CC BY
99. Бокаев Н.А. О сумме замкнутых U-множеств для мультипликативных ортонормированных систем // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1985. № 6. 93-96.
Поступила в редакцию 16.06.2008
УДК 512.572
МНОГООБРАЗИЯ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБР КОДЛИНЫ ОДИН
С. П. Мищенко1
В случае нулевой характеристики основного поля доказано, что существуют ровно три многообразия линейных алгебр с кодлиной, для всех степеней равной единице, а именно многообразие всех ассоциативно-коммутативных алгебр, многообразие всех метабелевых алгебр Ли и многообразие разрешимых индекса два йордановых алгебр с тождеством x2 x = 0.
Ключевые слова: тождества, неассоциативные алгебры, кодлина.
In the case of characteristic zero it is proved that there exist exactly three varieties of linear algebras with the colength equal to one for all degrees. Those are the the variety of all associative-commutative algebras, the variety of all metabelian Lie algebras, and the variety of solube Jordan algebras of the step 2 with the identity x2x = 0.
Key words: identities, nonassociative algebras, colength.
Работа связана с исследованием кодлины — одной из числовых характеристик многообразия линейных алгебр. В случае нулевой характеристики основного поля вся информация о рассматриваемом многообразии содержится в полилинейных компонентах этого многообразия. Поэтому поведение числовых характеристик, связанных с этими компонентами, таких, как коразмерность, кратность, кодлина, существенно влияет на свойства многообразия.
Пусть Ф — основное поле нулевой характеристики. Напомним некоторые сведения из теории представлений симметрической группы, которые используются нами при исследовании тождеств линейных алгебр (см., например, [1]).
Пусть Л = (А1,..., Лк) — разбиение числа п, т.е. п = ^¿=1 Лг, Л1 ^ ••• ^ Лк > 0. Если соответствующую диаграмму Юнга, в которой 1-я строка состоит из Лг клеток, заполнить числами от 1 до п, то получится таблица Юнга. Таблица называется стандартной, если числа возрастают по строкам и столбцам. Как обычно, каждой таблице Юнга Т\ (необязательно стандартной) поставим в соответствие максимальную подгруппу Ктх группы Бп, которая оставляет инвариантными множества чисел каждой строки таблицы Юнга (строчный стабилизатор). Аналогично определяется группа Стх, которая оставляет инвариантными множества чисел столбцов таблицы (столбцовый стабилизатор).
Хорошо известно, что элемент
етх = ^ (_1)Т ат
группового кольца ФБП порождает минимальный левый идеал ФБпетх. Соответствующий неприводимый характер обозначим Кроме того, для любого ФБП-модуля М с характером х\ можно найти элемент д = етх • }' £ М, который порождает модуль М. Заметим, что в этом случае а • д = д для любого а £ Ктх.
Пусть теперь V — многообразие линейных алгебр. Обозначим через Е = Е(X, V) относительно свободную алгебру многообразия V со счетным множеством свободных образующих X = {Х1, Х2,... }. Обозначим через Рп(V) совокупность всех полилинейных элементов от Х1,...,ХП в алгебре Е. Действие
1 Мищенко Сергей Петрович — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. алгебро-геометрических вычислений Ульянов. гос.
ун-та, e-mail: mishchenkosp@mail.ru.
а ■ (xi)
— Xa(i) симметрической группы Sn естественным образом продолжается до автоморфизма алгебры F — F(X, V). Пространство Pn(V) становится при этом S.^-модулем. В случае, если многообразие V порождено алгеброй A, будем писать также Pn(A) вместо Pn(V). Исследование структуры Pn(V) как Sn-модуля играет важную роль при изучении многообразия V. Модуль Pn (V) является вполне приводимым, рассмотрим разложение его характера в целочисленную комбинацию неприводимых характеров:
Xn(V)— x(Pn(V)) — ^ шххх. (1)
Xhn,
Например, если F{X} — свободная неассоциативная алгебра с множеством образующих X, \X\ ^ 2, то cn(F{X}) = рпп\, где рп = ^(^LTi) — так называемые числа Каталана, т.е. рп равно числу способов расстановки скобок в слове степени п. Для свободной ассоциативной алгебры F(X) и свободной алгебры Ли L(X) получаем соответственно cn(F(X)) — п! и cn(L(X)) — (п — 1)!.
Асимптотическим поведением размерности cn — cn(V) пространства Pn — Pn(V) определяется рост многообразия. Число слагаемых
ln — ln(V) — J2 mA (2)
Xhn,
в сумме (1) называют кодлиной многообразия. Важными числовыми характеристиками многообразия являются также кратности m a в сумме (1).
Обозначим через d\ размерность соответствующего Л неприводимого модуля: d\ — deg xn. Отметим, что для введенных числовых характеристик выполняется соотношение
cn(V) — dimPn(V) — J2 m\d\. (3)
Xhn,
Напомним, что в случае многообразий ассоциативных алгебр рост кратностей и кодлина многообразия ограничены полиномиальной функцией nr для подходящего r (см., например, [2, теорема 16]). В случае алгебр Ли это свойство может нарушаться. Так, в работах [3, 4] указана серия многообразий, имеющих различный экспоненциальный рост кодлины, а также многообразия, кодлина которых имеет сверхэкспоненциальный рост. Интересным в смысле роста кодлины является многообразие алгебр Ли AN2 (см. [5, 6]). Кодлина этого многообразия имеет промежуточный рост, т.е. растет быстрее любой полиномиальной функции, но медленней любой экспоненциальной функции. Однако этот эффект достигается за счет числа различных слагаемых в сумме (1), в то время как рост самих кратностей m\ этого многообразия ограничен одной для всех полиномиальной функцией.
В отсутствие тождества ассоциативности мы вынуждены следить за способом расстановки скобок. Договоримся опускать скобки в случае их левонормированной расстановки, т.е. abc — (ab)c.
Целью данной статьи является изучение многообразий с наименьшим возможным ненулевым значением кодлины, т.е. пусть значение кодлины в точности равно единице. Рассмотрим примеры таких многообразий линейных алгебр.
Первым примером является многообразие, состоящее из всех ассоциативно-коммутативных алгебр, т.е. многообразие, определяемое тождествами ассоциативности (xy)z = x(yz) и коммутативности xy = yx. Обозначим его AC. Это многообразие порождается одномерной алгеброй A с базисом a и таблицей умножения aa — a. Понятно, что для любого п ^ 1 имеем cn(AC) — 1, xn(AC) — x(n) и ln(AC) — 1.
Отметим хорошо известный результат о том, что в классе ассоциативных алгебр многообразие AC является единственным многообразием с рассматриваемым ограничением на кодлину. Это следует из теоремы Нагаты-Хигмана о нильпотентности ассоциативной ниль-алгебры ограниченного индекса, так как многообразие V не содержит алгебру A только в том случае, если в многообразии V для некоторого m выполнено тождество xm = 0.
Вторым примером является многообразие всех метабелевых алгебр Ли, определяемое тождеством антикоммутативности
xix2 + x2xi = 0, (4)
которое соответствует разбиению (2) числа 2, тождеством Якоби xix2x3+x2x3xi+x3xix2 = 0 и тождеством метабелевости (xix2)(x3x4) = 0. В теории многообразий алгебр Ли это многообразие обозначается A2. Отметим, что многообразие A2 порождается метабелевой ненильпотентной двумерной алгеброй Ли B с базисом e,h и таблицей умножения he — —eh — h, остальные произведения равны нулю. Хорошо известно (см., например [1, с. 186]), что для любого п ^ 1 имеем cn(A2) — п — 1, xn(A2) — X(n-i,i) и ln(A2) — 1.
В классе алгебр Ли многообразие А2 является единственным многообразием с рассматриваемым ограничением на кодлину. Это следует, например, из хорошо известного результата Е. И. Зельманова о нильпотентности алгебры Ли с условием энгелевости ограниченного индекса, так как многообразие V не содержит алгебру В только в том случае, если в многообразии V для некоторого т выполнено тождество энгелевости хут = 0.
Третьим примером является многообразие йордановых алгебр, определенное тождеством коммутативности
х1х2 — х2х1 = 0, (5)
которое соответствует разбиению (1,1) числа 2, тождеством
^ха(1) хст(2) хст(3), (6)
соответствующим разбиению (3) числа 3, и тождеством разрешимости ступени два (х1 х2)(хзх4) = 0. Обозначим это многообразие через X Позже, при доказательстве теоремы, будет видно, что из тождеств (5) и (6) следует необходимое в йордановом случае тождество
х2ух = х2 (ух). (7)
Многообразие J порождается алгеброй, которую построил И. П. Шестаков (см. [7, с. 104, пример 2]). Пусть М — векторное пространство с базисом {е1, е2,...}, Л(М) — его внешняя алгебра и Л0(М) — подалгебра алгебры Л(М), порожденная множеством М. Рассмотрим пространство С = Л0(М) ф М и определим умножение на С правилом
(и + х)(у + у) = и Л у + V Л х,
где и^ £ Л0(М), х,у £ М.
Несложно показать, что многообразие J порождается алгеброй С. Кроме того, полилинейные элементы вида хпхгх^г ... 2, ]1 < ]2 < • •• < ]п-2, Ъ = 1, 2,... ,п — 1, образуют базис полилинейной части Рп(^). Таким образом, для любого п имеем сп(^) = п — 1, Хп^) = Х(2,1™-2) и 1п^) = 1.
Сформулируем основной результат статьи.
Теорема. Пусть V — многообразие линейных алгебр над полем нулевой характеристики. Если = 1 для п = 1, 2,... , то многообразие V совпадает с одним из следующих трех многообразий: АС, А2 или J.
Доказательство. Пусть V — рассматриваемое многообразие. Полилинейная часть степени два многообразия всех линейных алгебр как модуль симметрической группы раскладывается в суммы двух неприводимых подмодулей, соответствующих разбиениям (2), (1,1). Так как ¿2^) = 1, то в многообразии V выполняется тождество антикоммутативности (4), соответствующее разбиению (2), или тождество коммутативности (5), соответствующее разбиению (1,1).
Рассмотрим сначала случай, когда выполняется тождество антикоммутативности. Тогда любой элемент степени 3 можно записать с левонормированной расстановкой скобок. Если в сумме (1) при п = 3 кратность т(111) =0, то в многообразии V выполнено тождество
( —1)СТхст(1) хст(2)хст(3) = ^
стейз
соответствующее разбиению (1,1,1) числа 3.
Левая часть последнего тождества по модулю тождества антикоммутативности равна удвоенной левой части тождества Якоби. Таким образом, многообразие V состоит из алгебр Ли и поэтому совпадает с многообразием А2 всех метабелевых алгебр Ли.
Пусть в сумме (1) кратность т^дд) =1, а кратности для других разбиений равны нулю. В частности, т(2,1) =0. В этом случае в многообразии V выполнено тождество х1х1х2 — х2х1х1 = 0, из которого, учитывая антикоммутативность, получаем тождество х2х1х1 = 0 или эквивалентное ему линеаризованное тождество
х1х2 х3 = —х1х3х2. (8)
Докажем индукцией по степени п, что любой элемент относительно свободной алгебры многообразия равен линейной комбинации левонормированных элементов. Действительно, пусть элемент а = Ьс
является произведением двух элементов Ь и с, которые по предположению индукции можно считать ле-вонормированными, т.е. Ь = Уг1 уг2 •... • Уга, с = хг1 хг2 ■ . ..■ х^, причем в ^ Ь ^ 2. Тогда, используя тождество (8) при XI = Уг1 Уг2 ■... ■ Угз-1, Х2 = Уг3 и Х3 = с, получим а = (Уг1 Уг2 ■... ■ Угв-1 с)уге. Так как элемент в скобках имеет меньшую степень, то его можно представить в виде линейной комбинации левонормированных элементов. Тогда и элемент а является линейной комбинацией левонормированных элементов.
Теперь, используя тождество (8), которое позволяет переставлять образующие начиная со второй, и тождество антикоммутативности, получаем, что полилинейная часть Рп(V) как векторное пространство порождается всего лишь одним левонормированным элементом, например Х1 х2 . ..хп. Таким образом, получаем, что сп(V) = 1 для п ^ 1. Заметим, что размерность неприводимого модуля симметрической группы равна единицы только в том случае, если он построен по разбиению (п) или (1п). В силу антикоммутативности в сумме (1) кратность Ш(п) равна нулю. При п = 4 отличной от нуля может быть только кратность Шдддд). Покажем, что на самом деле т^ддд) = 0.
Используя антикоммутативность, перепишем тождество (8) в виде Х1Х2Х3 — Х3Х1 х2 = 0, подставим в него вместо Х3 произведение Х3Х4 и проальтернируем по переменным Х1,...,Х4. Получим такое следствие:
^ ( — 1)а (Хф) Хст(2) )(ха(3) Хст(4)) — ^ ( — 1)а (Х^(3) Х^(4) Х^(1) Хст(2)) = 0. аеЯ4 аеЯ4
Первая сумма в силу тождества антикоммутативности равна нулю, а вторая является тождеством, соответствующим разбиению (1,1,1,1). Следовательно, кратность Ш(1ддд) =0 и с4^) = 0, что противоречит предположению.
Рассмотрим теперь случай, когда многообразие V состоит из коммутативных алгебр. Тогда для любого п в сумме (1) Ш(1п) = 0.
Пусть в сумме (1) при п = 3 кратность Ш(3) = 0, тогда в многообразии V выполнено тождество
^ ха(1) ха(2) ха(3) = 0, (9)
соответствующее разбиению (3) числа 3. В силу нулевой характеристики основного поля ему эквивалентно такое тождество: Х1Х1Х1 = 0. Используя коммутативность, можно переписать тождество (9) в следующем виде:
х3(х1х2) = —х3х1х2 — Х3Х2Х1. (10)
Заметим, что из полученных тождеств следует тождество (7). Таким образом, многообразие V является многообразием йордановых алгебр.
Понятно, что тождество (10) позволяет доказать, что любой элемент равен линейной комбинации левонормированных элементов. Более того, полилинейная часть Рп^) как векторное пространство порождается левонормированными элементами, в которых образующая Хп расположена на первом слева месте.
Из тождества (10) отождествлением Х1 и Х2 получаем такое следствие:
х3 (х1х1) + 2х3 х1 х1 = 0.
Подставим в него вместо Х3 произведение Х2Х1 и, используя коммутативность и тождества (9) и (10), получим для левой части цепочку равенств
(х2 х1)(х1х1) +2х2х1х1 х1 = (х1х1)(х2х1) +2х2х1х1х1 =
= 2 х2 х1 х1х1 — х1х1х2 х1 — х1 х1х1х2 = 2 х2х1х1 х1 — х2 (х1х1 )х1 = 4 х2 х1х1х1.
Таким образом, в многообразии V выполнено тождество
х2х1 х1х1 = 0. (11)
Из полученных тождеств следует, что в сумме (1) при п = 4 кратности Ш(4) = т,(3д) = тдддд) равны нулю. Если к тому же и Ш(2,2) =0, то в многообразии V выполнено тождество (х1 Х2)(Х3Х4) = 0. В этом случае многообразие V совпадает с многообразием 3.
Пусть теперь в сумме (1) для n = 4 Ш(2,2) = 1- Так как по условию ¿4(V) = 1, то т,(2дд) =0 ив многообразии V выполнено тождество
Y^ (-1ГX4Xa(i)xa{2)xa(3) = 0- (12)
^eSs
Тогда из тождеств (11) и (12) получаем тождество
Х4 XiX2X3 + Х4Х2 Х3Х1 + x4x3xx = 0- (13)
Используя коммутативность, перепишем его в виде
x3 (x4x1 x2) + x3(x4 x2)x1 + x3x4 x1x2 = 0
и, воспользовавшись тождеством (10), сведем левую часть к сумме левонормированных элементов. Приведем подобные и подействуем транспозицией (3, 4) на индексы образующих. Получим следующее тождественное соотношение:
2 x4 x3x1x2 — x4x3 x2x1 + x4x1x3x2 + x4 x2x1x3 = 0-
Если вычесть из него тождество (13), в котором поменяли местами образующие Х2 и Х3, то придем (после сокращения на два) к такому следствию:
x4x3 x1x2 — x4x3x2 x1 = 0, (14)
которое позволяет начиная с третьего места переставлять образующие в левонормированных элементах степени, большей или равной четырем.
Подставим в тождество (11) вместо Х2 произведение Х5Х4 и проведем его полную линеаризацию. Тогда, используя тождество (14), будем иметь 6 Х5Х4Х3Х2Х1 = 0, т.е. C5(V) = 0 вопреки предположению. Полученное противоречие завершает доказательство в этом случае.
Пусть теперь в многообразии V выполнено тождество коммутативности и, кроме того, т,(Ддд) = 0, т(2,1) =0, а т(3) = 1- Породим в модуле симметрической группы P3(V) элементом f (Х1,Х2,Х3) = (x1 x2)x3 — x1 (x2x3) подмодуль и обозначим его M, т.е. M = Ф53 • f (x1,x2,x3)- Пусть 1 = е(3) + е(2д) + в(1дд) — сумма центральных идемпотентов групповой алгебры Ф53- Так как т,(2д) = 0, то получаем е(2,1) • f (Х1, Х2, Х3) = 0- Аналогично е(1дд) • f (Х1,Х2,Х3) = 0- Подействовав элементом е(3) на элемент f (x1,x2, x3), получим
е(3) • f (x1, x2, x3) = (xa(1)xa(2) )xa(3) — ^ Х^(1) (Хст(2)Х^(3)) = aeS3 aeS3
= J2(x°(1) Х°(2) )xct(3) — Y^ (x^(2) Х^(3) )x^(1) =0-&eS3 aeS3
Таким образом, в многообразии V выполняется тождество f (Х1,Х2,Х3) = 0, которое является тождеством ассоциативности. Следовательно, многообразие V совпадает с многообразием AC- Теорема полностью доказана.
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 07-01-00080.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бахтурин Ю.А. Тождества в алгебрах Ли. М.: Наука, 1985.
2. Berele A., Regev A. Applications of hook diagrams to P.I. algebras //J. Algebra. 1983. 82. 559-567.
3. Зайцев М.В., Мищенко С.П. Асимптотика функций роста кодлины многообразий алгебр Ли // Успехи матем. наук. 1999. 54, № 3. 161-162.
4. Mishchenko S.P., Zaicev M.V. Asymptotic behaviour of colength of varieties of Lie algebras // Serdica Math. J. 2000. 26.145-154.
5. Giambruno A., Mishchenko S, Zaicev M. On the colength of a variety of Lie algebras // Int. J. Algebra and Comput. 1999. 9, N 5. 483-491.
6. Зайцев М.В., Мищенко С.П. Новое экстремальное свойство многообразия алгебр Ли AN2 // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1999. № 5. 15-18.
7. Ширшов А.И., Жевлаков К.А., Слинько А.М., Шестаков И.П. Кольца, близкие к ассоциативным. М.: Наука, 1978.
Поступила в редакцию 09.10.2008
УДК 517.982.256
О ЛИНЕЙНОСТИ ОПЕРАТОРА МЕТРИЧЕСКОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ НА ПОДПРОСТРАНСТВА В ПРОСТРАНСТВАХ Ьр
Ю. Ю.Дружинин1
Для чебышевского подпространства Y в банаховом пространстве X определен однозначный оператор метрического проектирования Py : X ^ Y, сопоставляющий каждому x € X ближайший к нему элемент y € Y. Пусть M — произвольное множество, ¡л — а-конечная мера на некоторой а-алгебре £ подмножеств M. В работе описаны подпространства Y С Lp(M, £, ¡л) конечной размерности и конечной коразмерности с линейным оператором Py.
Ключевые слова: метрическая проекция, чебышевское подпространство, квазиортогональное множество, критерий линейности.
Let Y be a Chebyshev subspace of a Banach space X. Then the single-valued metric projection operator Py : X ^ Y taking each x € X to the nearest element y € Y is well defined. Let M be an arbitrary set and ¡л be a а-finite measure on some а-algebra £ of subsets of M. We give a description of Chebyshev subspaces Y С Lp(M, £,л) with finite dimension and finite codimension the operator Py is linear for.
Key words: metric projection, Chebyshev subspace, quasiorthogonal set, linearity criterion.
1. Введение. Пусть X — вещественное банахово пространство, У — его (замкнутое линейное) подпространство, р(х,У) := {^х — у\\ : У € У} — расстояние от элемента х € X до У, Ру(х) := {у € У : \\х — у\\ = р(х,У)} — множество ближайших к х элементов из У, или метрическая проекция элемента х на У.
Подпространство У называется чебышевским, если для каждого х € X множество Ру (х) состоит ровно из одного элемента. Возникающий при этом оператор метрического проектирования Ру: X ^ У, сопоставляющий каждому элементу х € X его элемент наилучшего приближения Ру (х) € У, вообще говоря, не является линейным.
Рефлексивные строго выпуклые пространства являются в точности теми пространствами, в которых всякое подпространство чебышевское. Такими пространствами являются, в частности, пространства Ьр при 1 < р < ж.
Цель настоящей работы состоит в описании подпространств У конечной размерности (теорема 1) и конечной коразмерности (теорема 2) в пространствах Ьр (1 < р < со, р = 2), для которых оператор Ру линеен. Кроме того, приводятся примеры подпространств бесконечной размерности и коразмерности с линейным и нелинейным операторами метрического проектирования.
Отметим, что чебышевские подпространства пространства ¿1 с линейным оператором метрического проектирования описаны в работах П. Морриса [1] (в случае классической меры Лебега на отрезке [0,1]) и П.А. Бородина [2] (в общем случае). Пространство ¿2 гильбертово. В нем оператор Ру для любого подпространства У линеен, так как совпадает с оператором ортогонального проектирования на это подпространство.
1 Дружинин Юрий Юрьевич — асп. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: druzhinin_y@comtv.ru.
