CC BY
102. Иванов А.О., Тужилин A.A. Одномерная проблема Громова о минимальном заполнении // Матем. сб. 2012. 203, № 5. 65-118.
3. Еремин А.Ю. Формула веса минимального заполнения конечного метрического пространства // Матем. сб. 2013. 204, № 9. 51-72.
4. Бедное Б.Б., Бородин П.А. Банаховы пространства, реализующие минимальные заполнения // Матем. сб. 2014. 205, № 4. 3-19.
5. Бедное Б.Б., Стрелкова Н.П. О существовании кратчайших сетей в банаховых пространствах // Матем. заметки. 2013. 94, № 1. 46-54.
6. Бедное Б.Б. Длина минимального заполнения типа звезды // Матем. сб. 2016. 207, № 8. 31-46.
7. Рубинштейн Г.Ш. Об одной экстремальной задаче в линейном нормированном пространстве // Сиб. матем. жури. 1965. VI, № 3. 711-714.
8. Бедное Б.Б. О точках Штейнера в пространстве непрерывных функций // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2011. № 6. 26-31.
9. Богачев В.И., Смоляное О.Г. Действительный и функциональный анализ: университетский курс. М.; Ижевск: НИЦ РХД, 2009.
Поступила в редакцию 14.12.2016
УДК 517.926.4
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОДНОВРЕМЕННОЙ УСЛОВНОЙ СТАБИЛИЗИРУЕМОСТИ И ДЕСТАБИЛИЗИРУЕМОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ
Т. В. Салова1
Доказано, что любая линейная гамильтонова система одновременно условно (относительно подпространства половинной размерности) стабилизируема и дестабилизируема бесконечно малыми гамильтоновыми возмущениями.
Ключевые слова: линейные системы, гамильтоновы системы, стабилизируемость, де-стабилизируемость.
It is proved that each linear Hamiltonian system is simultaneously conditionally (with respect to a subspace of half dimension) stabilizable and destabilizable by infinitesimal Hamiltonian perturbation.
Key words: linear systems, Hamiltonian systems, stabilizability, destabilizability.
Пусть для заданного n € N в евклидовом пространстве R2ra фиксирована симплектическая структура [1, §37], задаваемая ортогональным кососимметрическим оператором J € EndR2"- (J-1 = J* = — J). Обозначим через %2n пространство линейных гамильтоновых систем вида
X = A(t)x, X € R2r\ t € R+ = [0, оо),
с ограниченными кусочно-непрерывными оператор-функциями А : R+ —>■ EndR2"- (отождествляемыми с самими системами), у которых по определению при каждом t € R+ оператор JA(t) симметричен. Линейное пространство %2а наделим равномерной на полуоси t € R+ нормой ал = ||-А|| = sup |A(t)| < оо, |A(t)| = sup \A(t)x\. Для системы А € Tí2n обозначим через Tío(A) множество всех
í€R+ \х\ = 1
систем В € Ti2"1, удовлетворяющих условию lim |B(t) — A(t)| = 0, а через Xa(í, т) (í,r € R+) ее
t—>оо
оператор Коши.
Определение [2]. Система А € И2™1 при некотором k G N называется:
1) к-мерно устойчивой, если существует такое /г-мерное подпространство S решений системы А, что для любого е > 0 найдется такое число ö > 0, при котором любое решение х G S, удовлетворяющее неравенству |ж(0)| <5, удовлетворяет и неравенству \x(t)\ < е при всех t € R+;
1 Салова Татьяна Валентиновна — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: m-message®mail.ru.
2) к-мерно неустойчивой, если существуют такое /г-мерное подпространство S решений системы А и такое е > 0, что для любого 5 > 0 найдется такое число Т € R+, при котором любое решение х € S, удовлетворяющее равенству |ж(0)| = 5, удовлетворяет и неравенству sup |ж(£)| > е\
i€[0,T]
3) к-мерно стабилизируемой (к-мерно дестабилизируемой) в классе Но (А), если существует /г-мерно устойчивая (/г-мерно неустойчивая) система В € TLo(A).
Замечание. Для линейных систем требования на подпространство 5 в п. 1 или п. 2 определения эквивалентны тому, что сразу все ненулевые решения х € S ограничены или не ограничены соответственно.
Следующая теорема анонсирована в работе [2].
Теорема. Для любой системы А £ %2п существует система В € Но(А), являющаяся одновременно и n-мерно устойчивой, и n-мерно неустойчивой.
Доказательству теоремы предпошлем ряд обозначений и лемм.
Введем обозначения: L(e..., ej.) — линейная оболочка векторов е\,..., е^; — ортогональное дополнение к L; Pq — ортогональный проектор на подпространство G С R2"-; (•, •) — сим-плектическое произведение [1, 3], связанное со скалярным произведением (•, •) равенством (х,у) = (Jx,y) (х,у € М2га); Хт(х) = |ж(т)| — рост, функции х от т до t [3, 4]; <(х,у) € [0,7г] — угол
между ненулевыми векторами х,у € R2ra; <(M,N) = inf <(х,у) — угол между множествами
х£М, y£N
М, N С М2га.
Лемма 1. Для любых е, Т > 0 и системы А € И
сущбстпвубтп система С^ € Ti2n, для
которой
1) 6'п ^ b'n+i — 2еТ, где 5[ — логарифмические сингулярные числа [3] оператора Хщ(Т, 0);
2) sup | A(t) - Cf(i)| < 2е.
OsCisCT
Доказательство. Пусть {е^} (i = 1,...,2п) — сингулярный базис оператора Коши Хд{Т, 0), описанный в лемме 1 [3], a Xi — решения, для которых Xi(0) = е^. Положим
Cf(i) = A(t) + QS), Qe{t) = -ePL(Xl(t),...,Xn(t)) +^(x1(t)>...,x„(t)), t € [0,T], (1)
И ДОКс12К6М; iqqpQ Cji
€ TL2n. Для этого необходимо и достаточно, чтобы JQe являлся симметрическим оператором. Рассмотрим произвольные функции х,у. Зафиксируем произвольное t € [0,Т]. Тогда x(t) = zx(t) + zx(t), y(t) = Zy(t) + z2(i), где zx(t),zy(t) € L(xi(t),..., xn(t)), zx(t),zy(t) € L^(xi(i),... ,xn(t)). Для упрощения записи аргумент t будем опускать:
(JQeX,y) = {J{—£Pl(xi,...,x„) + £Рь^(х-1,...,хп)){%х ^zx),zy zy) = {~£Jzx + ZX1 zy + zy) =
= e{—zx + zx, zy + Zy) = e(—{zx, zy) — (zx, zy) + (zx, zy) + (zx, zy)).
Поскольку X\(t),... ,X2n(t) — симплектический базис [3] для всех t € [0,Т], то L(x\(t),..., xn(t)) — нулевая плоскость для любого t € [0,Т], т.е. в ней симплектическое произведение любых двух векторов равно нулю; Ь^(хi(t),..., xn(t)) = L(Jx\(t),... , Jxn(t)) — тоже нулевая плоскость. Учитывая это, получим (JQex,y) = e{zx,zy} + e{Zy, zx). Аналогично
{x, JQey) = (zx + zx, J{—£Pl(xi,...,x„) + i,...,xn)){zy + zy)) = izx + zx1 ~^Jzy + £Jzy) =
£{~zy zyi zx zx) £( — (zy> zx) ~ {zyi Zx) {zyi Zx) {zyi Zx)) £{ZX1 zy) Фу, zx!) ■
Получили (JQex,y) = (x,JQey). Следовательно, Cf.
€ "H2ra, i € [0,T],
Вектор-функции yi(t) = e~£tXi(t) (i = 1,... ,ri) являются решениями возмущенной системы (1). Следовательно, у системы Cf. есть такие решения yi, что Хо(Уг) = Хо(хг)~£, поэтому ^ 5г~еТ, где 5г — логарифмические сингулярные числа оператора Хд (Т, 0), 5[ — логарифмические сингулярные числа оператора Хщ (Т, 0). А в силу симметрии относительно нуля логарифмических сингулярных чисел оператора Коши системы из %2п верно 6j ^ Sj + еТ, j = п + 1,..., 2п. Тогда из неравенств 5'п ^ Sn-eT, 5'n+l ^ 5п+\+еТ следует, что 5'п + еТ ^ 5п ^ 5п+\ ^ 5'п+1 —еТ, а значит, 5'п ^ 5'п+1 — 2еТ. Таким образом, утверждение 1 доказано. Утверждение 2 следует из (1) и свойств нормы. Лемма 1 доказана.
Лемма 2. Для, любых последовательностей 0 = to < t\ < ..., е\,е2,... >0 и системы А £ %2п существует система С € %2п, удовлетворяющая при каждом j = 1,2,... условиям
1) ^ra(i) ^ b'n+i(j)~tj-i)> где 5'iij) — логарифмические сингулярные числа для Xc{tj,tj-1);
2) sup \A(t) -C(i)K
tj—1 ^t^tj
Доказательство. Положим C(0) = A(0), а на каждом промежутке (tj-\,tj\, j € N, положим C(t) = (t — tj-1), где функция С^ описана в лемме 1, ее и применим. Лемма 2 доказана.
Обозначим для некоторого к € {1,... ,2п}
U{x и..., хк, a, t) = {у Е R2n\l(L(Xl(t),..., xk(t)),y) < а},
VA{xi,.. .,xk,a,T,t) = Ха{т,t)U(x\,.. .,xk,a,t).
Лемма 3. Пусть для числа п € N заданы, последоват,ельност,и чисел £j, Aj > 0 при j = 1,2,... и aj, aj < l/(6n + 3), при j = 0,1,..., а также последоват,ельност,ь 0 = to < t\ < t2 < • • •, удовлетворяющая при каждом, j = 1,2,... неравенству
tj-tj-i > max{l,eA(aj-i,£j),eA(yaj,£j),eB(yaj-i,aj,Aj),eB(yaj,aj-i,Aj)}, (2)
где функции вА и вв описаны в лемме 5.4 [4]. Тогда, для, любой системы С € TL2n, такой, что
Ш < Wi) - Aj(tj - tj-1), ¿ = 1,2,..., (3)
где 5i(j) — логарифмические сингулярные числа, оператора Xc{tj,tj-\), г = 1,...,2п, существует система В € %2п, удовлетворяющая условиям:
1) пространство решений системы В представимо в виде Е(В) = E'i(B)®E2(B), dim E™(B) = dim E2(B) = n, причем при каждом, j = 1,2,...
а) для, любого ненулевого решения, s € Е™(В) верна оценка ^ —j—$n(j) +
б) для любого ненулевого решения Ъ € E^iB) верна оценка t._\. i(j) ~
2) sup \B(t)-C(t)\<(3n + 2)iraj(2ac + l).
tj—1 'Ct^tj
Доказательство. Докажем утверждение леммы для п ^ 2.
1. Пусть e\(tj-i),..., e2n(tj-\) — сингулярный базис оператора Коши Xc(tj,tj-\), j = 1,2,..., описанный в лемме 1 [3], /¿(tj) = Xc(tj, tj-\)ei(tj-i), г = 1,...,2п. Будем строить возмущенную систему В, обладающую при каждом j = 1,2,... следующими свойствами:
Ув (en+i(tj-i),.. .,e2n(tj-1), I - aj-i,tj,tj-^ С U (en+i(tj),.. .,e2n(tj), | - ; (4)
U (ei (tj),...,en(tj),aj,tj) С U (ji(tj),... Jn(tj),\ ~ аз^з) > (5)
где ]i{tj) = XB{tj,tj-i)ei{tj-i), i = 1,... ,n]
Ув (7i(ij+i), • • •, fn(tj+1), I - aj+i, tj, ij+i) С U (Ji(tj),..., Jn(tj), I - aj, tj^j . (6)
Заметим, что в силу условий (3), выбора длин (2) отрезков [tj-\,tj] и леммы 5.4 [4] справедливы включения
Vc (en+i(tj-i),... ,e2n(tj-i),^ - aj-i,tj,tj-^ С U(fn+1(tj),..., f2n(tj), aj, tj), (7)
Vc (fi(tj),---,fn(tj),^ -aj,tj-i,tj^j С U(ei(tj-i),... ,en(tj-i),aj-i,tj-i).
При t = 0 положим В = С. Будем строить возмущенную систему В на промежутках (tj-\,tj] с помощью индукции по номеру промежутка j = 1,2,....
При j = 1 рассмотрим промежуток (to,t\] и построим на нем возмущенную систему В = B(to,ao,ti,ai). Обозначим через $¿(¿1) = L{ei{ti), Je^ii)) = L(ei(ti), e2„+i-j(ii)), г = l,...,n,
двумерные симплектические плоскости, инвариантные относительно оператора J (отметим, что они попарно ортогональны и R2ra = <J>i ф ... ф Фга). Для каждого i = 1,... ,п положим Gi(t\) = Hfn+xih),..., f2n{ti)) П $¿(íi).
Допустим, что dimG¿(íi) = 2 для некоторого i € {1,... ,п}. Тогда G¿(ti) = $¿(íi). Заметим, что если х € Gi(t\), тот Jx € G¿(íi), а значит, х, Jx € L(/ra+i(íi),...,/2„(íi)). Но L(/ra+i(íi),...,/2„(íi))-нулевая плоскость (это следует из определения симплектического базиса [3]). Получили противоречие.
Случай dimG¿(íi) = 0 также невозможен, поскольку dim L(fn+i(ti),..., /2ra(íi)) = пи тогда найдется такой номер к € {1,... ,п}, что dimGfc(íi) = 2, а это невозможно.
Следовательно, dimG¿(íi) = 1, i = l,...,n, т.е. G¿(íi) = L(g¿(íi)), гт 9i{ti) € $¿(¿i), \gi(h)\ = 1. Тогда справедливо равенство
Hfn+iih),..., hnih)) = Ь{91{и),.. .,gn(ti)). (8)
При этом для каждого г = 1,..., п возможен один из двух случаев:
1) Z(g¿(ti), L(Je¿(ti))) ^ f — 2a¡i. Тогда положим = I;
2) Z(íj¿(íi), L(Je¿(íi))) > ^ —2аь Тогда поворачиваем вектор gí(t\) в плоскости L(e¿(¿i), Je¿(¿i)) на угол (pi с помощью ортогонального преобразования единичного на LJ-(e¿(íi), Je¿(íi)), так, чтобы
liZ^ih), L(Je,(íi))) < I - 2ai. (9)
Заметим, что при этом всегда найдется угол ípi ^ 2cki , удовлетворяющий условию (9). Согласно утверждению 1 [5], преобразование является симплектическим и выполнено — /| ^ 2а\.
Докажем, что, применяя поворот Z = Zn... Z\ и учитывая, что ортогональное преобразование сохраняет углы между векторами, мы получим включение
ZVC (era+i(í0), • • • ,e2n(to), ^ - a0,ti,í0) ^ IJ (era+i(íi),... ,e2ri(íi), ^ - abíi) • (10)
В силу (7) и (8) достаточно доказать, что
ZU(gi(ti),... ,gn(ti),ai,ti) С С/ (era+i(íi),..., e2ra(íi), ^ -abíi) . (11)
Возьмем произвольный вектор g{t\) = a\Zgi(ti) + ... + anZgn(t\) € ZL(gi(t\),..., gn{ti)), где ai,...,an € R, a2 + ... + a2 = 1. По построению поворота Z для каждого i = 1 ,...,п имеем Á(Zgi(ti), L( Je¿(íi))) ^ I — 2a¡i. Не ограничивая общности, считаем, что Z(Zg¿(¿i), L( Je¿(¿i))) = Á(Zgi(t\), Je¿(¿i)) (в противном случае ^¿(íi) можно домножить на —1, что никак не отразится на доказательстве). А поскольку Z(Zg¿(¿i), Je¿(¿i)) € [0, то eos Z(Zg¿(ti), Je¿(¿i)) ^ cos^ — 2ai).
Для вектора e(t\) = aiJei(íi) + ... + anJen(t\) € L(era+i(íi),..., e2ri(íi)) докажем, что Z(g(¿i), e(íi)) ^ f — 2a¡i. Действительно,
cos ¿(g(ti),e(ti)) = {(iiZgi{ti) + ... + anZgn(ti),aiJei(ti) + ... + anJen(ti)) =
= al(Zgi(ti),Jei(ti)) + ... + al(Zgn(ti), Jen(ti)) ^ (a2 + ... + a2) eos - 2ai) = cos - 2ai) ,
а значит, l{g{ti),e{ti)) ^ § - 2ab Следовательно, ZL{gi{ti),..., gn{ti)) С f/(era+i(íi),..., e2„(íi), ^ — a¡i,íi) с запасом ai, т.е. будет выполнено условие (11).
Далее, L(/i(íi),..., /„(¿i)) = (íi), • • •, hn{ti)) — нулевая плоскость и L(/i(íi),..., ¡n{ti))
n$¿(íi) = L(Jgi). Тогда справедливо равенство L(/i(¿i),..., fn(ti)) = L(Jgi(ti),..., Jgn(t\)). Так как для каждого i € {1,... ,п} выполняется неравенство Á(Zgi(t\), Je¿(¿i)) ^ f — 2a¡i, то справедлива оценка Á(ZJgi(ti),L(ei(ti))) ^ ^ — 2a¡i. Тогда по доказанному ранее получим
U (ei(íi),..., era(íi), ai, ¿i) С ZC7 (/i(íi),..., fn(h), | - abíi) . (12)
При этом |Z-J| = |Zra...Zi-/| = \Zn...Z1-Zn_1...Z1+...+Z1-I\ < |Zra_i...Zi| |Zi-/|+.. .+|Zi-/| ^ 2nai < (2n+l)ai. По теореме 2.5 из [6] для любого ортогонального симплектического оператора Z существует непрерывно дифференцируемая оператор-функция Z(t),t € [0,1], удовлетворяющая
условиям: 1) оператор Z(t) ортогонален и симплектичен при каждом т € [0,1]; 2) Z(0) = I, Z( 1) = Z; 3) некоторое число ф € [0,7г] осуществляет оценку |^(т)| ^ фи, если \Z—I\ < в < удовлетворяет неравенству ф < aresin30. Поскольку по условию ctj < g^g, то \Z — 1\ < (2п + 1)а\ < Тогда
\Z(t)\ ^ ф ^ aresin36 = arcsin(6n + 3)а\ < (6п + 3)а\ ■ f < (3п + 2)not\. Кроме того, по теореме Лагранжа о конечных приращениях \Z(t) — I| ^ ф < (3п + 2)irai. Положим
(C(t), te(t0,h- 1);
\z{T)Cit)Z-l{r) + Z(T)Z-1(T), i G [ii - l,ii],
где r = t—ii + 1. Тогда операторы Коши Xc{t, ¿о) и Xb(î, ¿о), t € (¿о, t\], систем С и В соответственно связаны следующим образом:
^ , , (Xc(t,to), te(to,h-l);
XB[t,to) = <
{z(T)xc(t,to), te[t 1-1,h],
причем из симплектичности операторов Xc(t,to) и Z(t) вытекает симплектичность оператора Xß(t,to), t € (io,ii], следовательно, В € %2п, t € (io,ii]- При t € (io,ii], учитывая ортогональность Z(t), имеем
|Bit) - C{t)| < |Z{r)C{t)Z-\r) - C{t) + Z{t)Z~\t)\ = = |Z{r)C{t)Z-\r) - C{t)Z~\r) + C{t)Z~\r) - C{t)Z-\r)Z{r) + Z{t)Z~\t)\ = = I(Z(r) - ^C^Z-Hr) + C^Z-HrJC/ - Z(r)) + ¿(r)Z-V)l < < |Z(r)-/| \C(t)\ \Z-\r)\ + \C{t)\ \Z-\t)\ \I — Z(t)\ + \ Z{t)\ \Z~1(t)\ < (Зп + 2)тта1(2ас + 1).
Таким образом, построена такая возмущенная система В на отрезке [¿о, ii], что выполнено условие 2 леммы и условия (10), (12), из которых следуют условия (4), (5) соответственно.
Далее, пусть для некоторого j ^ 1 уже построена возмущенная система В на промежутке (tj-i,tj], а на промежутке [tj,tj+1] полагаем В = B(tj,aj,tj+i,aj+i). На этом индукционный переход, а с ним и построение возмущенной системы В закончены. Поскольку при построении возмущенной системы В использовались только повороты, то для каждого j = 1,2,... сингулярный базис ei(t,_i),..., e2n{tj-i) оператора Коши Xc(tj,tj-\) будет являться и сингулярным базисом оператора Коши Xß{tj,tj-1) с теми же логарифмическими сингулярными числами. Тогда из условий (3), выбора длин (2) отрезков [tj-\, tj], леммы 5.4 [4] и включений (5) вытекает выполнение условий (6).
2. Рассмотрим гра,ссмапово многообразие G^n [7, с. 25] n-мерных линейных подпространств в М2га. Наделим компактное грассманово многообразие G^n метрикой
р(ГьГ2) = max min 1{х,у), ГЬГ2 € G^w
жеГх у&2
инвариантной относительно ортогональных преобразований пространства М2т\ Тогда
U (ji(tj),..., fn(tj), | - a3,t3) = {Гб G%n | р(Г, ..., Um < | - а,} , j = 1,2,....
По построению системы В для всех j = 1,2,... справедливо включение (6). Рассмотрим множества Kj = |г € Ç?2ra I Г € XB(t0,tj)U (Ji(tj),..., fn(tj), § - aj,tj^ } , j = 1,2,..., являющиеся убывающей последовательностью непустых замкнутых множеств К\ 5 5 • • • компактного простран-
" оо
ства. Согласно теореме Кантора [8, с. 141], П К, ф 0. Следовательно, существует по крайней мере
3 = 1
оо
одно такое n-мерное подпространство решений Ef(B), что Ef(B)(to) € Р| Kj. Возьмем такое про-
3 = 1
извольное ненулевое решение s системы В, что s € Ef(B). Тогда по построению системы В для всех j = 1,2,... имеем s(tj) € U (fi(tj),..., fn(tj), f - aj} tj^j .
Для каждого ] = 1,2,... обозначим через е{_1(£),..., е^"1^) такие решения системы В, для которых выполнены условия 1) = 61(^-1),..., в2~1(^-1) = e2n(tj-l). Поскольку длины от-
резков ^¿-х^з] удовлетворяют условию (2), то из леммы 5.4 [4] следуют неравенства ^
^(еГ1) + 3 = 1,2,.... Учитывая вышеперечисленное, получим оценки
¿и& ^ / ' >./' .....
3. Возьмем такое произвольное ненулевое решение Ь системы В, что
о) е II (вп+^о),... ,е2„(£о), ^ - «о, ¿о) •
Тогда по построению системы В справедливо включение б(^) € 17 (е^-ц (£.,•),... ,е2п(^), § — Cij,tj) для всех = 1,2,... . Поскольку длины отрезков [tj-l,tj] удовлетворяют условию (2), то по лемме 5.4 [4] имеем оценки (Ь) Х^_1(еп+1) ~~ £э> 3 = 1> 2> • • • • Учитывая, что 61(^-1),..., е2п^]-\) — сингулярный базис операторов Коши Хс{Ь], ^-1), 1), а также равенство логарифмических
сингулярных чисел операторов Коши ^-1), 1), получим оценки
хй-^) ^ , ^С?) - ^ = 2' • • • •
Тогда в качестве подпространства Е%(В) возьмем Щ{В){{) = ..., е^^)), (Пт^з (-В) = п.
Для п = 1 доказательство аналогично, но сильно упрощается из-за размерности. Лемма 3 доказана.
При доказательстве теоремы, сформулированной выше, используется техника доказательства теоремы 8.1 из [4]. Выберем произвольное число 0 < е < 2(бги-з) и числа Тк, удовлетворяющие условиям
Тк > тах|1,вА (т^п, ,0А ^ ,9В (^п, ^2) 2^2) } ' ^
к = 0,1, 2,... , так, чтобы для каждого к = 0,1, 2,... число Тк+\ было кратно числу Тк.
Будем строить последовательность наборами по нескольку чисел с помощью индукции по номеру набора к = 0,1, 2,... . При к = 0 набор состоит из одного числа ¿о = 0. Пусть уже построено к ^ 0 наборов, т.е. заданы числа ¿о, ¿1, • • •, Тогда положим = tjk + тТк, где т пробегает
значения 1, 2,..., тк1, а число тк1 1 определяется из условий
, tjk • 2(аа + е(4 + (Зп + 2)тг(2аА + 8g + 1))) < -¿т, tJk + mfclTfc > 22fc+2. (14)
Выбор такого т^ возможен, поскольку предел левой части первого неравенства (14) при тк1 —> оо равен 0, а второго — оо. Выберем число 1к € N из условия, что для всех I ^ 1к
' 2(аА + е(4 + (Зп + 2)тг(2 аА + 8е + 1))) < • (15)
Ьк + 1Тк+1 2 +
Выбор такого 1к возможен, так как предел левой части неравенства (15) при I —>■ оо равен 0. Положим тк2 = Щ±1к_ Возьмем тк е N. такое, что тк > тах{шк1,шк2} и ^ е е N (заметим, что 1'к ^ 1к). Теперь положим tjk+1 = tjk-^-mk — tjk + ткТк — tjk На этом индукционный переход,
а с ним и построение последовательности закончены.
Применив к построенной последовательности лемму 2 и взяв е.,- = ^Т) ¿к < ;/ "С ^'/с+ъ получим существование такой системы С € "Н2га, что для каждого к = 0,1, 2,... выполнены следующие условия:
1) &п{э) ^ 1О) — 2^2Тк, где ^¿С?) — логарифмические сингулярные числа для 1),
откуда
¿пС?) < ¿п+10') ^ ^ТУ Зк зк+1; (16)
2) sup |A(i)-C(i)K^.
tjk <isSijfc+i
Отметим сразу, что ас ^ ал + 4е, причем система С удовлетворяет условиям леммы 3. Тогда по лемме 3, учитывая неравенства (13) и выбирая ао = 2е, е3 = а3 = -ф:, jk < j ^ jk+1, получим существование такой системы В € "Н2га, что для каждого к = 0,1, 2,... выполнены условия:
1) Е(В) = Е'1(В) ф Е'^В), dimEf(B) = dimE'^iB) = n и для любых решений s € Е'1(В), b € Е'^В) верны оценки
ь t \ / ^(i) , е ь /1л ^ <Wi(j) е • ^ • / •
^ + Xt]-^) >--(17)
2) sup |C(i)-5(i)| < (Зп + 2)тг^(2ас + 1).
ijfc<isSijfc+1
Таким образом, получим
8ир IА® - В{1)I < -¿2 + (Зп + 2)тг|-(2ас + 1) <
< + (Зп + + 8е + 1) = |-(4 + (Зп + 2)7г(2аА + 8е + 1)),
а это означает, что Б € Но (А), причем справедлива оценка ав ^ си + £(4 + (Зп + 2)7г(2а,4 + 8е + 1)). Из (16) и (17) следует, что для любого ненулевого решения € Е^(В) верна оценка
Хг^М < Зк <3 ^ Зк+1- (18)
Докажем, что для любого £ € & € {0) 1) 2, ■ ■ ■}, имеет место оценка Хо($) ^ —е
Действительно, выберем такое т € {1,2,... ,тк+\}, что 13к+1+гп-\ ^ £ < ^ 1+т. Обозначим 77 = tjk + где I = 0,1, 2,... , 1'к + т. Если I < 1'к, то Т\ € Тогда из (18) и свойства 13° [3]
имеем ^ —е/2к. Если же I ^ 1'к, то 7] ^ и из неравенств (16) и (17) следует Хт}+1(5) ^
—е/2к+1. Из этих оценок для решения в, применяя свойство 4° [3] и учитывая (15), получаем
г г \ ^ *зк+(1к+т)Тк+1/ \ , о ^ + 1 ^
ХоОО < Хи (в) + 2ав <
■>к £
< Х^"^1 (*) + 2(ал + е(4 + (Зп + 2)тг(2ал + 8, + 1))) <
^ % + (/д. + т - 1)7 Й+1
ее е
< +
2к+1 2к+2 2к+2' Учитывая (14), имеем < |«(0)| ехр(—е2к).
Если же £ € [0,^), то из свойства 3° [3] следует оценка ^ |«(0)| ехр(ав^-1). Тогда су-
ществует такое п-мерное подпространство решений Е™(В), что для любого ё > 0 найдется такое 5 > 0 (5 = ё/еав1^), что для всех в € Е™(В), удовлетворяющих неравенству |з(0)| < 5, выполняется < ё, ^ ^ М+, т.е. система В является п-мерно устойчивой. Из (16) и (17) следует, что для любого ненулевого решения Ь € Е^^В) выполнены неравенства (6) ^ е/2к, зк < з ^ Зк+1- Из свойства 4° [3], учитывая (14) и свойство 13° [3], имеем
Хок+1 (6) > 1 (6) - > 4 - + в(4 + (Зп + 2)тг(2ал + 8, + 1))) > ± -
^ ^ 2к 13к+1 v Л v v ^ 2^ 2^+1 2^1"
Отсюда, учитывая (14), получим оценку \b(tjk+1)\ > |6(0)| ехр(бг2й+1). Следовательно, существуют п-мерное подпространство решений Е^(В) и ё = 1, такие, что для любого 5 > 0 и всех Ь € удовлетворяющих равенству |Ь(0)| = 5, найдется такое £ = 13к+1 € К+, где А; € N определяется из условия 2к+1 > —(1п5)/е, что выполнено неравенство > 1, т.е. система В является п-мерно
неустойчивой. Теорема доказана полностью.
Автор выражает глубокую благодарность профессору И. И. Сергееву за постановку задачи и ценные замечания.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Едиториал УРСС, 2000.
2. Салова Т.В. Об одновременной условной стабилизируемости и дестабилизируемое™ линейных гамильто-новых систем // Дифференц. уравнения. 2014. 50, № 12. 1676-1677.
3. Салова Т.В. Одновременная достижимость центральных показателей четырехмерных гамильтоновых систем при бесконечно малых гамильтоновых возмущениях // Дифференц. уравнения. 2014. 50, № 11. 1441-1454.
4. Сергеев И.Н. К теории показателей Ляпунова линейных систем дифференциальных уравнений // Тр. семинара им. И. Г. Петровского. 1983. Вып. 9. 111-166.
5. Фам Фу. О достижимости центральных показателей линейной гамильтоновой системы. I // Дифференц. уравнения. 1980. 16, № И. 2012-2022.
6. Сергеев И.Н. Точные границы подвижности показателей Ляпунова линейных гамильтоновых систем при малых в среднем возмущениях // Тр. семинара им. И. Г. Петровского. 1989. Вып. 14. 125-139.
7. Хьюзмоллер Д. Расслоенные пространства. М.: Мир, 1970.
8. Хаусдорф Ф. Теория множеств. М.: Едиториал УРСС, 2004.
Поступила в редакцию 03.03.2017
УДК 512.572
РОСТ КОРАЗМЕРНОСТЕЙ МЕТАБЕЛЕВЫХ АЛГЕБР
М. В. Зайцев1
В статье рассматриваются числовые характеристики тождеств неассоциативных алгебр. Установлено, что последовательность коразмерностей тождеств любой конечно-порожденной метабелевой алгебры имеет экспоненциально ограниченный рост. Показано, что верхняя PI-экспонента алгебры возрастает не более чем на 1 после присоединения внешней единицы. Для двуступенно-левонильпотентных алгебр доказано, что нижняя PI-экспонента возрастает не менее чем на 1.
Ключевые слова: тождества, коразмерности, метабелевы алгебры, Р1-экспонента.
We consider numerical invariants of identities of nonassociative algebras. We prove that codimension sequence of any finitely generated metabelian algebra has exponentially bounded codimension growth. It is shown that the upper Pi-exponent increases at most to 1 after adjoining an external unit. For two-step left-nilpotent algebras it is proved that the lower Pi-exponent increases at least to 1.
Key words: identities, codimensions, metabelian algebras, Pi-exponent.
В работе изучаются числовые характеристики, связанные с тождествами различных алгебр. Пусть F — поле нулевой характристики. С каждой алгеброй А над F ассоциирована целочисленная последовательность {сп(А)},п = 1,2,..., характеризующая количество ее тождественных соотношений. Анализ асимптотического поведения последоватеьности {сп(А)} играет важную роль в количественной теории полилинейных тождеств. Все необходимые сведения по теории тождеств и о числовых характеристиках последних можно найти в публикациях [1-3].
Пусть F{X} — абсолютно свободная алгебра над полем F со счетным множеством порождающих X. Совокупность всех тождеств алгебры А образует идеал Id (Л) в F{X}, инвариантный относительно всех эндоморфизмов F{X}. Обозначим через Рп подпространство всех полилинейных многочленов от х\,..., хп в F{X}. Тогда РгаПМ(А) состоит из всех полилинейных тождеств степени п алгебры А. Положим
РЛА) = ТГТЩаГ
Величину сп(А) называют п-й коразмерностью тождеств алгебры А, а последовательность {сп{А)} — последовательностью коразмерностей А. В общем случае величина сп(А) может быть ограничена лишь размерностью самого пространства Рп, т.е.
сп(А)^ dim Рп = ^-\п\,
1 Зайцев Михаил Владимирович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ. e-mail: zaicevmvQmail .ru.
