Об ультраметрических тетраэдрах и треугольниках Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические структуры и моделирование 2002, вып. 9, с. 140

УДК 514.132;515.124

ОБ УЛЬТРАМЕТРИЧЕСКИХ ТЕТРАЭДРАХ И ТРЕУГОЛЬНИКАХ

Р.Р. Файзуллин

In this article relationships between ultrametric spaces and spaces of negative curvature are considered.

В данной работе представлено доказательство двух предложений о пространствах отрицательной кривизны.

1. Общие утверждения

Определение 1. Ультраметричеекое пространство (УМП) - это метрическое пространство, в котором неравенство треугольника заменяется более сильным неравенством:

p(A, B) < max(p(A, C), p(B, C)). (1)

Предложение 1. Метрическое пространство U является ультраметрическим тогда и только тогда, когда каждая тройка его точек при вложении в Sf есть подмножество окружности. Когда, три, точки не подчиняются ультраметрике, то составленный из них треугольник можно вписать в Sf не для, всякого к. Пусть даны три точки в Sf и, они, изометричны подмножеству УМП. Тогда, при любом, к они, лежат на, окружности. ■

Предложение 2. Любые четыре точки УМП и,зом,етри,ч,ески, вкладываются, в Sf, образуя при любом к в Sf3 вписанный в сферу тетраэдр. И обратно, если метрическое пространство U таково, что каждая четверка, его точек изометрически, вложена в подмножество сферы, в S| при любом, к < 0, то U есть УМП.

Если же тетраэдр в S| вписывается, в шар, то его вершины вложены из УМП. я

Предварительно докажем несколько необходимых геометрических фактов о тройках и четверках точек УМП.

Мы будем пользоваться теоремой косинусов и известным свойством углов параллельности в пространстве Лобачевского: cosPk(a) = th(ka) [1].

Найдем соотношения между тройками точек УМП и соответствующие им треугольники. Определим, какие ограничения (1) накладывает на эти треугольники. Рассмотрим четыре типа треугольников, изображенных на рис. 1, а)-г),

© 2002 Р.Р. Файзуллин

E-mail: [email protected]

Омский государственный университет

Из них ультраметрическому неравенству будут удовлетворять треугольники следующих двух типов:

Тип 1, Равносторонние треугольники: сторона а = а = а (рие,1,а).

Тип 2, Равнобедренные с основанием меньшим, чем боковая сторона: а > b (рис,1,6),

Рассматриваем также два типа треугольников, для которых не выполняется ультраметрическое неравенство:

Тип 3, Равнобедренные с основанием большим, чем боковая сторона: b > а (рие,1,в).

Тип 4, Треугольники с тремя различными сторонами: c > тах(а, b) = b (рис.1, г).

Итак, из четырех выделенных типов треугольников допустимыми мы считаем два типа треугольников - 1-й и 2-й, Точно так же найдем типы тетраэдров, которые можно составить из допустимых треугольников.

Проведем построение по шагам, отсеивая тетраэдры, для вершин которых не выполняется неравенство (1),

На первом шаге выбираем тип треугольника ABC. Вспомнив классификацию треугольников, замечаем, что целесообразно рассмотреть два варианта.

Вариант 1.

Первый шаг. Рассматриваем треугольник ABC типа 1, сторона AD = d (рие,1,д).

Второй шаг. Вариант разобьем на подварианты:

2

la) AD > а Следовательно, то вышеизложенной классификации A ADC 2-го типа, DA = DC = d, DB = DC = d из рассмотрения ADBC.

16) AD = a, AD = AC = a

Удобно рассмотреть три случая:

16^ DC = а По (1) DB <a.

162) DC < а значит, или DB = BC или DC = BC (из подчинения вершин ADBC неравенству (1)) ,

163) DC > а и AADC 3-го типа, таким образом, случай 1бз) противоречит (1),

1в) AD < а и по подчинению вершин A ADC неравенству (1) выполняется DC = AC. А по рассмотрению A DBC верно DB = DC.

Вариант 2.

Первый шаг. Рассматриваем треугольник ABC типа 2, сторона а = AB = AC> BC = b.

Второй шаг. Вариант также разобьем на подварианты:

2а) AD < а из рассмотрения A ADC, по (1), DC = а. Из рассмотрения A ADB, то (1), DB = AD, Вершины тетраэдра ABCD те противоречат (1) и AD с BC в любом отношении.

26) AD = а по (1), DC < а DB < а BC < а. Не ограничивая общности: DB = DC > BC

2в) AD > а. Из (1) для A ADC и A ADB AD = DB = DC > AB = AC > BC.

Итак, рассмотрев эти тетраэдры, для вершин которых выполняется неравенство (1), - будем называть ультраметричеекими - выделим два типа тетраэдров, полностью описывающие все тетраэдры с вершинами, изометричными точкам УМП.

Тип I: AD = DC = DB = d > а = AB = AC > BC = b.

Тип II: AD = d < DC = DB = AB = AC = а > BC = b. Отношения между AD и BC произвольные.

2. Доказательство предложения 1

Необходимость. Без потери общности будем считать, что а > b > с, Если окружность для этого треугольника существует, то ее центр - это пересечение срединных перпендикуляров. Мы докажем, что срединные перпендикуляры, проведенные к b и с, не пересекаются. Достаточно будет показать, что они не пересекают биссектрису угла A, Рассмотрим углы параллельности отрезков Mi A M2A. Надо сравнить A/2 с Pk (с/2). Так как th(t) монотонно стремится снизу к 1 при t ^ то, то

cos(Pk(с/2)) = th(kc/2) <= th(kb/2) = cos(Pk(b/2)). (2)

To есть при k ^ то Pk (c/2) ^ +0.

3

Следовательно, нужно показать, что cos(Ak/2) < cos(Pk(c/2)) при больших k, Это будет достаточным, так как из (2) следует, что Pk(c/2) > Pk(b/2), По теореме косинусов:

cos (Ak)

cosh(kb) cosh(kc) — cosh(ka) sinh(kb) sinh(kc)

(3)

Так как ABC- точки метрического пространства, расстояния между ними подчиняются неравенству треугольника, то a < b + c, cos(Ak) ^ 1, lim Ak = 0,

k^-ж

Сравним при возрастающем ^телa cos(Ak/2) = \/(1 + cos(Ak))/2 и th(kc/2). Покажем, что

'0.5

cosh(kb) cosh(kc) — cosh(ka) kc

2 * sinh(kb) sinh(kc) < 2 ’

(4)

Очевидно, что обе части неравенства (4) положительны (далее используем символы сравнения - \J, V) и

sinh kb sinh kc + cosh kb cosh kb

2 sinh kb sinh kc

cosh ka

exp(2kc) — 2exp(kc) + 1 exp(2kc) + 2exp(kc) + 1 ’

(5)

2exp(kb + kc) + 2exp(—kb — kc) — 2(exp(ka) + exp(—ka)) 2(exp(kb) — exp(—kb))(exp(kc) — exp(—kc))

Упростим эти выражения, введя слагаемые:

exp(kc) — 1 exp(kc) + 1

2

(6)

Ci(k) C2(k) Cs(k) C4 (k) C5 (k)

exp(—ak)(exp(2ck) + 2exp(ck) + 1)

(exp(kc) — exp(—kc))(exp(kb) — exp(—kb))(exp(kc) + 1)2’

exp(ak)(2 exp(ck) + 1)

(exp(kc) — exp(—kc))(exp(kb) — exp(—kb))(exp(kc) + 1)2’

exp(bk)(exp(ck) + exp (—ck) — 2)

(exp(kc) — exp(—kc))(exp(kb) — exp(—kb))(exp(kc) + 1)2’

exp(—bk)(exp(3ck) — 2exp(2ck) + exp(ck) + 4) (exp(kc) — exp(—kc))(exp(kb) — exp(—kb))(exp(kc) + 1)2’

— exp(ak + 2ck) + 4exp(bk + 2ck)

(exp(kc) — exp(—kc))(exp(kb) — exp(—kb))(exp(kc) + 1)2

Рассмотрим сравнение:

Ci(k) + C2(k) + Cs(k) + C4 (k) + C5 (k)\J 0. (7)

При kc > 0 функция exp(kc) — exp(—kc) > 0, т.е. знак неравенства (7) при умножении на (exp(kc) — exp(—kc)) не изменится.

4

Получаем

(exp(kc) - exp(—kc))(Ci(k) + C2(k) + C3(k) + 04(h) + C5(k))\J 0. (8)

Теперь рассмотрим поведение слагаемых в формуле (8) при увеличении к, при этом учтем, что a > b > c. У нас возникают два набора слагаемых,

14) Слагаемые, стремящиеся к 0 при к ^ +то. Это (Ci(k), C2(k), C3(k), C4(k)):

exp(-ak)(exp(2ck) + 2exp(ck) + 1)

І1Ш ----------------------------------

(exp(kb) — exp(-kb))(exp(kc) + 1)2 exp(ak)(2exp(ck) + 1)

І1Ш ----------------------------------

(exp(kb) — exp(—kb))(exp(kc) + 1)2

0,

0,

lim

exp(bk)(exp(ck) + exp(—ck) — 2)

lim ----------------------------------= 0

(exp(kb) — exp(—kb))(exp(kc) + 1)2 ’

exp(—bk)(exp(3ck) — 2exp(2ck) + exp(ck) + 4)

(exp(kb) — exp(—kb))(exp(kc) + 1)2

0.

Обоснование: —a + c < —a + 2c < b+2c; a < a + c < b+2c; b — c < b + c < b + 2c; —b + c < —b + 2c < —b + 3c < b + 2c;

5) Слагаемое (exp(kc) — exp(—kc))C5, которое те стремится к 0 при k ^ +то. Заметим, что a + 2c > b + 2c. А (— exp(ak + 2ck) + 4exp(bk + 2ck))/((exp(kb) — exp(—kb))(exp(kc) + 1)2) при возрастании k есть функция, эквивалентная функции — exp(ak + 2ck — bk — 2ck) = — exp(ak — bk) и lim [— exp(ak — bk)] = —to.

Это значит, что с некоторого k0 знак в (7) меньше нуля. Следовательно, когда кривизна пространства менее — k^ то срединные перпендикуляры к b и c не могут пересекать идущую между ними прямую - биссектрису угла A. Значит, они тем более не пересекаются между собой. Отсюда следует, что точки A, B, C не лежат на окружности.

Достаточность. Найдем точку M: |MA| = |MB| = |MC|. Без ограничения общности считаем, что |AB| = c < |AC| = |BC| = a (см, рие,1,е).

Опустим перпендикуляр из C на AB. Точка T произвольна: T Є CH. Найдем функцию /8 (t) = | CT | — | BT | , где t есть расстояние от T до C, /8 (t) = t —| BT (t) |. Используем теорему синусов геометрии Лобачевского для треугольника HCB. Надо показать, что CH > BH. Рассмотрим AABC, в нем против большей стороны лежит больший угол,

В треугольнике ABC ZACB против основания, а угол ZABC против боковой стороны. Вспомним нашу классификацию треугольников. Для 1-го и 2-го типов треугольников это значит, что ZACB < ZABC, ZHCB = 1/2ZACB < ZABC. Видим, что в AHCB сторона CH, лежащая против ZACB, больше стороны B H, лежащей против ZHCB. Следовательно, /8(|CH|) > 0. В то же время /8 (t), являясь композицией непрерывных функций, принимает на концах промежутка [0, |CH|] разные знаки. По теореме Больцано-Вейерштраееа на (0, |CH|) есть точка t0 такая, что /8(t0) = 0. Таким образом, найдена искомая точка M, она лежит на расстоянии t0 от C. Так как CH срединный перпендикуляр к AB, то раеетояния от VT Є CP до A и B совпадают, А так как 5

5

f8(to) = 0, то совпадает расстояние от M до C и B. Таким образом, точки A, B, C принадлежат окружности,

3. Доказательство предложения 2

Рассмотрим функции

и

f (u)

ch2(u) — ch(u) sh2(u)

cos(Y) = fi (u,a)

ch2(u) — ch(a) sh2(u)

Необходимость.

Надо доказать, что:

1) Ультраметричеекие тетраэдры вкладываются в при каждом к.

2) Эти тетраэдры - подмножества сфер.

Докажем утверждение 1), Для этого необходимо и достаточно показать, что справедливы следующие утверждения:

а) Сумма углов при каждой вершине < 2п.

б) Для углов при вершине верно неравенство треугольника: (а < в + 7-) Вычислим косинусы углов (д0) для треугольников 1-го типа (d), 2-го типа

(d > b, y < Y1). Рассмотрим

c°s(Yo) = f (u)

ch2(u) — ch(u) sh2 (u)

(9)

Так как lim f (u) = 1/2 a u = |dyK|, f'(u) > 0 при u > 0, f ((0, +ro)) = «^o

(1/2,1), f (u) = cos(Yo), значит, Yo Є (0,n/3).

Это вычисление было проведено для равностороннего треугольника.

Для треугольника 2-го типа y _ это угол при вер шине, c°s(y ) = f\(u,a),

fi(u,a)

ch2(u) — ch(a) sh2 (u)

(10)

f1(u,a) > f (u) при ch(a) < ch(u). Для этого неравенства достаточно того, что основание треугольника b меньше боковой стороны d. Теперь рассмотрим полную производную функции f1(u, a) то ^ртвизне к

f1(u,a)

2ch(u)(ch(a) — 1) sh(a)

------------------- • d — ------• b > 0

sh(u) ■ (ch(u)2 — 1) d sh2(u) b > 0

(11)

Функция f1(u(k), a(k)) возрастает no k при k > 0. Мы вспомнили также, что u и a есть функции от k.

Очевидно, что f1([a, +ro),a) = [f(a), 1^ lim f1(u(k),a(k)) = 1. Следовательно, cos(y) Є (f (a), 1), y Є (0,arccos(f (a)), arccos(f (a)) Є (0,n/3). 6

6

Используем равенство

cos(Yi) = f3(u,a)

ch(u) ch(a) — ch(u) sh(u) sh(a)

Сравним f3(u,a) c f (u):

ch(u) ch(a) — ch(u) ^ ch2(u) — ch(u) sh(u)sh(a) sh2(u)

Для решения этой задачи надо исследовать функцию

f4(t)

ch(t) — 1 sh(t)

(12)

(13)

(14)

Также, учитывая, что f4(t) = (ch(t) — 1)/(sh2(t)) > 0 при t > 0, то (1) f4(a) < f4(u). A f3(u,a) < f (u). Угол д1 Є (arccosf4(a),arccosf (a)]. Получены пределы и отношения для углов треугольников 1 и 2 типов: угол До Є (0,п/3]. Угол д Є (0, arccos(f (a))), д1 Є (arccosf4(a),arccosf (a)]. Отсюда следует, что y Є (0, п/2), Y Є (0,п/3),

0 < д0 < д < д1 < п/2. (15)

Докажем пункт (а). Выберем любую вершину, три ее плоских угла а, в, п подчиняются (15), значит, а + в + П< 3п/2 < 2п.

Доказательство пункта (б) опирается на проведенную выше классификацию тетраэдров по двум типам.

Тип I. Здесь d = DA = DC = DB > a = AB = AC > BC = bn u = лД\К |). Проведем доказательство по вершинам.

Вершина A Тривиальные неравенства ZDAB + ABAC > ZDAC = ZDAB; ZDAC + ZBAC > ZDAB = ZDAC. Сравним cos(BAC) и cos (DAB) по вели-

чине, Имеем

cos(BAC)

ch(ua) ch(ua) — ch(ub) sh(ua) sh(ua)

tie)

cos(DAB)

ch(ud) ch(ua) — ch(ud) sh(ud) sh(ua)

(17)

Рассмотрим цепочку неравенств

ch2(ua) — ch(ub) ch2(ua) — ch(ua)

sh2(ua)

sh2(ua)

ch(ud) ch(ua) — 1 sh(ud) sh(ua)

(18)

Докажем последнее неравенство. После упрощения достаточно исследовать f5(t) = ch(t)/ sh(t). При t > 0

f5 (t)

—4exp(2t) (exp(2t) — 1)2

(19)

Следовательно, функция f5(t) убывает при t > 0. И ud > ua, следовательно, f5(ud) < f5(ua), cos(BAC) > f5(ua) > cos(DAB) > 0, значит, ZBAC <

ZDAB < 2ZDAB.

7

Перейдем к вершине D. Очевидны неравенства: ZBDA = ZCDA < ZCDA+ ZBDC. Для другого угла можно записать

cos (BDC)

ch( ud) — ch(ub) > ch2(ud) — ch(ua)

sh2(ud)

sh2 (ud)

cos(BDA).

(20)

Значит, ZBDC < ZBDA < 2ZBDA.

В силу симметрии (углы при B, C одинаковы) осталось рассмотреть B. Докажем, что ZCBD > ZDBA и ZCBD > ZABC. Для разрешения нижеследующего сравнения (21) используем функцию f4 :

cos(CBD)

ch(ub) ch(ud) — ch(ud) sh(ub) sh(ud)

V cos(DBA)

f5(ud)f4(ua).

(21)

Очевидно, что f4(ub) < f4(ua), так как ua > ub и f4(t) > 0. Следовательно, cos(CBD) < cos(DBA), cos(ABC) = f5(ua)f4(ub), cos(CBD) = f5(ud)f4(ub), f5(t) монотонно убывает при t > 0 и d > a. Поэтому cos(CBD) < cos(ABC). Таким образом, верны следующие неравенства: ZDBA + ZCBD > ZCBD > ZABC; ZABC + ZCBD > ZDBA. Надо доказать, что

ZABC + ZDBA > ZCBD. (22)

Имеем ZABC + ZDBA Є (0,n), ZCBD Є (0,п/2). Отсюда получаем

ZABC + ZDBA > ZCBD ^ cos(ABC + DBA) < cos(CBD). (23)

Выражение (23) эквивалентно формуле

cos(ABC) cos(DBA) — sin(ABC) sin(DBA) V cos(CBD).

Для сокращения записи введем следующие функции:

Ti(u, b, a, d)

sh2(ud) sh2(ub)

(ch(ub) — 1)2 ch2(ua) sh2(ud) sh2(ua)

T2(u, b, a, d)

sh2(ud) sh2(ub)

((ch(ua) — 1))2 ch2(ud) sh2(ub) sh2(ua)

Tr(u, b, a, d) = T1(u, b, a, d)T2(u, b, a, d).

Неравенство (23) для углов равносильно неравенству

(ch(ub) — 1)f5(ua)f4(ua) ch(ud) — Tr(u,b,a,d) < (ch(ub) — 1)ch(ud).

После некоторых преобразований получаем

(ch(ub) — 1)f5(ua)f4(ua) ch(ud) — Tr (u, b, a, d) <

< (ch(ub) — 1)f5(ua)f4(ua) ch(ud)

(24)

(25)

8

или

(ch(ub) — 1) f5(ua) f4(ua) ch(ud) = (ch(ub) — 1)f(ua) ch(ud). (26)

Так как ua Є [0, +то), то /(ua) < 1 и, значит,

ch(ud)(ch(ub) — 1)/(ua) < ch(ud)(ch(ub) — 1).

Неравенство (24) выполняется, значит, неравенство (22) доказано. Первый тип тетраэдров исследован.

Докажем пункт б) для 11-го типа тетраэдров, AD = d; BC = b. Рассмотрим вершину A. Нетривиальное неравенство: ZCAB V 2ZCAD, причем косинусы этих углов равны

' cos(CAB) = ch2(ua)2- ch(ub), (27)

sh (ua)

ch2(ua) — ch(ub) ch2(ua) — ch(ua)

sh2(ua) > sh2(ua) (28)

= f4(ua)f5(ua) > f4(ud)f5(ua) = cos(CAD).

Следовательно, ZCAB < ZCAD < 2ZCAD. В случае рассмотрения вершины D доказательство проводится с точностью до переобозначений. Для вершин B, C по анадогии можно показать, что ZDBA < 2ZCBD.

2) Докажем вложение четверки точек в сферу. Для доказательства используем результаты о впиеываемоети ультраметрических треугольников в окружности,

У тетраэдра 1-го типа основание (ABC) вписывается в окружность, ее центр H. Отрезок DH - равноудален от A, B, C. На этом отрезке выберем некоторую точку T. По аналогии с доказательством впиеываемоети ультраметричеекого треугольника в окружность достаточно доказать, что DH > HA. Проведя AH до пересечения с BC, получим M. Сравнив наложением медианы к BC у △ ABC и ADBC, получим DM > AM, ZDAM > ZMDA > ZMDA/2 = ZHDA, следовательно, в △ MAH стороны DH > AH - по противолежащим углам. Использовав рассуждения из доказательства вписания ультраметричеекого треугольника в окружность, получим З Т0 Є DH |T0D| = |T0A|, Так как Т0 равноудален а от A, B, C, то Т0 - центр искомой сферы.

Рассмотрим тетраэдр II типа c = CD < DA = DB = AC = AB = d > AB = b. Отметим точки Mi и M2 - середины AB и CD. Получим M\M2 = 1/kch[(ch(kd))/(ch(kc/2)ch(kb/2))]. Найдем гладкую функцию для |DT| — |AT| Т Є MiM2. Сравнивая углы в треугольниках △AMiD AAM2D, получим, что AMi < DMi, AM2 > DM2 и

где

|AT | — ^T | = f9(t) =

1 (arcch(ch[]ch(Ci — kt)) — arcch(ch(kt)ch yk-

Ci

arcch

ch(kt)

ch(kb/2)ch(kc/2)

(29)

9

Функция f9 (t) гладкая, Ha Mi и M2 она принимает значения, противоположные по знаку. По теореме Больцано-Вейерштраееа на MiM2 найдется точка M0: AM0 = DM0. По построению AM0 = BM0 DM0 = CM0. Мы получили центр сферы, описанной около тетраэдра ABCD. Утверждения 1) и 2) доказаны, То есть четверки точек, подчиняющиеся ультраметричеекому неравенству треугольника (1), вкладываются в подмножества сфер в при люб ом k > 0.

Достаточность. Из четырех вершин выбираем три. Опустим из центра шара перпендикуляр на проходящую через выбранные три точки плоскость Ф, Пересечением перпендикуляра с плоскостью Ф будет точка Л, От трех выбранных вершин точка Л равноудалена, тем самым они лежат на окружности. Используя предложение 1, получаем: любая тройка вершин из четырех данных вложена в УМП, Отсюда следует, что все четыре точки вложены в УМП,

Литература

1. Лобачевский Н.И. Геометрические исследования по теории параллельных линий.

М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1945.

10