CC BY
5Для доказательства нижней оценки воспользуемся леммой 3 и равенством (2). В силу неравенства
Ф(Мп),п) ^ \Qa(n)\ = 2CTG'2"+O(1) получаем, что при достаточно больших n
т , ч 2n ( log log n - O(1)\
Lain) - 1 + -2-f-^ .
log n log n
Теорема доказана.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект №12Ч)Ю0964-а).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лупанов О. Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем. М.: Изд-во МГУ, 1984.
2. Ложкин С.А. Оценки высокой степени точности для сложности управляющих систем из некоторых классов // Математические вопросы кибернетики. Вып. 6. М.: Физматлит, 1996. 189-213.
3. Лупанов О.Б. О реализации функций алгебры логики формулами из конечных классов (формулами ограниченной глубины) в базисе <fc,V,— // Проблемы кибернетики. Вып. 6. М.: Физматгиз, 1961. 5-14.
4. Ложкин С.А., Коноводов В.А. О синтезе и сложности формул с ограниченной глубиной альтернирования // Вестн. Моск. ун-та. Вычисл. матем. и киберн. 2012. №2. 28-36.
5. Ложкин С.А. Асимптотические оценки высокой степени точности для сложности функций, связанных с автоматными языками // Проблемы теоретической кибернетики: Тез. докл. XII Междунар. конф. Ч. II / Под ред. О. Б. Лупанова. М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ, 1999. 138.
6. Кондратов A.B. Асимптотические оценки высокой степени точности для сложности реализации функций, связанных с автоматными языками, в некоторых классах схем // Математические вопросы кибернетики. Вып. 13. М.: Физматлит, 2004. 279-288.
7. Ложкин С.А. Лекции по основам кибернетики: Учеб. пособие. М.: Изд. отдел ф-та ВМиК МГУ, 2004.
8. Chomsky N., Miller G.A. Finite state languages // Inf. and Control. 1958. 1. 91-112 (Хомский H., Миллер Дж.A. Языки с конечным числом состояний // Кибернет. сб. 1962. 4. 233-255).
Поступила в редакцию 13.02.2013
УДК 517.9
ХАРАКТЕРИСТИКА ПРОСТРАНСТВА ОРБИТАЛЬНЫХ КОМПЛЕКСНОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ НА КОМПАКТЕ
В. М. Фёдоров1
В работе дана характеристика пространства непрерывных орбитальных комплексно-значных функций на хаусдорфовом компакте в категории комплексных банаховых пространств.
Ключевые слова: банаховы пространства, сопряженные пространства, экстремальные множества, максимальные конусы и клинья, непрерывные орбитальные комплекснознач-ные функции, функционалы Майерса.
A characteristic of the spaces of continuous orbital complex-valued functions is given on a compact Hausdorff compactum in the category of complex Banach spaces.
Key words: Banach spaces, dual spaces, extreme set, maximum cones and wedges, continuous orbital complex-valued functions, Myers functionals.
Введение. Результаты, определяющие пространство C(X) в категории действительных банаховых пространств с помощью естественных свойств нормированного пространства, были установлены С. Б. Май-ерсом [1], Р. Ф. Аренсом и Дж. Л. Келли [2], а также М. Джерисоном [3]. Они использовали специальные
1 Фёдоров Владимир Михайлович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vferdorovQrambler.ru.
свойства единичного шара сопряженного пространства. В работе [2] доказано, что действительное банахово пространство E в том и только в том случае изометрично действительному пространству C (X), если крайние точки единичного шара S' сопряженного пространства E' содержатся в двух слабо*замкнутых опорных гиперплоскостях и каждое множество крайних точек единичного шара S', слабое* замыкание которого не содержит симметричных точек, целиком лежит в некоторой слабо*замкнутой опорной гиперплоскости. С помощью второго из этих условий Джерисон получил представление пространства Cа (X) непрерывных орбитальных действительных функций относительно 2п-периодического действия группы Z.
C(X)
зованным ранее в действительном случае в работах [2] и [3]. Для этого определяются функционалы Май-ерса на комплексных полунормированных пространствах и выясняются их основные свойства, а затем исследуются представления пространства Cа (X) непрерывных комплекснозначных орбитальных функций относительно 2п-периодического действия группы R. Доказательство указанных результатов излагаются одновременно для действительных и комплексных банаховых пространств.
Максимальные клинья и минимальные грани. Рассмотрим полунорму p(x) в линейном пространстве E и обозначим через (E, p) полунормированное пространство, а через S = {x £ E | p(x) ^ 1} его единичный шар. Пусть p'(a) = supx€£ |a(x)| = supx€£ йа(ж) обозначает сопряженную норму в сопряженном пространстве E', ассоциированную с полунормой p, и S' = {а £ E | p'(a) ^ 1} — ее единичный шар. Экстремальными множествами функционала а £ E' и вектоpa x £ E в полунормированном пространстве (E, p) называются соответственно подмножества b^S', определяемые следующими формулами:
S(а) = {x £ S | Ка(х) = p'(a)}, S'(x) = {а £ S' | Ка(х) = p(x)}.
Если а = 0, то S(а) — слабозамкнутое экстремальное подмножество границы шара dS, а если x = 0, то S '(x) — слабо*замкнутое экстремальное подмножеств о границы шара dS'. Из канонического отображения J : E ^ E'' мы имеем равенство S'(x) = S(J(x)).
Рассмотрим двойственные соотношения между гранями Г С X компактного выпуклого множества X С E в локально выпуклом пространстве E и клиньями P С E' сопряженного простр анства E'. Введем в сопряженном пространстве E' субнорму qx ассоциированную с множеством X:
qx(а) = sup ^(x), а £ E'.
xex
Множество всех клиньев P С E' в сопряженном пространстве E', на которых субнорма qx аддитивна,
P
некотором максимальном клине. Обозначим через W = W(E') совокупность всех максимальных клиньев пространства E', на которых субнорма qx (а) аддитивна, а через V = V(E) соответствующее множество минимальных граней Г С X компакта X, определяемых так, что каждому максимальному клину P £ W соответствует минимальная грань Гр £ V, заданная по формуле
Гр = {x £ X | ^(x) = qx(а), а £ P} .
Поскольку субнорма qx непрерывна в топологии т(E', E) равномерной сходимости в пространстве E' на компактных выпуклых множествах из E и эта топология согласована с двойственностью (E', E) [4, с. 218], то по теореме Хана-Банаха для каждого максимального клина P £ W существует элемент x £ E, такой, что Ка^) = qx (а) при всех а £ P и ¡^(x) ^ qx (а) при всех а £ E'. Кроме того, так как X
x£X
клин P £ W совпадает с некоторым клином следующего вида:
Px = {а £ E' | Ка(x) = qx(а)} , x £ X . Px qx
такие точки x £ X, что этот клин равен нулю и Го = X. Ясно, что всякая минимальная грань Гр яв-
X
компакта X. Поскольку из включения P i С P2 следует включение Гр2 С Грц то всякая грань компакта X содержит некоторую минимальную грань. Кроме того, если сумма Pi + P2 £ W(E') является максимальным клином пространства E', то выполняется равенство Грi+р2 = Грi П Гр2 и, значит, различные минимальные грани компакта X не пересекаются. Таким образом, если некоторая грань Г С X имеет общую точку с минимальной гранью, то она полностью ее содержит [5, с. 134].
Предложение 1. Пусть X С E компактное выпуклое множество в локально выпуклом, пространстве E. Тогда для любого подмножества A С X следующие свойства являются эквивалентным,и:
a) замкнутая выпуклая оболочка cö(A) совпадает с X;
b) замыкание А содержит множество ех(Х) всех крайних точек",
c) замыкание А содержит по одной, точке из каждой, минимальной грани X;
d) выполняется равенство субнорм q^(a) = qx(а) при всex а £ E'.
Доказательство. То, что свойство b следует из свойства а, вытекает из теоремы обращения Мильма-на [4, с. 109]. Поскольку каждая минимальная грань Гp является экстремальным множеством и, значит, содержит некоторую крайнюю точку, то свойство с следует из свойства Ь. Ввиду того, что выполняется равенство = и верхняя грань qx(c*0 величин Шл(х) при х £ X достигается на некоторой
XX
co(A)
A
Co(A) = р| {x £ E \ Ка(ж) < q^(a)} = р| {x £ E \ Ка(ж) < qx (а)} = X.
аеЕ' аеЕ'
Следовательно, имеем X = cö(A), и утверждение а доказано.
Применим эти свойства к полунормированному пространству (E, p) в случае, когда компактное выпуклое множество совпадает с единичным шаром X = S' сопряженного пространства E' в слабой* топологии a(E', E). Так как слабая* топология пространства E' согласована с двойственностью (E', E) [4, с. 197], то всякий максимальный клин P £ ОТ, на котором полунорма p(x) аддитивна, совпадает с некоторым максимальным клином следующего вида:
Pa Ф {x £ E \ Ка(х) = p(x)} , а £ S'.
Если сопряженная норма функционала p'(а) меньше единицы: p'^) < 1, то клин совпадает с ядром полунормы Pа = ker(p). Если сопряженная норма функционала равна единице: p'^) = 1, то неравенство Ра = ker(p) имеет место в том и только в том случае, когда функционал а является опорным.
Рассмотрим линейную оболочку L Ф linR(P) как полуупорядоченное пространство с положительным клином P £ ОТ Нетрудно заметить, что при всех x £ E функция Ax(y) Ф p(x + y) — p(y) по переменной y £ P является невозрастающей. В самом деле, в силу неравенства треугольника и свойства аддитивности P
Ax(y + z) = p(x + y + z) — p(y + z) < p(x + y) — p(y) = Ax(y), y, z £ P.
Заметим, что полуупорядоченное пространство L и его положительный клин P С L являются направлен-
x £ E L
P
<Ap (x) Ф lim Ax (y) = lim Ax(y) = inf Ax(y), yeL yeP yeP
равные нижней грани функции Ax(y) на клине P. Эта нижняя грань ^р(x) называется функционалом, Майерса,, соответствующим максимальному клину P £ ОТ [1, с. 133].
Лемма 1. Если Гр = {а £ S' \ ^(y) = p(y), y £ P} есть минимальная грань шара S' С E', соответствующая максимальном,у клину P £ ОТ, то функционал Майерса равен
(x) Ф sup ^(x), x £ E .
а€Гр
Доказательство. Так как для любого а £ Гр норм a p'^) ^ 1 и ^(y) = p(y) при всех y £ P, то x £ E
(x) = inf {p(x + y) — p(y)} ^ inf {^(x + y) — ^(y)} = ^(x), а £ ГР . yeP yeP
С другой стороны, так как ^p(x) является линейным функционалом на линейной оболочке L = lin^(P), то по теореме Хана-Банаха существует функционал а £ E', мажорируемый функциопалом ^p
и совпадающий с ним на Ь. Кроме того, этот функционал а € Е' можно выбрать таким образом, чтобы Ка(ж) = с, где число с € М удовлетворяет неравенствам
- {рр(-ж + у) - рр(у)} < с < 1п|{рр(ж + у) - рр(у)} .
Поскольку при всех у € Ь имеет место равенство
рр(ж + у) - рр(у) = Иш{р(ж + у + г) - р(у + г)} = рр(ж),
то указанные неравенства принимают вид - рр(-ж) ^ с ^ рр(ж). Отсюда следует, что существует функционал а € Е', действительная часть которого мажорируется функционалом рр и совпадает с ним на Ь, при этом Ка(ж) = рр(ж) в точке ж € Е. Ясно, что этот функционал принадлежит минимальной грани Гр.
Предложение 2. Го/ш (Е, р) — полунормированное пространство, то всякий функционал Майерса, рр, Р € Ж, определенный на пространстве Е, обладает, следующими свойствами:
a) -р(ж) ^ рР (ж) ^ р(ж) для всех ж € Е;
b) рр (ж) = ±р(ж) тогда и только тогда, когда, ж € ±Р;
c) рР (Лж) = ЛрР (ж) при вс ех Л € М+ и ж € Е;
рр 1 (ж) = рр 2 (ж) при вс ех ж € Е тогда и только тогда, когда Р1 = Р 2; е) рр (ж + у) ^ рр (ж) + рр (у) для вс ех ж, у € Е. Таким, образом, функционал рр (ж) является непрерывной субнормой на Е м линейным, функционалом, на линей ной оболочке Ь = Нпм(Р) клина Р;
/) функционал рр(ж) является линейным, на прост,ранет,ее Е тогда и только тогда, когда полунорма р(ж) заданная, при всех ж € Р, имеет единственное продолжение на все Е до линейного функционала, с нормой единица.
Р1 =
Р2, то существует элемент ж € Р1, такой, что ж / Р2. Тогда выполняется неравенство рр 1 (ж) = р(ж) > рр2(ж), т.е. имеет место свойство й. Кроме того, поскольку полунорма р(ж) в Е удовлетворяет неравенству треугольника, то и функционал рр (ж) является непрерывной субнормой на пространстве Е.
Если ж = у - г € Ь, где у, г € Р, то рР(ж) ^ рР(у) + рР(-г) = рР(у) - рР(г) и рр(ж) = рР(у -г) ± рР(-г) ^ рР(у) + рР(-г) = рР(у) - рР(г), т.е. имеет место равенство рР(ж) = рР(у) - рР(г). Отсюда получаем, что если ж1 = у1 - 21 и ж2 = у2 - г2, где у1,у2,г2 € Р, то рр(ж1 + ж2) = рр(у1 + у2) - рр (г1 + г2) = рр (ж1 ) + рр (ж2). Таким образом, функционал Майерса рр (ж) является линейным на
Р
Осталось доказать свойство /. Если функционал рр (ж) является линейным, то он будет линейным продолжением полунормы р(ж), заданной на клине Р. Пусть р(ж) есть другое ее продолжение. Тогда р(ж) ^ рр (ж) при всех ж € Е. В самом деле, иначе существует некоторый элемент ж € Е, не удовлетворяющий этому неравенству. Таким образом, при некотором у € Р мы имеем неравенство р(ж) > р(ж + у) - р(у) = р(ж + у) - р(у) и, следовательно, получим р(ж + у) = р(ж) + р(у) > р(ж + у), что противоречит предположению р'(р) = 1.
Из доказанного неравенства следует равенство р(ж) = рр (ж) при всех ж € Е, так как оба функционала являются линейными. Обратно: всякое продолжение полунормы р(ж) на линейную оболочку Ь совпадает с функционалом Майерса рр (ж) . Поэтому для любого элемента г € Е мы имеем
рр (ж + у) = рр (ж) + рр (у) ^ р(ж + у) ^ р(ж + г) + р(у - г), ж, у € Ь.
Значит, всякое продолжение р(г) функционала рр (ж) , заданного на подпространстве Ь, в точку г € Е \ Ь удовлетворяет неравенству
- {р(ж + г) - рр (ж)} ^ р(г) ^ 1п| {р(у - г) - рр (у)} .
хЕЬ
Если это продолжение единственное, то здесь имеет место знак равенства. Отсюда, поскольку выполняются равенства
рр (г) = М {р(ж + г) - рр (ж)} , рр (-г) = М {р(ж - г) - рр (ж)} ,
хб-Ъ хб-—
мы имеем -рр (г) = рр (-г) при всех г € Е. Так как р(г) удовлетворяет неравенству р(г) ^ рр (г), то р(-г) ^ рР(-г) = -рР(г) ^ -р(г) = р(-г) при всех г € Е. Таким образом, р(г) = рР(г) при всех г € Е.
Замечание. Из доказательства в предложении 2 свойства / нетрудно заметить, что функционал Майерса рр(ж) является линейным на пространстве Е тогда и только тогда, когда он является нечетным, т.е. выполняется равенство рр(—ж) = —рр(ж) при всех ж € Е. В этом случае функционал Майерса рр(ж) имеет единственное линейное продолжение из подпространства Ь = Ипк (Р) на все пространство Е с сохранением нормы р'(рр) = 1 и минимальная грань Гр шара Б', соответствующая клину Р € ОТ, состоит из одной точки.
Вполне регулярные подпространства в Са (X). Рассмотрим пространство С (X) всех непрерывных и ограниченных функций V : X ^ ^ ^^ ^^^^мми в поле F действительных или комплексных чисел, определенных на хаусдорфовом топологическом пространстве X с чебышевской нормой 11V^ = зирхех Кж)|-
Предложение 3. Пусть 5 : X ^ С'(X) обозначает отображение Дирака, в сопряженное пространство С'(X), где 5(ж) = 5Х — функционал Дирака, такой, что 5Х^) = v(ж); V € С(X). Тогда, 5
a) непрерывно в слабой* топологии пространетва, С'(X);
b) является гомеоморфизмом между X и 5 (X) тогда и только тогда, когда про странет во X явля-
;
c) если X вполне регулярно, то слабое* замыкание образа 5^) состоит из крайних точек а € ех(Б') единичного шара, Б' С С'(X); для, которых выполняется равенство Ка(1) = 1.
Доказательство. Поскольку слабая* топология в С'(X) является проективной, то для доказательства утверждения а достаточно заметить, что его композиция с проекцией v(ж) = ■ 5)(ж) является непрерывной функцией в силу непрерывности функции V € С(X). Для доказательства утверждения Ь нам достаточно заметить, что слабо*замкнутое множество 5^) слабо*компактно и отображение 5 : X ^ 5^) является взаимно однозначным тогда и только тогда, когда множество функций пространства С(X) разделяет точки в X.
Докажем, что образ любой окрестности 0Х0 точки жо € X является пересечением образа 5^) с некоторой слабой* окрестностью точки 5(жо) в пространстве С'(X). В силу вполне регулярности X выберем непрерывную функцию V : X ^ [0,1] так, что v(жо) = 1 и v(ж) = 0 при всех ж € X \ ОХ0. Тогда множество всех функционалов а € С'(X), таких, что а^) > 0, открыто в слабой* топологии и его пересечение с образом 5^) содержится в множестве 5(ОХ0). Следовательно, отображение 5 : X ^ 5^) является открытым.
Для доказательства с используем компактное расширение Стоуна-Чеха пространства X, равное слабому* замыканию 5^). Тогда мы можем считать, что X компактно. Так как каждый элемент образа 5^) удовлетворяет условию Ка(1) = ||а|| = 1, то от является крайней точкой единичного шара Б' С С'(X). Поскольку каждая крайняя точка а € ех(Б') принимает вид а = ег*5Х, где Ь € М и ж € X, то а(1) = ег* и, следовательно, 5^) совпадает с множеством крайних точек, удовлетворяющих условию Ка(1) = 1.
Далее будем предполагать, что хаусдорфово топологическое пространство X является вполне регулярным, или тихоновским, [6, с. 159], т.е. для всякой точки жо € X и ее окрестности ОХ0 С X существует функция V € С(X), принимающая значения в [0,1] и такая, что v(жо) = 1 и v(ж) = 0 при всех ж € X\ОХ0. В этом случае говорят, что точка жо € X функционально отделима множеством непрерывных функций С(X) от любого замкнутого множества А С X, не содержащего этой точки.
Предложение 4. Если хаусдорфово топологическое пространство X является компактным, то будут выполняться следующие свойства:
a) множество всех крайних точек ех(Б') единичного шара, Б' сопряженного пространства С'(X)
;
b) кону с Р С С (X) на котором норм,а, пространства С (X) аддитивна, в том и только в том случае является максимальным, когда существуют точка ж € X и число Ь € М; т,акие, что он имеет вид
Р*,Х = {V € С(X) |Ке^(ж) = IV||} .
Доказательство. В самом деле, в силу теоремы Урысона [7, с. 131] компактное пространство X
5
5^) компактен в слабой* топологии С'(X). Множество крайних точек единичного шара в С'(X) имеет вид а = егЬ5Х, где ж € X и Ь € М [8, с. 478]. Определим отображение ф : F х С1 (X) ^ С1 (X) по формуле ■0(А, а) = Аа. Так как это отображение непрерывно в слабой* топологии С'(X), то образ компакта {|А| = 1} х 5^) является компактом и, следовательно, замкнут в слабой* топологии пространства С'(X).
Пусть Р С С(X) — максимальный конус, на котором норма аддитивна, тогда в силу теоремы Хана-
Банаха существует такой функционал а G C'(X), что = ||v|| при всех v G P и ^ ||v||
при всех v G C(X). Ясно, что множество А таких функционалов а образует экстремальное подмножество единичного шара в C'(X). Так как множество А является пересечением слабо*замкнутых множеств S'(v), v G P, то оно также является слабо*замкнутым и, следовательно, имеет крайнюю точку eit:¿x. Отсюда получаем, что всякий максимальный конус P в пространстве C(X) принимает вид P
Осталось доказать максимальность всякого конуса вида PПредположим обратное, т.е. найдется такой элемент vo / Pкоторый удовлетворяет условию аддитивности ||vo + v|| = ||vo|| + ||v|| при всех v G Pt,x. Тогда множество точек B = {y G X | |vo(y)| = ||vo||} не содержит точку x. Действительно, иначе будет справедливо включение e-i(T+i)vo G Pгдe т = arg vo(x), что невозможно, поскольку
||vo + e-i(T+i)vo| = ||vo| + |e-i(T+i)vo|| , т + t = 0 (mod 2n).
Выберем окрестность O(B) = {y G X | |vo(y)| > ||vo ||-¿o} множества B так, чтобы она не содержала точку x при некотором ¿o > 0. В силу вполне регулярности пространства X найдется такой элемент v G P что Kei4v(x) = ||v|| ^ |v(y)| + ¿1 при всех y G O(B) и при некотором ¿1 > 0. Отсюда следует строгое неравенство ||vo + v|| < ||vo|| + ||v||, т.е. элемент vo не удовлетворяет условию аддитивности. В самом деле, если y G O(B), то выполняется неравенство
|vo(y) + v(y)| < |vo(y)| + |v(y)| < ||vo| + ||v|| - ¿1,
а если y G O(B), то выполняется неравенство
|vo(y) + v(y)| < |vo(y)| + |v(y)| < ||vo| - ¿o + ||v||.
Таким образом, всякая минимальная грань Гр единичного шара сопряженного пр остранства C' (X) является крайней точкой а G ex(S'), а ее действительная часть — функционалом Майерса рр = Ка.
Обозначим через а = {at | t G T} непрерывную однопараметрическую группу гомеоморфизмов at : X ^ X пространства X, для которых каждая точка x G X имеет наименьший период 2п, за исключением, быть может, неподвижных точек группы а, т.е. a(x) = x. При этом предполагается, что в случае поля действительных чисел F = R параметр t G T = nZ является дискретным, а в случае поля комплексных чисел F = С параметр t G T = R является непрерывным.
Через CCT(X) обозначается подпространство в C(X) орбитальных функций группы а, т.е. таких функций, что f (atx) = ei4f(x) при всех (t, x) G T x X.
Например, на единичном шаре X = S' сопряженного пространства E' со слабой* топологией действие однопараметрической группы гомеоморфизмов а = {at | t G T} определяется естественным образом по формуле at(а) = e^ при всех (t, а) G T x X.
Если X — вполне регулярное хаусдорфово топологическое пространство, то пространство орбит XCT = X/а относительно фактортопологии вполне регулярно и, следовательно, точка xo G X функционально отделима в Са(Х) от любого множества А С X, когда замкнутая орбита р(А) не содержит точку xq. Таким образом, для любой инвариантной окрестности a(OXo) = Oxo существует такая функция v G Cа(X), что v(xo) = 1 и v(x) = 0 при всех x G Oxo.
X
ством. Тогда
a) единичный шар S ^сопряженного пространства C 'а (X) является слабо*зам,кнут,ой выпуклой, оболочкой множества ¿(X);
b) крайние точки единично го шара, S^ сопряженного простра нства C 'а (X) содержатся, в слабом*
¿(X);
c) если пространство X компактно, совокупность край них точек ex(S 'а) единичного шара, S 'а С C'а (X) совпадает, с образом ¿(X).
Доказательство. Рассмотрим множество ¿(X) всех функционалов ¿x(v) = v(x) на пространстве Cа(X) Ясно, что ¿(X) С S^. Поскольку шар S^ выпуклый и слабо*замкнутый, то он содержит выпуклую слабо*замкнутую оболочку: cü(<S(X)) С S'a. Пусть функционал а ф a5(ö(X)). Тогда по теореме отделимости выпуклого слабо*компактного множества cü(<S(X)) от точки а существуют такие константы с1 ,с2 > 0 и такая функция v G Cи(X), что ^(v) < с1 < с2 < ^(v) при всех x G X. Следовательно, ||г>|| = ||Э?г>|| < С\ и ||о;|| = ||3?о;|| > c2/ci > 1. Отсюда cö(<5(X)) = S'a, и, значит, по теореме обращения Мильмана все крайние точки ex(S^) единичного шара S^ содержатся в слабом* замыкании ¿(X).
Предположим, что X компактно и öx = (1 — ¿)а + tß, где 0 < t < 1 ж а, ß £ S'. Докажем равенство функционалов а = ß = ¿x, если точка x £ X не является неподвижной точкой группы а, т.е. a(x) = x. Пусть v £ Cа(X), ||v|| ^ 1 и v(y) = 0 при всex y £ Ox из некоторой инвариантной окрестности Ox. В силу вполне регулярности X существует такая функция u £ Ca(X), что ||u|| ^ 1, u(x) = 1 и u(y) = 0 при всех y / Ox. Тогда (1 — t)а(u)+tß(u) = u(x) = 1. Отсюда имеем равенство Ка(и) = Kß(u) = 1 и, следовательно, а(и) = ß(u) = 1. Точно так же получим а^ + v) = ß(u + v) = 1. Таким образом, а^) = ß(v) = 0.
Пусть теперь функция v £ Ca(X), ||v|| ^ 1 и ¿x(v) = 0. Тогда для каждого числа n £ N существует такая инвариантная окрестность £/" С X точки х, что \v(y)\ < 1/п при всех у £ £/". Выберем инвариантную окрестность Vx точки х так, что Vx С Ux. Тогда в силу нормальности X по теореме Урысона существует такая функция vn £ Ca(X) что ||vn|| ^ 1/n, vn(y) = v(y) при всех y £ V£ и vn(z) = 0 при всех z / U^. Поэтому lim ||v — vn|| = 0 ||v — vn|| ^ 1. Следовательно, то доказанному выше а^ — vn) = ß(v — vn) = 0. Наконец, переходя к пределу, имеем а^) = ß(v) = 0. В результате мы доказали включение ядер функционалов: ker ¿x С ker а П ker ß. Отсюда легко получается равенство а = ß = öx.
X S' С C' (X)
находится во взаимно однозначном соответствии с теми точками x £ X, которые имеют период 2п, т.е. за исключением неподвижных точек группы a(x) = x. Следовательно, каждый максимальный конус P С C'(X) на котором норма аддитивна, определяется уравнением !Rv(x) = ||v||, где a(x) = x. Заметим также, что слабое* замыкание образа ¿(X) вполне регулярного пространства X может содержать нуль (например, в случае, когда X некомпактно или когда группа а имеет неподвижные точки).
Определение. Подпространство M С N нормированного пространства N, являющегося подпро-C(X)
странством в N, если для любой точки xo £ X и замкнутого множества A С X, не содержащего xo / A, таких, что существует функция u £ N, удовлетворяющая неравенству
Ku(x0) > sup \u(x)\ (||u|| = Ku(x0) > sup \u(x)\), xeA xeA
существует функция v £ M, удовлетворяющая этому же неравенству:
Kv(x0) > sup \v(x)\ (||v|| = Kv(x0) > sup \v(x)\). xeA xeA
E
C' (X)
определенном на вполне регулярном пространстве X с непрерывной однопараметрической группой a
X
единичного шара, S' С E' сопряженного пространства E', наделенного слабой* топологией.
S E
пактом в слабой* топологии и, значит, обладает свойством нормальности [7, с. 147]. По теореме Урысона
XS вполне регулярным, и в силу предложения 1 каноническое отображение J : E ^ Cа(X) взаимно однозначно и изометрично, т.е. имеет место равенство || Je|| = ||e|| при всех e £ E, где Je = öe — функционал
X J(E) С C' (X)
C' (X)
Пусть функционал 7 £ X является крайней точкой минимальной грани Tp, т.е. !Ry(v) = qx(v) при всех v £ P, и предположим, что он не принадлежит слабому* замыканию орбиты множества A С X: Y £ a(A). Так как функциопал 7 £ ex(S') является крайней соткой единичного шара S', а множество a(A) слабо*компактно, то в силу теоремы обращения Мильмана слабо*замкнутая выпуклая оболочка Co(a(A)) С S' не содержит функционал 7. Следовательно, по теореме отделимости точки от сла-бо*замкнутого выпуклого множества [8, с. 452] существует такой элемент e £ E, что
Ue(7) = ^7(e) > sup ^(e) = sup ^(e) = sup ^(а)\.
aecö(a(A)) aEä(A) a^A
J(E) С C' (X)
Предложение 6. Если подпространство M С Cа (X) является вполне регулярным, то всякий конус вида Px = {v £ M \ Kv(x) = ||v||}; где x £ X и ax = x, является максимальным конусом в подпространстве M, на котором норма аддитивна, т.е. выполняется включение Px £ W(M).
Если, кроме того, пространство X является компактным, то всякий максимальный конус P G W(M) на котором норма аддитивна, принимает вид P = Px при некотором x G X, не являющемся
а
Px
существует такой элемент vo / Px, который удовлетворяет условию аддитивности ||vo + v|| = ||vo|| + ||v|| при всех v G Px, где x G X и ax = x. Заметим, что замкнутое множество вида B = {y G X | |vo(y)| = ||vo||} инвариантно: a(B) = B и не содержит точку x, поскольку иначе элемент e-itvo при t = argvo(x)
Px
||vo + e-itvo| = ||vo|| + |e-itvo| , t = 0 (mod 2п).
Выберем инвариантную окрестность O(B) = {y G X | |vo(y)| > ||vo|| — eo} множества А так, чтобы она не содержала точку x при некотором eo > 0. Тогда в силу вполне регулярности подпространства M С Cа(X) существует такой элемент v G Px, что Kv(x) = ||v|| ^ |v(y)| + £1 при всех y G O(B) и при некотором e1 > 0. Отсюда получаем неравенство ||vo + v|| < ||vo|| + ||v||, т.е. элемент vo не удовлетворяет условию аддитивности. В самом деле, если y G O(B), то выполняется неравенство
|vo(y) + v(y)| < |vo(y)| + |v(y)| < ||vo|| + ||v|| — £1 ,
а если y / O(B), то — неравенство
|vo(y) + v(y)| < |vo(y)| + |v(y)| < ||vo|| — eo + ||v||.
Предположим теперь, что максимальный конус P G W(M), на котором норма аддитивна, не допускает представления вида Px, где x G X и ax = x. Рассмотрим замкнутые множества Av = {x G X | Kv(x) = ||v||}. Так как по предположению пересечение HveP Av пусто и множество X компактно, то существуют такие элементы v1, vn принадлежащие конусу P, что Пп=1 Avi = 0- Однако в силу аддитивности нормы на конусе P справедливо равенство ^¿=1 ||vi|| = || n=1 v^H- Следовательно, найдутся такая точка x G X и такое число t G T, что |v^(x)| = ||vi|| и arg v^(x) = t при всех i = 1, n. Отсюда следует, что точка y = a-tx принадлежит пересечению Пп=1 Avi) и мы пришли к противоречию.
Предложение 7. Если подпространство M С Cа (X) вполне регулярно, то функционал Майерса, определенный на подпространстве M и ассоциированный с заданным максимальным конусом Px = {v G M | Kv(x) = ||v||} G W(M), принимает вид pPx (v) = Kv(x) при всex v G M, где x G X и ax = x.
Доказательство. Для доказательства равенства ррx (v) = Kv(x) при всех v G M заметим, что на
Px
грани ¿x G Грx, то в силу леммы 1 выполняется неравенство ррx(e) ^ Ke(x) при всех e G M. Докажем обратное неравенство.
Для любых e G M и e > 0 существует такая окрестность Ox точки x G X, что |e(y) — e(x)| < e при всех y G Ox. Так как подпространство M вполне регулярно, то найдется такой элемент v1 G Px, что Kv1(x) = ||v1| ^ |v1 (z)| + ¿1 при всех z G X\a(Ox), не принадлежащих орбите a(Ox), и достаточно малых ¿1 > 0
В силу непрерывности действия однопараметрической группы в пространстве X орбиту a(Ux) достаточно малой окрестности Ux С X точки x G X, такой, что a(x) = x, можно представить в виде прямого произведения (Ux/a) x T. Так как действительная часть равна Kv1(z) = |v1 (z) | cos t, где аргумент t = argfi(z), то, полагая е\ = и -\f 5\/2\\vi\\, мы получим
Kv1(z) = |v 1 (z)| cos t < 11v 11|(1 — 2 sin21/2) < ||v11 — ¿1, £1 < |t| < п/2 .
В случае п/2 ^ |t| ^ п это неравенство очевидно. Следовательно, существует такая окрестность Ux С Ox, что Kv1(z) ^ ||v1| — ¿1 при всех z G a(Ux) \ Ux и достаточно малом 0 < ¿1 < 11v11. Поскольку подпространство M вполне регулярно, то найдутся такие v2 G Px и ¿2 > 0, что Kv2(x) = ||v21 ^ |v2(z)| + ¿2 при всех z G X \ a(Ux). Тогда, полагая v = v1 + v2 и ¿ = min{¿1, ¿2} имеем v G Px и
Kv(z) = Kv1 (z) + Kv2(z) < 11v 11| — ¿1 + ||v2|| < ||v|| — ¿, z G X \ a(Ox);
Kv(z) = Kv1(z) + Kv2(z) < 11v 11| + ||v2|| — ¿2 < ||v|| — ¿, z G a(Ox) \ a(Ux);
Kv(z) = Kv1(z) + Kv2(z) < 11v 11| — ¿1 + ||v2| < ||v|| — ¿ , z G a(Ux) \ Ux .
Выберем число n £ N так, чтобы выполнялось неравенство n^ > 2||e||, тогда получим
||nv|| - Knv(z) = n(||v|| - Kv(z)) ^ n£ > 2||e||, z £ X \ .
Таким образом, при всех z £ X \ мы имеем следующую оценку:
Knv(z) + Ke(z) < ||nv|| — 2||e|| + Ke(z) ^ ||nv|| — ||e|| ^ ||nv|| + Ke(x).
С другой стороны, поскольку |Ke(y) — Ke(x)| < e при всех y £ то выполняется неравенство !Rnv(y) + Ke(y) < ||nv|| + Ke(x) + e при всех y £ Кроме того, взяв t = arg(nv(y) + e(y)), оценим норmv ||nv + e|| величиной
sup |nv(y) + e(y)| = sup !R(nv(a-ty) + e(a-ty)) = sup(!Rnv(z) + Ke(z)). yex yex zex
Соединяя указанные оценки, мы получим ||nv + e|| < ||nv|| + !Re(x)+e. Таким образом, Ae(nv) = ||nv + e|| — ||nv|| < !Re(x)+e. Поскольку величина pазности Ae(nv) по переменной nv £ Px является невозрастающей, а величина e > 0 произвольна, то отсюда вытекает неравенство ррx (e) ^ Ke(x) при всех e £ M.
Теорема 2. Нормированное пространство E над пол ем, F действительных или комплексных чисел тогда и только тогда изом,ет,рично вполне регулярному подпространству в Cа (X) на, вполне регулярном пространстве X с непрерывной однопараметрической группой а гомеоморфизмов, когда существует такое множество Y С ex(S') крайних точек единичного шара, S' С E'; что
a) каждый, элемент множества Y является одноточечной минимальной гранью шара S';
b) множество Y является инвариантным a(Y) = Y относительно действия группы а;
c) слабо*зам,кнутая, выпуклая оболочка множества Y совпадает с шаром со(Y) = S'. Доказательство. Необходимость. В силу предложения 2 (см. также замечание) условия теоремы 2
будут равносильны существованию такого множества Y С S' функцпопалов а £ E', являющихся одноточечными минимальными гранями шара S' и имеющих действительную часть Ка = рр, где P £ W(E) есть некоторый максимальный конус в Е, что cr(Y) = Y и co(Y) = S'.
Пусть I : E ^ C(X) — линейная изометрия на вполне регулярное подпространство M функций из CCT(X), определенных на вполне регулярном пространстве X. Тогда в силу вполне регулярности для каждой точки x £ X, a(x) = ж, найдется такой элемент v £ E, что KIv(x) = ||Iv|| = 1. Следовательно, образ функционала Дирака при сопряженном отображении I' : C^ (X) ^ E' имеет норму 1 при всех ж £ X а(ж) = x. Обозначим этот функционал через ax = Тогда при всех x £ X, а(ж) = x, по предложению 6 множество
P= {v £ E | Kax(v) = ||v||} = {v £ E | KIv(x) = ||Iv||} £ W(E)
E
равенство рр ax (v) = Kax(v) при вс ex v £ E. Тогда в силу линейности функционал ов Майерса рр ax множество Y = {ax = | x £ X, a(x) = x} состоит из одноточечных минимальных граней единичного шара S', а так как отображение I является изометрией, то при всех e £ E выполняется равенство
||e|| = ||Ie| = sup |Ie(x)| = sup KIe(x) = sup Kax(e). xex xex xex
Следовательно, по предложению 1, d слабо*замкнутая выпуклая оболочка co(Y^нa S'. Таким образом, все указанные условия теоремы выполнены.
YS 7 £ Y не принадлежит слабому* замыканию W(A) орбиты множества А С Y. Для того чтобы доказать, что образ J(E) С Cа (Y) канонического отображения J(x) = является вполне регулярным подпространством в CCT(Y), нам нужно установить существование такого элемента e £ E, что выполняется неравенство
||e|| = К7(e) > sup Ka(e) = sup | Je(a)|.
a€a(A) a^A
e £ E e £ E
||e|| = 3?7(e) = suPq,^^) Ша(е). В частности, это должно быть верно для всех элементов е £ Р7.
Рассмотрим экстремальное множество S' (e) = {а £ S' | Ka(e) = ||e||} вектор a e £ P 7. Используя слабую* компактность множества р(А), выберем функционал а £ W(A) так, чтобы 3ffa:(e) = ||е||, т.е.
пересечение £'(ё) П<т(А) ф 0. Так как это верно для всех элементов е £ Р7, то система множеств {^'(е) П a(A) | e G Р7} является центрированной. В самом деле, если e = e¿) гДе e¿ G Р7, то e G Р7 и
(e) = ПП=1 (e¿) Отсюда получим, что
S'(e)na(A) = f] »'(ег)Па(А)/0. i=1
Таким образом, в силу слабой* компактности /р П <т(А) ф 0. Однако это противоречит тому, что Гр = {7} и 7 ^ Следовательно, если множество Y удовлетворяет указанным условиям, то J(E)
является вполне регулярным подпространством в Cа (Y).
Изометричность пространств пространству C (X). В действительном случае Арене и Келли доказали критерий изометричности банахова пространства пространству C(X) непрерывных функций на компакте X. Мы докажем аналогичный критерий для пространств комплекснозначных непрерывных функций.
Теорема 3. Нормированное пространство E над пол ем, F действительных или комплексных чисел тогда и только тогда изом,ет,рич,н,о вполне регулярному подпространству в Cа (X) на, некотором хаусдорфовом компакте X с непрерывной однопараметрической группой а гомеоморфизмов, когда выполняется одно из следующих условий:
a) каждый функционал Майерса является линейным над полем R и множество всех функционалов Майерса Y = (pp | Р G W} (млм множесmeo Y U 0) является слабо*компактным в действительном сопряженном пространстве KE';
b) каждая, минимальная грань единичного шара, S' является крайней т,оч,кой, и множество ex(S') всех крайних точек шара, S' (или множество ex(S') U 0) является слабо*ком,пакт,ным, в сопряженном
E
Доказательство. Предположим далее, что I : E ^ Cа(X) является изометричным отображением на вполне регулярное подпространство M = I(E) С Cа(X), где X — компактное хаусдорфово пространство.
Поскольку прообраз I'-1(A) П S^ непустого экстремадьного подмножества A С S' единичного шара S' при сопряженном отображении I' : C'а (X) ^ E' является по теореме Хана-Банаха экстремальным подмножеством единичного шара S^ сопряженного пространства C'а (X), то в силу теоремы Крейна-Мильмана каждая крайняя точка шара S' является образом некоторой крайней точки шара S^, т.е. имеют место включения ex(S') С I'(ex(S^)) С I'(¿(X)).
В силу теоремы 2 каждый функционал вида ах = I'¿x, где а(ж) = ж, является одноточечной минимальной гранью шара S' и его действительная часть совпадает с функционалом Майерса: Каж = ppа , где Рах С E есть максимальный конус, на котором норма аддитивна. Поэтому справедливы следующие равенства:
(ал = I'¿x | а(ж) = ж} = (а | Ка = Pp, Р G W} и (I'4 | а(ж) = ж} = (0}.
Таким образом, если группа а не имеет неподвижных точек, то множество X гомеоморфно множеству ex(S'), a если группа а имеет неподвижные точки, то X при отождествлении всех неподвижных точек гомеоморфно множеству ex(S') U 0, т.е. выполняются условия а и Ь. С другой стороны, если выполнено одно из этих условий, то по теореме 2 образ канонического отображения J : E ^ Cа(X) является вполне регулярным подпространством в Cа(X), где X обозначает слабо*компактное множество, равное ex(S') или ex(S') U 0.
Предложение 8. Пусть E — банахово пространство и множество Y С S' состоит из всех крайних точек минимальных граней единичного шара, S' С E' сопряженного пространства E'.
Тогда, пространство E в том и только в том случае изометрично пространству Cа (X) на, некотором хаусдорфовом компакте X с непрерывной однопараметрической группой а гомеоморфизмов, когда выполнено одно из следующих условий:
a) для каждой системы максимальных конусов (РС W(E), для которых пересечение П«еА Р« равно нулю, существуют т,а,кие сет,и (аП}, (а^} С A и число t = п (mod 2п); что имеет место равенство lim(pP , (v) + pP „ (eit:v)} = 0 при всex v G E;
an an ___
b) для каждого подмножества А С Y, для которого при всех t ф 0 (mod 2-/г) пересечение А П Cí(A) слабых* замыканий множеств A u at(A) является пустым множеством, пересечение соответствующих максимальных конусов П«еА Р« ме Р°'вно нулю;
c) для каждого подмножества А С Y, для которого при всех t ф 0 (mod 2п) пересечение А П Cí(A) слабых* замыканий множеств A и at(A) является пустым множеством, существует такой ненулевой элемент e G E; что Ка^) = ||e|| при всех а G A;
(1) пространство Е канонически изометрично пространству Са(Х) на слабо*компактном множестве X = Y, совпадающем, со слабым* замыканием множества Y в простра, нет ее Е'.
Доказательство. Всякий максимальный конус P в пространстве E = Cа (X), на котором норма аддитивна, определяется некоторой точкой x £ X, a(x) = x, т.е. допускает представление Px = {/ £ CCT(X) | К/(x) = ||/1|}. Поэтому если некоторое множество A С X таково, что оно не имеет неподвижных точек группы а и пересечение ПхеА PX Равно нулю, то множества A и at(A) не могут иметь непересекающиеся слабые* замыкания А и a¿(А) при всех t ф 0 (mod 2-/г).
В самом деле, предположим обратное, т.е. А П <Tt(A) = 0 при всех t ф 0 (mod 2-/г). Так как орбиты <т(ж) различных точек ж £ А не пересекаются, то, применяя теорему продолжения Брауэра-Урысона [7, с. 134] (к модулю и аргументу в комплексном случае), построим такую непрерывную функцию g £ С(Х) с нормой ||g|| = 1, что выполняется равенство g{utx) = elt при всех (t,x) £ Т х А. Тогда функция
/(ж) = ^ J^ е~ид{агх) dt (j(x) = 9^ в случае F = м)
принадлежит пространству Са(Х) и ж) = ||/|| = 1 при всех ж £ А. Отсюда следует, что пересечение ПхеА PХ = 0, и мы получили противоречие.
Поэтому существует такое число t ф 0 (mod 2-/г), что пересечение А П a¿(А) непусто, и, значит, найдутся такие сети {ж^}, {ж^} С A, чт0 limжП = lim аx^- Таким образом, в силу предложения 7 и свойства орбитальности функций v £ CCT(X) будет выполняться равенство lim{p>p , (v) + рр „ (ei(t+n)v)} = 0, так
xn xn
как
lim Kv(x^) = lim Kv(atx^) = — lim Kv(at+nx^).
Пусть теперь пространство E обладает свойством а и конус P £ W является максимальным. Рассмотрим систему максимальных конусов P | t £ [0, 2п)}. По условию а найдутся такие сети {t^}, {tn} С T и число t = п (mod 2п), что lim{pp(e-itnv) + рр(ei(t-tn)v)} = 0 при всех v £ E. Поэтому, выбирая сходящиеся подсети, получим равенство рр(e-it'v) + рр(ei(i-i")v) = 0 при всех v £ E. Следовательно, в силу предложения 2, d справедливо равенство eit: P = — ei(t -t)P. Отсюда t' = t'' — t + п (mod 2п) и Pp(v) = —рр(—v) при всех v £ E. Поэтому всякий функционал рр является линейным. По теореме 2 пространство E изометрично вполне регулярному подпространству в Cа (Y), а по предложению 6 конус вида Pа = {v £ E | Ka(v) = ||v||} является максимальным конусом в E при всех а £ Y.
Пусть множество А С Y таково, что пересечение А П <Tt(A) = 0 при всех t ф 0 (mod 2-/г). Если пересечение соответствующих конусов П«еА P« Равно нулю, то в силу условия а существуют такие сети {аП}, {аП} С A и такое число t = п (mod 2п), что lim{рP , (v) + рP „ (ei4v)} = 0 при всех v £ E. Согласно
an an
предложению 7, lim КаП^) = — lim SRa^e^ v) для всех v £ Eh, следовательно,
а = lim a'n = lim ei(i+7r)a" £ А П (xt+7r(A),
что невозможно по предположению. Таким образом, будет справедливо свойство Ь, из которого немедленно следует свойство с.
X
множества Y в пространстве E' и функция / £ C(X) имеет норму ||/1| = 1. Определим множество Ai = {а £ X | |/(а)| ^ 1/3, arg /(а) = 0}. Так как Ai удовлетворяет условию с, то существует такой элемент ei £ Б, что а(в1) = ||ei|| = 1 при всех а £ Ai. Тогда непрерывная функция /i = / — ¿ei/3 имеет норму ||/i| = 2/3, поскольку выполняются неравенства
КД(а) = К/(а) — Ка^)/3 < cos t — cos t/3 < 2/3 , а £ at(Ai),
ВДа) = К/(а) — Ка(е!)/3 < |/(а)| + |а(el)|/3 < 2/3 , а £ X \ a(Ai).
Аналогично множество A2 = {а £ X | | /i (а) | ^ 2/32, arg /l(а) = 0} удовлетворяет условию с и суще-ствовует такой элемент е2 £ Б, что а(е2) = ||ei || = 1 при всех а £ A2. Тогда непрерывная функция /2 = /i — 2£ез /32 имеет норmv 11 /21 = (2/3)2. Продолжая эти построения, получим последовательность элементов {en} С Б, которая обладает следующими свойствами:
||/n|| =
2«-i /га—1 '
n 2fc-i
f ~ ~з~^ k=i
2n
n £ N.
e
n
Отсюда заключаем, что образ канонического отображения J : Е ^ Cа(X) является всюду плотным подпространством в Ca(X), и, следовательно, в силу полноты E оно изометрично пространству Ca(X).
E
если для каждой системы максимальных выпуклых подмножеств {Va }aeA границы единичного шара dS с E, у которых пересечение П«еА Va пусто, существуют такие две сети {а^}, {аП} С A и число t = п (mod 2п), что выполняется равенство lim{p(u, Van ) + p(ei4u, Van)} = 2 при всex u G S, гдe p(u, V) обозначает расстояние от точки u G E до множества V С E.
E
точно, чтобы выполнялось одно из эквивалентных условий предложения 8.
Доказательство. Если P G W — максимальный конус, на котором норма аддитивна, то V = P П dS
является максимальным выпуклым подмножеством границы шара dS. Для вс ex u G Ей v,w G P мы имеем ||w + u|| — ||w|| ^ ||w + v|| — ||u — v|| — ||w|| = — ^u — v||, и, в частности, это верно для всех элементов v G V. Таким образом, справедливо неравенство рр(u) ^ 1 — p(u, V) для всех u G Е. С другой стороны, легко видеть, что выполняется неравенство рр(u) ^ р(—u, V) — 1 при всех u G Е.
Предположим теперь, что выполнено свойство (А). Если система максимальных конусов {Pa}aeA С W имеет пересечение П«еА Pa = 0 и при этом множества Va = Pa П dS образуют соответствующую систему максимальных выпуклых подмножеств границы шара d S, то их пересечен ие П«еА Va пусто. Следовательно, существуют такие сети {а^}, {аП} и число t = п (mod 2п), что
lim{p(u, Van) + p(eitu, Va//)} = 2 , u G S.
Отсюда заключаем, что для любого е > 0 существует такой индекс ие, что при всех n ^ ие имеют место неравенства
p(u, V«n) + p(ei4u, V«n) < 2 + е, p(—u, V«;) + p(—ei4u, V«n) < 2 + е. Поэтому, применяя эти неравенства, при всех n ^ ие мы получим
Ppa (u) + ррa„ (ei4u) ^ 1 — p(u, Va'n) + 1 — p(ei4u, Vaii) > —е,
рра, (u) + рр (ei4u) < p(—u, Van) — 1 + p(—'e<iu, Van) — 1 < е. Таким образом, отсюда следует равенство lim{pp , (u) + рр „ (ei4u)} = 0, т.е. выполняется условие а
an an
предложения 8. Докажем теперь обратное утверждение, т.е. что из а следует свойство (А). В силу предложения 8 пространство Е можно считать равным Cа (X).
Каждый максимальный конус P G W в пространстве Е = Cа (X) определяется некоторой точкой x G X, т.е. принимает вид Px = {v G Ca(X) | !Rv(x) = ||v||}. Поэтому всякое максимальное выпуклое множество границы единичного шара допускает представление Vx = Px П dS. Тогда очевидно, что будет выполнено неравенство p(u, Vx) ^ 1 — Ku(x) при вс ex u G Sa. Для доказательства равенства мы можем считать, что 0 < Ku(x) < 1. Ясно, что непрерывная функция
v(y) = 1 ,it
u(y) + (1 — Ku(x))ei4, если |u(y)| ^ !Ru(x) и t = argu(y); ei4, если |u(y)| > !Ru(x) и t = argu(y),
принадлежит пространству Ca(X), имеет норmv ||v|| = Kv(x) = 1 и удовлетворяют равенству ||u — v|| = 1 — !Ru(x). Таким образом, справедливо равенство p(u, Vx) = 1 — Ku(x) при всех u G Sa.
Предположим теперь, что множество A С X таково, что пересечение HxeA Vx пусто, тогда множества А и a¿(А) не могут иметь непересекающиеся слабые* замыкания при всех t ф 0 (mod 2-/г). В самом деле, если это не имеет места, то орбиты а(х) различных точек х £ А не пересекаются. Применяя теорему продолжения Брауэра-Урысона [7, с. 134] (к модулю и аргументу в комплексном случае), построим такую непрерывную функцию g £ С(Х) с нормой ||д|| = 1, что выполняется равенство g{utx) = elt при всех (t, х) £ Т х А. Поэтому функция
f(x) = ^ J^ е~ид(^х) dt (j(x) = 9в случае F = м)
принадлежит пространству Са(Х) и = ||/|| = 1 при всех ж £ А. Отсюда Р|xej\Vx ф 0, и мы
имеем противоречие с нашим предположением. Следовательно, существует такое число t = 0 (mod 2п),
n
что пересечение А П (7t(А) непусто. Поэтому найдутся такие сети {ж^}, {ж"} С А, что Нтж^ = Итсг^ж" и соответствующие множества {VXn } и {VXn } удовлетворяют равенству
lim{p(u, ) + p(ei(t+n)u, VXn)} = lim{2 - Ku^) + Ku^)} = 2
при всех u G S. Таким образом, имеет место условие (А).
Предложение 9. Пусть банахово пространство E обладает, свойством (А) и элемент е G ex(S) является крайней точкой единичного шара, S С E. Тогда,
a) каждый элем,ент, v G E принадлежит множеству вида Ut = {u G E | ||u + erfe|| = ||u|| + 1}, t G T;
b) все элементы максимально го конуса P G W принадлежат, одном,у из м ножеств Ut; t G T;
c) для всякого максимального конуса P G W существует такое единственное число t G T (mod 2п); что elte G P.
Доказательство. Заметим, что по условию (А) пространство E изометрично пространству CCT(X) и крайней точке е G ex(S) соответствует функция е(ж) G CCT(X), являющаяся крайней точкой единичного шара SCT. Тогда |е(ж)| = 1 для всех ж G X, таких, что а(ж) = ж. Отсюда, в частности, следует, что либо группа а не имеет неподвижных точек, либо они образуют изолированное множество на компакте X. Так как для каждой функции u G C а (X) величина нормы эле мента u + eite равна
||u + eite| = sup K{u^) + e^e^)} = sup{^(ж)| cos(argu(ж))+cos(t + argе(ж))} , xex xex
то u G Ut тогда и только тогда, когда существует такая точка жо G X, что ^(ж0)| = supxex ^(ж) |, argu^o) = t + argе(ж0) = 0 (mod 2п), и при этом а(ж0) = жо- Поэтому каждая функция u G CCT(X) принадлежит одному из множеств Ut, t G T. Однако невозможно, чтобы максимальный конус P G W содержался в Uto и для некоторого элемента u G P существовало такое число t = to (mod 2п), чтобы он находился одновременно в Ut. Действительно, если это имеет место, то выполняется включение eitoе G P, что противоречит eito е G Ut.
Предположим теперь, что найдется такой элемент u G P, который принадлежит Uto, но не принадлежит Ut при всех t = to (mod 2п). Тогда для всякого v G P мы получим строгое неравенство
||u + v + eite| ^ ||u + eite| + ||v|| < ||u|| + ||v|| + 1 = ||u + v|| + 1,
т.е. u + v / Ut при всех t = t0 (mod 2п), и, следовательно, u + v G Uto. Поэтому справедливо неравенство
||u|| + ||v|| + 1 = ||u + v|| + 1 = ||u + v + eitoe|| ^ ||u|| + ||v + eitoe||.
Отсюда ||v + eito e|| = ||v|| + 1 и, следовател ьно, v G Uto. Таким образом, выполняется включение P С Uto. В частности, отсюда получаем, что функционал Майерса равен р>р(eitoе) = 1 и, следовательно, eitoе G P. Включение eite G P при некото ром t = t0 (mod 2п) невозможно, так как |eite + eito е|| = 2.
E
C(X)
фовом компакте X, когда единичный шар S С E имеет крайнюю точку е G ex(S) и выполнено одно из эквивалентных условий предложения 8 или свойство (А).
Доказательство. Необходимость. Заметим, что функция е G C(X), модуль которой равен единице при всех ж G X, является крайней точкой единичного шара в C(X). Следовательно, поскольку пространство C(X) изометрично пространству Cа(eiT х X), где ат(eit, ж) = (ei(T+t), ж) при всех т, t G T и ж G X, то выполняется каждое из эквивалентных условий предложения 8 и свойство (А).
Достаточность. Если единичный шар S в пространстве E имеет крайнюю точку е G ex(S) и вы-
E
Cа (X), где X является слабым* замыканием множества крайних точек единичного шара S' С E'. При этом в силу теоремы 3 и предложения 9 для каждой крайней точки a G ex(S') найдется такое число t G T, что Keita(e) = 1. Следовательно, функционал a будет принадлежать одному из непересекающихся слабо*замкнутых множеств Xt = {a G X | Keita(e) = 1} Так как имеют место равенства aTXt = XT+t и UteT Xt = X, то простран ство C а (X) изометрично простр анству C (X0) на слабо*компактном множе-X0
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 12-01-00169).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Myers S.B. Banach spaces of continuous functions // Ann. Math. 1946. 49, N 1. 132-140.
2. Arens R.F., Kelley J.L. Characterizations of the space of continuous functions over a compact Hausdorff space // Trans. Amer. Math. Soc. 1947. 62. 499-508.
3. Jerison M. Characterizations of certain spaces of continuous functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1951. 70. 103-113.
4. Бурбаки H. Топологические векторные пространства. M.: IL L 1959.
5. Дей М.М. Нормированные линейные пространства. М.: ИЛ, 1961.
6. Келли Дж. Общая топология. М.: Наука, 1981.
7. Хаусдорф Ф. Теория множеств. М.: КомКнига, 2006.
8. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Т. I. М.: ИЛ, 1962.
Поступила в редакцию 02.05.2012
