CC BY
66
и по отношению к героям, событиям произведения и к маленьким читателям.
Поскольку в круг чтения детей младшего школьного возраста могут попасть произведения с проявлениями безнравственности героев, негуманных межличностных отношений, с размытыми представлениями о добре и зле, необходимо при подготовке к уроку чтения и анализа такого текста продумать, каким
Библиографический список
образом следует читать и анализировать подобные произведения. Кроме того, учителям нужно пропагандировать среди родителей, родственников учащихся знания о том, как помогать детям в их самостоятельной читательской деятельности, чтобы правильно оценивать воспитывающий потенциал произведений для детского чтения и предупреждать негативное воздействие таких произведений на психику детей.
1. http://mirslovarei.com/content_fil/gumanizm-v-shirokom-smysle-8505.html
2. http://mirslovarei.com/content_psy/gumanizm-6514.html
3. Философский словарь: http://mirslovarei.com/content_fil/gumanizm-v-shirokom-smysle-8505.html
4. Психологическая энциклопедия:http://mirslovarei.com/content_psy/gumanizm-6514.html
5. Амонашвили, Ш.А. Истина школы. - М., 2008.
6. ФГОС (Школа 2100) Примерная основная образовательная программа. Программа отдел. Предметов для начальной школы. - Ба-ласс, 2011. - Кн. 2,.
7. Леонтьев, А.А. Обучение чтению младших школьников: Из опыта работы школы. - М., 1981.
8. Львов, М.Р Методика преподавания русского языка в начальных классах школы / М.Р Львов, В.Г. Горецкий, О.В Сосновская. -М., 2007.
Bibliography
1. http://mirslovarei.com/content_fil/gumanizm-v-shirokom-smysle-8505.html
2. http://mirslovarei.com/content_psy/gumanizm-6514.html
3. Filosofskiyj slovarj: http://mirslovarei.com/content_fil/gumanizm-v-shirokom-smysle-8505.html
4. Psikhologicheskaya ehnciklopediya:http://mirslovarei.com/content_psy/gumanizm-6514.html
5. Amonashvili, Sh.A. Istina shkolih. - M., 2008.
6. FGOS (Shkola 2100) Primernaya osnovnaya obrazovateljnaya programma. Programma otdel. Predmetov dlya nachaljnoyj shkolih. - Balass,
2011. - Kn. 2,.
7. Leontjev, A.A. Obuchenie chteniyu mladshikh shkoljnikov: Iz opihta rabotih shkolih. - M., 1981.
8. Ljvov, M.R. Metodika prepodavaniya russkogo yazihka v nachaljnihkh klassakh shkolih / M.R. Ljvov, V.G. Goreckiyj, O.V Sosnovskaya. -
M., 2007.
Статья поступила в редакцию 10.06.12
УДК 513(075.5)
Fomina N.I. AN ALGORITHMIC APPROACH AS A WAY TO IMPLEMENT TASK-s TECHNOLOGIES IN TEACHING STUDENTS GEOMETRY. The article deals with modern aspects of the implementation task-s technologies in learning geometry students of Pedagogical Universities, reveals the possibility of an algorithmic approach as a way to implement task-s technologies. The presentation is accompanied by specific examples include the algorithmic structure of the regulations in various task-s technologies.
Key words: algorithmic approach, the generalized scheme, task-s technologies, training activities, developing training.
Н.И. Фомина, канд. пед. наук, доц. каф. математики, теории и методики обучения математике
Арзамасского гос. педагогического института, г. Арзамас, Е-mail: [email protected]
АЛГОРИТМИЧЕСКИЙ ПОДХОД КАК СПОСОБ РЕАЛИЗАЦИИ ЗАДАННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ В ОБУЧЕНИИ СТУДЕНТОВ ГЕОМЕТРИИ
В статье рассматриваются современные аспекты применения задачных технологий в обучение геометрии студентов педагогических вузов. Раскрываются возможности алгоритмического подхода как способа реализации задачных технологий. Изложение сопровождается конкретными примерами, иллюстрирующими включение алгоритмических предписаний в структуры различных задачных технологий.
Ключевые слова: алгоритмический подход, обобщенная схема, задачные технологии, учебная деятельность, развивающее обучение.
Термин технология появился в Древней Греции и является комбинацией двух слов: techne - искусство, ремесло; logos -учение, знание. Поэтому термин технология можно истолковывать как рассуждение об искусствах. Мысль о технологизации процесса обучения высказал ещё Я.А. Коменский. Он призывал к тому, чтобы обучение стало «техническим», то есть таким, что все, чему учат, не могло не иметь успеха. Важнейшая идея технологий - гарантированность результата. Успешность обучения является основополагающим принципом организации учебного процесса, его мотивационным звеном.
Задачи выступают одним из основных содержательных компонентов при обучении геометрии студентов педвуза. Только через решение задач можно добиться наиболее полного понимания и усвоения теоретического материала. Задачные конструкции - главное средство организации познавательной деятельности студентов. Эффективность учебной работы напрямую определяется тем, какие именно задачи и в какой последовательности предлагаются учащимся, какими способами они ре-
шались, и как велика была доля самостоятельности в процессе их решения. Поэтому, как утверждает Зайкин М.И., необходим сплав глубоких математических знаний и продуктивных методических идей. Создание задачных конструкций и приёмы раскрытия взаимосвязей этих конструкций, - шаг к технологическому обновлению математического образования [1]. Зайкин М.И. выделяет несколько технологических подходов: технологии исследовательского цикла, технологии развивающейся цепочки взаимосвязанных задач, технологии динамического изменения за-дачной ситуации, технологии варьирования условия задачи, технологии видоизменения задачи, технологии составления задачи, технологии моделирования задачной ситуации. Особенно трудным этапом представляется поиск плана решения. Д. Пойа утверждал, что учащийся «должен приобрести как можно больше опыта самостоятельной работы. Но если он оставлен наедине с задачей без всякой помощи или если эта помощь недостаточна, - это может не принести ему никакой пользы» [2]. Поэтому в рамках конкретных задачных технологий должны приме-
няться такие способы их реализации, которые позволят усилить их эффект и преодолеть их недостатки. Вполне определённого ответа на вопрос о том, как вести поиск решения задачи нет. Но в ряде случаев, можно дать общие рекомендации, вооружив обучающегося некоторыми знаниями, которые дают субъекту ориентиры его деятельности. Такие знания получили в современной методике определённое название - это метазнания [3]. Здесь особое место должны занять задачные технологии и способы их реализации.
Над проблемой соотношения обучения или развитие размышляли многие выдающиеся педагоги. Обучение и развитие -две равноправные стороны учебного процесса. Однако, никакого развития без первоначальных знаний невозможно. Развитие осуществляется по принципу «от простого к сложному». Принцип постепенного усложнения задачной ситуации изначально закладывается во все перечисленные задачные технологии. Одним из способов реализации этого принципа может служить алгоритмический подход.
Геометрия менее всех других разделов математики поддаётся алгоритмизации. Хотя, иногда, использование алгоритмов бывает очень полезно и способно значительно повысить степень усвоения учебного материала. Алгоритмизация геометрии в учебном процессе может быть представлена следующими направлениями:
- формальное использование готовых алгоритмов;
- выбор алгоритмов из некоторой совокупности алгоритмов для решения поставленной учебной задачи;
- приспособление известного алгоритма к новой учебной ситуации;
- самостоятельное составление алгоритмов студентами. Выбор алгоритмической деятельности определяется целью,
которая ставится для реализации поставленной учебной задачи. К тому же, алгоритмизация должна быть рациональной, оправдывающей своё применение, не являться самоцелью. Ведь, в связи с компьютеризацией учебного процесса, в настоящее время очень большое внимание уделяется формированию алгоритмического стиля мышления, и алгоритмы иногда применяются искусственно, не имея к тому необходимости. Поэтому алгоритмизация должна быть, прежде всего, содержательной, а не внешней. а х Ь
Использование готовых алгоритмов возможно после подробного, поэтапно разобранного решения аналогичной задачи при обсуждении со студентами теоретического материала. Здесь алгоритмы включаются в технологии исследовательского цикла. Так, например, на лекционном занятии предлагается алгоритм нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми а и Ь (рис. 1), результатом которого является формула для нахождения этого расстояния. Изобретать каждый раз способ нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми есть неоправданная трата драгоценного учебного времени, которого
Рис. 2.
Расстояние, между скрещивающимися прямыми а и б, вычисляется как высота параллелепипеда. Объем параллелепипеда, с одной стороны, равен произведению площади основания на высоту параллелепипеда, то есть
V = S ■ Н а ,Ь,М,М2
ОСН ^ лп\/гг\м ч/а /•'тг\г»г\і_іі_і пооаи аЯ/''г\питгиг\м оопмимио ^плої і юииг»гг> пплмооалаима оаі/тг\пгш 1 2
, с другой же стороны равен абсолютной величине смешанного произведения векторов
(а ,Ь ММ 2) м , ,м 2
V =
есть
Площадь основания параллелепипеда есть длина векторного произведения
Здесь 1 2 - произвольные точки, принадлежащие прямым Ь и а.
|(а,Ь ММ2 )| р( а,Ь ) = Н = " п
Алгоритм нахождения
\а X Ь
Поэтому искомое расстояние находится по формуле I
расстояния между скрещивающимися прямыми сводится к поэтапному подсчёту элементов полученной формулы Алгоритмизируется и процесс нахождения общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых а и Ь (рис. 2).
с = а х Ь (У а, С
Пусть вектор . Тогда плоскость 01 может быть задана двумя направляющими векторами и точкой
М2 В Ь с Мі
2 , а плоскость ^ - двумя направляющими векторами ’ и точкой . Искомый общий перпендикуляр (прямая с)
У В
является линией пересечения плоскостей 01 и ^ . Отсюда алгоритм нахождения общего перпендикуляра может быть представлен следующей последовательностью действий:
- найти направляющий вектор а прямой а;
- найти направляющий вектор Ь прямой Ь;
- на прямой Ь найти произвольную точку М2;
Рис. 3.
- на прямой а найти произ вольную точку М1’
с = а х Ь
- найти вектор ^ ^ и ;
- найти уравнение плоскости У по двум направляющим векторам и точке;
- найти уравнение плоскости В по двум направляющим векторам и точке;
У В
- задать общий перпендикуляр как линию пересечения плоскостей 01 и ^ .
Построение общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых также алгоритмизируется.
Схема построения общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых а и Ь (рис. 3)
1. На прямой а выбирается некоторая точка М.
2. Через точку М проводится плоскость а, перпендикулярная прямой а.
3. Строится прямая Ь , являющаяся ортогональной проекцией прямой Ь на плоскость а.
4. Из точки М на прямую Ь опускается перпендикуляр MN.
5. Проводится прямая NP параллельная прямой а (точка Р принадлежит прямой Ь).
6. Проводится прямая РО параллельная прямой MN. Точка О принадлежит прямой а. Прямая РО - искомый общий перпендикуляр.
„ , . п к - ПБ' к к СС к АБСПА'БСП' . .....
Задача 1. Построить общий перпендикуляр диагонали и бокового ребра куба (рис. 4) [4].
Решение. Полезно сопоставлять этапы решения с общей схемой рассуждения. На чертеже вводятся те же обозначения точек и прямых, что и в общей схеме рассуждения. Символ С (М) означает, что точке С в схеме соответствует точка М. .
Пусть прямая а - это прямая СС , а прямая Ь - это прямая ПБ .
1. На прямой а выберем точку С (М).
2. Через точку С проходит плоскость АБСП перпендикулярная прямой а.
3. Прямая DB является ортогональной проекцией прямой ПБ на плоскость АБСП .
4. Прямая CN перпендикулярна прямой DB.
СС ПБ
5. Проводится прямая NP параллельная прямой (точка Р принадлежит прямой 1УП ).
СС .
6. Проводится прямая РО параллельная прямой СN. Точка О принадлежит прямой
7. Прямая РО - искомый общий перпендикуляр.
В геометрии практически нет смысла использовать алгоритмы в классическом их определении. Здесь фактически используются лишь некоторые алгоритмические предписания, позволяющие применить ранее известные схемы рассуждений.
Выбор алгоритма из некоторой совокупности алгоритмов может быть использован в технологии динамического изменения задачной ситуации. Примером, иллюстрирующим данный тип алгоритмов, служит алгоритм приведения кривой второго порядка к каноническому виду. Здесь различают два случая. Во-первых, алгоритм приведения кривой к каноническому виду путём поворота осей координат, и, во-вторых, путём параллельного переноса осей координат, который фактически сводится к алгоритму выделения полного квадрата.
Общее уравнение линии второго порядка имеет вид
а п х2 + 2 а12 ху + а 22 у2 + 2а 10 х + 2 а 20 у + а00 = 0
С помощью преобразования системы координат уравнение ЛВП может быть приведено к каноническому виду.
1. Если в (1) а12 = 0, то уравнение имеет вид
а и X + а 22 у + 2аюх + 2а20у ^ а00 = 0 (2)
D C
Это уравнение преобразуется к каноническому виду с помощью параллельного переноса осей координат по формулам
Г X = х' + хп
I у = у + уо О'
^ , где ^ (х0 ,у0) - координаты начала новой системы координат относительно старой системы координат.
ох оу
Новые оси ^ л и у параллельны старым. Приведение уравнения (2) к каноническому виду осуществляется методом выделения полных квадратов, который описывается некоторой схемой.
При а11 Ф 0, а22 Ф 0 уравнение (2) можно записать в виде
/ / \ 2 N 2 / / \ 2 N 2
a11 x2 + 2 a10 x + a1o a10 + a22 У2 + 2 ^ у + a20 a20 + aoo = 0
v a11 v a11 У У a11 2 2 V a22 У 2 2
а,
ll
2
x + a0- + a22 a20 У + —
a, a0o ,
"11 у
2
а,
1o
а
11
а
2o
+ а,
а
oo
0.
22
Далее вводятся обозначения
xo = ,У0 =
аа
x ' = x + —
У' = У + —.
а22
Отсюда
x = x -
*10
а
У = У
а
20
а
О
22 a a10 a20
А = - - a,
a
її
a
00
22
Здесь 11 22 - координаты точки ^ в старой системе координат. Тогда
ап х + а22 у = А
уравнение линии второго порядка будет иметь следующий вид 11 .
2. Если в уравнении (1) а12 Ф 0, то для его приведения к каноническому виду сначала нужно использовать поворот осей координат, а потом их параллельный перенос. Для преобразования уравнения (1) можно предложить следующий алгоритм:
au — Я
a22 - Я
1. Составить характеристическое уравнение
2. Найти тангенс угла @ поворота осей координат по формуле
=0 и найти его корни.
tg pi =
Яї - aii
a
Я1 - a2:
tg p2 =
Я2 - O-i 1
Я2 - a2
- (3)
- tg В „ cos В sin Р
3. Ограничиваясь одним из значении ° ' из (3), наити ^ и 'по формулам:
cos p =
41+tg2 p
; sin p = tg p • cos p.
2
2
а
11
a
a
a
a
1
4. Записать формулы преобразования системы координат
Гх = х' cos Р - у' sin Р [у = х' sin Р + у' cos Р
5. Преобразовать часть уравнения (1) °10х + a20у по формулам(4) a10х + a20у = a10 (х'cos Р - у 'sin Р) + a20 (х 'sin Р + у 'cos Р). (a10 cos Р + a20 sin Р) х ' - (a10 sin Р - a20 cos Р)у ' = a10х' + a20 *у '
1х'2 + 12у'2 + 2a'х ' + 2a20у' + a00 = 0. (5 )
6. Записать уравнение (2) в виде: 1 2 10 20 00 v ’
7. В уравнении (5) а12=0 и можно применить описанный ранее алгоритм.
8. Можно проверить правильность решения, подставляя в (1) x и у из пункта (4).
Использование обобщённых схем логики решения некоторой совокупности задач позволяет приспособить общую схему рассуждения к, казалось бы, совершенно разным задачам. Обобщённые схемы могут служить способом реализации технологии варьирования условия задачи. Причём сами схемы полезно составлены совместно с учащимися. Рассмотрим совокупность из трёх задач.
1. Внутри треугольника АВС взята точка М. Доказать, что угол ВМС больше угла ВАС.
2. Доказать, что против большей стороны в треугольнике лежит и больший угол.
3. Сумма любых двух сторон треугольника больше третьей стороны.
Обобщённая схема решения задач:1) выделение двух объектов, которые необходимо сравнить; 2) установление отношений между объектами, которые нужно доказать; 3) введение третьего объекта, сравнимого с двумя указанными ранее; 4) сравнение первого объекта с третьим; 5) сравнение второго объекта с третьим; 6) использование свойства транзитивности отношений между объектами; 7) вывод.
Этапы решение первой задачи, соответствующие предложенной схеме:
1) Объекты: ^ ВМС, ^ ВАС; 2) Отношения: ^ ВМС > ^ ВАС; 3) Построим ^ ВКС (точка К получается в результате пересечения прямых ВМ и АС); 4) Имеем ^ ВМС > ^ ВКС, так как ^ ВМС является внешним углом треугольника МКС; 5) К тому же, ^ ВКС > ^ ВАС, так как ^ ВКС является внешним углом треугольника ВКА; 6) В результате ^ ВМС> ^ ВКС> ^
ВАС, следовательно, ^ ВМС> ^ ВАС; 7) Итак, ^ ВМС > ^ ВАС.
Обобщённая схема логики решения некоторой совокупности задач служит средством формирования обобщённых умений, которые позволяют различные задачные ситуации свести к общей схеме рассуждения. Такие схемы позволяют целостно видеть проблемную ситуацию, отбрасывая индивидуальные особенности каждой отдельно взятой задачи. Они определяют структуру решения, технологизируют решение. Но, вместе с тем, они не являются буквальным алгоритмическим предписанием. Обучающийся, использующий обобщённые схемы, оперирует лишь некоторыми общими логическими конструкциями, которые приводят знание в порядок и способствуют его творческой деятельности.
Методы решения геометрических задач иногда также успешно алгоритмизируются в виде некоторых схем, отражающих структуру каждого метода. Например, обобщённая схема решения задач методом подобия может быть следующей:
- выделить из условия задачи данные, которые определяют форму фигуры;
- выделить из условия задачи данные, определяющие размеры фигуры;
- построить фигуру указанной формы подобную искомой;
- построить отрезок, определяющий размеры фигуры;
- построить фигуру указанной формы и размеров, используя подобную;
- полученная фигура является искомой.
Задача. Построить треугольник по двум данным углам а и в и биссектрисе длины I, проведённой из вершины третьего угла.
В соответствии с пунктами схемы имеем, что:
1. Форму искомого треугольника определяют два угла а и в.
2. Размеры искомого треугольника определяет длина биссектрисы I.
А' В С'
3. Строится произвольный треугольник А D ^ подобный треугольнику АВС по двум углам а и в.
С С' D'
4. Строится биссектриса угла - прямая .
5. На биссектрисе С D откладывается отрезок C E длины 1. Через точку Е проводится прямая АВ параллельная прямой A B . Находятся точки пересечения прямой АВ со сторонами треугольника А В С .
6. Полученный треугольник C является искомым треугольником.
Выделение общих этапов решения задач на построение с помощью движений плоскости также позволяет вести рассуждения и построения, руководствуясь некоторой единой схемой.
Задача 1. Построить равносторонний треугольник АВС так, чтобы вершина А находилась в данной точке, вершина В
принадлежала данной прямой b, вершина С принадлежала данной прямой с.
Задача 2. Вписать в данный четырёхугольник ABCD параллелограмм MNKL, если заданы вершины М и N, принадлежащие
соответственно сторонам АВ и DC.
Решение второй задачи.
1. Применяется центральная симметрия относительно середины отрезка МК.
2. Рассматриваются две прямые AD и BC. Им принадлежат соответственно вершины L и N искомого параллелограмма.
3. Строится прямая A D , являющаяся образом прямой AD при центральной симметрии относительно середины отрезка
МК.
4. Строится точка N как точка пересечения прямых AD' и BC.
5. Строится прообраз точки N - точка L.
6. Искомый параллелограмм MNKL построен.
Самостоятельное составление алгоритмов применяется при усвоении теоретического материала, разработке планов доказательства теорем, а также разработке алгоритмов решения задач, различных геометрических построений и методов. Например, полезно для закрепления методов построения сечений многогранников студентам предлагать самостоятельно составить алгоритм построения сечения.
Алгоритм построения сечений многогранников методом следов может быть представлен следующей последовательностью действий.
1. Выбор основной плоскости:
- выбрать основную плоскость;
- найти проекции всех данных точек сечения на основную плоскость.
2. Построение следа секущей плоскости:
- найти точку пересечения двух прямых, одна из которых принадлежит плоскости сечения, а другая является проекцией этой прямой на плоскость основания;
- найти вторую такую же точку пересечения прямых;
- соединить две точки, полученные в предыдущих пунктах (получится след секущей плоскости);
- если такие две точки построить не удаётся, то секущая плоскость параллельна основной и для построения плоскости сечения через известные точки необходимо провести прямые, параллельные рёбрам основания, до пересечения с боковыми рёбрами многогранника.
3. Построение сечения:
- выделить на чертеже грань, которая содержит точку секущей плоскости и пересекает основную плоскость по прямой,
по которой плоскость выделенной грани пересекает основную плоскость;
- провести прямую через построенную точку и точку секущей плоскости, принадлежащую выделенной грани (построенная прямая есть линия пересечения секущей плоскости с плоскостью выделенной грани);
- найти точки пересечения прямой со сторонами выделенной грани (это вершины многоугольника);
- повторить необходимое число раз перечисленные задания из пункта 3, тем самым построить другие вершины сечения;
- соединить последовательно построенные вершины сечения, убеждаясь, что соединяются две точки, принадлежащие одной грани, заданного многоугольника.
В геометрии практически нет смысла использовать алгоритмы в классическом их определении. Здесь фактически используются лишь некоторые алгоритмические предписания, позволяющие применить ранее известные схемы рассуждений. Применение алгоритмов способствует систематизации знаний студентов, позволяет вычленить основные этапы рассуждения, решения, доказательства. Алгоритмические схемы эффективно работают в различных задачных технологиях, которые можно рассматривать как способы существования методической системы обучения студентов геометрии.
Библиографический список
1. Зайкин, М.И. Задачные технологии приобщения школьников к математическому творчеству // Педагогические технологии математического творчества: сб. статей участников международной научно-практич. конф. / под общ. ред. М.И. Зайкина. - Арзамас, 2011.
2. Пойа, Д. Как решать задачу. - М., 1961.
3. Иванова, Т.А. Освоение обучающимися специфики творческой математической деятельности как одно из требований стандарта основного общего образования // Педагогические технологии математического творчества: сб. ст. участников международной н/п конф. / под общ. ред. М.И. Зайкина. - Арзамас, 2011.
4. Атанасян, С.Л. Задачник-практикум по геометрии / С.Л. Атанасян, М.М. Цаленко. - М., 1994.
Bibliography
1. Zayjkin, M.I. Zadachnihe tekhnologii priobtheniya shkoljnikov k matematicheskomu tvorchestvu // Pedagogicheskie tekhnologii matematicheskogo tvorchestva: sb. stateyj uchastnikov mezhdunarodnoyj nauchno-praktich. konf. / pod obth. red. M.I. Zayjkina. - Arzamas, 2011.
2. Poyja, D. Kak reshatj zadachu. - M., 1961.
3. Ivanova, T.A. Osvoenie obuchayuthimisya specifiki tvorcheskoyj matematicheskoyj deyateljnosti kak odno iz trebovaniyj standarta osnovnogo obthego obrazovaniya // Pedagogicheskie tekhnologii matematicheskogo tvorchestva: sb. st. uchastnikov mezhdunarodnoyj n/p konf. / pod obth. red. M.I. Zayjkina. - Arzamas, 2011.
4. Atanasyan, S.L. Zadachnik-praktikum po geometrii / S.L. Atanasyan, M.M. Calenko. - M., 1994.
Статья поступила в редакцию 3.05.2012
