CC BY
9спектром функтора будем понимать множество степеней точек всевозможных пространств вида Fn (X) (см. [6, 8]).
Предложение 6. Пусть F — полунормальный функтор, сохраняющий точки взаимной однозначности, и spF = {1,k,... }. Тогда k ^ 3.
Доказательство. Предположим противное. Пусть k ^ 4. Рассмотрим дискретное пространство X мощности k. Оно представимо в виде X = A U B, где A П B = |A| ^ 2, \B| ^ 2. Пусть a G A, b G B. Рассмотрим отображение fi : X — A U {b}, такое, что fi(A) = A, fi(B) = b, и отображение /2 : X — BU{a}, такое, что /2(B) = B, /2(A) = a. Далее, пусть Y = {a, b} и отображение gi : AU{b} — Y действует по правилу gi(A) = a, gi(b) = b, а отображение g2 : B U {a} — Y — по правилу g2 (B) = b, g2(a) = a. Таким образом, gi о fi = g2 о /2. Пусть точка £ G F(X) такова, что supp (£) = X. Тогда для ni = F(fi)(£) имеем |supp(ni)| = 1, так как |A| < k. При этом supp (ni) = {b}, иначе F не сохраняет точки взаимной однозначности. Положим F(gi )(ni ) = , тогда supp($i ) = b, так как gi (b) = b. С другой стороны, для П2 = F(f2)(£) выполнено supp(n2) = {a}, как и в предыдущем случае. Пусть F(g2)(n2) = ö2, тогда supp($2) = {a}. Получим, что = ö2, и, следовательно, F(gi) о F(fi) = F(g2) о F(f2). Предложение 6 доказано.
Предложение 7. Пусть F — полунормальный функтор степени ^ 2. Тогда F сохраняет точки взаимной однозначности.
Доказательство. Пусть f : X — Y и y G Y — произвольная точка, такая, что f -i(y) = x. Проверим, что отображение F (f ) : F (X ) — F(Y ) также взаимно однозначно в точке y G Y С F (Y ). Допустим, что существует точка £ G F(X), такая, что F(f )(£) = y и supp (£) = {zi, Z2}. Ясно, что Zi = x для некоторого i. Очевидно, что f (zi) = f (Z2) = f (x) = y. Значит, Zi = Z2 = x, и точка £ G F(X) совпадает с точкой x G F(X). То есть |(F(f)) (y)| = 1. Полунормальный функтор степени 1 является тождественным, и, значит, он автоматически сохраняет точки взаимной однозначности. Предложение 7 доказано.
Заметим, что в случае степенного спектра {1, 3} возможно как сохранение полунормальным функтором точек взаимной однозначности (функтор Л), так и несохранение (функтор exp^, см. [6]).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Van Mill J. An almost fixed point theorem for metrizable continua // Arch. Math. 1983. 40. 159-169.
2. Иванов А.В. О пространстве полных сцепленных систем // Сиб. матем. журн. 1986. № 6. 95-110.
3. Иванов А.В. Теорема о почти неподвижной точке для отображений пространства максимальных k-сцепленных систем // Вопросы геометрии и топологии. 1986. Петрозаводск: РИО Петрозаводск. ун-та, 1986. 31-40.
4. Вакулова Е.В. О носителях максимальных сцепленных систем // Тр. Петрозаводск. ун-та. Математика. 2004. Вып. 11. 3-8.
5. Щепин Е.В. Функторы и несчетные степени компактов // Успехи матем. наук. 1981. 36, № 3. 3-62.
6. Иванов А.В. О степенных спектрах и композициях финитно строго эпиморфных функторов // Тр. Петрозаводск. ун-та. Математика. 2000. Вып. 7. 15-28.
7. Федорчук В.В., Филиппов В.В. Общая топология. Основные конструкции. М.: Изд-во МГУ, 1988.
8. Fedorchuk V., Todorcevic S. Cellularity of covariant funktors // Topol. and Appl. 1997. 76. 125-150.
9. Иванов А.В., Кашуба Е.В. О наследственной нормальности пространств вида F(X) // Сиб. матем. журн. 2008. № 4. 813-824.
Поступила в редакцию 08.02.2010
УДК 517.982.256
О ЗЕРКАЛЬНОМ СВОЙСТВЕ МЕТРИЧЕСКОЙ 2-ПРОЕКЦИИ
П. А. Бородин1
Вводится понятие зеркальной выборки из метрической 2-проекции на подпространство (метрическая 2-проекция двух элементов xi, Х2 банахова пространства на подпространство Y состоит из тех элементов y G Y, для которых длина ломаной xi yx2 минимальна). Показывается, что наличие зеркальных выборок из метрических 2-проекций на
1 Бородин Петр Анатольевич — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
16 ВМУ, математика, механика, №2
подпространства заданной размерности или коразмерности является характеристическим свойством гильбертова пространства. Указывается связь между наличием зеркальной выборки из метрической 2-проекции и наличием центральной выборки из обычной метрической проекции.
Ключевые слова: метрическая 2-проекция, гильбертово пространство, центральное отображение.
The notion of a mirror selection out of metric 2-projection is introduced (metric 2-projection of two elements xi, xi of a Banach space onto its subspace Y consists of all those elements y G Y, for which the length of the broken line xiyx2 is minimal). It is proved that the existence of mirror selection out of metric 2-projection onto every subspace having a prescribed dimension or codimemsion is a characteristic property of a Hilbert space. A relation between mirror selection out of metric 2-projection and central selection out of the usual metric projection is pointed out.
Key words: metric 2-projection, Hilbert space, central mapping.
Пусть (X, У • У) — действительное банахово пространство, Y С X — его замкнутое линейное подпространство, p(x,Y) := inf{||x — y\\ : y G Y} — расстояние от элемента x G X до подпространства Y, Py (x) = {y G Y : \\x — y\\ = p(x, Y)} — метрическая проекция x на Y.
В работе [1] для двух произвольных элементов xi,x2 G X были введены 2-расстояние p(xi,x2,Y) = inf{||xi — y\\ + ||x2 — y\\ : y G Y} до подпространства Y и метрическая 2-проекция Py(xi,x2) = {y G M : l|xi — y\\ + ||x2 — y\\ = p(xi,x2,Y)}.
Если X = H — гильбертово пространство, то метрическая проекция Py (x) на любое подпространство Y однозначна и совпадает с ортогональной проекцией x на Y, а метрическая 2-проекция Py(xi,x2) для любых элементов xi,x2 G H\ Y состоит из единственной точки y на отрезке [Py(xi), Py (x2)], делящей его в отношении p(xi,Y) : p(x2,Y). Например, если Y — подпространство коразмерности 1 (гиперплоскость) и элементы xi , x2 находятся по одну сторону от Y, то ломаная xi yx2 представляет собой путь луча света, идущего из xi в x2 с отражением от Y как от зеркала.
В частности, для любого подпространства Y С H и любых xi,x2 G H\Y с Py (xi,x2) = y выполняется равенство
\\%1-у\\ = \\Х2-у\\ m
p(X!,Y) р(Х2, Y) ' У )
Определение. Пусть Y — подпространство банахова пространства X. Будем говорить, что Y обладает зеркальной выборкой из метрической 2-проекции, если для любых xi,x2 G X \ Y найдется элемент y G Py (xi, x2), удовлетворяющий равенству (1).
Цель настоящей работы — показать, что наличие зеркальной выборки из метрической 2-проекции на подпространство является характеристическим свойством гильбертова пространства (теорема 2), а также указать связь между наличием зеркальной выборки из метрической 2-проекции и наличием так называемой центральной выборки из обычной метрической проекции (теорема 1).
Лемма [2]. Пусть Y — замкнутое линейное подпространство банахова пространства X и xi,x2 G X. Элемент y G Y принадлежит множеству Py(xi,x2) тогда и только тогда, когда найдутся такие функционалы fi,f2 G X*, что
1) fi + f2 G Y
2) max{||fi||, ||f2\\} = 1;
3) fj(xj — y) = \\xj — y\l j = 1,2
Последнее равенство означает, что либо \\fj|| = 1, либо xj = y.
В [2] доказано более общее утверждение. Приведем доказательство для полноты картины.
Доказательство. Принадлежность yo G Py(xi,x2) означает, что в декартовом произведении X2 = ХхХснормой || (ж!, Х2) || = ||ж! || ~Ь ||ж21| элементно = (Уо,Уо) является элементом наилучшего приближения для элемента х = (х\,Х2) в подпространстве У2 = {(у, у) '■ У £ У}- По известному критерию элемента наилучшего приближения [3] это равносильно существованию такого функционала F = (fi, f2) G (X2)*, что выполнены следующие три условия:
1) F G Y2± ^ fi(y) + f2(y) =0 yy G Y ^ fi + f2 G Y± в X*;
2) ||Fj=_maX{||/1||,J|/2||} = l;
3) F(x-y0) = \\x-y0\\ fi(xi-yo) + f2(x2-yo) = \\Xl-Vo\\ + \\X2-Vo\\ fj(Xj-yo) = \\Xj 2/011 j j = 1, 2.
Лемма доказана.
Следствие. Пусть Y — замкнутое линейное подпространство банахова пространства X и xi,x2 G X. Если y G Py(xi,x2), то y G Py(x1,x2) для любых точек xl и x'2, лежащих соответственно на лучах {y + \(xj — y) : Л ^ 0}, j = 1, 2 (при xj = y такой луч вырождается в точку).
Напомним, что отображение A : X ^ Y банахова пространства X на его подпространство Y называется центральным [4], если \\x — A(x) + y\\ = \\x — A(x) — y\\ для любого x G X и любого y G Y.
О свойствах и применениях центральных отображений см. [5].
Нетрудно проверить, что центральное отображение всегда является выборкой из метрической проекции: A(x) G Py (x) для каждого x G X.
Будем говорить, что подпространство Y обладает центральной выборкой из метрической проекции, если существует центральное отображение A : X ^ Y.
Теорема 1. 1. Если подпространство Y С X с codim Y = 1 обладает центральной выборкой из метрической проекции, то оно обладает и зеркальной выборкой из метрической 2-проекции.
2. Если подпространство Y С X с dim Y = 1 обладает зеркальной выборкой из метрической 2-проекции, то оно обладает и центральной выборкой из метрической проекции.
Доказательство. 1. По условию найдется такой элемент q G X с Py(q) = 0, что \\q + y\\ = \\q — y\\ для любого y G Y. Тогда для любых z,p G Y имеем
\\q + z-p\\ + || q -z-p\\ = ^(\\q + z-p\\ + \\q - z + p\\ + \\q - z - p\\ + \\q + z + p\\) ^ \\q + z\\ + || q - z\\,
т.е. 0 G Py (q + z,q — z). По следствию из леммы 0 G Py (aq + az, @q — (3z) У а, в > 0, откуда для любого элемента y G Y имеем y G Py (aq + az + y,Pq — @z + y). Следовательно, для любых а, в > 0 и u,v G Y метрическая 2-проекция
„ , „ . u — v ви + av ^ nu — v ви + av Py(aq + u, pq + v) = Py [ aq + a—— H--——,pq - p—— +
а + в а + в а + в а + в
содержит элемент у = (ви + аь)/(а + в), и при этом
||скд + и — у\\ _ а||д + (и - у)/(а + [3)\\ _ а _ + и, У) \\f3q + у — у\\ р\\д-(и-ь)/(а + Р)\\ р(/Зд + ь,¥)-
Возьмем теперь любые два элемента х\,х2 £ У. Их можно представить в виде хх = аq + и, ж2 = вя + V с некоторыми а = 0, в = 0 и и,у £ У. Если а ■ в < 0, то отрезок [хх, Х2] имеет общую точку у с подпространством У, так что у £ Ру(хх ,Х2) и равенство (1) выполнено. Если а > 0 и в > 0, то по сказанному выше требуемый элемент у £ Ру(хх,х2) равен (ви + аь)/(а + в). Если же а < 0 и в < 0, то в силу симметрии годится элемент у = — ((—в)(—и) + (—а)(—у))/((—а) + (-в)) = -(ви + ау)/(а + в). Таким образом, У обладает зеркальной выборкой из метрической проекции.
2. Пусть одномерное подпространство У = (у), у = 0, обладает зеркальной выборкой из метрической 2-проекции. Для любого х £ X метрическая проекция Ру(х) представляет собой отрезок (возможно, вырожденный в точку) с центром р(х). Докажем, что отображение х ^ р(х) является центральным.
Можно считать, что х £У. Положим я = х-р(х) и рассмотрим двумерную плоскость Х2 = (у, я) С X. Поскольку Ру (я) Э 0, найдется функционал / £ Б(Х%) со свойствами / (я) = ||я||, / (у) = 0 (здесь и ниже 5(Х|) обозначает единичную сферу пространства Х|). Возьмем также функционал д £ Б(Х|) со свойствами д(я) = 0, д(у) > 0. Функционалы / и д образуют базис пространства Х^.
Для каждого Л £ [0,1] на сфере {х £ Х2 : ||х|| = ЦяЦ] рассмотрим две точки хх = хх(А) = Ля — ф(Л)у, х2 = х2(Л) = Ля + ф(Л)у, где ф, ф — неотрицательные выпуклые вверх функции, ^>(0) = ф(0), ^>(1) = ф(1) по построению я. Доказываемое нами тождество Ця + 5уЦ = Ця — 5уЦ, 5 > 0, равносильно тождеству р(А) = ф(Л), Л £ [0,1].
При Л > 0 имеем р(хх,У) = р(х2 ,У) = Л > 0, и по условию найдется элемент z £ Ру (хх ,х2), для которого ||хх —z|| = ||х2 —z|| ^ ||я|| (так как ||хх — 0|| + ||х2 — 0|| = 2||я||). Если z = 0, то либо хх, либо х2 лежит внутри отрезка [хх — z,Х2 — z], и тогда норма одного из концов этого отрезка больше 1. Следовательно, z = 0.
По лемме найдутся такие функционалы /х, /2 £ Б(Х|), что /^(х^) = Цх^ || = ||я||, ] = 1, 2, и (/х + /2)(у) = 0. Это означает, что /х = ах(Л)/ — в(Л)д, /2 = а2(Л)/ + в (Л) д. При этом в(Л) > 0 для любого Л £ [0,1) и функции ах, а2, в непрерывны во всех точках отрезка [0,1], кроме, может быть, не более чем счетного числа точек Л (соответствующие этим Л элементы хх (Л) и х2 (Л) являются точками негладкости сферы {х £ Х2 : ||х|| = ||я||}, которых не более чем счетное число).
Имеем
откуда
Ы\ = fi(xi (А)) = Aai(A)+e(A)^(A) = ma^^i (t)) = i«i(A)+e(A)^(i)}, Ы\ = f2(x2(A)) = Аа2(А)+в (A)^(A) = m* {f2(x2 (t)) = i«2(A)+ вШШ,
e(A):^(A)-^(A)^A(a2(Aj(-ai(A)), Л €[0,1),
t, AG [0,1), (2)
в (A)
m-
/3(A)
т-т>а2{хХ\гх), t, ag [o,i). о)
Из (2) получаем
^A + AA)AA^(A + AA)-^(A)^-ai(A)AA
в (A + AA) J * в (A) '
а из (3) получаем такое же двойное неравенство для ^(A + AA) — ^(A), но только с заменой ai на a2. Из этих двух двойных неравенств имеем
/а2( A) «i(A + AA)\ /а2(А + A A) «i(A)\
" /3(А + АА) / АЛ + АЛ) " < U(A + AA) " Ш)
Таким образом, во всех точках A G (0,1), в которых функции ai, a2, в непрерывны (а разрывны они, напомним, не более чем в счетном числе точек), функция £ имеет производную £'(A) = £(A)/A. Но тогда функция £(A)/A, непрерывная на (0,1), имеет нулевую производную в тех же точках. Отсюда следует (см., например, [6, задача 5.8.49]), что функция £ линейна, а поскольку £(0) = £(1) = 0 (см. выше), то она тождественна нулю.
Теорема доказана.
Отметим, что условие codim Y = 1 в утверждении 1 теоремы 1 существенно. Что касается утверждения 2 этой теоремы, то оно, по-видимому, справедливо и без условия dim Y = 1. Вообще, наличие зеркальной выборки из метрической 2-проекции представляется равносильным наличию центральной выборки из метрической проекции, обладающей определенными дополнительными свойствами. Однако доказательство такого рода утверждения — задача непростая.
Теорема 2. Пусть X — действительное банахово пространство размерности dim X ^ 2 и натуральные числа n, k удовлетворяют условиям 1 ^ n < dim X, 1 ^ k < dim X. Следующие условия эквивалентны:
1) X — гильбертово пространство;
2) всякое подпространство Y С X размерности n обладает зеркальной выборкой из метрической 2-проекции;
3) всякое подпространство Y С X коразмерности k обладает зеркальной выборкой из метрической 2-проекции.
Доказательство. Ясно, что условие 1 влечет условия 2 и 3. Доказательства утверждений 2 1 и 3 1 сводятся к доказательству утверждения 3 1 с k = 1: вместо X следует рассматривать произвольное подпространство X' С X с dim X' = n+1 (если X удовлетворяет условию 2) или с codim X' = k — 1 (если X удовлетворяет условию 3); если каждое такое X' гильбертово, то в X выполнено равенство параллелограмма, а тогда X гильбертово по теореме Йордана-фон Неймана [7].
Итак, пусть каждая гиперплоскость Y = ker f (f G X*, f = 0) обладает зеркальной выборкой из метрической 2-проекции. Отсюда, в частности, следует, что метрическая проекция Py(x) = Py (x,x) непуста для всякого x G X, т.е. Y является подпространством существования, и функционал f достигает своей нормы на непустом подмножестве S(f) = {s G S(X) : f(x) = \\f ||} единичной сферы S(X) пространства X (отсюда по теореме Джеймса следует рефлексивность пространства X).
Докажем, что для любых функционалов gi,g2 G S(X*) существуют такие элементы Sj G S(gj), j = 1, 2, что gi(s2) = g2(si).
Если пересечение S(gi) П (—S(g2)) непусто и содержит какой-то элемент s, то можно взять si = s, S2 = —s. Поэтому ниже считаем S(gi) П (—S(g2)) = 0 (в частности, gi + g2 = 0).
Возьмем какие-нибудь х\ £ 5(д\), Х2 £ 5(д2)• Положим У = кег(д1 + )• По лемме 0 £ Ру(ж1,ж2) и Р(Ж1,Ж2, У) = ||Х1 — 0|| + ||х2 — 0|| = 2. Поскольку У обладает зеркальной выборкой, найдется у £ Ру(х1 ,Х2) со свойством (1) (р(хз,У) = 0 в силу условия 5(д1) П (—5(д2)) = 0). Имеем 2 = ||х1 — уЦ + ||х2 — уЦ ^ д1 (х1 — у) + д2(х2 — у) = д1(х1) + д2(х2) = 2, откуда дз(х^ — у) = Цх^ — у||, ] = 1, 2. Для элементов вз = (хз — у)/Цхз — у|| £ 5(д^), ] = 1, 2, выполнено равенство
р(х1,У) р(х2,У) . . У) = I,-г, = т.-г, = р(в2, У).
1 | х1 — у| | х2 — у| 2
Поскольку для любого вектора г справедливо равенство р(г, У) = |(д1 + д2)(г)|/||д1 + д21 и (д1 + д2)($з) > 0
(1 = 12), получаем (д1 + д2)(«1) = (д1 + д2Х^ откуда д1(в2) = д2($0.
Теперь докажем, что в любом двумерном подпространстве X* С X* всякое одномерное подпространство 2 С X* обладает зеркальной выборкой из метрической 2-проекции.
Пусть fl, f2 £ X* \ 2. Если /1 и /2 лежат по разные стороны от прямой 2, то нужная для равенства (1) точка из Р% (/1, /2) есть точка пересечения отрезка [/1, /2] с 2.
Если у множеств Р%(/1) и Р%(/2) есть общая точка, то она также принадлежит Р%(/1, /2) и подойдет для равенства типа (1).
Если же /1 и /2 лежат по одну сторону от прямой 2 и Р% (/1) П Pz (/2) = 0, то на 2 найдется такая точка г между отрезками Pz (/1) и Pz (/2), что точка р пересечения прямой /1 + 2 и луча г/2 обладает свойствами Црр — гЦ = 11/1 — г||, р = /1. По доказанному выше существуют такие «1 £ 5(/1 — г), $2 £ 5(г—р), что
(/1 — г)(в2) = (г — р)(в1) (/1 — р)(в1 — $2) = (/1 — г)(в1 — $2) + (г — р)(в1 — $2) = = ||/1 — г! — (/1 — г)($2) + (г — р)^) — Цг — рЦ = 0 в! — ^ £ 2х. Отсюда по лемме Pz(/1,р) Э г, а по следствию из леммы г £ Pz(/1, /2). В то же время
Р(/2,г) = р(р,2) = Р{ь,2)
\\h-zW \\p-zW \\h-z\y
т.е. г удовлетворяет равенству типа (1) для пары /1, /2.
Итак, 2 обладает зеркальной выборкой из метрической 2-проекции в X*.
По теореме 1 существует центральное отображение X* — 2, т.е. имеется такой элемент д £ X*, что Цад + г'Ц = Цад — г'Ц для любого числа а и любого г' £ 2. Следовательно, единичная сфера 5(X*) пространства X* (плоская выпуклая замкнутая кривая) "кососимметрична" относительно любой прямой 2 (отрезок, соединяющий "кососимметричные" точки, параллелен вектору д и необязательно перпендикулярен 2). Как показано в [8, добавление, п. VII], при этих условиях кривая 5X2) является эллипсом.
Таким образом, в пространстве X* каждое двумерное подпространство гильбертово. Следовательно, в X* выполнено равенство параллелограмма и X* гильбертово [7]. Но тогда и пространство X гильбертово. Теорема доказана.
В заключение отметим, что наличие центральных отображений на классы подпространств также является характеристическим свойством гильбертовых пространств (см., например, [9, 10]). Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 08-01-00648а).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бородин П.А. Выпуклость 2-чебышевских множеств в гильбертовом пространстве // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2008. № 3. 16-19.
2. Рубинштейн Г.Ш. Об одной экстремальной задаче в линейном нормированном пространстве // Сиб. матем. журн. 1965. 6, № 3. 711-714.
3. Singer I. Best approximation in normed linear spaces by elements of linear subspaces. Berlin; Heidelberg; N.Y.: Springer-Verlag, 1970 (Grundlehren math. Wiss. 1970. 171).
4. Golomb M. Approximation by functions of fewer variables // On Numerical Approximation / Ed. by R. Longer. Madison, Wisconsin: Univ. Wisc. Press., 1959. 275-327.
5. Light W.A., Cheney E.W. Approximation theory in tensor product spaces. Berlin et al.: Springer, 1985. 56-60.
6. Богачев В.И. Основы теории меры. Т. 1. М.; Ижевск: НИЦ РХД, 2003.
7. Jordan P., Neumann J. von. On inner products in linear metric spaces // Ann. Math. 1935. 36. 719-723.
8. Бляшке В. Круг и шар. М.: Наука, 1967.
9. Joichi J.T. More characterizations of inner product spaces // Proc. Amer. Math. Soc. 1968. 19, N 5. 1185-1186. 10. Бородин П.А. Аппроксимативные свойства подпространств в некоторых банаховых пространствах: Канд. дис. М., 1997.
Поступила в редакцию 28.04.2010
УДК 512.572
ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СОВПАДЕНИЯ НИЖНЕЙ И ВЕРХНЕЙ ЭКСПОНЕНТ
МНОГООБРАЗИЯ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБР
А. Б. Веревкин1, М. В. Зайцев2, С. П. Мищенко3
В работе изучаются числовые характеристики тождеств алгебр Ли. Доказано существование дробной PI-экспоненты у одной известной ранее трехступенно разрешимой алгебры Ли.
Ключевые слова: тождества, коразмерности, дробный экспоненциальный рост.
Numerical characteristics of identities of Lie algebras are studied in the paper. We prove the existence of fractional Pi-exponent for one known earlier Lie algebra soluble of length three.
Key words: identities, codimensions, fractional exponential growth.
На протяжении всей работы основное поле Ф имеет нулевую характеристику. Все необъясняемые понятия можно найти в книгах [1, 2]. Договоримся опускать скобки в случае их левонормированной расстановки, т.е. abc = (ab)c.
Пусть V — многообразие линейных алгебр, а F(V) — его относительно свободная алгебра счетного ранга, порожденная элементами Xl,X2,.... Обозначим через Pn(V) подпространство полилинейных многочленов от xi, ...,xn в F(V), а через cn(V) = dimPn(V) — его размерность. Рост числовой последовательности cn (V) называют ростом многообразия V. Если последовательность cn (V) мажорируется экспонентой an для подходящего a, то существуют пределы
EXP(V) = lim inf y/cnÇV), EXP(V) = lim sup у/cjy),
n n—
которые называются нижней h верхней экспонентами многообразия V соответственно. Если EXP(V) = EXP(V) = а, то число а называют экспонентой многообразия V и обозначают EXP(V).
В случае ассоциативных алгебр любое многообразие имеет рост не выше экспоненциального [З] и, более того, его экспонента является натуральным числом [4]. В общем случае, как доказано в работе [5], для любого действительного а У l существует такое многообразие Va, что EXP(Va) = а.
Для алгебр Ли в работе [б] доказано, что многообразие алгебр Ли, порожденное конечномерной алгеброй, имеет целочисленную экспоненту. Однако еще в 1999 г. в работе [7] был построен первый пример многообразия алгебр Ли с дробными экспонентами. Остановимся на этом подробнее.
Пусть A2 — многообразие всех метабелевых алгебр Ли, т.е. многообразие, определяемое тождеством (xiX2)^X4) = О. Обозначим через M = Fз(A2) относительно свободную алгебру этого многообразия с множеством свободных образующих Y = {У1,У2,Уз}.
Рассмотрим линейное преобразование d векторного пространства < У1,У2,Уз У, определенное правилом
d(yl) = У2, d(y2) = Уз, dy) = yl.
1 Веревкин Александр Борисович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. алгебро-геометрических вычислений Ульяновского гос. ун-та, e-mail: [email protected].
2Зайцев Михаил Владимирович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
3Мищенко Сергей Петрович — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. алгебро-геометрических вычислений Ульяновского
гос. ун-та, e-mail: [email protected].
