О линейности оператора метрического проектирования на подпространства в пространствах Lp Текст научной статьи по специальности «Математика»

6. Зайцев М.В., Мищенко С.П. Новое экстремальное свойство многообразия алгебр Ли AN2 // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1999. № 5. 15-18.

7. Ширшов А.И., Жевлаков К.А., Слинько А.М., Шестаков И.П. Кольца, близкие к ассоциативным. М.: Наука, 1978.

Поступила в редакцию 09.10.2008

УДК 517.982.256

О ЛИНЕЙНОСТИ ОПЕРАТОРА МЕТРИЧЕСКОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ НА ПОДПРОСТРАНСТВА В ПРОСТРАНСТВАХ Ьр

Ю. Ю.Дружинин1

Для чебышевского подпространства Y в банаховом пространстве X определен однозначный оператор метрического проектирования Py : X ^ Y, сопоставляющий каждому x € X ближайший к нему элемент y € Y. Пусть M — произвольное множество, ¡л — а-конечная мера на некоторой а-алгебре £ подмножеств M. В работе описаны подпространства Y С Lp(M, £, ¡л) конечной размерности и конечной коразмерности с линейным оператором Py.

Ключевые слова: метрическая проекция, чебышевское подпространство, квазиортогональное множество, критерий линейности.

Let Y be a Chebyshev subspace of a Banach space X. Then the single-valued metric projection operator Py : X ^ Y taking each x € X to the nearest element y € Y is well defined. Let M be an arbitrary set and ¡л be a а-finite measure on some а-algebra £ of subsets of M. We give a description of Chebyshev subspaces Y С Lp(M, £,л) with finite dimension and finite codimension the operator Py is linear for.

Key words: metric projection, Chebyshev subspace, quasiorthogonal set, linearity criterion.

1. Введение. Пусть X — вещественное банахово пространство, У — его (замкнутое линейное) подпространство, р(х,У) := ш!{^ж — у\\ : у € У} — расстояние от элемента х € X до У, Ру(х) : = {у € У : \\х — у\\ = р(х,У)} — множество ближайших к х элементов из У, или метрическая проекция элемента х на У.

Подпространство У называется чебышевским, если для каждого х € X множество Ру (х) состоит ровно из одного элемента. Возникающий при этом оператор метрического проектирования Ру: X ^ У, сопоставляющий каждому элементу х € X его элемент наилучшего приближения Ру (х) € У, вообще говоря, не является линейным.

Рефлексивные строго выпуклые пространства являются в точности теми пространствами, в которых всякое подпространство чебышевское. Такими пространствами являются, в частности, пространства Ьр при 1 < р < с.

Цель настоящей работы состоит в описании подпространств У конечной размерности (теорема 1) и конечной коразмерности (теорема 2) в пространствах Ьр (1 < р < с, р = 2), для которых оператор Ру линеен. Кроме того, приводятся примеры подпространств бесконечной размерности и коразмерности с линейным и нелинейным операторами метрического проектирования.

Отметим, что чебышевские подпространства пространства Ь\ с линейным оператором метрического проектирования описаны в работах П. Морриса [1] (в случае классической меры Лебега на отрезке [0,1]) и П.А. Бородина [2] (в общем случае). Пространство ¿2 гильбертово. В нем оператор Ру для любого подпространства У линеен, так как совпадает с оператором ортогонального проектирования на это подпространство.

1 Дружинин Юрий Юрьевич — асп. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

Для случая конечной меры теоремы 1 и 2 были доказаны в работе [3]. При этом существенно использовалась теорема Андо об общем виде сжимающего проектора в пространстве Ьр [4]. В данной работе разобран случай ст-конечных мер, при этом доказательства опираются лишь на элементарные факты действительного анализа.

Далее всюду под пространством Ьр(М) будем понимать пространство Ьр(М, Х,ц), где (М, Х,ц) — измеримое пространство с ст-конечной мерой ц и 1 < р < ж, р = 2.

2. Квазиортогональные множества. Основным инструментом нашего исследования будут так называемые квазиортогональные множества.

Определение. Квазиортогональным множеством Q(Y) к подпространству У в пространстве X называется совокупность всех элементов п € X, для которых Ру (х) Э 0.

Множество, квазиортогональное к подпространству, всегда замкнуто и является двусторонним конусом (если п € Q(Y), то Хп € Q(Y) для всех Л € М).

Лемма Л [5]. Подпространство У является чебышевским тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия: (1) Q(Y) + У = X и (2) Ру(д) = 0 для любого д € Q(Y). При этом (1) эквивалентно существованию, а (2) — единственности элемента наилучшего приближения.

Лемма В [6]. Оператор Ру метрического проектирования на чебышевское подпространство Y линеен тогда и только тогда, когда Q(Y) — линейное подпространство.

Определение. Аннулятором подпространтсва Y называется подпространство Y± = {/ € X* : /(у) = 0 Уу € Y}.

Лемма С [2]. Имеет место равенство Q(Y) = {д € X : существует ненулевой функционал / € Y^, для которого /(д) = \\/У • \\д\\}.

Это утверждение можно интерпретировать следующим образом: для того чтобы получить множество Q(Y), необходимо взять все функционалы из Yдостигающие своей нормы, а затем все элементы из X, на которых эта норма достигается. Совокупность всех таких элементов и есть Q(Y).

В случае пространства Ьр при 1 < р < ж сопряженным пространством является пространство Ьд (д + р = 1). Каждый ненулевой функционал д € Ьд достигает своей нормы на элементе sgnд ■ \д\я~1 ■

3. Вспомогательные утверждения.

Лемма 1. Пусть а > 0, а = 1 и пусть для не равных нулю чисел а и Ь выполнено равенство

sgn (а + Ь) •\а + Ь\а = sgn а • \а\а + sgnb • \Ь\а.

Тогда а = -Ь.

Доказательство. Предположим противное. Для определенности будем считать, что \а\ ^ \Ь\. Разделив равенство из условия на sgn а \а\а, получим

° Ь

1 + - = 1 + sgn -

аа

Ь а

а

Несложно проверяется, что при а > 1 решением уравнения (1+Ь)а — (1+sgnЬх \Ь\а) = 0, определенного на множестве [—1, 0) и (0,1], является только Ь = —1. Тогда а = —Ь, и лемма доказана.

Напомним, что под функцией / в пространстве Ьр(М) (1 ^ р < ж) понимается класс функций, попарно равных друг другу почти всюду на множестве М.

Лемма 2. Пусть функции /\,...,/п € Ьр(М) линейно независимы и пусть /п — представи-

тели классов /\,...,/п соответственно. Тогда найдутся такие точки х\,...,хп € X, что

ф/...;/п) :=

Л(Х1) ... Л(хп)

/п(х1) . . . /п(хп)

= 0.

Эту лемму нетрудно доказать индукцией по п.

Пусть даны функции /1,..., /п € Ьр(М) и 1,... , п — их фиксированные представители. Введем

множество

П = П(/1;...; /п) := х € М : Уе > 0 » П ¿(х) — /(х) + е) > 0 .

Лемма 3. Пусть функции /1,..., /п — фиксированные представители функций /1,...,/п £ Ьр(М). Тогда ц(М \ О) = 0.

Доказательство. Имеем

M \ ж е M : 3 е = е(х) > 0 : f fffX - £, Ш+е)] = 0

\г=1

Для каждой точки х £ М \ О зададим такой набор интервалов {(аг,х,Ьг,х)}п=1 с рациональными концами, что /(х) £ (аг,х, Ьг,х) С (/(х) - е, /(х) + е).

Обозначим Ах := /-~1(а1>х,Ь1>х) П ... П /П-1(ап,х,Ьп,х). Заметим, что различных наборов интервалов {(аг,х,Ьг,х)} не более чем счетное множество, поэтому множеств Ах не более чем счетное число. Каждое множество Ах имеет меру нуль по построению, и х £ Ах. Тогда М \ О С У Ах, где объединение берется по всем х £ М \ О. Отсюда ¡л,(М \ О) ^ ^ц,(Ах) = 0. Лемма доказана.

Лемма 4. Пусть /1,..., /п — линейно независимые функции из пространства Ьр(М) и пусть М = М1 и ... и М^, где ¡л(Мг) > 0, г = 1,...,Ы. Тогда существует система таких попарно непересекающихся измеримых множеств А1,..., Ап , что каждое Аг лежит в некотором М^, для всех г = 1,...,п выполнено 0 < ¡л(Аг) < ж и

I ( f; A) :=

f fi df

Ai

f fi df

An

J fn df ... f fn df

Ai An

= 0.

Доказательство. Зафиксируем представителей /1,..., /п из классов /1,..., /п соответственно. Множество О(/1;...; /п) по лемме 3 почти всюду совпадает с М, поэтому функции /1,..., /п линейно независимы на О. Тогда по лемме 2 найдутся такие точки х1,...,хп £ О, что $(/1;...; /п) = 0. Для каждой функции /г введем множество

Бг(е) := / /(х1) - е,/(х1) + е) П ... П / \/г(хп) - е, /Ы + е).

Покажем, что при достаточно малом е множества Б1(е),...,Бп(е) попарно не пересекаются. Возьмем множества Бк(е) и Б1(е). Определитель Ф не равен нулю, поэтому в нем всякие два столбца различны. В столбцах с номерами к и I найдем номер т элемента, по которому эти столбцы различаются. Таким образом, /т(хк) = ]т(хг). Поэтому при некотором е множества (/т(хк)-е, /т(хк)+е) и (]т(хг)-е, ¡т(хг) + е), а следовательно, и множества Бк(е) и Бг(е) не пересекаются.

Можно считать, что множества Бг(е) имеют конечную меру. Для каждого Бг(е) найдем такое Мк, для которого ¡л(Бг(е) П Мк) > 0. Тогда положим Аг := Бг(е) П Мк. Итак, мы построили множества А1,..., Ап, которые попарно не пересекаются и имеют конечную положительную меру. Далее, при х £ Ак имеем |/г(х) — }г(хк)| < е. Следовательно,

fi df - ц(Ак) fi(xk)

Ak

<£f(Ak) ^ J fi df = f(Ak )(fi (xk ) + aik),

Ak

где aij — некоторые числа, \aij \ < е. Отсюда I (f; A) = ФПП=1 f(Ai), где определитель Ф, получаемый из Ф малым изменением элементов, не равен нулю при достаточно малом е. Лемма доказана.

4. Подпространства конечной размерности.

Теорема 1. Пусть Y — подпространство конечной размерности dim Y = n в Lp(M) при p > 1, p = 2. Оператор Py метрического проектирования на Y линеен тогда и только тогда, когда в подпространстве Y найдется такой базис fi,..., fn, что носитель каждой функции fi состоит из одного или двух атомов.

Под атомом понимается такое измеримое множество A С M, что каждое его измеримое подмножество имеет либо меру нуль, либо ту же меру, что и само A.

Доказательство. Докажем необходимость. Пусть оператор Py линеен. Тогда, согласно лемме B, множество Q(Y) является линейным подпространством. В подпространстве Y возьмем произвольный

базис /1,..., /п. Обозначим Mf := и*=^ирр /г. Разобьем Mf на множества ненулевой меры: Mf = М1 и ... и М^. Можно считать, что N ^ п, так как /1,...,/п линейно независимы. По лемме 4 для М1,..., Мп найдутся такие попарно непересекающиеся множества Л1,...,Лп конечной положительной меры, что каждое Лг целиком содержится в некотором М^, 2 = 1,...,п, и I (/; Л) = 0. Наконец, в каждом М^, 2 = п + 1,... найдем множество Л^ конечной ненулевой меры.

Пусть функция д € Y^ принимает постоянные значения дг на множествах Лг, а вне их равна нулю. Тогда

0 = у д/г йу = д1 J /г йу + ... + д^ /г йу.

М Л1 Лм

Отсюда следует, что д € Y^ тогда и только тогда , когда последовательность значений (д1,... ,дм) является решением системы линейных уравнений

(I /1 йу...$ /1 йу\

А1

А?

/ /п йу... / /п йУ

\А1 Ам

д1

\дм;

0.

(*)

Предположим, что N ^ 2п + 1. Для каждого г = п + 1,...,2п + 1 множество Лг С Mf, и, значит, существует номер к = к(г), такой, что у(supp Д П Лг) > 0. Тогда для этих г в качестве Лг выберем то из двух множеств {х : Д(х) > 0}П Лг, {х : Д(х) < 0}П Лг, которое имеет положительную меру. Таким образом, можно считать, что столбцы системы с номерами п + 1, ...,2п + 1 ненулевые.

С помощью системы (*) построим две функции ф,ф € YПоложим (ф1,..., фп) = (0,..., 0). Тогда (*) превращается в систему из п уравнений с п +1 неизвестными. Значит, существует ненулевое решение (фп+1,..., ф2п+1). Можно считать, что ф2п+1 = 1 (иначе перенумеруем множества Лп+1,..., Л2п+1). Для ф положим (фп+1 ,...,ф2п ,ф2п+1) = (0,..., 0,1). Система (*) превращается в невырожденную систему, поэтому существует решение (ф1,..., фп).

По лемме C функции sgn ф • \ф\?-1 и sgnф • \ф\?-1 лежат в множестве Q(Y), оно линейно, поэто-

му sgn ф • \ф\? 1 + sgn ф что sgn п • \п\?-1 ~

\ф\?-1 € Q(Y). Опять -таки по лемме С найдется такая функция п € Y±,

.I?-1

(ф1 ,...,фп

,ф

,п+1

sgn ф ,ф2п, 2^).

+ sgnф • \ф\? 1. Вычислив значения пг, получим, что (п1,...,П2п+1)

2п+1\ _

По построению некоторый к-й элемент последнего столбца в (*) отличен от нуля. Тогда

/п л 2п л л

г?Д = ] !кЛу + фг ] ¡к(1у + 2^ J

М г=1 А г=п+1 А Л2п+

-1 I !к<1у =

Л2п+1

¡кЛу- J ¡кг1у + 2^ !

Л2п+1 Л2п+1 Л2п+1

Пришли к противоречию. Это означает, что N ^ 2п. Таким образом, Mf нельзя разбить более чем на 2п множеств ненулевой меры, следовательно, Mf состоит не более чем из 2п атомов.

Теперь докажем, что каждый supp /г состоит не более чем из двух атомов. Пусть Mf изначально разбито на атомы М1,..., МN. Функции /г постоянны на атомах М^ и принимают на них значения /. Рассмотрим матрицу этих значений (/), г = 1,...,п, ] = 1,...^. Методом Гаусса, используя только элементарные преобразования строк и перестановки столбцов, эту матрицу можно привести к виду (Е\В), где Е — единичная квадратная матрица размерности п, а В — какая-то матрица. Преобразованиям строк матрицы соответствуют преобразования базиса Д,...,/п, а перестановкам столбцов — перенумерации атомов Мг. Таким образом, имеется базис Н1,...,Нп подпространства Y с матрицей значений (Е \В).

Покажем, что в каждой строке матрицы (Н\) = (Е \В) не более двух элементов отлично от нуля. Предположим противное, тогда в матрице В найдется строка с номером к, у которой два элемента отличны от нуля. Перенумеровав атомы Мг, можно считать, что Ьк,п+1 = Ьг1+1 =0 и Ьк,п+2 = Ь11+2 = 0.

Построим две новые функции ф,ф £ Укоторые постоянны на Ыг и равны нулю вне Ы^. Для ф положим (фп+1 ,фп+2,...) = (1, 0,...). Тогда, решая систему (*) и учитывая вид матрицы (Щ) = (Е\В),

находим, что фг = —где тщ := Для г = 1,... ,п. Для ф положим (грп+1, фп+2, фп+3,...) =

(0,1,0,...). Тогда фг = где 8г := ^^¡ф^ для г = 1,..., п. Так как С,}(У) — линейное подпростран-

ство, то, согласно леммам В и С, получим sgn ф ■ \ф\9-1 + sgnеф ■ \еф\9-1 £ Q(У). По лемме С найдется такая функция п £ У^, что sgn п ■\п\9- = sgn ф ■\ф\9- +sgn еф ■\еф\9- .Имеем (пп+1 ,пп+2 ,пп+3 ,...,п2п ) = (1,е,0,... ,0) и

к

sgn п

9 1 =sgn(-hnk+1mk) ■ \-Ппк+1тк\С1 1 + sgn(-еhnk+2sk) ■ \-еК+2вк\'1 1

Поскольку п £ У^, то (п1,... ) является решением системы (*). Тогда пк = -Кп+1тк — еЩ+2Sk. По лемме 1 получим, что Кп+1тк = —еKn+2Sk. В силу произвольности е заключаем, что Кп+1 = 0. Пришли к противоречию. Необходимость доказана.

Докажем достаточность. Пусть /1,...,/п — такой базис У, что носитель каждой функции /г состоит не более чем из двух атомов. Тогда каждая строка матрицы значений (/■) имеет не более двух ненулевых элементов. Как и раньше, приведем эту матрицу методом Гаусса к виду (Е\В). Заметим, что при элементарных преобразованиях строк, используемых в методе Гаусса, число ненулевых элементов каждой строки не возрастает. Поэтому найдется базис Щ1,...,Кп с Щ = (Е\В) и условием, что каждая строка (Щ) имеет не более двух ненулевых элементов. Пусть ]к £{п + 1,..., К] — второй индекс того элемента Щк = Ьк,]к в строке с номером к, который отличен от нуля; если такого элемента нет, то индекс ]к выберем любым из {п + 1,..., К].

Тогда условие д £ У^ равносильно условию, что для к = 1,... ,п

! дЩк йр = дкц(Ык) + д3кЦ.(Ы]к)Ь?* =0 & дк = акд>к,

м

где аи = — . Отсюда, используя лемму С, получим, что квазиортогональное множество (¿(У)

состоит из тех функций / £ ЬР(Ы), для которых набор их значений {/к] на атомах Ык соответственно

имеет вид {sgnдк ■ \дк\9 ^ и, значит, /к = sgnак ■ \ак\9-1/^к, к = 1,...,п. Отсюда видно, что множество Q(У) является линейным подпространством, и по лемме В оператор Ру линеен. Теорема доказана.

5. Подпространства конечной коразмерности.

Теорема 2. Пусть У — подпространство конечной коразмерности еоё1ш У = п в ЬР(Ы), р > 1, р = 2. Оператор Ру метрического проектирования на У линеен тогда и только тогда, когда в подпространстве У^ С Ь9 найдется такой базис д1,... ,дп, что р^ирр дг П suppд^) = 0 для всех г = ].

Доказательство. Докажем необходимость. Согласно лемме В, имеем ёт Q(У) = ётУ^ = п. Возьмем какой-нибудь базис Щ1,...,Ьп в У Ч Используя леммы 2 и 3, найдем такие точки х1,...,хп £ О(Щ1;...; Щп) = О, что матрица (Щ(х^))rnj=l невырождена.

Эту матрицу, используя только элементарные преобразования строк, приведем методом Гаусса к единичному виду. При этом на каждом шаге метода Гаусса будем совершать то же преобразование над функциями Щ1,..., Щп, что и над строками. Например, если мы из г-й строки вычли j-ю, умноженную на число Л, то функцию Щ мы должны заменить на Щ — \hj.

Через д1,...,дп обозначим получившуюся систему функций, она обладает тем свойством, что дг (хг)=1 и дгХ) = 0 при г = j. Покажем, что эта система искомая.

Функции д1, ...,дп образуют базис Утак как получаются из базиса Щ1,...,Кп невырожденной заменой переменных.

Построим функции /г := sgnдг ■ \дг\9-1 для всех г = 1,...,п. Согласно лемме С, построенные функции лежат в Q(У). Покажем, что они линейно независимы. Для этого рассмотрим линейную комбинацию Л1/1 + ... + Лп/п = 0. По определению множества О для точек хг и для любого е > 0 найдутся такие множества Ыг = Ыг(е) положительной меры, что хг £ Ыг и для почти всех х £ Ыг

д1 (х) £ (—е,е),...,дг(х) £ (1 — е, 1+е),...,дп(х) £ (—е,е).

Из сказанного для точки x Е Mi = Mi(e) получаем, что 0 = (Aifi + ... + Anfn)(x) Е (Ai — De, Ai + De), где D не зависит от e. В силу произвольности e отсюда следует, что Ai = 0 для всех i. Значит, функции fi,...,fn действительно линейно независимы.

Разложим функцию sgn (gi + g2) • | gi + g2| q-1 Е Q(Y) по базису fi,...,f.n:

sgn(gi + g2) • I gi + g21 q-1 = ki sgn gi • | gi | q-1 + ... + knsgn gn • | gn | q-1.

Вычисляя в этом разложении значения в точках x Е Mj(e), i = 1,...,n, при e ^ 0 получим ki = k2 = 1, кз = ... = kn = 0, т.е.

sgn (gi + g2) • |gi + g2|q-1 = sgn gi • Ы1-1 + sgng2 • Ы1-1 .

Аналогично получим

sgn (gi + 2g2) • |gi + 2g2|q-i = sgn gi • |gi |q-i + 2q-i sgn g2 • Ы"-1 .

Применив лемму 1 к предыдущим двум равенствам, будем иметь gi = —g2 и gi = —2g2 почти всюду на supp gi П supp g2. Это означает, что носители функций gi и g2 пересекаются по множеству меры нуль. Аналогично проверяется, что для всех i = j мера множества supp gi П supp gj равна нулю. Необходимость доказана.

Докажем достаточность. Возьмем базис gi,...,gn подпространства Y ± из условия теоремы. Тогда для любой функции g Е Y± имеем g — Aigi + ... + Angn и

n

sgn g • = J]sgn Ai • ХГ1 • sgn gi • Ы"-1 . (1)

i=i

Согласно лемме C, для всякой функции f Е Q(Y) найдется такая функция g Е Yx, что f = sgng • |g|q- . Из равенства (1) следует, что функция f является линейной комбинацией функций sgn gi •|gl|q- ,..., sgn gn • ^nЕ Q(Y). Если Ai пробегает все множество R, то и sgn Ai • | Ai |q пробегает все множество R. Значит, всякая линейная комбинация функций sgn gi • ^i^- лежит в Q(Y). Следовательно, Q(Y) — линейная оболочка n функций и потому является линейным подпространством. Из леммы B следует, что оператор Py линеен. Теорема доказана.

6. Примеры. Приведенные теоремы полностью описывают подпространства конечной размерности и конечной коразмерности в пространстве Lp(M) при p > 1, p = 2 с линейным оператором метрического проектирования. Однако подпространства Y с линейным оператором Py этим не исчерпываются.

Рассмотрим Lp[—1,1], p > 1, p = 2. Ограничение произвольной функции F Е Lp[—1,1] на [0,1] обозначим через fi, ограничение на [—1, 0] — через f2. Пусть фиксирована произвольная ограниченная измеримая функция a(x), определенная на [—1, 0]. Построим два подпространства:

Yi := {F Е Lp[—1,1] : fi Е Lp[0,1], f2 = a(x)f (—x)},

x

Y2 := {F Е Lp[—1,1] : fi Е Lp[0,1], f2(x) = J fi(—t) dy}.

-1

Можно показать, что оператор Py1 линеен, а оператор Py2 — нет.

В заключение отметим, что теоремы 1 и 2 могут быть сформулированы в терминах 1-дополняемых подпространств [7].

Определение. Подпространство Z в произвольном банаховом пространстве X называется 1-допол-няемым, если существует проектор R нормы 1 на это подпространство.

Теорема 3. Пусть Z С Lp — подпространство, p > 1, p = 2, codim Z = n. Тогда Z — 1-дополняемо тогда и только тогда, когда в Z ± найдется такой базис gi,...,gn, 'что для каждого j носитель gj состоит из одного или двух атомов.

Теорема 4. Пусть Z С Lp — подпространство, p > 1, p = 2, dim Z = n. Тогда Z — 1-дополняемо тогда и только тогда, когда Z = (fi,..., fn), где y(supp fi П supp fj) = 0 при i = j.

Автор приносит благодарность научному руководителю П. А. Бородину за постановку задачи. Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 08-01-00648а).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Morris P.D. Chebyshev subspaces of Li with linear metric projection //J. Approx. Theory. 1980. 29. 231-234.

2. Бородин П.А. О линейности оператора метрического проектирования на чебышевские подпространства в пространствах Li и C // Матем. заметки. 1998. 63, № 6. 812-820.

3. Ando T. Contractive projections in Lp spaces // Pacif. J. Math. 1966. 17, N 3. 391-406.

4. Pee-kee Lin. Remarks on linear selections for the metric projection //J. Approx. Theory. 1985. 43. 64-74.

5. Cheney E.W., Wulbert D.E. The existence and unicity of best approximation // Math. scand. 1969. 24. 113-140.

6. Singer I. Best Approximation in Normed Linear Spaces by Elements of Linear Subspaces. Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1970.

7. Randrianantoanina B. Contractive projections in nonatomic function spaces // Proc. Amer. Math. Soc. 1995. 123, N 6. 1747-1750.

Поступила в редакцию 20.10.2008

УДК 512.554

УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ЦЕНТРАЛЬНЫЕ РАСШИРЕНИЯ КОНФОРМНЫХ АЛГЕБР ЛИ,

ЧАСТЬ 2: СУПЕРСЛУЧАЙ А. В. Михалев1, И. А. Пинчук2

В первой части работы исследуются универсальные центральные расширения конформных алгебр Ли, изучаются условия существования таких расширений. Цель данной работы — некоторое уточнение предыдущих результатов, а также перенос этих результатов на суперслучай.

Ключевые слова: конформная супералгебра Ли, универсальное центральное расширение, ядро универсального центрального расширения.

In the previous part of this study we considered universal central extensions of Lie conformal algebras and conditions for existence of such extensions. The aim of this paper is some refinement of previous results and extension of these results to Lie conformal superalgebras.

Key words: Lie conformal superalgebra, universal central extension, kernel of a universal central extension.

В статье авторов [1] исследуются универсальные центральные расширения конформных алгебр Ли, изучаются условия существования таких расширений. Цель данной работы — некоторое уточнение результатов из [1] и перенос этих результатов на суперслучай.

Пусть k — поле нулевой характеристики. Напомним (см. [2-4]), что конформная супералгебра Ли — это Z2-градуированное k-линейное пространство C = Cg ® Cg, в котором задано линейное отображение D : C ^ C и определено счетное множество билинейных операций ©, таких, что для любых однородных элементов a,b,c Е C выполняются условия:

1) a © b = 0 при всех n ^ N(a,b), где N(a,b) — некоторое целое неотрицательное число, зависящее от a и b;

2) D(a © b) = D a © b + a © D b;

3) D a © b = —na (n—1 b (причем D a © b = 0);

4) a © b = (—1)'a"X] (—1)n+s+1 D (s) (b (n+S a) (условие антикоммутативности);

s^0

m

5) a © (b © c) = E О (a (5b) С + (—1)' "II b'b © (a © c) (супертождество Якоби).

s=0 S

1 Михалев Александр Васильевич — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. лаб. вычислительных методов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected], [email protected].

2Пинчук Иррина Александровна — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. высшей алгебры, элементарной математики и мето-

дики преподавания математики Моск. гос. обл. ун-та, e-mail: [email protected].