Опыт обучения методу аналогии при решении стереометрических задач Текст научной статьи по специальности «Математика»

x -1 < 1 - x о

x - 1 < 1 - x, [x > 0

C|- x - 1 < 1 - x, x < 0;

о

x > 0,

x -1 < 1 - x, x -1 > -(1 - x); x < 0,

x +1 < 1 - x, x +1 > -(1 - x);

о

x > 0, x < 1, -1 >-1; fx < 0, ¡1 > -1.

Выражение -1>-1 -ложь, поэтому первая система решения не имеет. Решение - х е (— сю;0) Ответ: (—го;0).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. ЕГЭ 2014.Математика. Типовые тестовые задания / под ред. А. Л. Семёнова, И. В. Ященко. - М.: Экзамен, 2014.- 153 с.

2. Математика. Подготовка к ЕГЭ 2014 / Под ред. Лысенко Ф.Ф., С. Ю. Кулабухова. - Ростов-на-Дону: Легион-М, 2014.-

186 с.

3. Математика. Тематические тесты. Часть II. Подготовка к ЕГЭ 2014. 10 - 11 классы / Под ред. Лысенко Ф.Ф. - Ростов-

на-Дону: Легион-М, 2014. - 175 с.

4. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2014. Тематические тесты: геометрия, текстовые задачи. Учебно-методическое пособие /

Под ред. Лысенко Ф.Ф. - Ростов-на-Дону: Легион-М, 2014. - 104 с.

А. С. Кузовлева

ОПЫТ ОБУЧЕНИЯ МЕТОДУ АНАЛОГИИ ПРИ РЕШЕНИИ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Аннотация. В статье рассказывается о методе аналогии, видах аналогий, об экспериментальной работе по использованию метода аналогии при решении стереометрических задач.

Ключевые слова: метод аналогии, виды аналогий, стереометрическая задача, поиск доказательства, эксперимент.

TRAINING EXPERIENCE METHOD OF ANALOGY IN SOLVING STEREOMETRIC TASKS

Abstract. The article tells about the method of analogy, types analogies, experimental work on the use of the method of analogy in solving stereometric tasks.

Keywords: analogy method, types of analogies, stereometric task, search evidence, experiment.

Современные учебники по геометрии построены таким образом, что сначала мы изучаем раздел «Планиметрия», а затем переходим к изучению раздела «Стереометрия». Как показывают теоретические исследования и анализ школьной практики, когда учащиеся изучают планиметрию, то образное восприятие задачи развито намного лучше, нежели чем, когда они изучают стереометрию и решают задачи в трехмерном пространстве. Образ - это результат преобразования объекта в сознании человека, способ осмысления действительности [9, 84]. Когда учащиеся переходят от изучения одного раздела к другому, возникают затруднения в представлении вроде той же картинки, но уже в трехмерном пространстве. Отсюда появляется и проблема с решением стереометрических задач.

Проблему с решением стереометрических задач подтверждают и результаты ЕГЭ по математике. Анализируя результаты за последние два года, можно сделать вывод о том, что выпускники общеобразовательных учреждений показывают низкий уровень выполнения заданий связанных со стереометрией. Так в 2015 году успешность выполнения заданий по геометрии составила 30 -50%. Трудности как раз и возникли с заданиями на применение знаний по стереометрии при решении практических задач. По заданию 16 (стереометрическая задача) максимальный балл получили 7% от всех участников экзамена [8, 11]. В 2016 году произошел рост успешного выполнения заданий по геометрии. Однако не за счет решения заданий связанных со стереометрией. Так задание 8 (стереометрическая задача) выполнило около 40%. Это задание проверяло сформирован-ность пространственных представлений. Более половины выпускников продемонстрировали его отсутствие. Задание 14 (стереометрическая задача) с развернутым ответом проверяло умение выполнять действия с геометрическими фигурами. Максимальный балл за верное выполнение этого задания - 2 балла, который получили около 5% участников экзамена. Низкий уровень успешности выполнения этого задания так же свидетельствует о несформированности пространственных пред-

ставлений [9, 28]. Исходя из аналитических данных, можно сказать, что низкий процент выполнения заданий по стереометрии вызван существенными проблемами в преподавании геометрии в школе. Зачастую школьные учителя в подготовке к выпускному экзамену делают уклон в вычислительные задачи, уделяют больше внимания разделу алгебры и начала анализа.

Проблему с решением стереометрических задач можно решить, если сформировать у учащихся различные способы поисковой деятельности. Формированию этих способов поисковой деятельности помогает использование различные методов обучения, одним из которых является аналогия. Именно на метод аналогии стоит обратить внимание, так как он чаще всего лежит в началах введения и усвоения математических понятий, поиска доказательства или решения сформулированных утверждений, а также аналогия является основой для получения новых знаний об обучаемом объекте.

Слово «аналогия» в переводе с греческого означает соответствие, сходство [7, 6]. В настоящее время умозаключениями по аналогии принято называть «рассуждения, в которых заключение делается на основании структурного, функционального или какого-либо иного сходства сравниваемых вещей» [4, 11]. Суть любой аналогии заключается в то что: если сравниваемые вещи сходны в одном отношении, следовательно, они могут быть сходны и в других отношениях.

Теоретические исследования данного метода обучения показали, что основу выводов по аналогии составляет сходство (аналогия) предметов в некоторых признаках. То есть, если два предмета а и в обладают некоторыми одинаковыми признаками Р±, Р2,..., Рп, то можно сказать, что они сходны (аналогичны) в этих признаках [1, 39].

Умозаключение по аналогии состоит в переходе от знания о сходстве двух предметов в некоторых признаках Р[,Р2, — ,Рп (признаки сходства) и отличии еще некоторого признака Q (переносимый признак) у одного из этих предметов к заключению о вероятном наличии этого последнего признака и у другого предмета. Таким образом, умозаключения по аналогии имеют следующую структуру [1, 41]:

тохто).....^ )_- посылки_

Вероятно, Q'(P) - заключение, где п> 1

Из этого видно, что посылки указывают на сходство предметов а и в в признаках Р±,Р2,... ,Рп и наличие, кроме того, признака Q у предмета а. Заключение указывает на вероятное наличие сходного признака Q' у предмета в.

Подробно изучая метод аналогии, разбираясь во всей сути данного метода, пришли к выводу, что существует три различные классификации аналогий. Первая классификация заключается в том, что выделяют два вида аналогии между предметами: аналогию свойств и аналогию отношений. Вторая классификация аналогии предложена Ю. М. Колягиным, который выделяет: простую аналогию и распространенную аналогию. Третья классификация разделяет аналогию тоже на два вида: строгая аналогия и нестрогая аналогия. Рассмотрим суть каждой из них и приведем примеры некоторых из них.

В зависимости от того, что представляют собой предметы а и в - являются ли они отдельными объектами, последовательностями объектов и т.д. и, соответственно, - в зависимости от характера рассматриваемых признаков, можно выделить следующие виды аналогии. Так, если а и в - отдельные объекты а и Ь; Р1,Р2,.,Рп - признаки, указывающие на наличие или отсутствие у них тех или иных свойств, то говорят об аналогии свойств. А если а и в - некоторые последовательности объектов, соответственно - а1,а2,... ,ап и Ь1,Ь2,..., Ьп(пары, тройки, п-ки предметов вообще), а признаки Р±,Р2, ...,Рп, как и Q, - п-местные отношения, в которых находятся члены этих последовательностей, то говорят об аналогии отношений [5, 78].

Пример 1. В качестве объектов а и в рассмотрим касательную к окружности и касательную плоскость к сфере соответственно. Обозначим

а - касательная к окружности. Р±(а): прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку;

Р2(а): прямая, перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания прямой и окружности;

Q (а): касательные к окружности, проведенные из одной точки, составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

в - касательная плоскость к сфере.

Р[(Р): плоскость, имеющая со сферой только

одну общую точку;

Р2(Р): плоскость перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания плоскости и сферы;

Вероятно, Q'(P): касательные плоскости к сфере, имеющие общую точку вне ее, составляют равные углы с плоскостью, проходящей через общую прямую плоскостей и центр сферы.

В данном примере объектами аналогии являются а и Ь (где а - касательная к окружности, Ь -касательная плоскость к сфере), а признаки сходства Р1 и Р2 указывают факт наличия у них определенных свойств, поэтому установленную аналогию между объектами можно считать аналогией свойств.

Пример 2. В качестве объектов в этом примере будут выступать группа предметов состоящая из четырех объектов. Введем обозначения:

а±- прямоугольный треугольник; Ь1- прямоугольный тетраэдр;

а2 - 2 катета: а, Ь; Ь2- 3 ребра: а, Ь, с;

а3 - прямой угол; Ъ3 - трехгранный прямой угол;

а4- высота треугольника ^ Ь4- высота тетраэдра ^

Р1(а1,а2): катеты, принадлежащие треуголь- Р-[(Ь1,Ь2): ребра, принадлежащие тетраэдру;

нику;

Р2 (а2, а3): катеты заключают прямой угол; Р^(Ь3,Ь3): ребра заключают прямой трехгран-

ный угол;

Р3(а3,а4): высота, опущенная из вершины Р3(Ь3,Ь4): высота опущена из вершины пря-

прямого угла; мого трехгранного угла;

Q(a2,a4): ¿ = ^ +

Вероятно,

Этот пример наглядно иллюстрирует аналогию отношений.

Теперь рассмотрим следующую классификацию аналогии предложенную Ю. М. Колягиным в книге «Методика преподавания математике в средней школе». Он вводит в рассмотрение два вида аналогии, которые различаются по основаниям для выводов [4, 45]:

1) «простая аналогия, при которой по сходству объектов в некоторых признаках заключают о сходстве их и в других признаках»;

2) «распространенная аналогия, при которой из сходства явлений делают вывод о сходстве причин».

Простой аналогии имеет вид:

Р1(а),Р2(а).....Рп(а)-^(а)

ТО), ТО).....ТО)_

Вероятно, $(£).

Распространенной аналогии имеет вид:

1. Р1(а),Р2(а).....Рп(.а)Жа)

ТО), ТО).....ТО)

~ВероягноТоЧ^)

2. Q(a).

3. А2 * — * Ап* Q(a).

4. В1 *В2 * — * Вп.

5. Вп * ст

6. <гш

Третья классификация разделяет аналогию на два вида: строгая аналогия и нестрогая аналогия. Строгой аналогией называется аналогия, при которой установлена взаимная зависимость в признаках сравниваемых объектов. Нестрогой аналогией называется аналогия, при которой взаимная зависимость в признаках сравниваемых объектов не установлена в явном виде [1, 79]. Строгая аналогия имеет вид:

Р1(а),Р2(а).....Рп(а)

ВД),ВД).....К(Р)

Р±,Р2, . ,Рп и Q находятся во взаимной зависимости или Р1,Р2,... ,Рп детерминируют Q

Нестрогая аналогия представима в виде: Р±(а).....Рп(а)Жа)

ТО).....Рп(Р)_

Вероятно, Q'(P).

Для того, чтобы установить, что аналогия между объектами является строгой, достаточно показать, что признак Q является следствием Р1,Р2,... ,Рп или, что для каждого из признаков сходства выполняются 2 условия:

1) элементы объектов, встречающиеся в рассматриваемом признаке, аналогичны;

2) между этими элементами можно установить аналогию отношений.

А если хотя бы одно из этих условий нарушается, то мы делаем вывод, что признаки сравниваемых объектов не находятся во взаимной зависимости, т.е. перед нами нестрогая аналогия. Это главное отличие нестрогой аналогии от строгой, а вывод, полученный в результате ее применения, носит вероятностный характер. Это означает, что результатом использования нестрогой аналогии является гипотеза. В то время как заключение, полученное в результате использования строгой аналогии, является достоверным.

Изучая метод аналогии, мы столкнулись еще с одним интересным понятием. Это понятие базовая аналогия [5, 37]. В процессе методики обучения математике мы можем устанавливать аналогию между геометрическими объектами, а можем устанавливать аналогию между геометрическими задачами. Поэтому многие ученые и педагоги утверждают, для того чтобы это сделать, необходимо обязательное наличие этой базовой аналогии. Наличие базовой аналогии означает, что рассматриваемые объекты принадлежат математическим теориям, для которых выполняются следующие требования:

1) каждому объекту одной математической теории соответствует схожий объект другой математической теории, обладающий свойствами аналогичными свойства первой теории;

2) объекты каждой из теорий находятся между собой в схожих отношениях, то есть между объектами первой и второй математических теорий существует аналогия отношений.

Исходя из этого, различают два вида базовой аналогии. Базовая аналогия первого порядка -это аналогия свойств между понятиями схожих математических теорий. Базовая аналогия второго порядка - это аналогия отношений между понятиями схожих математических теорий.

Исходя из анализа учебников геометрии, был сделан вывод о возможности установления аналогии между геометрическими объектами, а также между геометрическими задачами. То есть, существуют две задачи, которые мы можем решать. Одна задача на получение самого утверждения по аналогии, а вторая задача на поиск решения или доказательства этого утверждения. Мы обратили наше внимание именно на вторую задачу. Для ее решения был разработан план по отысканию доказательства утверждений (задач) связанных со стереометрией.

План поиска решения или доказательства стереометрической задачи:

1) сформулировать задачу, аналогичную данной, т.е. такую, у которой имелись бы, по сравнению с данной, сходные условия и сходное заключение (вспомогательная задача должна быть проще данной или такой, решение которой известно);

2) решить или доказать вспомогательную задачу;

3) составить план доказательства или решения вспомогательной задачи;

4) провести аналогичные рассуждения при составлении плана исходной задачи;

5) по плану построить доказательство или решение исходной задачи.

Так же в 2015 году нами была проведена практическая работа, идея которой состояла в том, чтобы показать учащимся как при помощи знания о таком научном методе познания как аналогия можно облегчить поиск решения геометрических задач, научиться проводить сравнение между объектами геометрии, а так же развивать образное мышление и интерес к изучаемому предмету.

Целью эксперимента было: показать, что в «Стереометрии» есть геометрические объекты аналогичные геометрическим объектам в «Планиметрии», и выяснить направление, основные этапы внедрения метода аналогии при поиске решения стереометрических задач.

Проведенный эксперимент носил поисковый характер. На каждом этапе с одной стороны, ставилась цель научить детей пользоваться методом аналогии, для этого формулировалась цель урока, отбиралось его содержание, а так же прогнозировались ожидаемые результаты. А, с другой

стороны, ставилась цель понять особенности протекания внедрения аналогии, важно ли это, какие нужно внести мгновенные и/или перспективные изменения в методику обучения методу аналогии при решении геометрических задач.

Весь эксперимент проходил в течение 6 уроков, в результате он был «разбит» на четыре

этапа:

I. Этап мотивации овладения аналогией, постановка цели и плана работы.

II. Этап формулировки гипотезы по аналогии в формулировках планиметрических и стереометрических задач.

III. Этап уточнения гипотезы, ее доказательство.

IV. Этап развития приобретенных умений в ходе самостоятельной работы.

В конце эксперимента нами были получены определенные результаты проведенной работы. Был сделан вывод, что необходимо каждый этап проработать до такой степени, чтобы установление базовой аналогии между объектами, построение планов доказательств и само доказательство не вызывали больших затруднений. Поэтому нужно увеличить количество уроков на отработку нахождения базовых элементов между объектами, на построение формулировок планиметрических задач, на построение гипотез, а так же на составление планов доказательств. Три урока - это максимальное количество, которое отводится на прохождение той или иной темы, как в «Планиметрии» так и в «Стереометрии», а этого не достаточно для того, чтобы осветить все аспекты метода аналогии и научиться его применять. Тогда целесообразно показывать применение метода аналогии для поиска решения задач на элективных курсах или факультативных занятиях. Таким образом, не будет на этом останавливаться учебный процесс, а так же будут обучаться этому методу те ученики, которым это интересно.

Все задачи, которые мы представляли вниманию учеников, были связаны с треугольником и тетраэдром. Бесспорно, треугольник и тетраэдр это два аналогичных объекта, которые принадлежат двум математическим теориям соответственно.

Взяв за основу все полученные теоретические и практические результаты, мы продолжили исследование метода аналогии в 2016 году, но уже рассматривая другие объекты двух математических теорий: выпуклый четырехугольник и четырехугольную призму.

Нами была установлена базовая аналогия между этими объектами:

Таблица 1.

Базовая аналогия между выпуклым четырехугольником и четырехугольной призмой

Выпуклый четырехугольник Четырехугольная призма

Стороны четырехугольника Грани четырехугольной призмы

Длина стороны четырехугольника Площадь грани призмы

Углы четырехугольника Двугранные углы призмы

Площадь четырехугольника Объем призмы

Диагонали четырехугольника Диагонали призмы

Вписанная окружность Вписанная сфера

Описанная окружность Описанная сфера

Если мы можем установить аналогию между элементами двух объектов, то, возможно, существует и аналогия между геометрическими задачами, связанными с этими объектами. Поэтому мы подобрали задачи, которые подтверждают, что выпуклый четырехугольник и четырехугольная призма являются аналогичными объектами не только по состоящим элементам, но и утверждения, которые связаны с ними, тоже аналогичны соответственно. Рассмотрим это на примере. Пример 3. Аналогия между планиметрической и стереометрической задачами, связанными с прямоугольником и прямоугольным параллелепипедом

Планиметрическая задача Стереометрическая задача

Доказать, что квадрат диагонали .прямоугольника равен сумме квадратов двух изменений [3,7] Доказать, что квадрат Диагонали прямоуголь-ногоипадаллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений [2, 10]

Учитывая полученные данные из предыдущего эксперимента, проанализировав их, мы провели новую экспериментальную работу немного иным образом. У нас не было возможности проводить новый эксперимент на факультативе или на элективных курсах, но количество уроков для его проведения было намного больше, нежели чем в прошлый раз. Так же были разработаны новые задания на проработку пунктов плана поиска решения стереометрических задач. Покажем,

что этот план так же применим к стереометрической задаче, но связанной теперь с выпуклым четырехугольником и четырехугольной призмой.

Пример 4. Решить стереометрическую задачу.

Доказать, что сумма квадратов диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов всех его ребер [3, 14]:

dl + d% + di+dl = 4а2 + 4Ъ2 + 4с2.

I пункт. Составим вспомогательную планиметрическую задачу.

Доказать, что сумма квадратов сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей [2, 17]:

(11+(!% = 2а2 + 2Ь2.

II пункт. Докажем вспомогательную задачу.

Доказательство

По теореме косинусов:

dl = а2 + b2 — 2ab cos а (1).

zp = 180°- a^dj = a2 +b2 — 2ab cos (180 ° — a).

cos(180° — a) = — cos a^

d2 = a2 + b2 + 2ab cos a (2).

Складываем (1) и (2):

d? + dn = a2 + b2 — 2ab cos a + a2 + b2 + 2ab cos

III пункт. Составим план доказательства вспомогательной задачи.

План.

I. Обозначим стороны параллелограмма AB = a, AD = b. Проведем диагонали d-L и d2. Обозначим углы через a и р.

II. Найдем квадраты диагоналей параллелограмма:

1) Составляем теорему косинусов для диагонали d±: df = а2 + b2 — 2abcos a.

2) Составляем теорему косинусов для диагонали d2:

= a2 + b2 — 2ab cos p. Так как zp = 180°- a ^ = a2 + b2 — 2ab cos(180° — a) = a2 + b2 + 2ab cos a. III. Составим сумму квадратов диагоналей параллелограмма:

dl + d2 = a2 + b2 — 2ab cos a + a2 + b2 + 2ab cos a^dl + d2 = 2a2 + 2b2.

а

d? + dl = 2a2 + 2b2.

IV пункт. Составим план доказательства стереометрической задачи.

План.

I. Обозначим стороны и углы параллелепипеда, проведем диагонали:

AB = a,AAi = b,AD = c,zA1AC = zD-^DB = a,zC1CA = zB1BD = p,zABC = y,zDAB = q>,A1C = d1,AC1 = d2,D1B = d3,B1D = d4.

II. Найдем квадраты диагоналей параллелепипеда:

1) Найдем квадрат диагонали d±: d\ = b2 + AC2 — 2bAC cos a

AC2 = a2 + c2 — 2ac cosy ^ AC = ^a2 + c2 — 2accosy ^ d2 = a2 + b2 + c2 — 2ac cos у — 2b cos a ^a2 + c2 — 2accosy

2) Найдем квадрат диагонали d2:

= b2 + AC2 — 2bACcosP zp = 180° — za^ cos p = cos(180° — a) ^ cosp = — cos a d2 = a2 + b2 + c2 — 2ac cos у + 2b cos a ^a2 + c2 — 2accosy

3) Найдем квадрат диагонали d3: dl = b2 + DB2 — 2bDB cos a DB2 = a2 + c2 — 2ac cos q>

zy = 180° — zy ^ cos ф = cos(180° — y)^ cos ф = — cos у DB2 = a2 + c2 + 2ac cosy ^ DB = ^a2 + c2 + 2accosy

= a2 + b2 + c2 + 2ac cos у — 2b cos a ^a2 + c2 + 2accosy 4) Найдем квадрат диагонали d4 : d| = b2 +DB2 — 2bDBcos/3

DB2 = a2 + c2 + 2ac cosy ^ DB = ^a2 + c2 + 2accosy d| = a2 + b2 + c2 + 2ac cos у + 2b cos a ^a2 + c2 + 2accosy Составим сумму квадратов диагоналей: dl + dl + dj + d\

= a2 + b2 + c2 — 2ac cos у — 2b cos a ^a2 + c2 — 2ac cosy + a2 + b2 + c2 — 2ac cos у + 2b cos a ^a2 + c2 — 2ac cosy + a2 + b2 + c2 + 2ac cos у — 2b cos a ^a2 + c2 + 2ac cosy + a2 + b2 + c2 + 2ac cos у + 2b cos a ^a2 + c2 + 2accosy dl+d%+dl + dl= 4a2 + 4b2 + 4c2.

V пункт. Запишем доказательство стереометрической задачи. Dx

! \ Л ^v! \ л* в1

i "N\/'

! / \

: s \

: S

-----------v... V%>

»«' "'■■■■■... ......

t' ................ 1 Л ................ ^

................

C

B

Доказательство

Обозначим стороны и углы параллелепипеда, проведем диагонали: АВ = а,АА1 = b,AD = C,AA1AC = AD-^DB = а,АС1СА = AB1BD = P,aABC = у, aDAB = ^,А1С = d1,AC1 = d2,D1B = d3,B1D = d4.

Найдем квадрат диагонали dl = a2 + b2 + с2 — 2ac cos у — 2b cos a ^a^+~c^—20ccosy. Найдем квадрат диагонали d2 : d2 =

a2 + b2 + с2 — 2ac cosy + 2b cos a ^a2 + c2 — 2ac cosy. Найдем квадрат диагонали d3 : d2 =

a2 + b2 + с2 + 2ac cosy —

2b cos a ^a2 + c2 + 2ac cosy. Найдем квадрат диагонали d4 :

d| = a2 + b2 + с2 + 2ac cos у + 2b cos a .

Находим сумму квадратов диагоналей:

dl + dl + dl + dl = 4a2 + 4b2 + 4c2.

Нам еще предстоит проанализировать результаты экспериментальной работы проведенной в 2016 году, сделать основные выводы и дать рекомендации по использованию метода аналогии для поиска решения стереометрических задач.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Войшвилло, Е. К., Дегтярев, М. Г. Логика: Учеб. для студ. высш. учеб. заведений. - М.: Владос-Пресс, 2001.- 528 с.

2. Готман, Э. Г. Стереометрические задачи и методы их решения. - М.: МЦНМО, 2006.

3. Гордин, Р.К. Геометрия. Планиметрия. - 3-е изд. - М.: МЦНМО, 2006.

4. Дегтярев, М. Г. Логика. План-конспект лекционного курса. М., 2012. - 56 с.

5. Кучеров, В. Геометрические аналогии. - М.: Бюро Квантум, 1995. - 128 с.

6. Старокожева, Е. И. Методика преподавания математике в основной школе. Курс лекций. Ч.1. Валуйки, 2008.

7. Энциклопедический словарь юного математика.- М.: Педагогика, 1989.- 128 с.

8. Ященко, И. В., Семенов А. В., Высоцкий И. Р. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2015 года по математике. 2015. - 20 с.

9. Ященко, И. В., Семенов, А. В., Высоцкий И. Р. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2016 года по математике. 2016. - 42 с.

С.В. Лознева, М.Г. Макарченко

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МИКРОСТРУКТУРНЫХ ОБОБЩЕНИЙ В РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ТЕМЫ «ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ»

Аннотация. В статье рассмотрены средства и методы обучения решению задач по геометрии, микроструктурные средства, элементарные шаги решения задач применительно для первой