CC BY
8II/« + fb'W = 1 (Wfb — fb'W ► 0 при 6 —> 0). Соответствующий функционалу ¡у вектор V € S s близок к Ъ, и ||а + Ь'\\ ^ ||а + Ь\\ + ||6 — Ь'|| < Зе при достаточно малых 6.
По лемме 1 получаем A(D) ^ е, что и требовалось. Теорема доказана. Из теорем 1-3 и неравенства (1) получаем
Следствие. Пусть X — банахово пространство со свойством существования точки Штей-нера. Тогда:
1) для, константы Липшица k произвольной выборки st из отображения St справедливо неравенство k ^ 1/3;
2) если X — рефлексивное локально равномерно выпуклое пространство с локально равномерно выпуклым, сопряженным, пространством X*, dimX ^ 2, то k ^ 2/3;
3) для всякого M > 0 существует такое двумерное гладкое строго выпуклое пространство X, что k > M.
Для гильбертова (евклидова) пространства известно точное значение к = 2/\/3, вычисленное Ж.-П.Каханом [5, теорема 5.2]. Нам удалось вычислить точное значение A(D) = \p2XjW для гильбертова пространства, но мы не приводим здесь соответствующие вычисления ввиду их громоздкости.
Автор приносит благодарность П. А. Бородину за постановку задачи и полезные обсуждения. Работа поддержана грантом РНФ № 14-21-00025.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гаркави А.Л., Шматков В.А. О точке Ламе и ее обобщениях в нормированном пространстве // Матем. сб. 1974. 95(137), № 2(10). 272-293.
2. Рубинштейн Г.Ш. Об одной экстремальной задаче в линейном нормированном пространстве // Сиб. матем. журн. 1965. VI, № 3. 711-714.
3. Бородин П.А. Коэффициент линейности оператора метрического проектирования на чебышевское подпространство // Матем. заметки. 2009. 85, № 2. 180-188.
4. Дистель Дж. Геометрия банаховых пространств. Киев: Вища школа, 1980.
5. Kahane J.-P. Best approximation in Ll{T) // Bull. Amer. Math. Soc. 1974. 80, N 5. 788-804.
Поступила в редакцию 04.03.2015
УДК 517.93
НЕПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ПЕРВОМУ КЛАССУ БЭРА ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ ЭНТРОПИИ НА ПРОСТРАНСТВЕ ГОМЕОМОРФИЗМОВ
А. Н. Ветохин1
Рассматривается параметрическое семейство гомеоморфизмов компактного метрического пространства в себя, удовлетворяющих условию Липшица, непрерывно зависящих от параметра. Построено такое семейство, что топологическая энтропия его гомеоморфизмов как функция параметра не принадлежит первому классу Бэра.
Ключевые слова: топологическая энтропия, классификация Бэра.
The parametric family of Lipschitz homeomorphisms of a compact metric space continuously-depending on the parameter is studied. We construct such a family that topological entropy of homeomorphism considered as a function of the parameter does not belong to the first Baire class.
Key words: topological entropy, Baire classification.
1. Постановка задачи. Напомним определение топологической энтропии динамической системы, порожденной непрерывным отображением [1, с. 120]. Пусть (X, d) — компактное метрическое
1 Ветохин Александр Николаевич — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. дифференциальных уравнений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vetokhinQfront.ru.
пространство, а / : X —> X — непрерывное отображение. Наряду с исходной метрикой d определим на X дополнительную систему метрик
dfn(x,y) = max d(f (х), f(y)), п € N.
О^л^п— 1
Обозначим через Bf(x,e,n) открытый шар {у € X : dn(x,y) < е}. Множество Е С X называется (/, е, п)-покрытием, если
X С (J Bf(x,e,n).
хеЕ
Пусть Sd(f, е, п) обозначает минимальное количество элементов (/, е, п)-покрытия. Топологической энтропией отображения / называется величина
htop(f) = Hm lim -InSd(f,e,n).
£—S-0 га—S-oo П
По метрическому пространству A4 и непрерывному отображению
f:MxX^X (1)
образуем функцию
/л—> /¿toP№, •))• (2)
В монографии [1, с. 501] установлено, что в случае пространства X = [0, 1] и произвольного метрического пространства Л4 функция (2) полунепрерывна снизу, а следовательно, принадлежит первому классу Бэра на пространстве Л4. Напомним [2], что функции, являющиеся поточечными пределами последовательностей непрерывных функций, образуют первый класс Бэра, функции, являющиеся поточечными пределами последовательностей функций первого класса Бэра, составляют второй класс Бэра и т.д.
Для произвольного компактного метрического пространства X в [3] установлено, что для каждого отображения (1), удовлетворяющего условию Липшица по х € X при всяком фиксированном значении ц € Л4, функция (2) принадлежит второму классу Бэра на пространстве Л4. В работе [3] также доказано существование таких компактных метрических пространств Л4о, Хо и отображения (1), что функция (2) не принадлежит первому классу Бэра на пространстве Л4о.
Предположим, что при всяком фиксированном значении ц € Л4 отображение (1) является гомеоморфизмом из X в себя, удовлетворяющим условию Липшица, тогда можно поставить вопрос о наименьшем бэровском классе, которому принадлежит в этом случае функция (2). Из [3] получаем, что для произвольных пространств M и X эта функция принадлежит второму классу Бэра. Оказывается, что эта функция может и не принадлежать первому классу Бэра. Проведем соответствующее построение.
2. Непринадлежность топологической энтропии первому классу Бэра. Введем некоторые обозначения. На множестве последовательностей {х = (х\,х2, ■ ■ ■) '■ х& € {0, 1}} определим метрику
ГО, если х = у,
I тшщкш'еслъх^у-
Полученное компактное метрическое пространство обозначим через В.
Теорема. Существуют непрерывное отображение g : В х В —>■ В и константа К > 0; тлкие,
что
1) при всяком фиксированном значении первого аргумента ц, € В функция д(ц, •) : В —>■ В является гомеоморфизмом из В в себя;
2) для каждого ц, € В и любых х, у € В выполнено неравенство d(g(pi, х), д{ц,у)) ^ Kd(x,y);
3) для каждого /л € В и любых и, v € д(/л,В) выполнено неравенство d(g~1(/j,,u), g-1 (ß,v)) ^ Kd(u,v);
4) функция ц, I—htop(g(iJ., •)) не принадлежит первому классу Бэра на В.
Доказательство. Доказательство теоремы будет разбито на ряд лемм. Рассмотрим множество бесконечных матриц вида
/ an öi2 • • Л
А =
021 Ö22
где а^ € {0, 1}; на этом множестве введем метрику
'0,
<1вм(А,В) =
если А = В;
-,--и.—гг 1 если Аф В.
Полученное компактное метрическое пространство обозначим через ВЛЛ. Рассмотрим отображение : В —>■ ВЛ4, определяемое формулой
Х2, Хз, Ж4, Х5, Хб,Х7, Х8,Хд, ...)) =
(Х\ Х2 Хд . . .\ Х4 Хз Х8 ■ ■ ■ ОС ^ ОС ОС ...
\: : : ••./
В силу определения отображение ср является гомеоморфизмом из В на ВЛЛ. Лемма 1. Для любых х,у € В выполнено неравенство
йвм(<р(х),<р(у)) < л/2<1в(х,у).
Доказательство. Если йв(х, у) = 0, то йвм{^р{х)> <р(у)) = 0- Пусть йв(х, у) = где к = 1,2,...
тогда имеем ([•] — целая часть числа)
[у/к^Т] + 1 [у/к=Т] + 1
лД
Лемма доказана.
Лемма 2. Для любых А, В € ВЛЛ выполнено неравенство
(1в(<Р~ (А), <Р~ (В)) ^ Ас1вм{А,В).
Доказательство. Если с1в(х,у) = 0, то йвм{^Р~1{х)^~1{у)) = 0- Если с1вм(А,В) = где к = 1, 2,... , то
1
к2
(к- 1)2 + 1 ((к — I)2 + 1)к2
^Ай1м{А,В).
Лемма доказана.
Лемма 3. Пусть отображение / : ВЛЛ —> ВЛЛ удовлетворяет условию Липшица с константой К > 0; тогда отображение (/(<£>)) : В В удовлетворяет условию Липшица с константой 8 К2.
Доказательство. Действительно, для любых х, у € В в силу лемм 1 и 2 получаем
< 4(К<1вм(Ф),<р(у)))2 < §К2(1в(х,у).
Лемма доказана.
Рассмотрим отображение / : В х ВЛЛ —> ВЛЛ, определяемое формулой
(
( ац а>12 а13 • • • \
(/XI, /Х2, Мз, • • ■),
V
0>21 0-22 0-23 ■ ■ ■ оз1 оз2 азз ■ ■ ■
V
/ «11+^1 а12+112 а13+цз - Л
0,2-^2 «2-^3з О-З-щ! 0,3-ц22 0.3-Ц33
V
В силу определения отображение / непрерывно и является гомеоморфизмом из ВЛЛ в себя при каждом фиксированном /л € В.
Лемма 4. Для каждого ц, € В и любых А, В € £>.М и С, И £ /(/х, £>.М) выполнены неравенства
<1вми&,А),/(11,В))^2<1вм(А,В), <1вм(ГЧ»,С),ГЧ11,0))^2<1вм(С,0).
е-1/
Доказательство. Если с1вм(А, В) = cIbm(C,D) = 0, то
dBM(f(ß, А), Д/х, В)) = dBM(r\», С), Г V D)) = 0. Если ёвм(А,В) = dBM(C,D) = 1, то
dBM(f(ß, Ä), Д/х, В)) < 1, dBM(r\ß, С), f~\ß, D)) < 1. Пусть dBM(A, В) = äßM^C, D) = где п = 2,3,..., тогда
1 п 1
dBM(f(n,A),f{ß,B)) < —— = —— • - < 2dBM(A,B),
7Ъ X 77» X 77»
dBM(r\ß,C),r\ii,D)) < -J— = • i < 2dBM(C,D).
7Ъ X 77» X 77»
Лемма доказана.
В пространстве В выделим подмножества: Pq, состоящее из последовательностей ¡л € В, у которых начиная с некоторого номера все элементы равны нулю, и Р\, состоящее из последовательностей ¡л € В, у которых начиная с некоторого номера все элементы равны единице. Лемма 5. Если ¡л € Р\, то /¿top(/(/x, •)) ^ 1п2.
Доказательство. Пусть /л € Pi, тогда найдется такое натуральное число щ, что для любого к ^ щ выполнено равенство /х^ = 1. Пусть п > по. Рассмотрим множество Q матриц из ВЛЛ, коэффициенты которых удовлетворяют условиям
_ /0 или 1, если г = 1, j = щ,... ,п; %3 \ 0 в остальных случаях.
Отметим, что мощность множества Q равна 2n~no+1. Пусть А, В € Q и А ф В, тогда
max dBM{fi{ß,A),fi{¡л, В)) > —.
О^л^/п— 1 По
Если е < 2^) Т0 величина ¿^(Д, е, и) не менее, чем мощность множества Q, а следовательно, ^top(/(/x(')) ^ 1п2- Лемма доказана.
Лемма 6. Если /л € Ро; пго htop(f(ß, •)) = 0.
Доказательство. Пусть /л € Ро, тогда найдется такое натуральное число щ, что для любого к ^ По выполнено равенство ßk = 0. Пусть е < Рассмотрим множество R матриц из В A4, коэффициенты которых удовлетворяют условиям ([•] — целая часть числа)
_ Г 0 или 1, если г = 1,..., + 1, j = 1,..., + 1; %3 \ 0 в остальных случаях.
Отметим, что мощность множества I! равна . Пусть В € ВМ, тогда найдется матрица А € R,
удовлетворяющая неравенству dßM(A, В) < е, а следовательно, выполнено неравенство
max dBM(f4ß, А), Д (/х, В)) < е.
О^л^/п— 1
Таким образом, величина Sd( f(ß, ■),£, п) не превосходит мощности множества R, а значит, топологическая энтропия отображения f(pi, •) равна нулю. Лемма доказана.
Завершим доказательство теоремы. Рассмотрим сложное отображение д(/л, •) = <£>(•))) :
В —У В, которое является гомеоморфизмом из В в себя. В силу лемм 1-4 для любых х,у € В получаем неравенство
dB{g(n,x),g(n,y)) = dB((p~\f(ß, <р(х))), <£>_1(Д/х, <р(у)))) <
^^d2BM(f(ß,ip(x)),f(ß,ip(y))) < 16d2BM(ip(x),ip(y)) ^Шв{х,у),
а следовательно, отображение д(/л, •) удовлетворяет условию Липшица. Аналогично обратное отображение g~l(ji, •) удовлетворяет условию Липшица на множестве д(/л,В).
Далее, при ц € Р\ в силу леммы 5 и инвариантности топологической энтропии относительно топологического сопряжения [1, с. 121, следствие 3.1.4] выполнено неравенство
а при /л € Ро в силу леммы 6 — равенство
•)) = ¥>(•)))) =
Следовательно, любая точка пространства является точкой разрыва, а поэтому функция /х |—> /^0р(5'(/х)')) не принадлежит первому классу Бэра на В. Теорема доказана.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Каток А.Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. М.: Факториал, 1999.
2. Бэр Р. Теория разрывных функций. М.: ГТТИ, 1932.
3. Ветохин А.Н. О некоторых свойствах топологической энтропии динамических систем // Матем. заметки. 2013. 93, вып. 3. 347-356.
Поступила в редакцию 20.05.2015
УДК 514.77+519.176+515.165.7
БИФУРКАЦИИ МИНИМАЛЬНЫХ ДЕРЕВЬЕВ ШТЕЙНЕРА И МИНИМАЛЬНЫХ ЗАПОЛНЕНИЙ
ДЛЯ НЕВЫПУКЛЫХ ЧЕТЫРЕХТОЧЕЧНЫХ ГРАНИЦ И СУБОТНОШЕНИЕ ШТЕЙНЕРА ЕВКЛИДОВОЙ ПЛОСКОСТИ
Е. И. Степанова1
В работе строятся бифуркационные диаграммы топологий минимальных деревьев Штейнера и минимальных заполнений невыпуклых четырехточечных границ на евклидовой плоскости. На основе этого результата получено значение четырехточечного суботношения Штейнера плоскости. Найдены все конфигурации, на которых оно достигается.
Ключевые слова: минимальное дерево Штейнера, минимальное заполнение, суботношение Штейнера.
Bifurcation diagrams for topologies of Steiner minimal trees and minimal fillings for nonconvex four-pointed boundaries are constructed. Using this issue, the four-pointed Steiner subratio of the Euclidean plane is recieved. All configurations for which it is obtained are found.
Key words: Steiner minimal tree, minimal filling, Steiner subratio.
1. Введение. Проблема Штейнера отсылает нас к работам XVII в. П. Ферма, Э. Торричелли, Б. Кавальери, В. Вивиани занимались поиском точки на плоскости, сумма расстояний от которой до трех других минимальна. Первое чисто геометрическое решение задачи о трех точках получено скорее всего Я. Штейнером в XIX в.
В настоящее время проблема Штейнера многогранно изучается (см., например, [1-4]), так как представляет интерес не только с чисто математической точки зрения, но и с практической: умение быстро строить и описывать кратчайшие и близкие к ним сети имеет большое значение, например, при проектировке транспортных линий, микросхем, при моделировании эволюционных процессов.
Одно из обобщений задачи Штейнера — задача о минимальном заполнении метрического пространства, возникшая совсем недавно в работе А. О. Иванова и А. А. Тужилина [5]. Она исходит из идей М. Громова о минимальном заполнении риманова многообразия. Требуется найти взвешенный
1 Степанова Екатерина Ивановна — асп. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: ekfilaQgmail.com.
