CC BY
114
УДК 37.013, 373.1, 374, 378
Д. А. Терёшин
О ПРИНЦИПАХ ПОСТРОЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ОБУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ В КЛАССАХ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ НА ОСНОВЕ ЗАДАЧНОГО ПОДХОДА
Рассматриваются принципы построения методической системы обучения геометрии, использующей в своей основе задачный подход, который выступает одновременно как технология обучения решению геометрических задач и как способ проектирования системы задач, ориентированной на овладение школьниками математической деятельностью. Приведены требования к системе задач, создающей у обучающихся условия для положительной мотивации и обеспечивающей формирование у школьников самостоятельного мышления. Описаны особенности авторского курса геометрии, основанного на задачном подходе. Приведены примеры нестандартных задач с полными решениями.
Ключевые слова: методическая система обучения, задачный подход, математическое мышление, математическая деятельность, профильное обучение, нестандартные задачи.
В системе математической подготовки школьников курс геометрии играет особую роль, так как является мощным средством развития личности в самом широком диапазоне ее ресурсов: умственном, культурном, нравственном и др.
Однако, несмотря на широкий круг исследований, в сложившейся практике профильного обучения геометрии недостаточно реализуются аспекты, связанные с целенаправленным развитием у школьников математической деятельности и математического мышления.
В настоящий момент очевидны два противоречия, которые требуют своего разрешения:
1) между современными подходами к обучению математике как процессу овладения математической деятельностью и их недостаточной реализацией в методике преподавания геометрии на профильном уровне;
2) между объективной необходимостью проектирования образовательного процесса по обучению геометрии в классах физико-математического профиля и отсутствием соответствующей методической системы обучения.
В данной работе предлагается подход к построению методической системы изучения геометрии на углубленном уровне, который, по мнению авторов, разрешает указанные противоречия. Этот подход укладывается в рамки концепции развития российского математического образования, принятой в декабре 2013 г. [1]. Одной из ключевых идей концепции является следующее положение: «освоение математики должно происходить в первую очередь в процессе решения содержательных задач на основе точно сформулированных правил. Математическая деятельность - ключевой элемент всей системы математического образования» [1].
Известный педагог-математик Д. Пойа писал: «Что значит владение математикой? Это есть умение решать задачи, причем не только стандартные, но и требующие известной независимости мышления, здравого смысла, оригинальности, изобрета-
тельности. Поэтому самая главная обязанность курса математики средней школы состоит в подчеркивании методической стороны процесса решения задач» [2].
Задачный подход в настоящее время получил широкое распространение в связи с ориентацией образовательного процесса на формирование у школьников умения учиться - основы учебной деятельности.
Решение задач является важнейшим видом учебной деятельности, в процессе которой учащиеся осваивают теорию учебного предмета, развивают свои творческие способности и самостоятельность мышления.
В работах Г. А. Балла, В. В. Давыдова, Д. Б. Эль-конина учебная деятельность представлена как система учебных задач [3-6]. Так, Д. Б. Эльконин, определяя обучение как совокупность действий, направленных на достижение поставленных перед учеником образовательных целей, видит в учебной задаче основную единицу учебной деятельности [6]. Такой взгляд инициировал создание дидактики задачного подхода, в соответствии с которой формирование новых знаний, умений и навыков обеспечивается специально спроектированной системой ситуаций, для разрешения которых используется совокупность учебно-познавательных задач. Например, у Г. Д. Бухаровой задачный подход предстает в качестве такой деятельности обучающихся, которая предполагает «применение системы разнообразных задач и их решений, т. е. выделение на каждом этапе не только определенных систем задач, но и систем, обеспечивающих успешность их решения» [7]. Таким образом, сущность задачного похода состоит в создании условий для положительной мотивации, обучения приемам, методам и методикам решения учебных задач, раскрытия творческих способностей учащихся.
В исследованиях, посвященных задачному подходу, было установлено влияние задач на развитие продуктивного мышления обучающихся. Исследо-
ватели продуктивного мышления, раскрывая суть его элементов (качеств, операций, факторов и т. п.), в основном сходятся в его характеристиках. Например, М. Вертгеймер [8] выделяет в качестве существенных характеристик такие операции, как группировка, центрирование, реорганизация и осмысление. З. И. Калмыкова [9] перечисляет основные качества продуктивного мышления: глубину, гибкость, устойчивость, осознанность и самостоятельность мыслительной деятельности.
Глубина ума проявляется в степени существенности признаков, которые человек может абстрагировать при решении проблемы, в широте переноса знаний в новые ситуации.
Гибкость ума характеризуется степенью изменчивости мыслительной деятельности, соответствующей меняющимся условиям исследуемой ситуации, предполагает преодоление барьера прошлого опыта, оригинальность решений. При гибком уме человек легко переходит от прямых связей к обратным, если это требуется для решения задачи.
Устойчивость ума проявляется в способности выделить в ситуации существенные признаки и действовать, удерживая в уме их совокупность, не поддаваясь на влияние случайных признаков.
Осознанность собственной мыслительной деятельности характеризуется возможностью сделать ее предметом мысли самого решающего проблему субъекта. В различных источниках в этом значении употребляется термин «рефлексия».
Самостоятельность при приобретении и оперировании новыми знаниями проявляется в постановке целей, выдвижении гипотез, самостоятельном решении проблем.
Логическая структура учебного материала, в частности по геометрии, предполагает последовательное наращивание объема изучаемых понятий, фактов. При этом учащиеся, владея понятиями теории и содержанием основных положений, испытывают затруднения в соотнесении своих знаний со структурой теории в целом. С целью разрешения данных затруднений выделяется определенный набор ключевых задач, которые представляют формулировку факта или метода, часто используемых для решения других задач (Г. И. Саранцев [10]). Решение ключевых задач позволяет упростить решение задач более сложной структуры; поэлементно формировать сложные умения, например, проводить дополнительные построения для решения задачи; систематизировать и структурировать знания о множестве теоретических фактов, методов решения и т. д.
Именно задачный подход стал основой для обучения математической деятельности учащихся классов физико-математического профиля. Дан-
ный подход имеет свои требования, которые авторы сформулировали следующим образом:
1. Задачи должны развивать математическое мышление школьников в нескольких направлениях - учить как построению алгоритмов, так и созданию мало формализуемых эвристических приемов, помогающих в процессе поиска решения задач.
2. Задачи должны развивать гибкость ума, т. е. способность решать задачи несколькими путями и способами.
3. Содержание задач должно удовлетворять принципам полноты, систематичности и последовательности, т. е. в полной мере использовать положения теории, быть частью продуманной системы, следовать друг за другом в определенных последовательных цепочках, внутри каждой из которых каждая последующая задача определенным образом связана с предыдущей.
4. Задачи должны усложняться по способам деятельности.
5. Необходимо наличие ключевых задач - задач, в которых рассматриваются факты или способы деятельности, применяемые для решения других задач и имеющие принципиальное значение для усвоения математического содержания.
6. Система задач должна обеспечивать развитие всех компонентов математической деятельности: эмпирического, логического и теоретического.
В каждом способе решения задач какого-либо вида, в самом решении этих задач, в умениях, формируемых при этом, содержатся как чисто специфические черты, присущие лишь способу и умениям, соответствующим данному виду задачи, так и некоторые общие черты, присущие методам и умениям по решению любых математических задач. Поэтому при решении задач того или иного вида надо в первую очередь подчеркивать и выделять общие методы решения задач: разбиение на подзадачи, разбиение области задачи на части, сведение данной задачи к ранее решенным, модельные преобразования задачи.
Необходимо формировать у учащихся такой общий подход к решению задач, когда задача рассматривается как объект для анализа, для исследования, а ее решение - как конструирование и изобретение способа решения.
В русле концепции задачного подхода и математической деятельности был разработан авторский курс геометрии для классов физико-математического профиля. Опишем его основные особенности. В содержание программы 10-го класса включены разделы стереометрии, которые ранее традиционно относились к курсу 11-го класса (например, двугранные и многогранные углы, элементы теории многогранников). Причин этому несколько.
Во-первых, отделение аффинных вопросов стереометрии от метрических (10-й класс - параллельность прямых и плоскостей в пространстве, 11-й класс - многогранники, тела вращения, теория площади поверхности и объема) представляется нам неестественным. Интуитивные представления о геометрических телах и их объеме формируются с самого детства. Этих представлений, основанных на повседневном опыте, зачастую оказывается достаточно для решения многих содержательных метрических задач. Представляется совершенно необходимым как можно раньше учиться решать задачи, ведь формулировки многих из них понятны, даже если строгие определения тела и его объема еще не известны.
Во-вторых, изучение нового материала в конце 11-го класса вряд ли целесообразно. Не секрет, что в это время у большинства учащихся на первый план выходит решение чисто утилитарной задачи - успешного поступления в вуз. На сегодняшний день это означает подготовку к участию в олимпиадах и к сдаче ЕГЭ, где задачи по геометрии традиционно являются одними из самых сложных. Поэтому второе полугодие 11-го класса лучше посвятить повторению всего курса геометрии и решению задач.
Отметим дополнительно, что выбор тем, отнесенных к курсу 11-го класса, также не совсем обычен. В программу включены те вопросы стереометрии, которые требуют более серьезной подготовки в области алгебры и математического анализа (что, на взгляд авторов, трудно сделать в конце последней четверти 11-го класса). Так, геометрические величины (площади поверхностей и объемы) естественно излагать в конце первого - начале второго полугодия 11-го класса. Это обусловлено тем, что, с одной стороны, у учащихся к этому моменту сложились достаточные интуитивные представления об объеме и площади поверхности и, с другой стороны, в курсе алгебры и математического анализа изучен необходимый для изложения аппарат дифференциального и интегрального исчисления.
В то же самое время предложенное разделение стереометрии на две части - 10-й и 11-й классы -не является столь жестким. В зависимости от интересов и подготовки учащихся преподаватель может решить вернуться к темам, опущенным при изучении первой части курса.
Таким образом, в нашей модели из всего курса стереометрии приблизительно две трети приходится на курс 10-го класса. Опыт апробации курса показывает, что такой путь изучения материала вполне реален.
Основная часть курса содержит лишь разделы, относящиеся к стереометрии. Та часть курса, которая содержит сведения по планиметрии, вынесена
в приложение. Выбор тем, вошедших в приложение, обусловлен действующим на данный момент стандартом среднего (полного) образования по математике (профильного уровня).
Описанные выше подходы легли в основу авторского учебника по стереометрии для классов физико-математического профиля [11], входившего в федеральный перечень учебников, рекомендованных Министерством образования и науки РФ к изучению в общеобразовательных организациях на профильном уровне. В качестве важного дополнения был составлен задачник [12].
В предлагаемом курсе стереометрии предусмотрено систематическое обсуждение важных идей и методов решения задач. В каждой главе содержатся многочисленные примеры, снабженные подробными решениями. Кроме того, в виде задач представлен ряд «второстепенных» тем курса, которые можно сделать темой отдельного занятия или предоставить школьникам для самостоятельного изучения.
Решая математические задачи, представленные в продуманной системе, учащиеся не только активно овладевают содержанием курса стереометрии, но и приобретают умение мыслить творчески. Это проявляется, например, в умении изменить условие задачи с целью применения того или иного метода, приема, в умении изобретать новые приемы для решения задач; в умении выделять и накапливать потенциально полезную информацию; умение конструировать на базе данной задачи новые; в умении осуществлять самоконтроль, исследовать результат решения.
Таким образом, предлагаемый курс геометрии позволяет решить два основных противоречия, указанных в начале данной работы.
В заключение ниже приведены примеры некоторых красивых задач из учебника [11], иллюстрирующих, с одной стороны, приведенные выше положения и, с другой стороны, вызывающих у школьников повышенный интерес своей красотой, нестандартностью и вызовом, который они бросают учащимся (в англоязычной терминологии для таких задач принято наименование challenging problems, которое, быть может, лучше отражает их суть). Большинство задач цитируется по работе автора [13], но в отличие от указанной работы здесь приведены и их решения.
Задачи на аналогию
1. На боковых ребрах SA, SB и SC правильной треугольной пирамиды SABCD взяты соответственно точки A1, B1 и C1 так, что плоскости A1B1C1 и ABC1 параллельны. Пусть O - центр сферы, проходящей через точки S, A, B, и C1. Докажите, что прямая SO перпендикулярна плоскости A1B1C1.
Решение. Спроектируем точку O на пло-
скость SBC. Полученная точка O1 - центр окружности, описанной около треугольника SBCj. Пусть SSj - ее диаметр. Докажем, что прямые SOj и B1C перпендикулярны.
Действительно (рис. 1),
ZSB1C + ZB1SS1 = ZSCXB + ZBSS1 =
прямую, следует из того, что диагональ - самый длинный отрезок, умещающийся в кубе.)
- SB + - BS, = -2Анал(ЗТичНо п
екции прямой SO на плоскость SAC (рис. 2).
= - SB + - BS, = - • 180° =. 9Q°. 2Анал(2гичНо прямая A,C перпендикулярна про-
По теореме о трех перпендикулярах SO ± А1С и SO ± ВС, следовательно, SO ± А1В1С, что и требовалось доказать.
2. На плоскости даны три параллельные прямые и три точки. Постройте треугольник так, чтобы его вершины лежали на данных прямых, а стороны (или их продолжения) проходили через отмеченные точки (по одной через каждую из точек).
Решение. Рассмотрим треугольную призму. Данные прямые можно считать проекциями на данную плоскость прямых, содержащих боковые ребра этой призмы, а данные точки - проекциями точек, лежащих в плоскостях боковых граней призмы. Тогда искомый треугольник будет проекцией сечения призмы, проходящего через эти точки (призму нужно взять достаточно «длинной», чтобы в сечении получился треугольник). Тем самым наша задача свелась к построению сечения призмы по трем точкам в плоскостях боковых граней.
Задачи на комбинацию методов и приемов
3. Докажите, что площадь ортогональной проекции куба с ребром 1 на плоскость численно равна длине его проекции на прямую, перпендикулярную этой плоскости.
Решение. Обозначим а и I плоскость и перпендикулярную ей прямую, на которые проектируется куб. Пусть при рассматриваемой проекции на прямую I проекция куба есть проекция его диагонали PQ (рис. 3). (То, что проекция куба на прямую есть проекция какой-то его диагонали на эту
Рис. 3
Если угол между PQ и l равен ф, то длина проекции куба на прямую l равна PQ cos ф = \/3 cos ф. Поскольку любая прямая, проходящая через внутреннюю точку куба, пересекает его поверхность в двух точках, площадь проекции куба на плоскость а вдвое меньше суммы площадей проекций на а всех его граней, т. е. равна сумме площадей проекций трех попарно перпендикулярных граней, а следовательно, равна удвоенной площади проекции треугольника ABC. Итак, площадь проекции куба на а равна 2SABC cos ф1 =\/3cos ф1, где ф1 - угол между плоскостью а и плоскостью ABC. Остается заметить, что так как (PQ) A (ABC), то ф1 = ф.
Задачи на нестандартные примеры и конструкции
4. А. Верно ли, что угол между двумя наклонными меньше угла между их ортогональными проекциями на плоскость?
Ответ: не обязательно, пример приведен в задаче Б.
Б. Из точки A, расположенной вне плоскости, проведены перпендикуляр AO и наклонные AB и AC к этой плоскости. Известно, что BO = 1, CO = 2л/2, угол BOC равен 45°. Найдите наибольшее возможное значение угла BAC.
Ответ: arccos (2^6/7), что больше 45°.
Решение. Пусть из точки A, расположенной вне плоскости, проведены к ней перпендикуляр
AO и наклонные AB и AC; BO = 1, CO = 2^2, и
ZBOC = 45° (рис. 4).
Рис.4
Обозначим AO = x, ZBAC = а. Тогда AB2 = x2 + 1, AC2 = x2 + 8, BC = 8. По теореме косинусов из треугольника ABC получим
x2 + 2
cos а =
4xr+9xr+\
г, 0° < а < 90°.
1
Если взять х = 1, то cos а = —=, т. е. а = 45°.
V2
В этом случае оказалось, что угол между наклонными равен углу между их проекциями.
Замечание. Не следует думать, что угол между наклонными не может оказаться больше угла меж-
w х2 + 2
ду их проекциями. Исследуя cos а = .
Vx4 + 9 х2 + 8
на наибольшее значение, можно получить, что а/2?
аmax = arccos^- « 45°30'.
5. Можно ли из деревянного куба с единичным ребром вырезать три правильных тетраэдра с единичным ребром?
Ответ: можно (рис. 5).
бром; тетраэдр KLMN можно взять таким: K = A, L = B, M = C, N лежит на ребре AD достаточно близко к вершине A.
Задачи на применение нестандартной идеи Двугранные, многогранные и плоские углы 7. Плоские углы трехгранного угла равны 45, 45 и 60°. Через его вершину проведена прямая, перпендикулярная одной из граней, плоский угол которой равен 45°. Найдите угол между этой прямой и ребром трехгранного угла, не лежащим в указанной грани.
Решение. Рассмотрим куб ABCDA1B1C1D1. Заданный в условии трехгранный угол - это угол ABCB1 (рис. 6), так как ZBAC = ZB1AB = 45°, а ZB1AC = 60°, как угол равностороннего треугольника ACB1. Прямая AA1 перпендикулярна грани ABC, следовательно, искомый угол - это угол A1AB1. Он равен 45°.
Рис. 5
Решение. Пусть M и T - середины ребер СС1 и AA1 единичного куба ABCDA1B1C1D1; расстояние между прямыми BB1 и MT равно расстоянию между скрещивающимися ребрами правильного тетраэдра с ребром 1; поэтому на отрезке MT имеются точки K и P, симметричные относительно середины O отрезка MT, такие, что BPKB1 -правильный тетраэдр с ребром 1; рассматривая вместо ребра BB1 ребра AD и C1D1, можно аналогично разместить еще два таких же правильных тетраэдра.
6. Вершины тетраэдра KLMN лежат внутри или на поверхности тетраэдра ABCD. Может ли сумма длин всех ребер тетраэдра KLMN быть больше, чем сумма длин всех ребер тетраэдра ABCD?
Ответ: может.
Решение. Рассмотрим правильную треугольную пирамиду ABCD с достаточно малым ребром основания BCD и достаточно большим боковым ре-
Рис. 6
8. Диагональ прямоугольного параллелепипеда образует с его ребрами, выходящими из той же вершины, что и диагональ, углы а, р и у. Докажите, что а + р + у < 180°.
Решение. Расположим четыре равных прямоугольных параллелепипеда так, как это показано на рис. 7.
Рис. 7
Тогда ZBOC = 2а, ZAOC = 2р, ZAOB = 2у. Точ-ка O не лежит в плоскости ABC, следовательно, по теореме о сумме плоских углов трехгранного угла 2а + 2р + 2у < 360°, т. е. а + р + у < 180°.
Многогранники
9. В основании прямоугольного параллелепипеда АБСВА1Б1С1Б1 лежит квадрат АБСБ со стороной длины 2а. Боковое ребро имеет длину а. Рассматриваются отрезки с концами на диагонали А01 боковой грани и диагонали Б10 параллелепипеда, параллельные плоскости А^1Б1Б. Один из этих отрезков проведен через такую точку М диагонали АД, что АМ : АД = 2 : 3. Найдите наименьшую длину рассматриваемых отрезков.
Ответ: а.
2
Решение. Спроектируем параллелепипед параллельно диагонали Б10 на плоскость АББ1А1 (рис. 8).
Рис. 8
Всякий отрезок, параллельный этой плоскости, спроектируется в отрезок той же длины. Поэтому рассматриваемые отрезки равны своим проекциям (далее буквами со штрихами будем обозначать проекции соответствующих точек).
Кратчайшая из рассматриваемых проекций -перпендикуляр D'H, опущенный из точки D' на
(A'D1'). Так как AB' = B'D1' = 2a, то ZD'D[ = -,
DH DDI a следовательно, DH = —=- = —=.
V2 V2
10. Боковые грани правильной четырехугольной пирамиды и правильного тетраэдра равны. Эти многогранники приложили друг к другу так, что боковая грань одного из них совпала с боковой гранью другого. Сколько граней у получившегося многогранника?
Ответ: 5.
Решение. Расположим рядом с данной четырехугольной пирамидой еще одну, равную ей так, как это показано на рис. 9. Легко проверить, что тогда все ребра тетраэдра ABCD равны ребру четырехугольной пирамиды. Поэтому этот тетраэдр -правильный. При этом очевидно, что его грань ACD лежит в одной плоскости с передними гранями четырехугольных пирамид, а грань BCD - в одной плоскости с задними их гранями. Следовательно, у рассматриваемого в условии задачи многогранника 5 граней (а не 7, как могло бы показаться на первый взгляд).
Рис. 9
Отметим еще, что мы без вычислений попутно доказали следующий известный факт: сумма двугранного угла при ребре правильного тетраэдра и двугранного угла при ребре правильного октаэдра равна к.
Геометрические места точек
11. Найдите геометрическое место точек данного трехгранного угла, сумма расстояний от которых до его граней равна данному положительному числу а.
Решение. Пусть 0ХУ2 - данный трехгранный угол. Возьмем на его ребрах 0Х, 0У и 02 точки А, Б и С соответственно так, что расстояния от этих точек до противоположных им граней равны а (рис. 10). Пусть точка М принадлежит трехгранному углу, а расстояния от нее до граней равны а1, а-
и a3. Сумма объемов пирамид с вершиной M и OAB, OBC и OCA равна
-S(a1 + a2 + a3), где S - площадь треугольников
основаниями 1 2
OAB, OBC и OCA (эти треугольники равновелики, так как их площади равны 3V
—, где V - объем тетраэдра OABC). Следова-a
тельно, V = 1S(ax + a2 + a3) ± v,
где v - объем
тетраэдра MABC. Так как V =— Sa, то a1 + a2 + a3
тогда и только тогда, когда v = 0, т. е. точка M принадлежит треугольнику ABC.
Рис. 10
Тела вращения Решение. Положим в каждый конус по шару
12. В пространстве расположены четыре конуса так, чтобы каждый касался трех других шаров
с общей вершиной и одинаковой образующей (но, и боковой поверхности каждого конуса. Тогда
вообще говоря, с разными радиусами оснований). утверждение задачи сводится к широко известной
Каждый из этих конусов касается двух других. До- задаче о четырех касающихся шарах [12, задача
кажите, что четыре точки касания окружностей 10.21]. оснований конусов лежат на одной окружности.
Список литературы
1. Распоряжение Правительства РФ от 24.12.2013 № 2506-р «Об утверждении Концепции развития математического образования в Российской Федерации» 2013. 24 декабря. URL: http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_156618/ (дата обращения: 25.11.2014).
2. Пойа Д. Математическое открытие. М.: Наука, 1976. 452 с.
3. Балл Г. А. Теория учебных задач: психолого-педагогический аспект. М.: Педагогика, 1990. 184 с.
4. Давыдов В. В. Психологическая теория учебной деятельности и методов начального обучения, основанных на содержательном обобщении. Томск: Пеленг, 1992. 115 с.
5. Давыдов В. В., Маркова А.К. Концепция учебной деятельности школьников // Вопросы психологии. 1981. № 1. С. 13-26.
6. Эльконин Д. Б. Избранные психологические труды. М.: Педагогика, 1989. 560 с.
7. Бухарова Г. Д. Основные понятия теории решения задач и теории обучения решению задач // Образование и наука. 2011. № 3 (82). С. 44-58.
8. Вертгеймер М. Продуктивное мышление / ред. С. Ф. Горбова и В. П. Зинченко. М.: Прогресс, 1987. 336 с.
9. Калмыкова 3. И. Продуктивное мышление как основа обучаемости. М.: Педагогика, 1981. 200 с.
10. Саранцев Г. И. Методология методики обучения математике. Саранск: Красный октябрь, 2001. 144 с.
11. Калинин А. Ю., Терёшин, Д. А. Геометрия. 10-11 классы. М.: МЦНМО, 2011. 640 с.
12. Калинин А. Ю., Терёшин Д. А. Сборник задач по геометрии. 10-11 классы. М.: МЦНМО, 2011. 160 с.
13. Терёшин Д. А. Развитие математического мышления учащихся в процессе обучения курсу стереометрии в классах физико-математического профиля // Вестн. Томского гос. пед. ун-та (TSPU Bulletin). 2013. Вып. 4. С. 51-55.
Терёшин Д. А., ст. преподаватель.
Московский физико-технический институт (государственный университет).
Институтский пер., 9, Долгопрудный, Московская область, Россия, 141700. E-mail: diter@mail.mipt.ru
Материал поступил в редакцию 17.11.2014.
D. A. Tereshin
ON THE PRINCIPLES OF CONSTRUCTION OF METHODICAL SYSTEM IN GEOMETRY FOR THE CLASSES OF PHYSICAL AND MATHEMATICAL PROFILE BASED ON THE PROBLEM SOLVING APPROACH
The article examines the principles of construction of methodical system in geometry using problem solving approach, which acts simultaneously as a technology of solving geometric problems and as a way of design the system of challenging problems, focused on students mastering the mathematical activity.
We consider and resolve two contradictions: between modern approaches to teaching mathematics as a process of learning mathematical activity and their lack of implementation of the methods of teaching geometry at profile level; between the objective necessity of designing educational process to teach geometry creatively and the lack of appropriate methodological training system.
We discuss some features of problems, create in the student environment for positive motivation and ensure the formation of students' independent thinking. We also consider the examples of challenging problems with solutions.
Key words: methodical system of training, problem solving approach, mathematical thinking, mathematical activity, specialized education, challenging problems.
References
1. Rasporyazhenie pravitel'stva RF ot 24.12.2013 № 2506-r "Ob utverzhdenii Kontseptii razvitiya matematicheskogo obrazovaniya v Rossiyskoy Federatsii" 2013. 24 dekabrya [Russian Federation Government Decree of 24.12.2013 no. 2506-r "On Approval of the Concept of development of mathematics education in the Russian Federation"]. URL: http://www.garant.ru/products/ipo/prime/doc/70452506/#16 (accessed 25 November 2014) (in Russian).
2. Polia D. Mathematical discovery. Vols 1&2, John Wiley&Sons, 1981. 220 p. (Russ. Ed.: Poya D. Matematicheskoye otkrytiye: per. s angl. Moscow, Nauka Publ., 1976. 452 p.)
3. Ball G. A. Teoriya uchebnykh zadach:psikhologo-pedagogicheskiy aspect [The theory of learning tasks: Psychological and pedagogical aspects]. Moscow, Pedagogika Publ., 1990. 184 p. (in Russian).
4. Davydov V. V. Psikhologicheskaya teoriya uchebnoy deyatel'nosti i metodov nachal'nogo obucheniya, osnovannykh na soderzhatel'nom obobshchenii [Psychological theory of learning activities and methods of primary education, based on meaningful generalizations]. Tomsk, Peleng Publ., 1992. 115 p. (in Russian).
5. Davydov V. V., Markova A. K. Kontseptsiya uchebnoy deyatel'nosti shkol'nikov [The concept of learning activities of students]. Voprosypsikhologii-Questions of Phsychology, 1981, no. 1, pp. 13-26 (in Russian).
6. El'konin D. B. Izbrannye psikhologicheskie trudy [Selected psychological works]. Moscow, Pedagogika Publ., 1989. 560 p. (in Russian)
7. Bukharova G. D. Osnovnye ponyatiya teorii resheniya zadach i teorii obucheniya resheniyu zadach [The basic concepts of the theory of problem solving and learning theory problem solving]. Obrazovanie i nauka - Education and scince, 2011, no. 3 (82), pp. 44-58 (in Russian).
8. Wertheimer M. Productive thinking. New York, Harper, 1945. 224 p. (Russ. Ed.: Vertgeimer M. Produktivnoye myshleniye: per. s angl. Moscow, Progress Publ., 1987. 336 p.)
9. Kalmykova Z. I. Produktivnoe myshlenie kak osnova obuchaemosti [Productive thinking as a basis of learning]. Moscow, Pedagogika Publ., 1981. 200 p. (in Russian)
10. Sarantsev G. I. Metodologiya metodiki obucheniya matematike [The methodology of teaching mathematics]. Saransk, Krasny Oktyabr' Publ., 2001. 144 p. (in Russian)
11. Kalinin A. Yu., Tereshin D. A. Geometriya. 10-11 klassy [Geometry. 10-11 classes]. Moscow, MTSNMO Publ., 2011. 640 p. (in Russian)
12. Kalinin A. Yu., Tereshin D. A. Sbornik zadach po geometrii. 10-11 klassy [Problems in Geometry. 10-11 classes]. Moscow, MTSNMO Publ., 2011. 160 p.
13. Tereshin D. A. Razvitie matematicheskogo myshleniya uchashchikhsya v protsesse obucheniya kursu stereometrii v klassakh fiziko-matematicheskogo profilya [Development of mathematical thinking of students in solid geometry course in the classes of physical and mathematical profile]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo pedagogicheskogo universiteta - TSPU Bulletin, 2013, vol. 4 (132), pp. 51-55 (in Russian).
Moscow Institute of Physics and Technology (State University).
Institutskiy per., 9, Dolgoprudny, Moscow Region, Russia, 141700.
E-mail: diter@mail.mipt.ru
