О формуле Бретшнайдера для гиперболического четырёхугольника Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.132

О ФОРМУЛЕ БРЕТШ НАЙД ЕРА ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА*)

Г, А, Байгонакова, А, Д, Медных

1. Введение

Классическая формула Герона выражает площадь евклидова треугольника через длины его сторон. Формула Брахмагупты представляет из себя аналогичную формулу для выпуклого четырехугольника, вписанного в окружность. Ее обобщение на случай гиперболического четырехугольника получено в работе второго автора [1]. В 1842 г. Карл Бретшнайдер нашел площадь произвольного евклидова четырехугольника через длины его сторон и сумму двух противоположных углов. Сферическая версия теоремы Бретшнайдера найдена в предыдущей работе авторов [2]. Цель настоящей работы — получить аналог указанной теоремы в гиперболической геометрии.

Авторы не исключают возможность, что основные результаты настоящей работы были известны более ста лет назад, но в настоящее время они недоступны для цитирования. В то же время, эти результаты необходимы для современных исследований механических систем или, что то же самое, геометрических конфигураций. Другое важное применение полученных результатов — это вычисление объемов многогранников в пространствах постоянной кривизны. И, наконец, еще

Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (коды проектов 12 01 0021 0 и 10 01 00012) и Советом по грантам при президенте Российской Федерации (гранты МК-4447.2012.1 и НШ-921.2012.1).

© 2012 Байгонакова Г. А., Медных А. Д.

одной важной областью их применения является геометрическая теория узлов (см., например, [3-5]).

2. Общие сведения из гиперболической геометрии

В качестве модели гиперболической плоскости рассмотрим единичный круг U = {z £ С : | z | < 1}, снабженный метрикой Пуанкаре ds = 1Дх\2 • Геодезическими (или неевклидовыми прямыми) в этом случае служат дуги окружностей или прямых, ортогональных единичной окружности (рис. 1). Пусть z и w — произвольные точки круга U, а 0 — его центр. Тогда неевклидовы расстояния между указанными точками находятся по следующим формулам [6, с. 122, 123]:

I 12

л2^ =,—'Г.11'1', .... thdM = ы

,ь^ = и. (1)

(1 — |zP)(l-|w|2)’ -- 2 2

Подставляя две последние формулы в первую, после извлечения квадратного корня получим

| z — w| =

ch

р( о,-

■ ch

р(о,'<

(2)

Рис. 1. Гиперболический четырехугольник.

Рассмотрим гиперболический четырехугольник ABCD, изображенный на рис. 1. Обозначим неевклидовы длины четырехугольника через a, b, си d, а длины его диагоналей через ей/. Будем считать, что его вершина A находится в точке 0 .Евклидово расстояние |A — В| между точками A и В будем традиционно обозначать через AB.

Пользуясь формулой (2), выразим длины сторон евклидова четырехугольника ABCD через величины a, b, с, d, е и /. Имеем

AB = th-, ВС =

sh £

ch | ch i

CD =

sh #

ch | ch %

AD = th-. (3)

Пусть C* — точка, симметричная C относительно единичной окружности. Для нахождения евклидовых расстояний BC* и DC* воспользуемся равенством С* = = и следующей формулой из неевклидовой геометрии [6, с. 123]:

th

p(z,w)

1 — zw

(4)

В результате из (2) и (4) получим

Отсюда

1

z — —

W

| z — w|

Mth^i

ch

p(z,w)

ch

P(M) „К p(0>w

О Oil л

BC *

ch |

ch § sh § ’

DC*

ch |

ch | sh |

(5)

(6)

3. Теорема Бретшнайдера

Классическая теорема Бретшнайдера утверждает, что площадь S евклидова четырехугольника со сторонами a, b,c,d и противолежащими углами A и C находится по формуле

S2 = (p — a) (p — b) (p — с) (p — d) — abcd cos'

A + C

a + b + c + d , r

где p = -------------полупериметр четырехугольника (см. [2, с.

Отметим, что утверждение теоремы не изменится, если сумму A + C заменить суммой другой тары противоположных углов B + D. Пользуясь равенством A+B + C+ D = 2л, справедливым для любого евклидова четырехугольника, теорему Бретшнайдера можно переписать в следующем, более симметричном виде

S

2

(p — a (Р — b) (p — c)(p — d) — abed sin2

A-B+C-D 4

Именно этот вариант допускает обобщение на случай гиперболического четырехугольника, сумма углов которого уже не равна 2л.

Важным частным случаем приведенной выше формулы является формула Брахмагупты S2 = (p — a)(p — b)(p — e)(p — d), выражающая площадь вписанного четырехугольника (случай A + C = B + D). Ее можно рассматривать как естественное обобщение формулы Герона. Гиперболический аналог формулы Брахмагупты получен в работе [1].

Основным результатом настоящей статьи является следующая

Теорема 1. Площадь S гиперболического четырехугольника со сторонами а, 6, с, d, углами A, B,C,D и полупериметром р = a+b+c+d находится по формуле

■ 2^ sin —

4

sh ^ sh ^ sh ^ sh ^ ch f ch | ch § ch |

abed 9 K — th — th — th - th — sin" —, 2 2 2 2 4 ’

где K = A — B + C — D.

Доказательство. Рассмотрим евклидов четырехугольник ABCD и соединим его вершины B и D отрезками евклидовых прямых с вершиной C* (см. рис. 1). Обозначим углы, образованные дугой BC и хордой ВС через х, а углы между дугой CD и хордой CD — через у. Отметим, что угловая мера дуги BC равна 2х, а дуги CD — 2y. Учитывая, что величина вписанного в окружность угла равна половине длины дуги, на которую он опирается, получим, что углы BC*C и CC*D равны соответственно x и у. Обозначим через A, B, C и D внутренние углы гиперболического четырехугольника ABCD, через A, B,C и D —

внутренние углы соответствующего ему евклидова четырехугольника ABCD. Имеем равенства

A = A, B = B

С = C + х + у, D = D + у.

(7)

Напомним, что в гиперболическом четырехугольнике всегда выполнено неравенство A+B + C+D < 2п, в то время как A + B+ C+ D = 2я. № (7) и последнего равенства получим уравнение A+B + C+D + 2х + 2у = 2п. Откуда

2тт - А-В-С - D _ S 2 ~~ 2 ’

х + у =

(8)

где S — площадь гиперболического четырехугольника ABCD. Найдем величину угла х + у из рассмотрения евклидова треугольника BC*D. Имеем

9х + у 9S BD - (BC* - DC*)2

sin- —-— = sin- — =-----ттгдй,—-------,

2 4 4BC * ■ DC*

откуда, выражая евклидовы длины через неевклидовы по формулам (3) и (6), получим

ч2 / , „ , „ , t, , j\2

sin — =

4

S (sh | sh - (ch | ch f - ch | ch 0~

4chf chf chf chf

(9)

Эта формула выражает площадь гиперболического четырехугольника через длины его сторон и диагоналей. Найдем аналогичное выражение для sin2 ^, где К = А — В + С — D. Для этого воспользуемся соотношением Бретшнайдера для евклидова четырехугольника ABCD (см. [7, с. 85]):

(AC ■ BD)2 = (AB ■ CD)2 + (BC ■ AD)2 -2 AB ■ BC ■ CD ■ AD ■ cos (A + C. Поскольку

A 4~ C — ^ + ^|- ^1- у — я-

^^rC-D

имеем

,CC A - B + C - D K

cos(H + 6) = — cos----= — cos —.

— cos

Это дает

К (АС- BD)2 - (АВ ■ CD)2 - (ВС ■ AD)2

СШ ~2~“ 2АВ-BC-CD-AD

откуда

. 9 K (AB • CD + BC • AD)2 - (AC • BD)2

с - = -------------------1---------

4 4АВ-BC-CD-AD '

Как и выше, переходя по формулам (3) и (6) от евклидовых длин к неевклидовым, имеем

■ 2 sin

К

Т

(sh | sh | + sh ! sh |)" - (sh f sh |)" 4 sh | sh | sh | sh |

(10)

Исключая из формул (9) и (10) величину (sh § sh £)" и пользуясь формулами приведения, окончательно получим

■ 2^ sin —

4

sh Ср sh ^ sh ^ sh ch § ch | ch | ch |

abed 9 K — th — th - th - th - sm" —. 2 2 2 2 4

Приведем несколько следствий из доказанной теоремы. Напомним, что гиперболический четырехугольник с углами A,B,C и D является вписанным в окружность, орицикл или в одну ветвь эквидистанты тогда и только тогда, когда A + B = C+D[8,9]. В наших обозначениях это равносильно условию K = 0.

Это позволяет доказать следующий гиперболический аналог формулы Брахмагупты (см. также [1]).

Следствие 1. Площадь S вписанного гиперболического четырехугольника со сторонами a, b, e, d находится по формуле

. о S sh ^ sh ^ sh ^ sh ^

sin — =

4

ch | ch | ch | ch |

Где p = a+b+c+d.

Еще одно следствие выражает площадь описанного четырехуголь-

ника через стороны и сумму противолежащих углов.

Следствие 2. Площадь S описанного гиперболического четырехугольника со сторонами a, b, c, d и углами A, B, C, D находится по формуле

9S abed 9 A — B + C — D

sin" — = th - th - th - th — cos"-:-.

4 2 2 2 2 4

Доказательство. В случае описанного четырехугольника имеют место следующие соотношения на длины его сторон: a + c = b + d, тогда p — a = c, p — b = d, p — c = a, p — d = b. Учитывая, что 1 — sin2 ^ = cos2 по теореме 1 получим

9 S a b c d a b c d 9 K

sin" — = th - th - th - th-th - th - th - th — sin" —

4 2222 2222 4

.abcd 9 = th - th - th - th - cos" 2 2 2 2

К

T

Следствие 3. Если гиперболический четырехугольник со сторонами a,b,c и d вписан в одну окружность и описан около другой, то его площадь находится по формуле

9 S abcd sm" - =th-th-th-th-.

Доказательство. Поскольку для вписанного четырехугольника справедливо равенство K = A — B + C — D = 0, результат следует из предыдущего утверждения.

Следующий результат хорошо известен [9-11]. Однако в цитируемых работах он доказывается либо через изопериметрические неравенства, либо с помощью исследования на экстремум функций нескольких переменных. Ниже мы приводим элементарное доказательство.

Следствие 4. Гиперболический четырехугольник со сторонами a,b,c и d имеет максимальную площадь тогда и только тогда, когда он вписан в окружность, орицикл или одну ветвь эквидистанты.

Доказательство. В силу теоремы 1 величина tg2 j достигает максимального значения тогда и только тогда, когда K = 0, что соответствует случаю вписанного четырехугольника.

Аналогично устанавливается и следующее утверждение.

Следствие 5. Описанный гиперболический четырехугольник имеет максимальную площадь тогда и только тогда, когда он вписан в окружность, орицикл или одну ветвь эквидистанты.

ЛИТЕРАТУРА

1. Mednykb A. D. Brahmahupta formula for cyclic quadrilaterals in the hyperbolic plane // Sib. Electron. Math. Reports. 2012.

2. Вайгонакова Г. А., Медных А. Д. О формуле Бретшнайдера для сферического четырехугольника // Мат. заметки ЯГУ. 2012, Т. 19, № 1, С. 3—11.

3. Абросимов Н. В., Годой-Молина М., Медных А. Д. Об объеме сферического октаэдра с симметриями // Современная математика и ее приложения. 2009. Т. 6. С. 211-218.

4. Алексеевский Д. В., Винберг Э. В., Солодовников А. С. Геометрия пространств постоянной кривизны // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ. 1988, Т. 29. С. 1-146.

5. Milnor J. Hyperbolic geometry: the first 150 years // Bull. Amer. Math. Soc. 1982. V. 6, N 1. P. 9-24.

6. Бердон А. Геометрия дискретных групп. M.: Наука. 1986.

7. Понарин Я. П. Элементарная геометрия. Т. 1. Планиметрия. М.: МЦНМО. 2004.

8. Valentine J. Е. An analogue of Ptolemy’s theorem in spherical geometry // Amer. Math. Monthly. 1970. V. 77, N 1. P. 47-51.

9. Bezdek K. Ein elementarer Beweis fiir die isoperimetrische Ungleichung in der euklidischen und hyperbolischen Ebene // Ann. IJniv. Sci. Budap. Rolando Eotvos, Sect. Math. 1984. V. 27. P. 107-112.

10. Walter R. Polygons in hyperbolic geometry 2: Maximality of area // arXiv:1008. 382 lv 1 [math. MG].

11. Lienbard W. Cyclic polygons in non-Euclidean geometry // Elem. math. 2011. V. 66, N 2. P. 74-82.

г. Горно-Алтайск, г. Новосибирск

6 апреля 2012 г.