Моделирование кинетики плоских механизмов на базе целочисленных алгоритмов Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 004.3

МОДЕЛИРОВАНИЕ КИНЕТИКИ ПЛОСКИХ МЕХАНИЗМОВ НА БАЗЕ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ АЛГОРИТМОВ

© 2013 г. Н.С. Анишин, И.Н. Булатникова, Н.Н. Гершунина, А.А. Булатников

Анишин Николай Сергеевич - д-р техн. наук, профессор, кафедра «Математика и вычислительные системы», Академия маркетинга и социально-информационных технологий, E-mail: inkras@yandex.ru

Булатникова Инга Николаевна - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Прикладная математика», Кубанский государственный технологический университет. E-mail: inkras@yandex.ru

Гершунина Наталья Николаевна - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Начертательная геометрия и компьютерная графика», Кубанский государственный технологический университет.

Anishin Nikolay Sergeevich - Doctor of Technical Sciences, professor, department «Mathematics and Computing Systems» Academy of Marketing and Social-Information Technologies, Email: inkras@yandex.ru

Bulatnikova Inga Nikolaevna - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, department «Applied Mathematics» Kuban State Technological University. E-mail: inkras@yandex.ru

Gershunina Natalia Nikolaevna - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, department «Descriptive Geometry and Computer Graphics» Kuban State Technological University.

Булатников Александр Андреевич - аспирант, кафедра «Ин- Bulatnikov Alexander Andreyevich - post-graduate student, формационные системы и программирование», Кубанский department «Information Systems and Programming» Kuban государственный технологический университет. State Technological University.

Предложена методология проектирования алгоритмического обеспечения задач электронной кинематики на микропроцессорах. В ее основе лежат метод геометрического моделирования механизмов и машин и процедуры целочисленной арифметики.

Ключевые слова: быстродействующие целочисленные алгоритмы; микропроцессоры; управление механизмами.

The methodology of designing algorithmic support of the decision of tasks of e-kinematics on microprocessors is proposed. It is based on the method of geometric modeling of mechanisms and machines and procedures integer arithmetic.

Keywords: fast integer algorithms; microprocessors; control mechanisms.

Выдающийся механик, академик АН СССР К.В. Фролов ввел термин «электронная кинематика» [1]. Его основной тезис - обеспечение заданных синхронных перемещений рабочих органов не с помощью кинематических узлов (шарниры, стержни, кривошипы, кулачки и т.п.), а с помощью силовых (как правило, электрических) приводов, управляемых компьютерами, например, микропроцессорами (МП).

Это упрощает конструирование и изготовление сложных механических систем, сводя их к проектированию (синтезу) алгоритмов, и их программную реализацию на МП.

Поскольку узлы кинематических систем расположены в пространстве, то требуется привлечение геометрических знаний при синтезе таких алгоритмов.

Дело еще и в том, что решение ряда алгебраически заданных задач значительно проще осуществляется геометрико-построительными методами (например, из начертательной геометрии и инженерной графики).

С другой стороны, стремление снизить стоимость вычислительных средств требует использования МП. Особенность их архитектуры (в первую очередь, система команд) и стремление обеспечить максимальное быстродействие (как аппаратное, так и алгоритмическое) привели к использованию информационных технологий на базе целочисленной арифметики [2].

В их основе лежат алгоритмы цифровой линейной (линейка), круговой (циркуль) интерполяции, алгоритмы определения углов (транспортир), нахождения перпендикуляра (угольник) к прямой и др.

Этот набор инструментов (в виде целочисленных алгоритмов) позволяет, например, реализовать метод геометрических аналогий (МГА) при управлении станками с программным управлением [3], манипуля-ционными роботами [4] и др.

Этот подход (через МГА) в связи с развитием ро-бототехнических систем и гибких автоматизированных производств (ГАП) значительно эффективен за счет привлечения так называемых неаналитических методов решения задач управления сложными кинематическими системами [5]. Рассмотрим моделирование (имитацию) ряда простейших плоских механизмов.

Кривошипно-шатунный механизм

Кривошипно-шатунный механизм (КШМ) очень часто используется в машиностроении. Его кинематика (рис. 1) обеспечивает преобразование вращательного движения в линейное перемещение или наоборот.

Покажем, как можно, используя только целочисленные алгоритмы, определить зависимость перемещения точки В (ползун) и угла поворота АВ (шатун) от поворота радиус-вектора ОА (водило или кривошип).

У а/ A

' V> t а ^ B

о' D <-►

Рис. 1. Геометрическая модель КШМ

Для начала посмотрим, какие аналитические формулы будут заменены целочисленными алгоритмами. С учетом сделанных геометрических построений имеем

DB = ф2 - (a sin t)2 , xB = yjl2 - (a sin t)2 + a cos t,

,AD. , a sin t

а = arctg(-) = arctg(—= :

DB ф2 - (a sin t)2

. (AD

или а = arcsin I-

l AB

■■ arcsin

a sin t l

(1)

(2)

(3)

(4)

щадь круговых секторов).

Итак, имитация состоит в цифровой интерполяции первой окружности (дуга ЕА) радиуса а и второй -радиуса I (дуга FB) (рис. 2). Причем ведущей является первая окружность. А ведомой - вторая. В чем же состоит подчиненность второй окружности первой?

1. После каждого шага интерполяции первой окружности система и начало координат второй окружности плоскопараллельно переносится в новый узел интерполяции первой.

2. После этого делается один шаг интерполяции второй окружности, но в противоположном направлении (по или против часовой стрелки).

После перехода в каждый ^й соседний узел интерполяции первой и второй окружностей определяется искомая величина хв (хв = ОК + AL ),

Хв = х^) + Х2^), где х1(/), х2($) - абсциссы узлов интерполяции первой и второй окружностей соответственно.

Обращаем внимание на то, что абсцисса х2 ($) берется в новой системе координат. Угол а вычисляется в ходе цифровой интерполяции второй окружности, как описано в [2], т. е. через площадь $ кругового сектора ABF:

2$

а

Как видно из (1) - (4), реализация их малоудобна для МП упрощенной конфигурации (например, Я1$С-архитектуры). Поэтому воспользуемся комплексом целочисленных алгоритмов, дополненных логическими операторами и реализующих вычисление хВ и а.

В основе комплекса - два синхронно последовательно работающих алгоритма цифровой круговой интерполяции окружностей радиусом а и радиусом I с одновременным измерением углов / и а (через пло-

l2

(5)

Сама же площадь (а точнее, 2$) вычисляется по итерационной формуле:

2 So = 0; 2 $+i = 2 $ + A(2S) г,

(6)

где A (2S) г

х{ - при шаге по оси у; у - при шаге по оси х; (7)

х1 + у1 - при диагональном шаге.

x

Присутствие в (5) деления и возведения в квадрат не должно осложнять вычисления. Дело в том, что очень часто угол нужен для определения длины дуги окружности

L = aR = —. R

(8)

Еще одно деление на R убирается путем введения так называемого деления на константу (в данном случае R = /), являющегося масштабированием (редуцированием) частичных приращений величины ((25 - в нашем случае).

Кинематический треугольник

Такие треугольники присутствуют в кинематических системах, состоящих из нескольких стержней с шарнирами. В основе их геометрической модели такая задача: построить треугольник по трем заданным сторонам.

В наших кинематических применениях одна из сторон треугольника задается координатами ее концов. Две другие - длинами стержней. Аналитически задачи требуют весьма сложных алгебраических и тригонометрических вычислений (рис. 3). Для углов а и у имеем:

а2 + Ь2 -/2Ч

а = агс^(-),

2аЬ

у = arccos(

+ l2 - b2 . 2al J

где l = 02+(УС—УсУ - длина отрезка AC.

О

B

A

Ув :

где

у = arctg

Ч - Уа ^

димости вычисление углов BAC и ABC проводится по алгоритму (6) - (8).

Плоский двухзвенный манипулятор

Рассмотрим применение задачи о кинематическом треугольнике на примере двухзвенного манипулятора (рис. 4). Он имеет два силовых привода (по углу у поворота звена AB и по углу а поворота звена BC относительно звена АВ). На конце стержня ВС находится схват С. В нем находится рабочий орган (сварочный электрод, резец, зажим с изделием, которое надо транспортировать в заданную точку и т.п.).

Ус)

Рис. 4. Двухзвенный манипулятор

Исходной информацией для управления силовыми приводами (по углам у и а) являются координаты точки схвата С( хс, ус), куда надо переместить рабочий орган. Эти углы находятся решением задачи о кинематическом треугольнике с координатами концов одной стороны, заданных точками А(0,0) и С( хс, ус).

Плоский трехзвенный шарнирно-стержневой механизм

Более сложный случай микропроцессорного моделирования механизмов рассмотрим на примере трехзвенного шарнирно-стержневого механизма (рис. 5).

С(хс, Ус)

А(ха, Уа) с(хс Ус) х

Рис. 3. Кинематический треугольник Далее приведем выражения для координат хв и

хв = хь + а cos(y + ф), Ув = Уь + а у + ф),

Теперь об альтернативном решении этой задачи из начертательной геометрии. Оно состоит в двух засечках раствором циркуля величиной а и Ь из центров А и С соответственно. Точка пересечения этих дуг и есть ответ о координатах точки В. При необхо-

Рис. 5. Трехзвенный шарнирно-стержневой механизм

Конструктора подобных механических систем может интересовать одна или несколько из четырех переменных величин (в, хс, ус а).

Вместо того чтобы создавать кинематическую конструкцию, он может реализовать необходимые угловые или линейные функциональные (в зависимости от угла перемещения за счет компьютерной (на МП) программы. Но для этого нужны как можно более простые, целочисленные алгоритмы. Если же идти

V xc xa J

вдоль аналитических формул, то очевидна явная затруднительность в их реализации на МП.

Например, для нахождения координат шарнира С( хс, хс) необходимо непрерывно решать систему из двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными хс и Ус .

|(-P)2 + (,УС + d)2 = b2; I (xc + a sin t)2 + (yc - a cos t)2 = l2.

(9)

случаях математическая погрешность линейного позиционирования обеспечивалась в пределах ±0,125 мм (одного шага цифровой интерполяции).

Сравнение быстродействия отдельных вычислительных процедур

Решение системы (9) можно успешно заменить решением задачи о кинематическом треугольнике, рассмотренной выше. В данном случае наш треугольник образован точками (шарнирами) В, С и D. Исходными данными для задачи будут переменные координаты точки В (-a sint, cos t) и постоянные для точки D(p-d).

Другие применения

Используя предложенные нами информационные технологии на базе целочисленной арифметики, мы разработали неаналитический метод решения так называемой обратной задачи для манипуляционного робота с пятью степенями свободы [5].

Эта задача (нахождение пяти углов силовых приводов) до нас была решена на базе сложных аналитических (алгебраических, тригонометрических, векторных, матричных) выражений и поэтому с привлечением лишь универсальных ЭВМ для обеспечения расчетов в режиме реального времени [6].

На рис. 6 приведена экспериментально полученная зависимость временного выигрыша P от длины пробега А1ср схвата между очередными точками заданного положения схвата.

Р, разы

Процедура Время выполнения одной процедуры, мкс

По предложенному алгоритму По известному [6] методу

У аг^— X 114.5 3300

Asmx и Acosx 106.7 4390x2

аг^У и ^х2 + у2 X 114.5 3300+1728

То же самое с поворотом системы координат на угол а 236.0 5028+9956

Рис. 6. Зависимость выигрыша по быстродействию от длины пробега

При этом сравнивались времена счета на мини-ЭВМ СМ-1300 по двум алгоритмам. Один реализован по аналитике [6], а другой - по разработанному нами неаналитическому методу [5].

Получены данные о выигрыше во времени по отдельным комплексным процедурам (таблица). В обоих

Другим преимуществом предложенного метода решения обратной задачи для манипуляционных роботов является принципиальная возможность использования МП, распределенных по узлам кинематической системы.

Таким образом, использование микропроцессорных информационных технологий на базе целочисленной арифметики может обеспечивать успешное развитие современных робототехнических систем и гибких автоматизированных производств.

Литература

1. Фролов К.В., Бабицкий В.И. Механика и искусство кост-руирования в эпоху ЭВМ // Изобретатель и рационализатор. 1986. № 12. С. 16 - 17.

2. Булатников А.А., Ключко В.И., Булатникова И.Н. Информационные технологии с использованием целочисленной арифметики // Аналитический научно-технический журнал «Геоинжиниринг», НИПИ «Инжгео», Краснодар. 2011. № 2(11), С. 54 - 58.

3. Кошкин В.Л. Аппаратные системы числового программного управления. М., 1989. 248 с.

4. Булатникова И.Н., Гершунина Н.Н. Алгоритмические проблемы управления манипуляционными роботами // Тр/ Всерос. науч.-техн. конф. «Компьютерные технологии в инженерной и управленческой деятельности», июнь, 2001. Таганрог, 2001.

5. Анишин Н.С. Неаналитический метод решения обратной задачи для манипуляционных роботов // Машиноведение. АН СССР. 1986. №3. С. 3 - 9.

6. Платонов А.К. Проблемы разработки микропроцессорных средств для систем управления роботов// Микропроцессорные средства и системы. 1984. № 1. С. 22 - 27.

Поступила в редакцию

26 февраля 2013 г.