \ q[ s' \ у = \ r[ s' \ у, \ p'ql \ у = \ p'r[ \ у, то тогда \Тs'\k' + \rlТ\k' + \p's'\k' < \p'q[\k' + \p't[\у. ^^^^^^там в случае и' Е [Тs'} точку s' ^^ез и'.

Таким образом, мы нашли точку и' на отрез ке [p's'], для которой справедливо пер авенство \ p' и' \ у + \Ти'\у' + \Т[и'\у' < \p'q'\\k' + \p'r'i\k' = x+x = 2x. Пусть точка и Е [ps] такова, что \pn\ = \p'ü'\у, \us\ = \и'Т\у. Из условия сравнения треугольников для Apqls и Ap'q' s' имеем \ qlü \ ^ \ q[ ü' \ у, ^^^дагичпо \ ti и \ ^ \ r[ ü' \ у ■ Тогда \pu\ + \qlü\ + \rlü\ ^ \p'ü'\у + \q[ü'\у + \r[ü'\у < 2x = \pql \ + \prl \ , т.е. дерево T', полученное из дерева T добавлением вершины и удалением ребер {pql}, {prl} и добавлением ребер {pu}, {qlü}, {rlи],

TT

В работе [8] установлен аналогичный результат для пространств Александрова с кривизной, ограниченной снизу. Таким образом, имеет место теорема 1.

Следствие. Ребра, локально минимальной сети в пространстве Александрова, образуют в общих вершинах углы, большие или равные 2п/3.

Автор приносит благодарность А.О.Иванову и А.А.Тужилину за внимание к работе, а также всем участникам семинара "Экстремальные сети", проходящего на механико-математическом факультете МГУ, где обсуждались идеи, использованные в настоящей работе.

Работа выполнена при частичной поддержке гранта программы "Ведущие научные школы РФ" НШ-1410.2012.1, гранта РФФИ, проект №10-01-00748-а, гранта Правительства РФ по постановлению № 220, договор № 11.G34.31.0053.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Gilbert E.N., Pollak И.О. Steiner minimal trees // SIAM J. Appl. Math. 1968. 16. 1-29.

2. Иванов А.О., Тужилин A.A. Геометрия минимальных сетей и одномерная проблема Плато // Успехи матем. наук. 1992. 47, № 2. 53-115.

3. Иванов А.О., Тужилин A.A. Разветвленные геодезические в нормированных пространствах // Изв. РАН. Сер. матем. 2002. 66, № 5. 33-82.

4. Иванов А.О., Хонг В.Л., Тужилин A.A. Плоские сети, локально минимальные и критические для манхэттен-ского функционала длины // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. 2001. 279. 111-140.

Л

75-98.

6. Swanepoel K.J. The local Steiner problem in normed planes // Networks. 2000. 36. 104-113.

7. Иванов А.О., Тужилин A.A. Теория экстремальных сетей. М.; Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2003.

8. Innami N., Naya S. A comparison theorem for Steiner minimum trees in surfaces with curvature bounded below // Tohoku Math. J. 2013. 65, N 1. 131-157.

9. Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д., Иванов C.B. Курс метрической геометрии. M.; Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2004.

10. Ambrosio L., Tilli P. Topics on analysis in metric spaces. Oxford: Oxford University Press, 2004.

Поступила в редакцию 07.12.2012

УДК 514.763.25

ЕСТЕСТВЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ НА ТЕНЗОРНЫХ ПОЛЯХ

Е. Г. Пунинский1

В работе классифицируются естественные операторы между тензорными полями различных типов. Рассматриваемые тензорные расслоения выбираются произвольными, без дополнительных структур или симметрий.

Ключевые слова: естественные операторы, тензорные поля.

In this paper we classify natural operators on tensor fields of different types. We abstain from any assumptions such as symmetry or additional structures and consider arbitrary tensor fields.

Key words: natural operators, tensor fields.

Введение. В начале XX в. А. Эйнштейн сформулировал общую теорию относительности на языке тензорных полей, и с тех пор последние стали неотъемлемой частью математического аппарата теоретической физики. Алгебраические свойства важных тензорных полей и их симметрий, возникающих в римановой геометрии многообразий, рассматривались в многочисленных работах (см., например, [1^6]).

Удобство записи законов природы, априори не зависящих от выбранной системы координат, при помощи координатно инвариантных объектов вполне очевидно. Также естественным в этой связи выглядит изучение операций на тензорных полях, перестановочных с заменами координат. Примерами таких операций могут служить внешнее дифференцирование форм и скобка Ли векторных полей. Следуя [7], эти операции мы будем называть естественными операторами2.

1 Пунинский Евгений Геннадьевич — асп. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: puninskiy Qmail .ru.

2 Формальное опеределение будет дано далее.