О площади трапеции в сферической геометрии Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.132

О ПЛОЩАДИ ТРАПЕЦИИ В СФЕРИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Г. А. Байгонакова, Д. Ю. Соколова

ON THE AREA OF A TRAPEZOID IN SPHERICAL GEOMETRY

G. A. Baigonakova, D. Yu. Sokolova

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 12-01-90701-моб_ст и 12-01-00210-а) и Совета по грантам при президенте Российской Федерации (гранты МК-4447.2012.1 и НШ-921.2012.1).

В данной статье получена формула площади сферической трапеции через длины ее сторон.

In this paper we give a formula for the area of a spherical trapezoid in terms of its sides lengths.

Ключевые слова: сферическая геометрия, площадь, трапеция.

Keywords: spherical geometry, area, trapezoid.

1. Введение

Из элементарной геометрии нам известна формула площади треугольника S через длины его сторон a, Ь и с. Она может быть представлена в следующем виде:

^2 =(p - а)( р - Ь)( p - с) p,

a + Ь + с

где р =------------ полупериметр треугольника. Она известна как формула Герона.

2

Площадь четырёхугольника, вообще говоря, не определяется через длины его сторон. Однако, это справедливо в некоторых частных случаях, например, когда четырёхугольник является вписанным, либо когда он представляет собой трапецию. В первом случае его площадь описывается формулой Брахмагупты:

82 = (Р - а)( Р - Ь)( Р - с)( Р - Л X

а + Ь + с + Л

где a, Ь, ^ d - длины сторон четырёхугольника, a р =--------------------------------- его полупериметр. Формулу Брах-

магупты и её доказательство можно найти в книге [7, с. 90]. Во втором случае площадь трапеции находится через длины её сторон элементарными вычислениями по формуле, приведённой ниже.

Отметим, что для сферического четырёхугольника формула площади через длины его сторон и диагонали была получена в монографии [4, с. 165]. Она имеет следующий вид.

Теорема 1. Площадь S сферического четырёхугольника ABCD со сторонами a,b,c,d и диагоналями e, f находится из соотношения:

e f a c b d e f a c b d

o (sin — sin — + cos—cos — cos — cos —)(sin — sin — - cos — cos — + cos — cos —) /14

sin2 ± _ 24 22 2 2 2 4 22 2 2. (1)

7 7

4 a b c d

4cos — cos — cos—cos —

2 2 2 2

Напомним [3], что выпуклый четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда выполнено равенство

. e . f . a . c . b . d

sin—sin — _ sin—sin— + sin—sin—

2 4 2 2 2 2

Подставляя это соотношение в формулу (1) получим следующий сферический аналог формулы Брахмагупты [4, с. 46].

Следствие. Площадь S вписанного в окружность сферического четырёхугольника ABCD со сторонами

a, b, c, d находится по формуле:

. p - a . p - b . p - c . p - d

o sin —-sin—-----sin—---sin—---

sin2 ^ =----2------2_----------2 d 2 .

4 a b c d

cos — cos — cos — cos —

2 2 2 2

В гиперболическом случае варианты формул Брахмагупты для вписанного четырехугольника представлены в работе [2]. Формула площади трапеции на гиперболической плоскости через длины её сторон получена в работе одного из авторов [8].

Цель настоящей статьи - перенести результаты работы [8] на сферический случай. Все приведённые ниже результаты будут сформулированы для сферической плоскости с гауссовой кривизной к = 1. Необходимые сведения по сферической геометрии приведены в книге [5].

2. Основной результат

Определение. Выпуклый четырехугольник ABCD называется трапецией, если для его внутренних углов справедливо соотношение

ZA + ZB = ZC + ZD. (2)

Замечание. Данное определение трапеции эквивалентно общепринятому в евклидовой геометрии.

В этом случае стороны AD и BC называются основаниями трапеции, а AB и CD - ее боковыми сторонами. Длины сторон AB, BC, CD, AD будем обозначать соответственно, буквами a, b, c, d; длины диагоналей AC и BD - буквами e и f (рис. 1).

A d D

Рис. 1. Трапеция

Всюду в дальнейшем будем предполагать, что трапеция является выпуклым четырёхугольником и b ^ d. При b = d, как и в евклидовой геометрии (случай параллелограмма), площадь трапеции не определяется по длинам её сторон.

Для вычисления площади трапеции нам потребуется следующая теорема. В гиперболическом случае она доказана в работе Ф. В. Петрова [6].

Теорема 2. Пусть ABCD - выпуклый четырёхугольник в сферической геометрии. Тогда следующие два свойства эквивалентны:

(г) ZBAD + ZABC = ZADC + ZDCB.

(гг) Z CAD + Z CBD = ZBCA + ZBDA.

Доказательство. Выведем (ii), предполагая (i). Пусть точка E симметрична точке D относительно середины AB , и точка F симметрична точке A относительно середины CD , тогда равны пары треугольников: AABE = ABAD и ACDA = ABDA (рис. 2.)

По двум сторонам и углу между ними равны DEBC и DFCB

( ZEBC = 2р - (ZCBA + ZABE) = = 2р - (ZCBA + ZDAB) =

= 2р - (ZBCD + ZCDA) =

= 2р - (ZBCD + ZDCF) = ZFCB).

Значит, EC = FB, и по трем сторонам равны треугольники DFBD = DACE, так что ZFDB = ZCAE. Откуда из равенств ZFDC = ZDCA и ZBAE = ZDBA следует, что ZDBA + ZCAB = ZBDC + ZDCA. Вычитая последнее равенство из (i), получаем (ii).

Для вывода (i) из (ii) надо рассмотреть точку, симметричнуюD относительно середины AC , и точку, симметричную A относительно BD середины, и провести аналогичные рассуждения.

Заметим, что каждое из свойств (i) и (ii) равносильно тому, что четырехугольник ABCD является трапецией с основаниями BCи AD. Вычитая из первого равенства второе, получим, что справедлива следующая лемма.

Лемма. Для трапеции ABCD справедливо соотношение

ZDBA + ZCAB = ZBDC + ZDCA

В силу формулы Гаусса-Бонне площади треугольников AOB и COD находятся по формулам:

SAOB = ZCAB + ZABD + ZAOB - p, SGOD = ZACD + ZCDB + ZCOD - p.

Учитывая утверждение леммы и равенство вертикальных углов ZAOB = ZCOD, получим, что

AOB °COD-

Отсюда непосредственно заключаем, что имеют место равенства площадей SaDB = SaDC и

Sabc = SBCD . Обозначим через S(a,b, с) площадь сферического треугольника с длинами сторон a, b, с.

Переписывая полученные два равенства в терминах длин сторон, установим, что справедливо следующее следствие.

Следствие. Для площадей треугольников с соответствующими сторонами выполнены равенства

\S (a, d, f) = S (с, d, e),

[S (b, a, e) = S (b, c, f). (3)

Из работы [5] известна следующая формула для площади S сферического треугольника со сторонами

Ja + b + c b + c — a

tan--------tan-------tan

4 4 , (4)

a—b+c a+b—c

tan--------tan-------,

4 4

которая элементарными преобразованиями приводиться к следующему сферическому аналогу формулы Билински [1]

S(a,b, c) cos(a) + cos(b) + cos(c) + 1

2 a b c

4 cos — cos — cos — 2 2 2

(5)

Положим с(а) = соя (2) и я (а) = вт(2). Подставляя равенство ео8(а) = 2с2(а) — 1 в уравнение (5), получим, что система уравнений (3) эквивалентна следующей:

с2(а) + с?(б) + с2(/) — 1 с2(с) + с?(б) + с2(е) — 1

с(а)с(/) с(с)с(е)

c2(а) + c2(b) + c2(e) - 1 _ c2(c) + c2(b) + c2(/) - 1 (6)

с(а)с(е) с(с)с(/)

Решая эту систему на компьютере относительно с(е)с(/) и , получим следующее предложение.

с(/)

Предложение. Длины сторон и диагоналей трапеции связаны соотношениями

с(е)с(/) = с(а)с(с) — з(Ь)з(с1),

с(е) с(с)з(Ь) — с(а)з(С) (7)

с(/) с(а)з(Ь) — с(с)з(сС)

Из данной системы уравнений находятся выражения для длин диагоналей трапеции ЛВОБ :

^) = fwM ~ ^) «“)c(c) - »(%№)• (8)

c(a )s(b) — c(c)s(d)

c2(f) = c(a)s(b) — C(C)a(d) (c(a)c(c) — s(b)s(d)). (9)

c(c)s(b) — c(a)s(d)

Сформулированное предложение потребуется для доказательства теоремы о площади трапеции. Теорема 3. Площадь S сферической трапеции ABCD со сторонами a, b, c, d находится из соотношения:

. 2 b + d . a + b — c — d . a + b + c — d . —a + b + c — d . a — b + c + d „ sin ----------sin----------------sin-----------------sin------------------sin-----------------

tan'2 - =---------2---------------4-------------------4-------------------4-------------------4-------.

4 ,2 b — d a — b — c — d a — b + c — d a + b — c + d a + b + c + d

2

sin----------cos----------------------cos---------------------cos---------------------cos -

4

Замечание. Евклидов вариант формулы, выражающий квадрат площади трапеции через её стороны, находится элементарными вычислениями из геометрических соображений и имеет вид:

(b + d )2(a + b — c — d )(a + b + c — d)(—a + b + c — d )(a — b + c + d)

E 16(b — d)2

Отметим также, что tan2 S » (-E-)2 при достаточно малых величинах a, b, c, d.

4 4

Доказательство. Рассмотрим трапецию ABCD, изображенную на рисунке 1. Для вычисления её площади воспользуемся формулой (1) и представим ее в следующем виде:

sin2 — = (s 0)(f))2 — (c(a )c(c) — c (b )c (d ))2 (10)

4 4c (a )c (b )c (c )c (d)

Вычисляя выражение (s(e)s(f))2 = (1 — c2(e))(1 — c2(f)) по формулам (8), (9) и подставляя полученное значение в (10), после упрощения на компьютере получим:

. 2 b + d . a + b — c + d . a + b + c — d . a — b — c + d . a — b + c + d „ sin -----------sin-------------sin-----------------sin----------------sin-----------------

sin2 - =---------------------------------------------------------------------------------------------------------------2-4-4-4-4-. (11)

4 c(b)c(d )(c(c)s(b) — c(a)s(d ))(c(c)s(d) — c(a)s(b))

Далее,

. 2 b — d a — b — c — d a — b + c — d a + b — c + d a + b + c + d

„ sin -----------------------------cos---------------------------------------cos----------------------------------------cos-------------------------------------------cos----------------------------------------

■ S

cos2 — =-----------------------------------------------------------------------------------------------2-4-4-4-4-. (12)

4 c(b)c(d)(c(c)s(b) — c(a)s(d))(c(a)s(b) — c(c)s(d))

Поделив (11) на (12), имеем утверждение теоремы

. 2 b + d . a + b — c — d . a + b + c — d . —a + b + c — d . a — b + c + d „ sin ---------sin---------------sin--------------sin-----------------sin---------------

tan2S =---------2--------------4-----------------4-----------------4------------------4------.

4 . 2 b — d a — b — c — d a — b + c — d a + b — c + d a + b + c + d

sin-------cos--------------cos---------------cos--------------cos---------------

2 4 4 4 4

Что и требовалось доказать.

Литература

1. Bilinski, S. Zur Begründung der elementaren Inhaltslehre in der hyperbolischen Ebene / S. Bilinski // Math. Ann. - 1969.

2. Mednykh, A. D. Brahmahupta formula for cyclic quadrilaterals in the hyperbolic plane / A. D. Mednykh // Sib. Electron. Math. Reports. - 2012 to appear.

3. Valentine, J. E. An Analogue of Ptolemy's Theorem in Spherical Geometry / J. E. Valentine // Amer. Math. Monthly. - 1970. - Vol. 77.

4. M'Clelland, W. J. A Treatise on Spherical Trigonometry with application to Spherical Geometry and Numerous Examples. Part II / W. J. M'Clelland, T. Preston. - London: Macmillian and Co,1886.

5. Алексеевский, Д. В. Геометрия пространств постоянной кривизны / Д. В. Алексеевский, Э. Б. Винберг, А. С. Солодовников // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. - М.: ВИНИТИ. - 1988. - Т. 29.

6. Петров, Ф. В. Вписанные четырехугольники и трапеции в абсолютной геометрии / В. Ф. Петров // Математическое просвещение. - Сер. 3. - 2009. - Вып. 13.

7. Понарин, Я. П. Элементарная геометрия. Планиметрия / Я. П. Понарин. - М.: МЦНМО, 2004. - Т. 1.

8. Соколова, Д. Ю. О площади трапеции на плоскости Лобачевского / Д. Ю. Соколова // Сиб. электрон. мат. изв. - 2012.

Информация об авторах:

Байгонакова Галия Аманболдыновна - аспирант кафедры математического анализа ГАГУ, т. 8(913) 691-8816, e-mail: galyaab@mail.ru.

Bajgonakova Galiya Amanboldynovna - post-graduate student at the Department of Mathematical Analysis of Gorno-Altaysk State University.

Соколова Дарья Юрьевна - аспирант лаборатории теории функции Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН, т. 8(913) 460-2823, e-mail: from dasha@mail.ru.

Sokolovа Daria Yurievna - post-graduate student at the Laboratory of Function theory of S. L. Sobolev Institute of Mathematics of the Siberian Branch of the RAS.