Колеблемость и блуждаемость решений дифференциального уравнения второго порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

5. Владимиров А.А., Шейпак И.А. Асимптотика собственных значений задачи Штурма-Лиувилля с дискретным самоподобным весом // Матем. заметки. 2010. 88, вып. 5. 662-672.

6. Владимиров А.А., Шейпак И.А. Самоподобные функции в пространстве L2[0,1] и задача Штурма-Лиувилля с сингулярным индефинитным весом // Матем. сб. 2006. 197, № 11. 13-30.

7. Шейпак И.А. О конструкции и некоторых свойствах самоподобных функций в пространствах Lp[0,1] // Матем. заметки. 2007. 81, вып. 6. 924-938.

8. Владимиров А.А., Шейпак И.А. Индефинитная задача Штурма-Лиувилля для некоторых классов самоподобных сингулярных весов // Тр. Матем. ин-та РАН. 2006. 255. 88-98.

9. Ахиезер Н.И. Классическая проблема моментов и некоторые вопросы анализа, связанные с нею. М.: Физматгиз, 1961.

Поступила в редакцию 01.12.2010

УДК 517.926

КОЛЕБЛЕМОСТЬ И БЛУЖДАЕМОСТЬ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

И. Н. Сергеев1

Определены ляпуновские характеристики колеблемости и блуждаемости решений линейного уравнения второго порядка, а именно: средняя частота решения, его производной или их всевозможных линейных комбинаций, средняя угловая скорость вектора, составленного из решения и его производной, а также производные от этой скорости показатели блуждания. Доказано, что для одного уравнения практически все введенные величины одинаковы, причем для автономного уравнения действительно все (они совпадают еще и с модулями мнимых частей корней характеристического многочлена), а уже для периодического, вообще говоря, не все.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение, нули решений, колеблемость и блуж-даемость, характеристические показатели.

The Lyapunov's oscillation and wandering characteristics of solutions to a second order linear equation are defined, namely, the mean frequency of a solution, of its derivative or their various linear combinations, the mean angular velocity of the vector composed of a solution and its derivative, also wandering indices derived from that velocity. Nearly all of the values introduced for any equation are proved to be the same: for the autonomic equation — just all (moreover they coincide with the modules of the imaginary parts of the roots of the characteristic polynomial), but even for the periodic one — generally speaking, not all.

Key words: differential equation, zeros of solutions, oscillation and wandering, characteristic exponents.

Рассмотрим множество E2 линейных уравнений второго порядка

y + ai(t)y + a2(t)y = 0, t e R+,

задаваемых ограниченными непрерывными функциями a = (a\, a2): R+ ^ R2, с которыми мы в дальнейшем и будем отождествлять сами уравнения.

1. Определения и формулировки результатов. Зададим в R2 евклидову норму

\т\ = \Jm\ + т|, т = (mi,m2) € R2,

и превратим множество E2 в топологическое пространство с помощью равномерной нормы

\\a\\ = sup Jal(t)+a2(t), a eE2. (1)

teR+

1 Сергеев Игорь Николаевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. дифференциальных уравнений мех.-мат. ф-та МГУ,

e-mail: [email protected].

Обозначим через (а) множество всех ненулевых решений уравнения а € £2, а через А^ М2 — множество всех невырожденных линейных операторов, задаваемых (2 х 2)-матрицами и переводящих линейное пространство М2 в себя.

Для каждого решения у € Б*(а), числа Ь > 0, вектора т € М2 и оператора Ь € А^ М2 введем обозначения:

а) 'фу = (у, у) € М2 (заметим, что вектор-функция фу(т) ни при каком т € М+ не принимает нулевого значения);

б) V(у,Ь) — число нулей функции у(т) на промежутке т € (0; Ь] (как известно [1], это число конечно, причем каждый нуль решения в рассматриваемой ситуации является точкой смены его знака и не является нулем его производной, т.е. имеет единичную кратность);

в) V(у,т,Ь) — число нулей функции (фу(т),т) = т1у(т) + т2у(т) на промежутке т € (0; Ь] (с одной стороны, имеет место равенство V(у,Ь) = V(у,е\,Ь), где в\ = (1, 0), а с другой стороны, число V(у,т,Ь), в отличие от V(у,Ь), может оказаться и бесконечным, например для решения у(т) = 1 уравнения у = 0 при т = в2 = (0,1));

г) 7(у, ¿) = ^ ^г ^ ) ^т (эта величина имеет естественный геометрический смысл: она совпадает с длиной пути, который при возрастании т € (0; Ь] проходит на единичной окружности след луча, натянутого на вектор фу{т));

д) 7(у,Ь,Ь) = /о ^г Ат (имеет место равенство 7(у,Ь) = 7(у,Е,Ь), где Е е А^М2 — тождественный оператор).

Определение 1. Каждому решению у € (а) уравнения а €£2 поставим в соответствие его характеристики колеблемости [2-4], а именно частоту нулей, полную частоту и соответственно векторную частоту:

П П П

и (у) = ИтИ — а (у) = М Итт 1—р{у,т,1), ((у) = ЦтМ М —г/(у,т,£).

г^ж Ь тек2 г^ж Ь г^ж тем.2 Ь

Определение 2. Каждому решению у € Б* (а) уравнения а €£2 поставим в соответствие его характеристики блуждаемости [5], а именно скорость блуждания, показатель блуждаемости и соответственно показатель блуждания:

ц(у) = Итт! 77(2/, ¿), р{у) ее Ы ИтЫ Ь, ¿), г]{у) = НтШ Ш

г^ж Ь ьеАиь к2 ^ж Ь г^ж ьеАиь к2 Ь

Характеристики колеблемости и блуждаемости тесно связаны друг с другом [6, 7].

Определение 3. Частоту и (а) уравнения а €£2 определим как частоту нулей какого-либо одного из его решений у0 € Б*(а): и (а) = V(у0).

Определение 3 корректно, поскольку для фиксированного уравнения а € £2 величина V(у) инвариантна относительно выбора его решения у € Б*(а), что, между прочим, утверждает следующая теорема.

Теорема 1. Для любого уравнения а €£2 выполнены соотношения

0 < и(а) = V(у) = а(у) = ((у) = п(у) = р(у) < ц(у) < 1 + \\а\\, у €Б*(а). (2)

Обозначим через подмножество множества £2, состоящее из уравнений с постоянными коэффициентами. Для каждого из таких уравнений уже все шесть величин, фигурирующих в определениях 1 и 2, совпадают друг с другом и легко вычисляются.

Теорема 2. Частота и (а) любого уравнения а €С2 совпадает еще и со скоростью блуждания /л(у) любого решения у €Б*(а), а также с модулями |1ш А1)2(а)| мнимых частей корней соответствующего характеристического многочлена А2 + а1А + а2-

В связи с последним утверждением заметим, что если оба корня А\22(а) квадратного трехчлена действительны, то их мнимые части одинаковы (равны нулю), а если хотя бы один из них не действителен, то и другой тоже, причем тогда они имеют одинаковые по модулю (противоположные) мнимые части.

Наблюдаемое для уравнений с постоянными коэффициентами свойство, состоящее в совпадении у любого решения всех его характеристик колеблемости и блуждаемости (теоремы 1 и 2), не распространяется уже на класс V2 С £2 уравнений с периодическими коэффициентами, несмотря на известное [8] сходство этих двух классов.

Теорема 3. Существует уравнение а € V2, хотя бы одно решение у € 5*(а) которого удовлетворяет неравенству и (а) < ¡л(у).

Теорема 1 не позволяет, уменьшая коэффициенты уравнения a G E2, обеспечить произвольную малость величины u(a). Тем не менее такая возможность имеется.

Теорема 4. Для любого е > 0 существует такое ö > 0, что для любого уравнения a G E2, удовлетворяющего оценке ||a|| ^ ö, выполнено неравенство и(a) ^ е.

Таким образом, частота u(a), рассматриваемая как функция от уравнения a G E2, оказывается непрерывной (в смысле равномерной нормы (1) на полупрямой R+) в точке a = 0, равно как и в любой другой точке, судя по следующей теореме.

Теорема 5. Функция и: E2 ^ R+ непрерывна.

2. Доказательства. Теперь докажем все сформулированные выше теоремы. Доказательство теоремы 1. Пусть заданы уравнение a gE2 и его решение у G S*(a).

1. В цепочке (2) самое первое неравенство вытекает из оценки v(y,t) ^ 0 (при любом t > 0), а следующее за ним первое равенство обусловлено взаимным расположением нулей двух решений y,yo G S*(a) (см. [1]): они либо полностью совпадают, либо строго перемежаются — в последнем случае строго между любыми двумя нулями решения yo есть нуль решения у, откуда получаем

и(у) = lim inf > lim inf Ь) ~ 1) = и(у0)

tt t^x t

и аналогично v(yo) ^ v(y), поэтому в обоих случаях имеем v(y) = v(yo) = u(a) (см. определение 3).

2. Оценки

С(y) < a(y) < v(y), n(y) < p(y) < ß(y) (3)

(среди которых содержится и предпоследнее неравенство цепочки (2)) получаются в силу определений 1 и 2 прямо из соотношений

lim inf — inf u(y,m,t) ^ inf lim inf — u(y, m, t) ^ lim inf — u(y, e\, t) = lim inf — u(y, t),

t^x t mEl2 m£l2 t^x t t^x t t^x t

liminf- inf 7 (y,L,t)^ inf lim inf -7(2/, L, t) ^ lim inf -7(2/, E, t) = lim inf -7(2/, t).

t^x t LeAut l2 LeAut l2 t^x t t^x t t^x t

3. Теперь установим справедливость трех неравенств

n(y) > v(y), С(y) ^ v(y), v(y) ^ P(y), (4)

которые с учетом оценок (3) дадут все равенства (2).

Пусть ti < ... < tk — все k = v(y,t) нулей функции y на произвольном промежутке (0; t]. Они разбивают его на промежутки

Io = (0,ti], Ii = (ti,t2],..., Ik-i = (tk-i,tk], Ik = (tk,t] (5)

(при tk = t последний промежуток Ik пуст). Тогда, согласно лемме 11 [2], для каждого i = 0,1,... ,k луч, натянутый на вектор фу(т) плоскости с координатами (у,у), при возрастании т G Ii:

1) не покидает какую-то одну полуплоскость относительно оси y = 0, причем только в момент т = ti+i (при i < k) он лежит на самой оси, т.е. сонаправлен с вектором ±в2, и в этот момент его мгновенная угловая скорость соответственно равна

d с1т

^У(т) \ f (У(т), -ai(т)У(т))

-ei = -ei = ± (1, -а1(т)), -(1,0) =

\ \#(т)1 '

а значит, он пересекает эту ось строго по часовой стрелке (при традиционном расположении осей);

2) в случае г = 1,...,к — 1 поворачивается в конечном счете ровно на полуоборот в определенном направлении между двумя своими взаимно противоположными положениями, а в случае г = 0,к — не более чем на полуоборот.

А. Второе из перечисленных свойств луча, натянутого на вектор фу(т), инвариантно относительно линейных преобразований координат, поэтому справедлива оценка

М 2 7(у, Ь, I) > п(к — 1) = п(у(у, I) — 1), ьеЛи1 к2

а с ней и цепочка соотношении

1 п

т](у) = liminf- inf My,L,t) ^ liminf-(z/(у, í) - 1) = v(y), t^m t LeAut R2 t^m t

доказывающая первое из требуемых неравенств (4).

Б. Далее, на каждом из промежутков I (5) при i = 1,...,k — 1 луч, натянутый на вектор фу(т), обязательно хотя бы один раз бывает ортогонален к любому наперед заданному вектору, поэтому

inf V(у, m,t) ^ k — 1 = V(у, t) — 1,

meR2

откуда получается второе из неравенств (4):

п п

С (у) = liminf - inf v(y,m,t) ^ liminf ~(v(y,t) - 1) = v(y).

t^m t meR2 t^m t

В. Наконец, для любой константы K > 0 исходное уравнение после преобразования x = Ьфу перехода к новым координатам xi = Ky, x2 = у запишется в виде системы

Г Xi = Ку = Kx2,

{х2 = -a2(t)y - ai{t)y = -^-xi - ai(t)x2.

Мгновенная (в момент т) угловая скорость единичного вектора е(т) = (cos ф(т), sin ф(т)), сонаправленного с вектором x(т) = (xi(т),x2(т)) этой системы, получаемым из данного решения у(т), будет равна

ф(т) = ^[К siny(r), — cos <р(т) — ai (г) siny(r)), (— siny(r), cos <р(т))^ =

= —К sin2 Lp(r) — cos2 <р(т) — ai (г) sin Lp(r) cos <р(т). (7)

K

Поэтому для любого £ > 0 можно подобрать такую константу § > 0, а по ней и константу Ks > 1, чтобы при K = K¿ выполнялись оценки

{0 + -У- + Hall sin<5 ^ е. |sinw(r)| ^ sin

ks nil - (8)

—Ks sin2 § + ||a|| + ||a|| < 0, |sin ф(т)| > sin§, с помощью которых оценивается сверху суммарная длина пути вектора е(т) на единичной окружности:

Y (у,L,t)= Í ф(т )| йт < 2t£ + n(v (у,t) + 1). J 0

Действительно, при т E (0; t] на единичной окружности имеем:

а) сумма длин всех дуг, на которых угловая скорость ф(т) положительна, не превосходит числа t£, так как на этих дугах угловая скорость ограничена сверху числом £ в силу первой строки оценок (8);

б) сумма же длин всех остальных дуг (где скорость ф(т) неположительна) не превосходит в свою очередь суммы двух слагаемых: того же числа t£ (компенсирующего движение по всем дугам с положительной угловой скоростью) и числа k + 1 всех перечисленных в последовательности (5) участков, умноженного на длину п единичной полуокружности.

Таким образом, получаем

р(у) = inf liminf -j(y, L, t) ^ liminf -ОкиОу, t) + тг + 2te) = v(y) + 2e,

LeAut R2 t^m t t^m t

что в силу произвольности числа £ > 0 дает третье из неравенств (4).

4. Для доказательства же последнего неравенства цепочки (2) достаточно заметить, что вектор-функция x = фу удовлетворяет системе (6) при K = 1, и оценить по модулю угловую скорость, задаваемую формулой (7): полагая в ней K = 1 и опуская аргумент т, получаем

\ф\ = |sin2 Lp + а2 cos2 ip + ai sinocos ip\ ^ 1 + \Ja\ + ■ |cos ip\ ^ 1 + ||a||,

откуда выводим

1 1 Ку) = lim inf -7 (y,t) = lim inf - / \ф(т)\ (It < 1 + t—ж t t—ж t J0

Теорема 1 доказана.

Доказательство теоремы 2. Пусть заданы уравнение а € С2 (с постоянными коэффициентами) и его решение у € Б*(а).

1. Функция х = фу удовлетворяет системе (6) (где К = 1) с постоянной матрицей А. Внутри каждого сектора фазовой плоскости, не содержащего собственных векторов матрицы А, вектор х(т) с ростом т поворачивается в строго определенном направлении: действительно, в момент смены направления поворота его угловая скорость (непрерывная по т) должна обнулиться, что возможно только на собственном луче.

2. Если корни характеристического многочлена действительны, то матрица А имеет хотя бы один действительный собственный вектор. Поэтому вектор х(т) либо все время находится на собственном луче, либо асимптотически (при т к нему приближается, а значит, за все время т € М+ он поворачивается лишь на конечный угол, следовательно,

sup Y(y,t) < ж,

Ку) = lim inf j7(y,t) = 0. t—t

Учитывая цепочку (2), получаем равенства

ß(y) = w(a) = I Im Ai,2(a)|

(9)

3. Если же корни Ai;2 = а ± iß характеристического многочлена не действительны, пусть для определенности ß > 0, то матрица A не имеет действительных собственных векторов. Поэтому вектор х(т) все время поворачивается в одном и том же направлении (по часовой стрелке), в результате чего за время т G (0, t] он пересекает вертикальное направление ровно v(у, t) раз и поворачивается на угол Y(y,t) ^ n(v(y,t) + 1), следовательно,

1 п

Ку) = lim inf -7(V,t) < lim inf ~(v(y,t) + 1) = v(y).

t—t t—<x t

Беря yo(t) = e sin ßt, получаем

П П

v{y) = v{yo) = lim inf -u(y0,t) = lim inf -

t—ж t t—ж t

ßt П

У . f7T (ßt Гßt lim mf —--< —

t—ж t \ П П

= ß = |Im Ai,2(a)|

< 1),

а значит, равенства (9) справедливы и в этом случае. Теорема 2 доказана.

Доказательство теоремы 3. Фиксировав произвольное число с > 1, рассмотрим уравнение а €Р2 (с периодическими коэффициентами) вида

У

cos t 1 + c Sin t

-У + 7-To У = 0-

c + Sint (c + Sint)2

Одним из его решений, что проверяется непосредственной подстановкой, служит 2п-периодическая функция y(t) = c + sint > 0, удовлетворяющая соотношениям v (y, 2п) = 0, Y (y, 2п) = d > 0 (для обоснования последней оценки достаточно заметить, что на фазовой плоскости вектор ^y(t) = (c + sin t, cos t), соответствующий функции y, описывает своим концом единичную окружность с центром в точке (c, 0), периодически отклоняясь от горизонтального направления то в одну, то в другую сторону на один и тот же угол, равный d/4). Таким образом, получаем

1 d ( t \ d Kv) = i™ inf -7(V,t) > lim inf - ---1 = — > 0 = v{y) = ш{а).

t—ж t t—ж t \2П J 2П

Теорема 3 доказана.

Доказательство теорем 4 и 5 (первая из которых представляет собой частный случай второй) получается механическим повторением доказательства теоремы IX [2] с формальной заменой в нем верхнего предела нижним.

a

т

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. М.: Едиториал УРСС, 2004.

2. Сергеев И.Н. Определение и свойства характеристических частот линейного уравнения // Тр. Семинара им. И.Г.Петровского. 2006. Вып. 25. 249-294.

3. Сергеев И.Н. Определение полных частот решений линейного уравнения // Дифференц. уравнения. 2008. 44, № 11. 1577.

4. Сергеев И.Н. Определение полных частот решений линейной системы // Дифференц. уравнения. 2009. 45, № 6. 908.

5. Сергеев И.Н. Определение характеристик блуждаемости решений линейной системы // Дифференц. уравнения. 2010. 46, № 6. 902.

6. Сергеев И.Н. Сравнение полных частот и показателей блуждаемости решений линейной системы // Дифференц. уравнения. 2010. 46, № 11. 1667-1668.

7. Сергеев И.Н. Характеристики колеблемости ляпуновского типа // Тр. Междунар. матем. конф. "Пятые Богда-новские чтения по обыкновенным дифференциальным уравнениям". Минск, 2010. 73-74.

8. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. СПб.: Лань, 2008.

Поступила в редакцию 08.12.2010

УДК 517.982.256 + 515.124.4

О ТОЧКАХ ШТЕЙНЕРА В ПРОСТРАНСТВЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ

Б. Б. Беднов1

В пространстве C [K] действительнозначных непрерывных функций на хаусдорфовом компакте K для всякой тройки функций /ь/2,/3 описано множество St(/i, /2, /3) точек Штейнера, т.е. множество таких функций s G C[K], для которых сумма ||/i — s|| + У/2 — s|| + ||/з — s|| минимальна. Доказана непустота множества St(/i, /2, /3); описаны тройки /i, /2, /3, для которых точка Штейнера единственна; предъявлена липшицева выборка из отображения (/i, /2, /3) ^ St(/i, /2, /з). С помощью этих результатов описаны все действительные двумерные банаховы пространства, в каждом из которых для всякой тройки элементов xi,Х2,Х3 и некоторой их точки Штейнера s = s(xi,Х2,Х3) сумма ||xi — s|| + ||x2 — s|| + ||x3 — s|| равна полупериметру треугольника xiХ2Х3.

Ключевые слова: точка Штейнера, пространство непрерывных функций.

The set St(/i,/2,/3) of Steiner points is described for any three functions /ь/2,/3 in the space C[K] of real-valued continuous functions on a Hausdorff compact set K. St(/i, /2, /3) consists of all functions s G C[K] such that the sum |/i — s|| +1|/2 — s|| +1|/3 — s|| is minimal. It is proved that the set St(/i, /2, /3) is not empty; the triples /i, /2, /3 having a unique Steiner point are described; a Lipschitz selection is presented for the mapping (/ь/2,/3) ^ St(/i,/2,/3). These results imply the description of all real two-dimensional Banach spaces possessing the following property: the sum ||х! — s|| + ||х2 — s|| + ЦХ3 — s|| is equal to the semiperimeter of triangle xix2x3 for any triple xi,Х2,Х3 and some of its Steiner point s = s(xi,Х2,Х3).

Key words: Steiner point, space of continuous functions.

Рассмотрим три необязательно различных элемента Xi,X2, Х3 банахова пространства (X, || • ||). Точкой Штейнера для этих элементов называется любой такой элемент s = s(xi,x2, Х3) G X, что

33 k=1 X k=1

1 Беднов Борислав Борисович — студ. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].