CC BY
9Теорема 5. Пусть / е БИ (р,аьа2,въ АО, Р = {рър}, q = {91,92} 1 ^ Рг < 9г ^ го, г = 1, 2,
1 1 „1 1 „ ( 1 ( 1 1 N а2 - в2 ( 1 1 99 ---< «1 < /?ь---< /?2 < «2, 02 = 1 - —---+ -Цг---->0,
Р1 91 Р2 92 \а2 \Р2 92/ а2в1 \Р1 91//
а1=а1-(---),а*2 = а202, # =/3,- (---), /?* =/32- (---).
Р1 91 Р1 91 Р2 92
Тогда / е БИ (^а!,а2
Доказательства теорем 3-5 аналогичны доказательству теоремы 2 и поэтому не приводятся. Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 13-01-000043) и программы "Ведущие научные школы РФ" (проект 11111 ОТО 2012 1).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Никольский С.М. Функции с доминирующей смешанной производной, удовлетворяющей кратному условию Гель-дера // Сиб. матем. журн. 1963. 4, № 6. 1342-1364.
2. Бахвалов Н. С. Теоремы вложения для классов функций с несколькими ограниченными производными // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1963. № 3. 7-16.
3. Лизоркин П.И., Никольский С.М. Классификация дифференцируемых функций на основе пространств с доминирующей смешанной производной // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1965. 77. 143-167.
4. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. 2-е изд. М.: Наука, 1977.
5. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975.
6. Кудрявцев Н.Л. О приближении функции целыми функциями экспоненциального типа и теоремах вложения в смешанной норме // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1984. 170. 191-202.
7. Потапов М.К. Приближение "углом" и теоремы вложения // Math. balk. 1972. 2. 183-198.
8. Потапов M.K. Теоремы вложения в смешанной метрике // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1980. 156. 143-156.
9. Ульянов П.Л. Теоремы вложения и соотношения между наилучшими приближениями (модулями непрерывности) в разных метриках // Матем. сб. 1970. 81(123). 104-131.
Поступила в редакцию 28.05.2012
УДК 517
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ТОПОЛОГИИ ОТНОСИТЕЛЬНО РАВНОМЕРНОЙ И ПОРЯДКОВОЙ СХОДИМОСТИ ИНДУКТИВНЫМ ПРЕДЕЛОМ
В.М. Федоров1
В статье с использованием понятия топологического аффинного пространства доказывается, что топологическое полуупорядоченное линейное пространство, ассоциированное с относительно равномерной и порядковой сходимостью, можно представить индуктивным пределом его подпространств.
Ключевые слова: относительно равномерная и порядковая сходимость.
Using the concept of a topological affine space, it is proved that a partially ordered topological linear space associated with relatively uniform and order convergence can be represented by an inductive limit of its subspaces.
Key words: relatively uniform and order convergence.
Введение. В полуупорядоченном линейном пространстве E можно ввести много различных топологий, которые представляют интерес в том смысле, что задаются при помощи отношения полупорядка.
1 Федоров Владимир Михайлович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vferdorovQrambler.ru.
Такими являются две основные топологии полуупорядоченного пространства тг и т0, ассоциированные соответственно с относительно равномерной и порядковой сходимостью. Эти топологии, вообще говоря, не согласованы с линейной структурой. Поэтому мы определяем в линейном пространстве Е аффинную топологию, в которой могут быть разрывными операции сложения и умножения на число по совокупности
Е
тельный клин Р С Е порождающий, то топологии относительно равномерной и порядковой сходимости являются аффинными.
Основная наша задача — построение таких линейных подпространств Ег С Е, для которых топо-
Е
архимедово полуупорядоченное пространство Е в топологии тг относительно равномерной сходимости есть индуктивный предел полунормированных подпространств, а в топологии т0 порядковой сходимости — индуктивный предел подпространств с локально интервальной топологией, имеющей выпуклую базу окрестностей нуля. Одним из следствий этого утверждения является доказательство порядковой (фактор) звездности указанных топологий.
Е
действительных чисел К определен клин Р С Е, т.е. выпуклое коническое множество, в котором 2 = Р П (—Р) является наибольшим подпространством. Рефлексивное и трапзитивное отношение х ^ у, равносильное условию у — х € Р, называется полупорядком. Оно согласовано с линейной структурой про-
ЕЕ полуупорядоченным пространством. Отношение эквивалентности х ~ у, равносильное двум неравенствам х ^ у и у ^ х, определяет подпространство 2 С Р как множество элементов, эквивалентных нулю. Далее мы полагаем, что элемент х > 0 строго положителен, если х ^ 0 не эквивалентно нулю, т.е. х € Р \ 2.
Множество положительных элементов х ^ 0 полуупорядоченного пространства Е образует положительный клин Р. Если клин Р С Е является конусом,, т.е. если его наибольшее подпространство 2 = 0
Е Е
[2, с. 71].
Если линейное пространство Е = ЛЕг является прямым произведением полуупорядоченных пространств Ег, г € /, с положительными клиньями Рг С Ето пространство Е становится полуупорядоченным пространством, ассоциированным с прямым произведением положительных клиньев Р = ЛР Его подпространство Ео = 52Еравное прямой сумме полуупорядоченных подпространств Е^, также является полуупорядоченным пространством, ассоциированным с прямой суммой положительных клиньев Р о = 52 ге1 Р г.
Говорят, что множество А С Е мажорирует {минорирует) множество В С Ев полуупорядоченном пространстве Е, если для каждого х € В существует такой элемент у € А чт0 х ^ у (х ^ у). Множество АЕ
А С Е
Р
Е
медовым, если из условий х, у € Е и пх ^ у при всех п € N следует неравен ство х ^ 0. Ясно, что
Е
Р
естественной топологии на этой плоскости. Свойство архимедовости равносильно также линейной замкну-
РР
на этой прямой [1, с. 38].
Порядковым, интервалом в пространстве Е называется множество [х,у] = (г € Е | х ^ г ^ у}. Если неравенство х ^ у не выполняется, то порядковый интервал образует пустое множество [х, у] = 0. Вся-
[х, у]
[—х, х]
А С Е Е
рядковом интервале А С [х, у]. Положительный элемент е > 0, для которого порядковый интервал [—е, е] поглощающий, называется порядковой единицей. Элемент е > 0 образует порядковую единицу тогда и
Р
Множество А С Е называется порядково выпуклым,, если при всех х, у € А выполняется включение [х,у] С А. Множество еу(А) = ижу€а[х,у] = (А + Р) П (А — Р), которое совпадает с пересечением всех
ЕА
множества A С E. Если множество A С E является линейным подпространством, то порядково выпуклая оболочка cv(A) совпадает с суммой cv(A) = A+st(A), где st(A) = (Ja[—■ж, ж] — симметричная порядковая звезда множества A С E. Легко видеть, что st(A U B) = st(A) U st(B) и st(AA) = Ast(A) при A > 0.
Топологические аффинные пространства. Пусть E — полуупорядоченное пространство. Множество A С E называется направлением по убыванию (возрастанию), если для любых ж, y е A существует такой элемент z е A, что z ^ ж, y (z ^ ж, у).
Сетью S = {s^}^/ в пространстве E называется функция S : I — E, определенная на некотором направленном множестве индексов I и принимающая значения S(i) = si е E при всех i е / в пространстве E
Сеть S = {si}ie/ называется возрастающей (убывающей), если функция S : I — E является возрастающей (убывающей), т.е. имеет место Si ^ Sj (si ^ sj) при всex i ^ j.
Будем говорить, что направление A С E мажорирует (минорирует) сеть S = {si}ie/, если для каждого а е A найдется такой индекс ia е I, что si ^ a (si ^ а) при всех i ^ ia.
Сеть S С E называется порядково сходящейся (или о-сходящейся) к точке lim S = ж (mod Z), если A С E S B С E
нию, минорирующее сеть S, такие, что inf A = supB = ж (mod Z).
Пусть т0 обозначает порядковую топологию полуупорядоченного пространства E, т.е. такую сильнейшую топологию в пространстве E, для которой всякая порядково сходящаяся сеть S С E топологически E
Сеть S С E называется относительно равномерно сходящейся, (или r-сходящейся) к точке lim S = ж (mod Z), если существуют положительный элемент a е P и направление положительных чисел Л С R+ по убыванию, имеющее нижнюю грань inf Л = 0, такие, что направление Ла мажорирует сети ±(S — ж).
a е P r
сходимостью с регулятором [3, с. 167].
Пусть тг обозначает относительно равномерную топологию пространства E, т.е. такую сильнейшую топологию в E, для которой всякая относительно равномерно сходящаяся сеть S С E топологически E
Множество A С E называется замкнутым в топологии тг (т0), если для всякой сети S С E, r-сходящейся (о-сходящейся) к точке ж е E и обладающей подсетью в множестве A, имеет место ж е A. Множество B С E называется открытым, в топологии тг (т0), если его дополнение A = E \ B замкнуто.
B С E ж е B
всякой сети S = {si}ie/ С E, о-сходящейся (r-сходящейся) к этой точке, существует такой индекс k е I, что сечение сети S& = {si}^ содержится в B.
( ) E
P С E и линейной оболочкой L = P — P обозначим через U0r (U0o) систему всех множесте U С E, т,аких, что для всякой сети S = {si}ie/ С E, r-сходящейся (о-сходящейся) к нулю: limS = 0, найдется такой индекс k е I, что сечение S^ = {si}i^fc содержите я в U. Тогда, система мно жесте U0r (U0o) обладает, следующими, свойствами:
(1) для каждого U е U0r (U0o) из включения U С V следует включение V е U0r (U0o);
(2) для любых U, V е U0r (U0o) их пересечение U П V е U0r (U0o);
(3) дм любых U е U0r (U0o ) и A = 0 их произведение AU е U0r (U0o);
(4) каждое множеcm,во U е U0r (U0o) поглощает, любую точку подпространства L;
(5) для любо го U е U0r (U0o) найдется уравновеш енное U е U0r (U0o), такое, ч то U\ С U.
Доказательство этих свойств будет дано одновременно для топологий тг и т0, при этом в случае
порядковой топологии т0 используется свойство архимедовости пространства E.
S
U е U0r (U0o) содержит нуль: 0 е U. Ясно, что для любого U е U0r (U0o) из включения U С V вытекает включение V е U0r (UTo)• Ввиду того что множество индексов сети является направленным, включение U, V е U0r (U0o) влечет U П V е U0r (U0o). А поскольку из r-сходимости (о-сходимости) к нулю сети S следует r-сходимость (о-сходимость) к нулю сети AS при всех A = 0, то из включения U е U0r (U0o) вытекает включение AU е U0r (U0o) при вс ex A = 0.
Пусть ж = у — z е L и у, z е P. Для каждого U е U0r (U0o) множество V = U П (—U) е U0r (U0o). Так как (в силу аримедовости [7, с. 81]) сети yt = ty и zt = tz r-сходятся (о-сходятся) к нулю при t — +0, то сеть ж^ = t^ шже r-сходится (о-сходится) к нулю при t — +0 Следовательно, существует такое е > 0, что [0,е]ж С V. Из симметричности V мы получим [—е,е]ж С V С U. Таким образом, множество U является поглощающим в подпространстве L С E.
Пусть U G U0r (U0o), V = U П (-U) и Ui = {x G U | [-1,1]x С U}. Тогда тожество V G U0r (U0o) симметрично, а множество Ui уравновешенно. Для доказательства Ui G U0r (U0o) покажем, что если сеть S = {sijie/ r-сходится (о-сходится) к нулю lim S = 0, то существует индекс k G I, такой, что выполняется включение [-1,1]S& С U. Пусть A С E — направление по убыванию, мажорирующее сеть S и имеющее нижнюю грань inf A = 0 a B С E — направление по возрастанию, минорирующее сеть S и имеющее верхнюю грань sup B = 0. Обозначим через J множество индексов j = (a, b, c), где a G A, b G B и b ^ c ^ а Пусть j ^ j2, есл и b1 ^ b2 ^ a2 ^ аь Положи м rj = c, если j = (a, b, c). Так как сеть R = {rj} je j порядково сходится к нулю, то существуют такие ai G A и bi G B, что имеет место [bi,ai] С V. Поскольку сеть S = {si}ie/ мажорируется направлением A и минорируется направлением B, то найдется такой индекс k G I, что bi ^ Si ^ ai при всех i ^ k. Отсюда следуют неравенства bi ^ Abi ^ Asi ^ Aai ^ ai при всех 0 ^ А ^ 1 и i ^ k, т.е. [0,1]Sk С [ai,bi] С V. Таким образом, выполняется включение [-1,1]S& С V С U.
E
сто инвариантной), если его линейные операции x — x + xo и x — Aox непрерывны по переменной x G E для всех значений x0 G E и А0 G R [10, с. 444].
E
структурой (или просто аффинной), если операция умножения на число А — Axo является непрерывной по переменной A G R при всех значениях xo G E. Линейное пространство E, в котором определена такая
E
ством [10, с. 446; 11, с. 203].
E
(A, x) - Ax
(0, 0) то совокупности переменных (A,x) G R х E [10, с. 446].
E
странства определяется замкнутым клином P С E, называется топологическим а,ффинным (линейным,) полуупорядоченным, пространством или же просто топологическим полуупорядоченным пространством, если нет путаницы в задании топологии [1, с. 36].
Лемма. Топология, т л,инейного пространства E является локально звездной в том и только в том случае, когда, она, инвариантна, относительно сдвига, и существует база окрест,ноет,ей, нуля, BT, состоящая из уравновешенных и поглощающих множеств.
Доказательство. Пусть топология т в E является локально звездной. Поскольку операции сдвига x — x + xo и растяжения x — Aox при Ao = 0 являются гомеоморфизмами, то топология инвариантна от-
A - Axo
xo G E и для каждой окрестности нуля U найдется такое е > 0, что Axo G U при всех |A| < е, т.е. мно-U
показать, что всякая окрестность нуля U С E локально звездной топологии содержит уравновешенную окрестность нуля. Действительно, в силу непрерывности операции (A, x) — Ax в нуле существуют е > 0 и такая окрестность нуля V, что Ax G U при всех x G V и |A| ^ е. Пусть Ve = {Ax | x G V, |A| ^ е}, тогда eV С Ve С U. Следовательно, Ve является уравновешенной окрестностью нуля, содержащейся в U.
Обратно: так как топология т инвариантна относительно сдвига, то операция x — x + xo непрерывна при всех xo G E. Ввиду того что каждое множество U G Bo является поглощающим, операция A — Axo также непрерывна при всех xo G E. Поскольку каждое множество U G Bo уравновешенно, операция (A, x) — Ax непрерывна в нуле. Наконец, полагая V = ßU, где число ß > 0 удовлетворяет неравенству ß|Ao| < 1, в силу уравновешенности [/получим, что Aox G U при всех x G V, так что операция x — Aox является непрерывной при всех Ao G R. □
( ) E
тельным клином, P С E относительно равномерная (порядковая) топология тг (т0) является сильнейшей локально звездной топологией с системой окрестностей нуля, содержащихся в системе множеств Uf (%") построенной в предложении 1.
Доказательство. Система множеств (Ц0°), определенная r-сходимостью (о-сходимостью), удовлетворяет условиям (1)-(5) предложения 1. Поэтому топология тг (т0) является сильнейшей топологией E
стеме UTr (Uoo) [12, с- 20; 8, с. 115]. Чтобы доказать ее локальную звездность, предположим, что U С E есть открытая окрестность нуля, и покажем, что уравновешенное множество Ui = {x G U | [-1,1]x С U} является открытой окрестностью нуля.
Если xi G Ui, то существует такая окрести ость нуля V С E, что [-1,1]xi + V С U. В самом деле,
если бы это было не так, то для любой окрестности нуля V существовали бы Ау € [—1,1] и уу € V, такие, что Аух1 + уу / и. Значит, существовала бы такая сеть окрестностей (^Ьел чт0 1™ Ау = А € [—1,1] и Иш уу1 = 0. Но тогда Иш(Аух1 + уу1) = Ах1 € и, что невозможно.
По свойству (5) предложения 1 существует такое множество VI € Ц) (^0°), что [—1,1] VI С V. Поэтому [—1,1](х1 + VI) С [—1,1]х1 + V С и и х1 + VI С и1, т.е. х1 — внутренняя точка и^
Ет
жптельный клин Р С Е имеет наибольшее подпространство 2 С Р. Обозначим через 8^А) = Ух, х]
А С Е А С Е
если имеет место включение 8^ А) С А.
Порядково звездной оболочкой множества А С Е (Е) является множество 8Ш(А) = 8t(A) и А. Оно совпадает с пересечением всех порядково звездных множеств (фактор)пространства Е (Е), содержащих А, где Е = Е/2 — факторпространство по подпространству 2.
Инвариантную топологию в полуупорядоченном пространстве Е будем называть порядково (фактор) звездной, если для всякой окрестности нуля и С Е (Е) существует такая окрестность нуля V С Е (Е), что выполняется включение st(V) С и.
В случае если наибольшее подпространство 2 С Р положительного клина Р С Е является тривиальным 2 = 0, это определение порядково (фактор) звездной топологии упорядоченного пространства Е совпадает с определением порядково звездной топологии [8, с. 118].
Е
странством, порядковая (фактор)звездность его топологии будет равносильна порядковой (фактор)вы-пуклости [13, с. 29].
()
Е
(a) дм любой базы В = (и}ге/ окрестностей нуля топологии Е (Е) порядково звездные оболочки (8Ш(иг) | г € I} образуют базу окрест,ноет,ей, нуля, в Е (Е);
(b) существует такая база Э = (V}окрестностей нуля пространства Е (Е) что выполняется включение ) С V} пРи всех 3 € 3;
(c) для любых сетей Б = (8г}ге/ С Е (Е) и Т = (¿г}ге/ С Р (Р) т,аких, ч,то — ¿г ^ ^ ¿г при всех г € I, из сходим,ост,и Т к нулю следует, сходимость Б к нулю в Е (Е).
Предположим, что окрестности нуля и, V С Е (Е) удовлетворяют включению st(V) С и, и пусть В = (иг}ге/ есть произвольная база окрестностей нуля (фактор)топологии Е (Е). Тогда при некотором г € I получим включение и С и П V. Отсюда вытекает, что С 8^и П V) С 8^и) С и, и, следовательно,
выполняется включение 8Ш(и^) С и. Поэтому справедливо свойство (а). Полагая V} = 8Ш(и) при всех 3 € 3 = I, из свойства (а) получим свойство (Ь).
Предположим, что имеет место свойство (Ь). Если сети Б = (5г}ге/ С Е (Е) и Т = (¿¿}ге/ С Р (Е) удовлетворяют условию — ¿г ^ ^ ^ при всех г € I и при этом сеть Т сходится к нулю, то для каждого 3 € 3 существует индекс к € I, такой, что ¿г € V} ПРИ всех г ^ к. Отсюда по предположению имеем Зг € ) С V} при всех г ^ к. Поэтому сеть Б сходится к нулю.
Е
ствовать такая окрестность нуля и С Е (Е), что для всякой окрестноети нуля V С Е (Е) не выполняется включение st(V) С и. Мы можем считать, что множество индексов I упорядочено отношением включения соответствующих элементов базы Э = (^}ге/- Тогда существуют такие точки € 8^^) \ и и ¿г € V П Р, ЧТО —¿г ^ Зг ^ ¿г При ВС6Х г € I. Поэтому сеть Т = (¿г}ге/ сходится К нулю, однако сеть Б = не
Е ( ЕЕ )
Следствие 1. Если топология полуупорядоченного пространства Е является поря,дково (фа,кт,ор) звездной и множество А С Е ограничено в топологии Е (Е) то порядково звездная, оболочка 8Ш(А)
Е (ЕЕ) [— х, х]
Е ( ЕЕ)
Действительно, для всякой окрестности нуля и С Е (Е) (фактор)топологии Е (Е) обозначим через V С Е (Е) такую уравновешенную окрестность нуля, что st(V) С и. Тогда существует такое е > 0, что АА С V при 0 < |А| < е, и, значит, А8Ш(А) = 8^(АА) С 8^^) С и. Отсюда получим, что порядково звездная оболочка 8^(А) является ограничен ной в Е (Е).
Е
ся иорядково (фактор)звездиой в том и только в том случае, когда иорядково звездная оболочка sth(S) единичного шара S С Е (Е) является ограниченнной в пространстве E (ЕЕ). Так как полунормированное пространство Е локально выпукло, то, как было отмечено выше, порядковая (фактор)звездность его топологии равносильна порядковой (фактор)выпуклости.
Порядково ограниченная топология. По аналогии с теорией топологических линейных про-
E
на аффинно-инвариантная топология т. Ясно, что в пространстве Е с инвариантной топологией линейные операции x — x + xo и x — Лож являются гомеоморфизмами по переменной x £ Е при всех значениях xo £ Е и Ло = 0.
Определение. Пусть в линейном пространстве Е задана инвариантная топология. Говорят, что множество А С Е аффинно поглощается множеством B С Е, если существуют число е > 0 и такая точка x0 £ Е, что Л(А — x0) С B при всех |Л| < е. Множество B С Е называется аффинно-поглощающим, если
Е
A С Е Е
ограниченным, если оно аффинно поглощается любой окрестностью нуля U С Е, т.е. если для всякой окрестности нуля U С Е существуют ч исло е > 0 и такая то чка xo £ Е, чт о Л(А — xo) С U при всех |Л| < е.
A С Е Е
т.е. если для всякой окрестности нуля U С Е существует такое число е > 0, что ЛА С U при всех |Л| < е, то оно является также аффинно-ограниченным. С другой стороны, если инвариантная топология Е
операция Л — Лжo непрерывна по переменной Л £ R, то аффинная ограниченность множества А С Е равносильна обычной ограниченности.
Предложение 3. Множество А С Е в линейном пространстве Е с инвариантной топологией является аффинно-ограниченным, тогда и только тогда, когда существует такая точка xo £ Е, что для, любой последовательности точек {xn} С А и для, любой последовательноети чисел {Лп} С R+ сходящейся, к нулю, предел, lim — xo) равен нулю.
А С Е U С Е
существуют число е > 0 и такая точка xo £ Е, что Л(А — xo) С U при всех |Л| < е. Так как для любой последовательности чисел {Лп} С R+, сходящейся к нулю, существует т акое число N £ N, чт о |ЛП| < е при всех n ^ N, то для всякой последовательности точек {xn} С А мы имеем включение A^(xn — xo) £ U при всех n ^ N, т.е. предел lim An(xn — xo) = 0.
АСЕ
точки xo £ Е существуют такая окрестность нуля U С Е и такая последовательноеть чисел {Лп} С R+, сходящаяся к нулю, что Лп (А — xo) ^ U при всех n £ N Следовательно, для любой точки xo £ Е существует такая последовательность {xn} С А, что Лп (xn — xo) £ U при всех n £ Е. Таким образом, получаем, что для любой точки xo £ Е существуют такая последовательность {xn} С А и такая последовательность чисел {Лп} С R+, сходящаяся к нулю, что последовательность {Лп (xn — xo)} не сходится Е
А С Е Е
риваемого случая, является ограниченным в том и только в том случае, когда всякая последовательность его точек {xn} С А ограничена. Поэтому можно ввести понятие секвенциально аффинно-ограниченного
А С Е Е
точек аффинно-ограничена.
Определение. Порядково ограниченной топологией ть полуупорядоченного пространства Е называется сильнейшая инвариантная топология Е, для которой всякий порядковый интервал [а, b] С Е является
Е
Замечание. Множество U £ Е тогда и только тогда является окрестностью нуля порядково ограниченной топологии ть полуупорядоченного пространства Е, когда оно аффинно поглощает всякий порядковый интервал [а, b] С Ей, следовательно, аффинно поглощает всякое порядково ограниченное множество в Е. Поэтому из определения максимальности топологии ть следует, что множество А С Ев том и только в том случае будет аффинно-ограниченным в топологии ть, когда при некотором сдвиге оно становится
Е
В том случае, когда топология ть является локально выпуклой, она совпадает с сильнейшей локально
[а, b] С Е
этом случае ть совпадает с топологией, введенной ранее в [14].
Теорема 2. В полуупорядоченном пространстве E порядково ограниченная топология ть совпадает, с относительно равномерной топологией тГ; т.е. ть = тг.
Доказательство. Если сеть S = {si}i^i r-сходится к точке x G E, то существ уют a G P и направление положительных чисел по убыванию Л = {Ai}i^i С R+, стремящееся к нулю, такие, что Si — x G Ai[—a, a]. Пусть U С E является окрестностью нуля в топологии ть, тогда найдется такое е > 0, что А[—a, a] С U при всех |А| < е. Выберем индекс k G I так, чтобы Ai < е при всех i ^ k. Отсюда получим включение Si — x G U при всех i ^ k. Таким образом, сеть S сходится к точке x в топологии ть. Так как тг является сильнейшей топологией, для которой всякая r-сходящаяся сеть топологически сходится, то тг сильнее ть.
Докажем теперь, что всякий порядковый интервал [a, b] С E аффинно-ограничен в топологии тг. Пусть последовательность точек {xn} С [a, b] и xo = (a + b)/2. Тогда c = (b — a)/2 G P и для любой последовательности положительных чисел {An} С R+, имеющей предел lim An = 0, мы получим включение An(xra — x0) G An[—c, с]. Таким образом, г-предел lim An(xn — x0) равен нулю. Следовательно, этот предел равен нулю в топологии тг, и по доказанному критерию порядковый интервал [a, b] аффинно-ограничен в топологии тг. Так как ть — сильнейшая топология, для которой всякий порядковый интервал [a, b] С E аффинно-ограничен, то ть сильнее тг.
E
щий, порядково ограниченная топология ть является локально звездной.
В силу теоремы 1 относительно равномерная топология тг является локально звездной в E. Таким образом, утверждение этого следствия вытекает из теоремы 2.
Так как множество в том и только в том случае аффинно-ограничено в топологии ть, когда оно порядково ограничено в E, то всякое множество U С E, аффинно-поглощающее любое аффинно-ограниченное
[a, b]
ностью нуля в топологии ть. Таким образом, порядково ограниченная топология является аффинно-борнологической, т.е. для которой множество U С E, аффинно-поглощающее любое аффинно-ограниченное множество, есть окрестность нуля.
Предложение 4. Линейный, функционал f : E — R непрерывен, в топологии ть в том и только в том случае, когда, он, ограничен на каждом, порядковом интервале. В частности, всякий положительный, функционал непрерывен в топологии ть.
В самом деле, если функционал f непрерывен в топологии ть, то для каждого е > 0 существует такая окрестность нуля U С E, что |f (U)| < е. Для любого порядкового интервала [a, b] С E найдутся такая точка x0 G E и такое ö > 0 чт0 A([a, b] — x0) С U при всех |A| ^ ^^^^^тательно, |f([a, b] — x0)| < е/£, откуда вытекает неравенство |f([a,b])| < |f(x0)| + е/ö.
Обратно: если функционал f ограничен на порядковых интервалах, то прообраз f-1(—1,1) является уравновешенным множеством, аффинно-поглощающим всякий порядковый интервал. В самом деле, если |f([a,b])| <Mio = (a + b)/2, то получим |f([a,b] — x0)| < m + |f(x0)| = 1/е и, следовательно, A([a,b] — x0) С f-1(—1,1) при всех |A| < е. Таким образом, ^о порядково ограниченной топологии ть
f-1(—1, 1)
Пусть P* — совокупность положительных линейных функционалов f : E — R, т.е. f (x) ^ 0 при всех x G P. Обозначим через Eь порядково ограниченное сопряженное пространство, т.е. множество непрерывных линейных функционалов в порядково ограниченной топологии ть, а через Er = P* — P* порядково регулярное сопряженное пространство, т.е. множество линейных функционалов, представимых в виде разности двух положительных функционалов.
Следствие 3. Порядково ограниченное сопряженное пространство Eь содержит, подпространство Er порядково регулярных функционалов. В частности, если подпространство Er разделяет точки фак-торпространства Е, то порядково ограниченная топология ть в факторпространстве E является хаус-дорфовой.
В самом деле, если f G P* является положительным функционалом, то для любого порядкового интервала [a, b] С E имеем f (a) ^ f ([a, b]) ^ f (b). Поэтому всякий порядково регулярный функционал f G Er является ограниченным на каждом порядковом интервале.
Теорема 3. Если полуупорядоченное пространство E = ПieI Ei является произведением полуупо-Ei ть E
ведением, соответствующих порядково ограниченных топологий т^ прост,ра,не те Ei. При этом проекции pi : E — Ei являются топологическими гомоморфизмами относительно соответствующих порядково ограниченных топологий.
Доказательство. Чтобы доказать, что отображение f : E ПieI Ei, равное произведению проекций, является гомеоморфизмом, нам достаточно показать, что сами проекции pi : E ^ Ei суть гомоморфизмы [15, с. 69]. Ясно, что проекция pi является положительным линейным оператором и pi([a, b]) = [a(i), b(i)] для любого порядкового интервала [a, b] С E, где a(i) = p^a) и b(i) = pi(b). Следовательно, если множество U С Ei аффинно поглощает всякий порядковый интервал, то этим же свойством обладает и его прообраз p"1(U). Поэтому прообраз p"1(U) окрестности нуля U С Ei является окрестностью нуля. С другой стороны, если [ai, bi] есть порядковый интервал в Ei, то, полагая a(i) = ai, b(i) = bi и a(j) = b(j) = 0 при j = i, мы получим порядковый интервал [a, b] в E. Значит, если множество U С E аффинно поглощает порядковый интервал [a, b] С E, то множество Pi(U) аффинно поглощает порядковый интервал [ai, bi] С Ei и, следовательно, является окрестностью нуля в пространстве Ei. Таким образом, pi
Представление порядково ограниченной топологии индуктивным пределом. Порядково ограниченную топологию ть легче всего анализировать, когда пространство E является архимедово полуупорядоченным пространством с порядковой единицей e > 0. Для удобства формулировок мы будем использовать следующую терминологию.
Определение. Последовательность {xn} С E называется порядково суммируемой в полуупорядоченном пространстве E, если существует о-предел частичных сумм sn Ф ^fc=i Xfc, n £ N.
Говорят, что последовательность {xn} С E имеет тип li, если существуют положительный элемент e > 0 и такие неотрицательные числа an £ R+, что xn £ an[—e, e] и an <
E
единицей e > 0. Тогда (E, ть) является полунормированным пространством и имеет сильнейшую ин-
( ) E ( )
пространет во (E, ть) в том и только в том случае является метрически полным, когда всякая положительная последовательность {xn} С Р типа l1 порядково суммируема.
Доказательство. Рассмотрим функционал Минковского pe(x) Ф inf {t > 0 | x £ t[—e, e]} порядкового интервала [—e, e] С E. Локадьно выпуклая топология те, порожденная полунормой pe, сильнее порядково ограниченной топологии ть, поскольку интервал [—e, e] ограничен в топологии С другой стороны, топология те слабее топологии ть, так как по определению порядковой единицы интервал [—e, e] поглощает
E
ть. Таким образом, пространство (E, ть) становится полунормированным пространством и те = ть.
Так как полунорма pe порядково выпукла, то топология ть также порядково (фактор)выпукла и, значит, будет порядково (фактор)звездной. С другой стороны, если некоторая инвариантная топология т
ченным в (фактор)топологии т(т), и поэтому топология т слабее Чтобы доказать замкнутость клина Р, заметим, что порядковая единица е является внутренней точкой клина Р. Значит, если х £ Р, то Ф (1 — 1/n)x + e/n — внутренняя точка клина Р при всех n £ N [10, с. 447]. Отсюда —nx ^ (e — x), и из условия архимедовости получим x £ Р.
Пусть последовательность элементов {xn} С Р имеет тип li, т.е. 0 ^ xn ^ ane, где an £ R+ и an < Тогда справедливо неравенство pe(s n sm) ^ Хуfc=m+i afc> Ф Sfc=i xfc- Значит если
пространство E метрически полно, то существует предел s = lim sn (mod Z) и s £ E, т.е. последовательность {xn} порядково суммируема в пространстве (E, r¿).
Обратно: возьмем в E произвольную фундаментальную последовательность {xn} и выберем в ней такую подпоследовательность {yn} С E, что pe(yn+i — yn) ^ an при всех n £ N. Тогда выполняются включения yn+i — yn £ an[—e, e] и zn Ф ane — (yn+i — yn) £ Р. Для того чтобы доказать сходимость последовательности {yn} в пространстве E, достаточно установить сходимость ряда X]fc=i Zfc в пространстве E. Так как zn ^ 2ane, то по предположению частные суммы un Ф ^n=i zk имеют верхнюю грань u = sup{un} £ Р. Поскольку выполняются неравенства
то ре(и — ит) ^ 2 ^и, следовательно, указанный ряд сходится в топологии т^.
Полуупорядоченное пространство Е называется порядково (фактор)регулярным (или имеет (фактор) регулярный полупорядок), если оно является архимедовым и порядково регулярное сопряженное
пространство Er разделяет точки пространства E (E), т.е. тотально на E (E).
Следствие 4. Если архимедово полуупорядоченное пространство Е имеет порядковую единицу e > 0; то оно порядково (факт,ор)регулярно и выполняется равенство Еь = Er.
В самом деле, поскольку по теореме 4 полунормированное пространство (Е, ть) является порядково (фактор)звездным и, следовательно, порядково (фактор)выпуклым, то в силу леммы 1 работы [13, с. 30] имеет место равенство Еь = P* — P* = Er. Так как топология тъ локально выпукла, то (фактор) регулярность полупорядка вытекает из следствия 4 работы [8, с. 120].
Е
единицей e > 0. Тогда (фактор)топология Е (Е) совпадает с порядково ограниченной топологией ть тогда и только тогда, когда Е порядково (факт,ор)звездно.
Действительно, поскольку клин P С Е замкнут, то полупорядок в Е архимедов. Если топология пространства Е (Е) совпадает с топологией ть, то в силу теоремы 4 полунормированное пространство ЕЕ
Е ( ЕЕ)
ть. С другой стороны, поскольку пространство Е полно, то по теореме Бэра о категории порядковый интервал [—e, e] С Е является окрестностью нуля. Поэтому в силу следствия 1 топология Е (Е) сильнее топологии ть.
Примерами для применения следствия 5 являются пространства C(X) и L^(X) или, более общо,
Е
Е ( ЕЕ)
положительный клин P С Е имеет непустую внутренность.
Легко проверить, что если элемент e > 0 является внутренней точкой положительного клина P С Е
Е
Е и, наоборот, всякая порядковая единица e > 0 оказывается внутренней точкой положительного клина P С Е Е
Тем не менее многие топологические полуупорядоченные пространства, встречающиеся в анализе, не содержат порядковой единицы, как, например, бесконечномерные лебеговы пространства Lp(X) при всех 0 < p < те [16, с. 771]. Поэтому описание порядково ограниченной топологии, как в теореме 4, далеко не всегда применимо.
Е
вой единицы, порядково ограниченная топология тъ является индуктивным пределом полунормированных пространств. Для этого определим полуупорядоченные подпространства Ее С Ее порядковой единицей e > 0, наделенное порядковой ограниченной топологией:
те
Ее = {x е Е | 3 n е N : —ne ^ x ^ ne} = [J n[—e, e].
n=1
Подпространство Ее является полунормированным с единичным шаром [—e, e], и система этих подпространств {Ее | e е P} направлена по включению. Если ei,e2 > 0 т0 вложение Ее1 С Ее2 непрерывно в том и только в том случае, когда существует такая константа c > 0 чт0 ei ^ ce2, поскольку непрерывность вложения равносильна неравенству pei (x) ^ cpe2 (x) при всех x е Е.
Е
ную топологию, которой можно наделить пространство Е, причем так, что при всех e е P вложения Ее С Е являются непрерывными. Ее можно рассматривать как индуктивную топологию, ассоциированную с системой всех аффинных вложений Ее + x С Е подпространств Ее [17, с. 32]. Поскольку пространство Е порождается всеми сдвигами подпространств Ее, то индуктивная топология однозначно определяется базой окрестностей нуля, состоящей из всех таких множеств U С Е, что его пересечение U П Ее с каждым подпространством Ее является окрестностью нуля в этом подпространстве [12, с. 38].
Е
P С Е; а, множесmeo C С P \ Z направлено по возрастанию и конфинально в Е. Тогда, пространство (Е, ть); наделенное порядково ограниченной топологией тъ; является индуктивным пределом полунормированных подпространств {Ее | e е C}.
Доказательство. В силу определения топологии индуктивного предела достаточно показать, что ть является сильнейшей инвариантной топологией в Е, для которой все вложения Ее С Е непрерывны. Если U С Е — окрестность нуля в топологии ть, то она аффинно поглощает все порядковые интервалы вида [—e, e], где e е C. Поэтому U П Ее является окрестностью нуля в каждом подпространстве Ее и, значит, U
сильнее топологии ть-
С другой стороны, по определению множества С С Р всякая порядковый интервал [а, Ь] С Е содержится в некотором интервале вида п[—е, е] + жо, где е € С и п € N. Поэтому порядковые интервалы аффинно поглощаются любой окрестностью нуля в топологии индуктивного предела, т.е. они являются аффинно-ограниченными в топологии индуктивного предела. Следовательно, топология индуктивного предела слабее топологии тъ.
Следствие 6. Если Е — архимедово полуупорядоченное пространство, то пространство (Е, тъ), наделенное порядково ограниченной топологией тъ, порядково (фактор)звездно.
Для доказательства применяем теорему 5 и затем используем определение топологии индуктивного предела. Тогда базу окрестностей нуля в порядково ограниченной топологии тъ можно задать системой таких уравновешенных множеств и С Е, что и = иееС ае[—е, е], где ае > 0. Для доказательства порядковой (фактор)звездности пространства Е в силу предложения 2 (Ь) достаточно показать, что ) С и. Если ж € ), то найдутся такие у € и П Ри е € С, что —аее ^ —у ^ ж ^ у ^ аее. Отсюда следует включение ж € ае[—е,е], и, значит, ж € и.
Заметим, что порядково ограниченная топология в пространстве Е (Е) будет хаусдорфовой, если порядково регулярное сопряженное пространство Ег тотально на Е (Е). Например, это выполняется в Е
ково (фактор)регулярным. Однако даже в этом случае указанный выше индуктивный предел не является, вообще говоря, строгим индуктивным пределом полунормированных подпространств Ее, так как при вложении Ее1 С Ее2 топология подпространства Ее1 может быть строго сильнее индуцированной топологии из пространства Ее2.
Например, рассмотрим в пространстве Е = ХР(Х), где р > 0, канонический полупорядок, т.е. / ^ д, если /(ж) ^ д(ж) п.в. на измеримом множестве А С X положительной меры. Применяя следствие 6, получим, что Хр(Х) является порядково (фактор)звездным и, следовательно, будет порядково (фак-тор)выпуклым в топологии тъ. Выберем функции /, д € £Р(Х) так, чтобы выполнялись неравенства 0 ^ / ^ д ВД6 / существенно ограничена, а д существенно не ограничена на множестве А. Тогда топология Е^ строго сильнее индуцированной топологии из Ей.
Е
т
(а) (^ктор) топология т (г) совпадает с порядково ограниченной топологией тъ;
(б) (^ктор) тополог ия т (г) является сильнейшей инвариантной топологией в Е (Е) (9ля которой пространство Е порядко во (факт,ор) звездно.
Для доказательства утверждения (Ь) заметим, что в силу следствия 6 порядково ограниченная топология является порядково (фактор)звездной. Кроме того, согласно следствию 1, для всякой инвари-тЕ
Е ( Ег ) тъ
ей, для которой порядковые интервалы аффинно-ограничены, то топология тъ сильнее топологии т (Г) в Е ( Ег )
Представление порядковой топологии индуктивным пределом. Представим порядковую топологию т0 архимедова полуупорядоченного пространства Е в виде индуктивного предела подпространств Ед С Е, наделенных локально интервальной топологией. Для этого рассмотрим множество Э всех положительных направлений О С Р \ 2 по убыванию, имеющих нижнюю грань т! О = 0 (шоё 2). Для каждого О € ©обозначим ч ерез Ед подпространство
Ед = ^ Ео, = ^ {ж € Е | 3 п € N : — пЛ ^ ж ^ пЛ} ,
где каждый элемент суммы является суммой конечного числа ненулевых элементов, взятых из подпространств Е^. Введем в Ед локально интервальную топологию то, т.е. такую инвариантную относительно сдвига топологию, у которой база окрестностей нуля состоит из порядковых интервалов и^ = [—Л, Л], где Л € О. Если и<^ и и^» — две такие окрестности, то по определению направления по убыванию существует такой элемент Л € О, что Л ^ Л', й", и, следовательно, и^ С и^ П и^». Таким образом, локально интервальная топология то определяется однозначно. Эту топологию можно задать направленной системой полунорм
ра(ж) = М{£ > 0 | ж € ¿и^} = М{£ > 0 | —¿Л ^ ж ^ ¿Л} , Л € О,
Ео
Щ = {ж € Е | ра(ж) ^ 1} Заметим, что если некоторый элемент ж € Ед не принадлежит порядковым
интервалам вида ¿Ц^ ни при каком Ь > 0, то мы полагаем функционал Минковского равным бесконечности Р^(х) = те. Это означает, что локально интервальная топология тд в Ед, вообще говоря, не является аффинной, поскольку множества могут быть не поглощающими, а сам а топология тд может быть не инвариантной относительно умножения на Л > 0.
Система подпространств {Ед | О € Э} направлена отношением включения. При этом если направление О € Э минорирует направление О € Э, то вложение Ед С Ед2 является непрерывным. Определим в пространстве Е топологию индуктивного предела как сильнейшую инвариантную относительно сдвига топологию, которой можно наделить пространство Е, причем так, что для каждого направления О € Э вложение Ед С Е непрерывно. Ее можно рассматривать как индуктивную топологию в Е, ассоциированную с системой всех аффинных вложений Ед + х С Е подпространств Ед [17, с. 32]. Так как пространство Е порождается всеми сдвигами подпространств Ед, то индуктивная топология однозначно определяется базой окрестностей нуля, состоящей из множеств Ц С Е, таких, что пересечение Ц П Ед с каждым подпространством Ед является окрестностью нуля в этом подпространстве.
Е
Р С Е и наибольшим подпространством 2 С Р. Обозначим через Э совокупность положительных направлений О С Р \ 2 по убыванию, имеющих нижнюю грань И О = 0. Тогда пространство (Е,т0); наделенное порядковой топологией та, является индуктивным пределом системы подпространств {Ед | О € Э} с локально интервальной топологией.
Доказательство. В силу определения топологии индуктивного предела достаточно показать, что т0 является сильнейшей инвариантной относительно сдвига топологией, для которой непрерывны все вложения Ед С Е для направлений О € Э. Пусть V С Е — окрестность нуля порядковой топологии т0. Докажем, что Рд = V П Ед является окрестностью нуля в подпространстве Ед, т.е. содержит некоторую окрестность нуля Ф [—д подпространства Ед где д € О.
Если это не так, то для каждого д € О существует точка € \ УЬ- Тогда сеть Б = {з^^ед порядково сходится к нулю в Е, однако она находится вне окрестности V. Поскольку всякая порядково сходящаяся сеть сходится в порядковой топологии т0, то возникает противоречие. Поэтому множество Уд = V П Ед является окрестностью нуля в подп ространстве Е д для всякой окрестност и нуля V С Е порядковой топологии и для всех направлений О € Э. Следовательно, топология индуктивного предела сильнее порядковой топологии т0.
С другой стороны, пусть сеть Б = {з^}^/ С Е о-сходится к точке х € Е. Тогда существуют направление А С Е по убыванию, мажорирующее сеть Б, и направление В С Е по возрастанию, минорирующее сеть Б, такие, что М А = вир В = х (шоё 2). Полагая О Ф А — В, получаем положительное направление О С Р по убыванию, которое мажорирует сети ±(Б — х) и имеет нижнюю грань т£ О = 0 (шоё 2). При этом для доказательства сходимости сети Б — х к нулю в индуктивной топологии пространства Е можно считать, что О С Р \ 2.
Для каждого д € О выберем индекс г^ € I так, чтобы выполнялось включение — х € ПРИ всех г ^ Так как базу окрестностей нуля топологии индуктивного предела составляют множества вида Ц = УЦ^д}; которые являются объединением по О € Э окрестностей нуля ^^ топологии подпространства Ед, то Зг — х € Ц^д} С Ц при всех г ^ Таким образом, всякая порядково сходящаяся сеть Б С Е сходится в топологии индуктивного предела и, значит, порядковая топология т0 сильнее топологии индуктивного предела.
Следствие 7. Если Е — архимедово полуупорядоченное пространство, то пространство (Е, т0); наделенное порядковой топологией та, порядково (фактор)звездно.
Для доказательства применим теорему 6 и используем определение топологии индуктивного предела. Поэтому базу окрестностей нуля порядковой топологии можно задать системой всех уравновешенных множеств Ц С Е, таких, что Ц = иЦ^д}; гДе д(О) € О — некоторая функция на множестве Э. Для доказательства порядковой (фактор)звездности топологии т0, согласно предложению 2, достаточно показать, что выполняется включение ) С Ц. Если х € ), то существует такой элемент у € Ц П Р, что выполняются неравенства —д(О) ^ —у ^ х ^ у ^ д(О) для некоторого направления О € Э. Следовательно, имеет место включение х € Ц.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 12-01-00169).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бурбаки Н. Интегрирование. Меры, интегрирование мер. М.: Наука, 1967.
2. Бурбаки Н. Топологические векторные пространства. М.: ИЛ, 1959.
3. Канторович Л.В., Вулих Б.З., Пинскер А.Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах. М.; Л.: ГПТТ.1. 1950.
4. Бурбаки Н. Основные структуры анализа. Теория множеств. М.: Мир, 1965.
5. Birkhoff G. Moore-Smith convergence in general topology // Ann. Math. 1937. 38, N 1. 39-56.
6. Биркгоф Г. Теория решеток. М.: Наука, 1984.
7. Вулих Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. М.: Наука, 1961.
8. Федоров В.М. О максимальной топологии сходимости в полуупорядоченном пространстве // Современные проблемы математики и механики. Т. VII, вып. 1: К 190-летию П. Л. Чебышева. М.: Изд-во МГУ, 2011. 110-136.
9. Gordon Н. Relative uniform convergence // Math. Ann. 1964. 153. 418-427.
10. Шее V.L. Convex sets in linear spaces // Duke Math. J. 1951. 18. 443-466.
11. Frechet M. Les espaces abstraits. P.: Gauthier-Villars, 1928.
12. Бурбаки H. Общая топология. Основные структуры. М.: Наука, 1968.
13. Федоров В.М. Факторнормальные клинья полуупорядоченных пространств // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Мехам. 2008. № 4. 26-36.
14. Namioka I. Partially ordered linear topological spaces // Mem. Amer. Math. Soc. 1957. 24.
15. Шефер X. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1971.
16. Шее V.L. The support property of a convex set in linear normed space // Duke Math. J. 1948. 15. 767-772.
17. Kelley G., Namioka I. Linear topological spaces. N. Y.; Heidelberg; Berlin: Springer-Verlag, 1963.
Поступила в редакцию 12.02.2012
УДК 512
ПРОСТОЙ ИТЕРАТИВНЫЙ АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЯ БАЗИСОВ ГРЁБНЕРА,
ОСНОВАННЫЙ НА СИГНАТУРАХ
В. В. Галкин1
Работа описывает алгоритм вычисления базисов Грёбнера, основанный на использовании отмеченных многочленов из алгоритма F5. Отличительной особенностью алгоритма является простота как самого алгоритма, так и доказательства его корректности, достигнутая без потери эффективности. Это позволило создать простую реализацию, не уступающую более сложным аналогам по производительности.
Ключевые слова: базис Грёбнера, алгоритм F5, отмеченные многочлены.
This paper presents an algorithm for computing Groebner bases based upon labeled polynomials from the algorithm F5. The main highlight of this algorithm compared with analogues is the simplicity both of the algorithm and of its correctness proof achieved without loss of efficiency. This leads to a simple implementation which performance is in par with more complex analogues.
Key words: Groebner basis, F5 algorithm, labeled polynomials.
Введение. Рассмотрим кольцо многочленов P = k[xi,..., xn] над полем k. Будем предполагать, что на моноиде его мономов Т задан допустимый мономиальный порядок —. В этом кольце может быть поставлена задача вычисления базиса Грёбнера для произвольного идеала (/1,...,/г). Один из способов ее решения инкрементальный: последовательно вычисляются базисы идеалов (/i, ...,/i) , i = 2,...,l, на основе уже вычисленного для идеала (/i,..., /¿-i) базис a R^-i и многочл ена /¿. Представляемый алгоритм позволяет выполнить шаг такого вычисления. Таким образом, входные данные для алгоритма — это некоторый многочлен / и множество многочленов, обозначаемое {gi,...,}, являющееся базисом Грёбнера идеала 1о = (gi,...,gm). В результате своей работы алгоритм должен построить множество многочленов R, являющееся базисом Грёбнера идеала I = (gi,...,gm,/). Поскольку случаи / = 0 ^ I = I0 и 3igj £ k ^ I = P не представляют интереса, далее предполагается, что / = 0, Vigi / k. Заметим, что, в отличие от алгоритма F5, описанного в [1], однородность многочленов не требуется.
1 Галкин Василий Витальевич— асп. каф. алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: galkin-vvQyandex.ru.
