CC BY
38Труды Петрозаводского государственного университета
Серия “Математика” Выпуск б, 1999
УДК 517
СХОДИМОСТЬ И СЕКВЕНЦИАЛЬНАЯ СХОДИМОСТЬ В НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
С. С. Платонов
і
В некоторых функциональных пространствах, являющихся индуктивными пределами нормированных пространств, исследуются связи между различными определениями сходимости последовательностей, ограниченности и замкнутости множеств. В частности, в некоторых топологических векторных пространствах, состоящих из функций на однородном пространстве некоторой локально компактной топологической группы (7, доказана эквивалентность замкнутости и секвенциальной замкнутости для линейных (^-инвариантных подпространств.
Введение
Многие важные для приложений линейные функциональные пространства имеют вид Е = иГ=1 гДе — линейные нормированные или счетно-нормированные пространства, последовательность линейных пространств Ек расширяется, т. е.
Ег С Е2 С ... С Ек С ...,
и все вложения Ек С Ек+1 непрерывны (индекс к всюду пробегает множество N натуральных чисел). В пространстве Е можно двумя способами ввести сходимость. С одной стороны, Е можно снабдить
© С. С. Платонов, 1999
1 Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект 99-01-00782
топологией индуктивного предела локально выпуклых пространств (ЛВП) Еь и рассматривать сходимость последовательностей и обобщенных последовательностей в этой топологии. С другой стороны, Е можно превратить в пространство секвенциальной сходимости, если ввести сходимость последовательностей, рассматривал Е как счетное объединение пространств Ек в смысле Гельфанда — Шилова (точные определения этих понятий см. в §1). Соответственно в Е можно двумя способами определить ограниченные подмножества и замкнутые подмножества. Вообще говоря, эти определения могут приводить к различным объектам, но для многих интересных пространств Е и подмножеств А С Е ограниченность или замкнутость в одном смысле равносильна ограниченности или замкнутости в другом смысле. Основной целью настоящей работы является изучение связей между этими двумя видами сходимости, ограниченности и замкнутости для некоторых конкретных функциональных пространств, которые используются в работах по гармоническому анализу. В §1 приводятся необходимые общие сведения об индуктивных пределах ЛВП и счетных объединениях ЛВП. В §2 в некоторых функциональных пространствах доказывается совпадение двух видов сходимости последовательностей и ограниченности множеств. В §3 доказывается совпадение двух видов замкнутости для некоторых подмножеств специального вида (линейных подпространств в некоторых функциональных пространствах, инвариантных относительно квазирегулярного представления топологической группы).
§ 1. Общие свойства индуктивных пределов ЛВП
Мы будем рассматривать только векторные пространства над полем М вещественных чисел или над полем С комплексных чисел. Необходимые сведения из теории топологических векторных пространств см. в [1, 2]. Термин линейное подпространство понимается в алгебраическом смысле, т. е. линейное подпространство в топологическом векторном пространстве не обязательно замкнуто.
Пусть Ек (к Е N = {1,2,...}) — последовательность локально выпуклых пространств, причем Ек — линейное подпространство в Ек+1 и вложение и)ь • Ек Ек+1 непрерывно. Индуктивным пределом последовательности пространств Еь относительно указанных вложений
называется их объединение
оо
Е= и Ек,
к = 1
снабженное сильнейшей из локально выпуклых топологий, при которых все вложения Ек в Е непрерывны. Будем писать Е = НтМЕ^. Нетрудно понять, что в этой топологии фундаментальную систему окрестностей нуля образуют подмножества II С Е, обладающие следующими свойствами: 1) II — абсолютно выпуклое подмножество;
2) для всякого к Е N множество 11к = и Г\ Ек является окрестностью нуля в Ек. Пространство Е является локально выпуклым пространством, и обычным образом в Е определяются сходимость последовательностей или обобщенных последовательностей, замкнутые подмножества и ограниченные подмножества.
Отметим еще полезный критерий линейного оператора: линейный оператор Б, отображающий Е в любое ЛВП Е (и, в частности, линейный функционал), непрерывен тогда и только тогда, когда он непрерывен на каждом Ек.
С другой стороны, можно не снабжать линейное пространство Е = []кЕк топологией, а наделить его структурой счетного объединения ЛВП Ек в смысле Гельфанда — Шилова (см. [3, 4]). Для этого в Е определяется сходимость последовательностей: последовательность хп сходится к ж, если найдется такое к Е М, что все элементы хп, х содержатся в Ек и хп —> х по топологии этого пространства. Снабженное такой сходимостью Е становится пространством с секвенциальной сходимостью (см. [4] или [5]). В этом случае подмножество А С Е называется ограниченным, если А целиком содержится и ограничено в некотором пространстве Ек. Подмножество А С Е называется замкнутым, если все множества Ак := А П Ек замкнуты в Ек. Будем называть такую сходимость, ограниченность и замкнутость соответственно ^-сходимостью, ^-ограниченностью и ^-замкнутостью. Отметим, что если Ек - метризуемые ЛВП, то подмножество А 8-замкнуто тогда и только тогда, когда оно секвенциально замкнуто, т. е. вместе с любой сходящейся последовательностью хп е А в А должен содержаться и ее предел.
Очевидно, что из 8-сходимости последовательности следует ее сходимость, из 8-ограниченности подмножества следует его ограниченность и из замкнутости подмножества следует его 8-замкнутость, но
существуют примеры, показывающие, что в общем случае из сходимости не следует 8-сходимость, из ограниченности не следует 8-огра-ниченность и из 8-замкнутости не следует замкнутость (см. [6, 7]). Тем не менее во многих интересных случаях эти понятия совпадают. Приведем несколько известных результатов в этом направлении.
Теорема 1.1. Пусть Ек — ЛВП и все вложения оок : Ек •—> Ек+1 вполне непрерывны (т. е. образ некоторой окрестности нуля и из Еь предкомпактен в Ек+\)- Тогда в пространстве Е = Нттс1.Е& последовательность хп сходится тогда и только тогда, когда она 8-схо-дится; любое подмножество А ограничено тогда и только тогда, когда оно 8-ограничено, и замкнуто тогда и только тогда, когда оно 8-за мкнуто.
Доказательство. См. [8] или [9]. □
Далее, пусть все пространства Ек являются локально выпуклыми метризуемыми пространствами. Пусть рк(х,у) — метрика, порождающая топологию в Ек. Как известно, метрику рк всегда можно выбрать так, что она будет инвариантной и шары по этой метрике будут выпуклыми множествами. Пусть
Вк — {ж Е Ек - рк{%ч 0) ^ 1}
— единичный шар в пространстве Ек. Так как вложения иок '• Ек •—У Ек+1 непрерывные, то без ограничения общности можно считать, что В к С Вк+1, к = 1,2,... Всюду далее Е = НтЫ^.
Будем говорить, что последовательность пространств Ек удовлетворяет условию (^1), если все Вк, к Е М, замкнуты в Е, и условию (^2), если всякая абсолютно выпуклая ограниченная и замкнутая в Ек окрестность нуля замкнута в Ек+1-
Теорема 1.2. Пусть Е = где последовательность метри-
зуемых ЛВП Ек удовлетворяет одному из условий (^1) или (^2). Тогда Е отделимо и всякое подмножество А С Е, ограниченное в Е, содержится и ограничено в некотором Ек (т. е. множество А в-огра-ниченное).
Доказательство. См. [10]. Отметим только, что в [10] рассматривается только случай, когда Ек — нормированные пространства, но все рассуждения практически дословно проходят и в более общем случае, когда Ек — метризуемые ЛВП. □
Далее рассмотрим случай, когда Ек — нормированные пространства. Пусть Ек — множество линейных непрерывных функционалов на Ек (сопряженное пространство) и а(Ек,Е'к) — слабая топология на Ек.
ТЕОРЕМА 1.3. Пусть Е = Нттс1 Ек, где Ек — рефлексивные нормированные пространства. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) Е — отделимое пространство и для любого подмножества А С Е из ограниченности А следует его в-ограниченность.
2) Если А С Е и множества Ак := А П Ек, к = 1,2,..., замкнуты в топологии ст(Ек, Е'к), то А замкнуто в Е.
Доказательство. См. [10]. □
Следствие. 1.1. Пусть Е = Нт Ы Ек — рефлексивные нормированные пространства, А — выпуклое подмножество в Е, тогда подмножество А замкнуто в Е тогда и только тогда, когда оно в-замкнуто.
Доказательство. Действительно, если А выпукло в Е, то множества Ак = А П Ек выпуклы в Ек, а выпуклое подмножество в нормированном пространстве замкнуто тогда и только тогда, когда оно слабо замкнуто. □
§ 2. Примеры функциональных пространств
В этом и в следующем параграфах будут рассмотрены некоторые примеры функциональных пространств, которые являются индуктивными пределами нормированных или счетно-нормированных пространств, и исследованы связи между понятиями сходимости, ограниченности, замкнутости и понятиями 8-сходимости, 8-ограниченности, 8-замкнутости в этих пространствах. Эти связи представляют интерес, так как такие пространства встречаются в некоторых задачах гармонического анализа и там часто происходит некоторая путаница между структурами индуктивного предела ЛВП и счетного объединения ЛВП, но, как показывают приводимые ниже примеры, в наиболее интересных случаях несущественно, какой из этих структур мы пользуемся. Все рассматриваемые пространства состоят из С-зна-чных или М-значных функций.
Пусть О — произвольное счетное множество. Если ж(£) — функция на О, то будем говорить, что ж(£) стремится к нулю на бесконечности, если для любого £ > 0 найдется конечное подмножество Ке С О такое, что \х^)\ < г при всех £ ^ Ке.
Пусть а : О н->- М — произвольная функция, удовлетворяющая условиям: а) а(£) > 1 для любого £ Е О; б) для всякого а > 1 множество Е О : а(£) < а} конечно. Обозначим через с& множество всех функций х(£) на О, для которых функция х^)(а^))~к стремится к нулю на бесконечности. Пространство с& является нормированным (даже банаховым) пространством относительно нормы
||ж||*. := вир |ж(£)| {а^))~к.
£ £ Г2
Здесь к может быть произвольным действительным числом, но далее будем считать, что к = 1,2,... Очевидно, что с& С с&+1 и вложения непрерывны. Пусть с* = Нттс1с&.
Для любого р Е 1, 1 < р < оо, обозначим через множество функций ж(£), £ Е О, удовлетворяющих условию
5>(*)1р(а(*)Г‘р<оо.
£ £ Г2
Множество является банаховым пространством с нормой
Нж11р,* :=
Очевидно, что С /^+1 и вложение непрерывно, так как ||ж||р?&+1 < ||ж||р,ь Пусть Ц = НшЫ^.
ТЕОРЕМА 2.1. Вложения Ск С с&+1 и1к С /^+1 вполне непрерывные.
Доказательство.
1. Рассмотрим вложение с& С с&+1. Пусть Вк = {з Е Ск : ||ж||& < 1} — единичный шар в с&. Проверим, что Вк предкомпактно в с&+1. Для этого достаточно показать, что для любого г > 0 для Вк существует конечная г-сеть в с&+1.
Множество := Е О : а(£) < 2/г} конечное по условию б) на функцию а(£). Пусть Х>£. — множество всех функций ж(£), £ Е О, которые равны нулю вне множества Тогда — конечномерное
подпространство в c&+i и множество D£nBk компактно в c&+i, следовательно, для него существует конечная г/2-сеть К. Проверим, что К является г-сетью для Вк. Если x(t) Е Bk и
ПРИ!^п"
w 4 ' [0 при t f Qe,
то х Е Т>£ П Bk и
||ж - ж||*+1 = sup |ж(*)| (a(t))~k(a(t))~1 < sup (а(£))-1 < е/2.
Существует у Е К такой, что \\х — 2/||fc+i < тогда \\х — 2/||fc+i ^ \\х - x\\k+i + \\х - y\\k+i < е, т. е. К будет г-сетью для Вк.
2. Покажем, что вложение С /^+1 вполне непрерывно. Пусть Bp,k{r) = {х Е : ||ж||р,& < г} — шар радиуса г в пространстве 1к. Частный случай шара Вр^( 1) будем также обозначать Bpk. Достаточно доказать, что множество i?p?& предкомпактно в /^+1.
Пусть г > 0. Докажем, что существует конечная г-сеть для множества Bp k в /£+1. Так как Z>g. — конечномерное подпространство в ^fe+i ? т0 множество Т)£Г\ВР^ компактно в /^+1, следовательно, для него существует конечная г/2-сеть if. Проверим, что К является г-сетью для Bp k• Используя те же обозначения, что и выше, заметим, что x(t) eV£ П Вр^ и
II* - *11^+1 = Е i*(*)ip шг(к+1)р = Е i*wi шгкршг* <(|)РЕи*)п«(*))-‘1'<(|)Р-
Следовательно, ||ж — ж||р,&+1 < г/2. Пусть у — такой элемент из if, что \\х — y\\p,k+i < е/2, тогда ||ж — 2/||p,fc+i < г, т. е. if есть г-сеть для
BPik- п
Из теоремы 2.1 и теоремы 1.1 сразу вытекает следующая
Теорема 2.2. В пространствах с* и I* (1 < р < оо) последовательность хп сходится тогда и только тогда, когда она s-сходится, любое подмножество ограничено тогда и только тогда, когда оно s-ограничено, и замкнуто тогда и только тогда, когда оно s-замкнуто.
Примером использования пространств с* и I* является работа [11], где рассматривается случай О = Zn, £ = £п) £ о:(£) =
Л1*1|+-+1*"1, Л > 1.
Далее, пусть О — локально компактное хаусдорфово топологическое пространство, а : О н->- М — непрерывная функция, удовлетворяющая условиям: а) а(£) > 1 для всех £ Е О; б) для любого а > 1 подмножество Е О : а(£) < а} компактное.
Если ж(£) — функция на О, то будем говорить, что ж(£) стремится к нулю на бесконечности, если для любого £ > 0 найдется компактное подмножество Ке С О такое, что |ж(£)| < £ при всех Ь £ КЕ.
Для любого к > 0 обозначим через Си множество всех непрерывных функций х(£) на О, для которых х^)(а^))~к стремится к нулю на бесконечности. Ск является банаховым пространством относительно нормы
||ж||*. := 8ир|ж(г)| {а{ь))~к.
£ £ Г2
Очевидно, что Си С Сг при к < г и это вложение непрерывно, так как \\х\\г < \\х\\к- В частности, непрерывны вложения С к С Ск+1- Пусть (7* = Нт тс1 С к. _
Обозначим через С к множество всех непрерывных функций ж(£) на О, для которых функция х^)(а^))~к ограничена. Относительно нормы \\х\\к множество С к тоже является банаховым пространством. Очевидно, что Ск С Ск С Ск+1, причем вложения непрерывны. Если обозначить С* = ИтМСд,, то из непрерывности вложений С к С С к С С* и критерия непрерывности линейного оператора (см. §1) следует, что вложение С* С С* непрерывно. С другой стороны, ИЗ непрерывности вложений С к С Ск+1 С С* следует, что вложение С* С С* непрерывно. Окончательно получаем, что С* = С* как топологические векторные пространства.
Пусть /л — произвольная регулярная борелевская мера на пространстве О, 1 < р < оо. Для любого к > 0 обозначим через Ьрк множество всех измеримых функций на О, удовлетворяющих условию
J \х^)\р (а^))~кр (1/1 < 00,
причем функции рассматриваются с точностью до значений на множестве меры 0. Ьрк является банаховым пространством относительно
нормы
1М1р,й = (У -Щх(г)\р (а(1))-рк <1/^
Очевидно, что Ьрк С Ь? при к < г и вложение непрерывно, так как \\х\\г < \\х\\к- В частности, непрерывны вложения Ьрк С Ь^+1. Пусть Ьр = Нттс!^. Пространства с* и являются частными случаями пространств (7* и £*, когда О — счетное дискретное топологическое пространство, но в общем случае вложения Си С Ск+1 и Ьр С могут не быть вполне непрерывными.
Теорема 2.3. Последовательности пространств С к и Ьрк удовлетворяют условиям (Р1) из §1, т. е. единичный шар в пространстве С к или Ьрк замкнут в пространстве С* или Ьр соответственно.
Доказательство. 1. Докажем, что шар В& = {х £ Ск : ||ж|и < 1} замкнут в пространстве С*.
Для любого а Е О линейный функционал йа : ж(£) I-)- ж (а) непрерывен в пространстве С* (следует из критерия непрерывности линейного оператора, см. §1), следовательно, множество
Р(а) := {х(Ь) € С* : |й0(ж) < (а(а))к}
замкнуто в С*. Заметим, что
Вк = р| Р(а),
о, £ ^2
следовательно, множество В к тоже замкнуто в С*.
2. Докажем, что шар Врк = Вр^( 1) = {ж Е Ьрк : ||ж||р,& < 1} замкнут в Ьр.
Для любого компактного подмножества А С О определим функционал
ФаАх) '■= (J \ХШР (а(*))~рк (1ц)1/р, X е Ц,.
А
Функционал ц>А,к является полунормой на пространстве £*, в частности, функционал ц>А,к выпуклый. Известен критерий непрерывности выпуклого функционала (см. [1, гл. II, §5, предл. 2]): для того чтобы
выпуклый функционал / : Е н-» М на топологическом векторном пространстве Е был непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы / был ограничен сверху на некоторой окрестности нуля и С Е.
Пусть 11 = {х Е Ьр : (р\,к(х) < 1}. Проверим, что II будет окрестностью нуля в Ьр. Для этого достаточно доказать, что ис\Ьра является окрестностью нуля в для любого б? Е М, а это вытекает из того, что
вр^(г) С и п ьр
при
г - и*))'*-*1) •
Так как II — окрестность нуля в^и функционал ц>А,к ограничен на С/, то он непрерывен, следовательно, множество
^Л,;ь([0> !]) = {хеЦ: (рА,к(х) < !} замкнуто в Ьр. Остается заметить, что
Вр,к ~ Фа,к (1Р> 1])’
Л
где пересечение берется по всем компактным подмножествам Л С О, следовательно, шар Врк замкнут в Ьр.
Теорема 2.4. В пространствах С* и Ьр (1 < р < оо) любое подмножество ограничено тогда и только тогда, когда оно в-ограничено; любая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она в-сходится.
Доказательство. То, что пространства С* = С* и Ьр хаусдорфовы и в них ограниченность совпадает с ^-ограниченностью, сразу вытекает из теорем 1.2 и 2.3. Проверим, что в пространствах С* и Ьр совпадают сходимость и ^-сходимость последовательностей. Для этого достаточно показать, что из сходимости последовательности следует 8-СХОДИМОСТЬ.
Пусть хп (£) Е С* и последовательность хп сходится в С*. Без ограничения общности можно считать, что хп —> 0 при п —> оо. Так как любая сходящаяся последовательность в топологическом векторном пространстве является ограниченным множеством, то по теореме 2.3 множество {жп, п Е М} будет и ^-ограниченным, т. е. существует
d Е N такое, что все хп Е Cd и ||жп||^ < А для некоторой постоянной А > 0. Далее докажем, что хп —> 0 по норме пространства Cd+1, откуда будет следовать 8-сходимость последовательности хп.
Для любого компактного подмножества Л С О и любого г > 0 рассмотрим множество
U(A;e) := {х Е С* : sup \x(t)\ < е].
te л
Проверим, что U[К] г) является окрестностью нуля в С*. Очевидно, что U[К] г) — выпуклое множество. Достаточно проверить, что при любом к множество U(A; s)P\Ck является окрестностью нуля в банаховом пространстве Ск- Но легко видеть, что в U(Л; е) Г\Ск содержится шар Вк(5) = {х Е Ск : \\х\\к < 5} при
S < ^rnax: (a(t))k
Пусть Л — такое компактное подмножество в О, что a(t) > 2А/г при t £ Л (существование такого подмножества вытекает из свойства
б) функции a(t)). Так как хп —>• 0, то при п > N(e) хп Е С/(Л; е/2). Тогда
Iknlld+i = sup \x(t)\ (a(t))~d~1 < sup |ж(г)| + sup \x(t)\ (a(t))~d(a(i))-1 ten te A tg A
< £/2 + A{£/2A) = £.
Следовательно, xn —> 0 в пространстве Cd+1-
Пусть xn E L* и последовательность xn сходится в L*. Без ограничения общности можно считать, что хп —у 0. Как и в случае пространства (7*, получаем, что существуют d Е N и А > 0 такие, что xneLpdvi ||ж„||р>(г < А. Пусть
UPtd( Л,е) := {хбЦ: \x(t)f (a(t))~dp ^ < e}.
A
Рассуждая как при доказательстве теоремы 2.3, проверяем, что множество UPid(Л; е) является окрестностью нуля в L*. Пусть Л — такое
компактное подмножество в О, что а(£) > 2А/г при £ ^ Л. При достаточно больших п хп Е С/р^(Л; г/2) и, следовательно,
Тогда жп 4 0 в пространстве Ь^+1 и последовательность жп з-схо-дится. □
При 1 < р < оо пространства 7^ рефлексивные, поэтому в этом случае можно использовать теорему 1.3 и следствие 1.1. В результате получим следующую теорему.
Теорема 2.5. В пространстве Ьр, 1 < р < оо, выпуклое подмножество А замкнуто тогда и только тогда, когда оно в-замкнуто, в частности, если А — линейное подпространство в Ьр, то я -замкнутость А эквивалентна замкнутости.
Для пространств С* и Ь\ неизвестно, следует ли из ^-замкнутости А замкнутость, если А — произвольное линейное подпространство (и тем более, если А — произвольное выпуклое подмножество), но удается доказать эквивалентность замкнутости и ^-замкнутости для некоторых специальных множеств О и специальных линейных подпространств А в С* или в которые представляют интерес с точки зрения гармонического анализа. Этим вопросам посвящен следующий параграф.
§ 3. Замкнутость и 5-замкнутость инвариантных подпространств
Пусть О — хаусдорфово топологическое пространство и (7 — топологическая группа. Топологическим действием группы С на пространстве О называется непрерывное отображение С х О I—у О ((#,£) ^ 9^, д Е (7, £ Е О), удовлетворяющее следующим условиям: 1) ^1,52 еС, V* £ О 01(02*) = (0152)*; 2) V* е О еЬ = г, где е — единич-ный элемент группы С. В этом случае также говорят, что С является топологической группой преобразований пространства О или что О
л
+ \х^)\р(а^)) йр{а(£)) р(1ц < е/2 + А(е/2А) = е.
п\л
является топологическим G-пространством. Действие называется транзитивным, если для любых £1,^2 £ & существует элемент д Е G такой, что gti = £2- Если группа G транзитивно действует на О, то О часто называют однородным пространством группы G. Если G — группа Ли и О — гладкое многообразие, то аналогично определяется гладкое действие группы G на О. Подробнее о топологических и гладких группах преобразований см. [12, 13].
Далее, пусть О — локально компактное хаусдорфово топологическое пространство, G — локально компактная топологическая группа, транзитивно действующая на О. Пусть a{t) — непрерывная функция на О, р(д) — непрерывная функция на G, удовлетворяющие следующим условиям:
а) a(t) > 1, р{д) > 1 для любых t Е О, д Е G;
б) для любого а > 1 подмножество а-1([1,а]) компактно в О;
в) \/t Е О \/д Е G, Oi{gt) < р(д) a(t).
Пусть р — регулярная G-инвариантная борелевская мера на пространстве О. Предположим, что функция a(t) дополнительно удовлетворяет условию
г) существует d > О такое, что
Будем называть произвольное линейное пространство IV, состоящее из функций на О, (^-инвариантным пространством, если из того, что ж(£) Е IV, следует, что х(д£) Е \¥ для всех д Е (7. Проверим, что все пространства к > О, являются (^-инвариантными. Пусть ж(£) Е тогда
при этом использована инвариантность меры р, а также неравенство а(д-:4) > а^)/р(д), которое следует из свойства в). Аналогично проверяется, что пространство Ск является (^-инвариантным.
J(a(t)) d dp < 00.
J \x(gt)\p(a(t)) kpdjj, = J \x(t)\p(a(g 4)) kpd/i
Теорема 3.1. Линейное С-инвариантное подпространство Н С С* замкнуто тогда и только тогда, когда оно в-за мкнуто.
Теорема 3.2. Линейное С-инвариантное подпространство Н С Ь\ замкнуто тогда и только тогда, когда оно в-замкнуто.
Следствие. 3.1. В пространствах С* и Ьр (1 < р < оо) линейное С-инвариантное подпространство замкнуто тогда и только тогда, когда оно в-замкнуто.
Прежде чем доказывать теоремы 3.1 и 3.2, получим некоторые вспомогательные результаты. Для любых топологических векторных пространств Е\ и Е2 будем писать Е\ <—>■ Е^, если Е\ С Е^ и вложение непрерывно.
Проверим, что С* <—> Ьр <—> р > 1.
Пусть ж(£) Е Ск, тогда
следует, что С к ^ ЬРк+(11р, а из этого вытекает, что С* <—> Ьр. Пусть ж(£) Е Ьрк, р > 1, тогда
Пусть д— сопряженный показатель к р, т. е. 1/р+1/д=1. Используя неравенство Гель дера, получим, что
||аг||* = вир |ж(*)|(о:(*)) к < оо.
Из оценки
\ 1/р
где
<
где
Л-2 —
(Ум*))
Следовательно, £р <—> 7^+(^, откуда Ьр <—> Ь\.
Операторы Т(д) : ж(£) н->> х(д~Ч), д Е (7, задают квазирегуляр-ные представления группы (7 в банаховых пространствах (БП) Ск или 7^. Легко видеть, что эти представления непрерывные, так что к ним применима обычная техника теории представлений топологических групп в БП (см., например, [14]). Пусть (7с(С) — множество непрерывных функций на (7 с компактными носителями, с1д — мера Хаара на группе (7. Для ср(д) Е (7с(С) и ж(£) Е Ь* (или ж(£) Е (7*) определяется свертка
Если х{і) е Ьрк (или ж(£) Е С&), то у? * ж Е 7^ (соответственно (р * х Е С к)- Если Н — замкнутое ^-инвариантное линейное подпространство в Ьрк или в Ск и х(і) Е 77, то у? * ж Е Н для любой функции ір Е Сс(Є).
Для любой функции </?(#) Е (7с(С) определим оператор 5^ : ж(£) н->-(р * ж(£).
Лемма 3.1. Оператор является непрерывным оператором из БП
Доказательство. Легко видеть, что функция (р * ж(£) непрерывная при (р Е (7с(С), х Е Ьр. Из единственности (с точностью до множителя) инвариантной меры на пространстве О следует, что для некоторого числа А > О
ЬрвБП Ск+1.
для любой интегрируемой функции /(£) на О.
Пусть х(ї) Є р > 1. Пользуясь неравенством Гель дера, получим
|<р * х(г)\ = | J <р(д) (а(д~Н))кх(д~Н) (а(д~Н))~к (1д\
С
< \х(д-Ч)\* (а(д-Ч))-к* <Ь)1/Р (I Ыд)\* (а{д~Ч))к« ^
С с
< А^ ||ж||м (а{і))к Ш\* (рід-1))1* <ь)1/9.
С
Из этого неравенства следует, что
\<р * хЦ)\ < С\\х\\РАФ))к, (3-1)
где С не зависит от х. Следовательно, функция ір*х(і) принадлежит пространствам Сг при г > к и непрерывно зависит от ж, в частности, Бер (х) = ір * х Є Ск+і и оператор непрерывный.
Осталось рассмотреть случай р = 1. Пусть х(ї) Є тогда
\у*хЦ)\< J \ір(д)\(а(д-1г))к |ж(з"4)| {а(д~1Ь))~к <1д С
(а(і))к ! |<р(д)\(рід-1))*1 \х{д~Н)\{а{д~Н))~к (ід < С\\х\\1гк(а(і))к,
<
где
С = Атах\(р(д)\(р(д~1))к■
двС
Остальные рассуждения проводятся, как для случая р > 1. □
Следствие. 3.2. Б<р — непрерывный оператор из Ь\ в Ьрк+г+1, где г = [с1/р\ + 1 ([а] — целая часть числа а), а также из Ь\ в Ьр.
Действительно, Бср непрерывно отображает Ь\ в Ск+1, а Ск+\ °->-
тр ^ ТР
Пк+а/р+1 ^ к-\-г-\-1 ’
Обозначим через А совокупность всех окрестностей единицы в группе С. А является направленным множеством, упорядоченным по включению. Для каждого и € А фиксируем функцию (ри(д) £ Сс(С),
удовлетворяющую условиям: 1) (ри(д) > 0; 2) носитель функции (рц содержится в II; 3) <ри(е) > 0, е — единичный элемент в группе (7; 4) §0Фи{д) йд = 1. Набор функций <ри будем называть (5-образным семейством. Стандартным образом проверяется, что если ж(£) Е Ьрк (или ж(£) Е (7&), то обобщенная последовательность (ри * х сходится к х в пространстве Ьрк (соответственно в С к)-
Доказательство теоремы 3.1.
1. Пусть Н — з-замкнутое (^-инвариантное подпространство в (7*. Тогда подпространства Нк := НГ\Ск являются замкнутыми (7-ин-вариантными подпространствами в банаховых пространствах С к. Зафиксируем любое число р > 1. Мы знаем, что С к С Ь^+г, где г = [б?/р] + 1. Тогда и С 1£+г. Пусть [Нк\ к+г — замыкание Нк в БП ££+Р,ИЪ:= [Я*]*+РПЬ*.
2. Проверим, что при всех т > к
ШтГ\Ьрк(1Шк+1. (3.2)
Пусть х Е 1'¥ш П Ьр, тогда х Е Ьр и х Е [Ят]т+Г, а так как
— нормированное пространство, то существует последовательность хп Е Нт такая, что хп —У х в БП Ьрш+Г. Для любой функции <р Е С с (в) последовательность (р * Хп СХОДИТСЯ К (р * X В Ст+г+1 (следует из леммы 3.1). Так как хп Е Ят С Ят+г+1, то (р * хп Е Ят+г+1, а так как Нт+Г+1 замкнуто в (7т+г+1, то и (р * х Е Ят+г+1. Кроме того, так как х Е Ьрк, то <р * х Е Ск+\ и (р * х £ Ьр, следовательно у? * ж Е Ят+г+1 П (7&+1 = Я^+1 и^*хЕ^С ьрк+1. Тогда получаем, что ржЕ Нк+1 П ££+1 С И^+ь
Если взять в качестве (р функцию (ри из (5-образного семейства, то (ри * х Е И^+1 и обобщенная последовательность (ри * х сходится к х в пространстве Ьрк+1 (даже в^), а так как \¥к+1 замкнуто в Ьк+1, то х Е ТУ1ь+1.
3. Пусть =: Из (3.2) следует, что
УГПЦП = и № п ю с т^т+1 п и>п.
к
С другой стороны,
УГт-нШ&сУГПЦн,
следовательно, \¥ П Ь^ \ П Подпространство '№гп+\ П
замкнуто в 7^, поэтому подпространство \¥ ^-замкнуто в^, а отсюда по теореме 2.5 вытекает, что замкнуто в Ьр.
4. Проверим, что ~\¥т П Си = Я& при т > к.
Пусть х Е ~\¥т П С к- Тогда х Е [Ят]т+Г, т. е. существует последовательность хп Е Нт такал, что хп —У х в Ьрш+Г. Для любого Е (7С((7) последовательность (р*хп сходится к^жв (7т+г+1, а так как жп Е Нт С Ят+Г+Ь то и (р * х Е Ят+Г+Ь
С другой стороны, так как ж Е С&, то (р * х Е С к- Следовательно, * х Е Ят+г+1 П С к — Нк.
Возьмем в качестве (р функции (ри из (5-образного семейства. Тогда (ри * х Е Пк и обобщенная последовательность (ри * ж сходится к ж в БП С к• Так как Я& замкнуто в то и ж Е Я&.
5. Проверим, что \¥ П С* = Н.
Из пункта 4 следует, что
И^ПС7к = и(^тПС,к) = Як,
т
тогда
^па = и(^ п с*) = ия^ = я-
к к
6. Так как вложение в : (7* С Ьр непрерывно и замкнуто в £*, то подпространство Я = 1/Г П (7* = в~1(\¥) замкнуто в (7*. □
Доказательство теоремы 3.2.
1. Пусть У — произвольное з-замкнутое, ^-инвариантное подпространство в Ук := Ь\ П V. Зафиксируем какое-нибудь число р > 1. Существует а Е N такое, что Ьрк <—> Ь\+а (можно, например, взять а = [с£/д] + 1). Пусть := 7^ П Т4+а, тогда — замкнутое ^-инвариантное подпространство в Ьрк. Положим ]¥:= ик \¥к-
2. Проверим, что \¥т П Ьрк = П 7^ прг/ т> к.
Пусть х Е П 7^. Из включений
№тПЬ* = Ут+а П ьр С Ут+а П ь\+а = У,+а
следует, что х Е Т4+а, следовательно, С Т4+а = Жь С
другой стороны, \¥к С П 7^ при т > к.
3. Проверим, что подпространство \¥ замкнуто в Ьр.
Для любого к Е N
\¥ПЬрк = 1)(\¥тПЬрк) = \¥к,
т
следовательно, подпространство ^-замкнуто в £*, а из теоремы 2.5 вытекает, что замкнуто в Ьр.
4. Пусть [\¥] — замыкание подпространства 1'¥ в Ь\. Проверим, что [1/Г] = V.
Пусть х Е [\¥] П Ь\, тогда существует обобщенная последовательность ха такая, что ха Е \¥ и ха —> х в Ь\. Для любой функции <р(д) Е Сс (в) обобщенная последовательность (р * ха сходится к (р * х в пространстве Ь* (см. следствие 3.2). Так как ср * ха Е IV, а IV замкнуто в!*, то и (р * х £ IV. С другой стороны, так как х Е Ьк, то ср * х Е Ьрк+г+1 (следствие 3.2), следовательно,
(р * х Е Ьк+г+1 П = Т4+г+1.
Взяв в качестве (р функции (ри из (5-образного семейства, получим, что (ри*х 4жв пространстве Ь\ и тем более в пространстве Ь\+г+1. Так как Т4+г+1 замкнуто в Ь^+г+1, то х Е Т4+г+1 С V. Следовательно, [ич с у.
Обратно, пусть ж Е 14, тогда
У? * Ж Е П С \^к+г+1+а П -^&+г+1 = иъ+Р+1 с ж
В частности, (ри * х Е И^, и так как (ри и -У ж в то ж Е [И^], следовательно, У С [И^].
Окончательно получаем, что [1V] = V, следовательно, У является замкнутым подпространством в Ь*. □
Следствие. 3.3. В пространствах С* и Ьр (1 < р < оо) линейное С-инвариантное подпространство замкнуто тогда и только тогда, когда оно секвенциально замкнуто.
В случае, когда О — гладкое многообразие, кроме пространств С* и £*, естественным образом возникают различные функциональные пространства, состоящие из дифференцируемых функций. Мы рассмотрим далее только вопросы о совпадении замкнутости и з-зам-кнутости для линейных (^-инвариантных подпространств в некоторых таких пространствах.
Пусть Є — группа Ли, О — гладкое многообразие, на котором группа Є действует гладко и транзитивно. Как и ранее, пусть ц — (ї-инвариантная мера на О, а (і) и р(д) — непрерывные функции на О и Є соответственно, удовлетворяющие условиям а)—г). Пусть д — алгебра Ли группы Є. Обычным способом любой вектор £ Є д порождает векторное поле, т. е. дифференциальный оператор первого порядка на О:
(£ж)(і) := -^-ж(ехр(*0*)
*=о
где £ Є О, з Є М, § И ехр(з£) — однопараметрическая подгруппа в группе (7, соответствующая вектору £.
Выберем какой-нибудь базис £і,£2, • • •,£аг в алгебре Ли д. Для любых <і Є = {0,1,2,...} и к > 0 обозначим через Ск множество сI раз непрерывно дифференцируемых функций х(ї) на О таких, что
* * * ^>гг X Є Ск
для любых векторов ,..., ^іг , 0 < г < б?, из базиса алгебры д (векторы могут повторяться). С% является банаховым пространством с нормой
:= ^ ^ ||£гі • • •
где суммирование происходит по всевозможным наборам (н,...,гг) (0 < г < б?, каждый индекс в наборе пробегает значения от 1 до ТУ). В частности, С% = Ск- Пусть
С? = П СІ
(1=1
Топология в (7£° порождается счетной системой норм б? Є
и (7£° является пространством Фреше. Очевидно, что Ск Ск+1. Множество
СІ = [}СІ с?еХ+и{<х)},
снабдим топологией индуктивного предела ЛВП Ск. Очевидно, что
С™ ^ СЇ для любого бІ Є Легко видеть, что каждое пространство Ск ^-инвариантно и квазирегулярное представление Т(д) является непрерывным представлением группы Є в ЛВП С*.
Пусть (7о°((7) — множество всех бесконечно дифференцируемых функций на группе Є с компактным носителем.
Лемма 3.2. Для любой функции ср Е Со°(С) оператор : х н-» ср * х является линейным непрерывным оператором из Ьр в С£°.
Доказательство. Пусть х{Ь) Е Ьрк, 1 < р < оо. В лемме 3.1 получено, что (р*х Е Ск+1 и ||у?*ж||&+1 < С'(ср) ||ж||р,ь Заметим, что для любого С £ 5
£((р*х)(г) = (Щ)<р)*х(ь),
где
(£(£)</?)Ы := -^(ехрЮ#)
*=о
Так как Ь(£)ср Е Со°(С), то и £(</?* ж) принадлежит Ск+1 и непрерывно зависит от х. Аналогично, для любых £1,... Е 0 функция £1 • • • £<*(<£ * х) принадлежит пространству Ск+1 и
||& ...* х)\\к+1 < 1М1р,ь
Следовательно, (р * х Е С^_г и отображение х н->- у? * ж из Ьрк в С]^ непрерывно, а тогда и оператор 5^ : Ьр н->> С£° непрерывен.
Следствие. 3.4. Для любых е Со°(б?), 1 < р < оо, (I Е %+и {оо} оператор Бср является линейным непрерывным оператором из ЛВП Ьр в ЛВП С*.
Теорема 3.3. Линейное С-инвариантное подпространство Н С С*, О < ^ < оо, замкнуто тогда и только тогда, когда оно в-за мкнуто.
Доказательство этой теоремы проводится так же, как доказательство предложения 3.1, если только заменить функции из Со (С?) на функции из Со°((7) и вместо леммы 3.1 воспользоваться леммой 3.2.
Приведем некоторые примеры функциональных пространств рассмотренных выше типов, которые использовались в работах по гармоническому анализу. В каждом примере указываются множество О, группа С, действие группы С на О, функции а(£) и р(д).
1. В работе [15] рассматривался случай, когда О совпадает с группой БЬ(2,М). В этом случае С = БЬ(2,М) х БЬ(2,М) и группа С действует на О левыми и правыми сдвигами, т. е.
(91,92^ = д^д^1, д = (91,92) е <?, te^l.
Функции a(t) и р(д) определяются формулами
/г \1/2
а(*)={2 ^2 ’ р(91,92) =а(д1)а(д21),
' l<i,j<2 '
где
t = (tij) Е О = SL(2,М), (01,02) ^G = SL(2,М) х SL(2,М).
Аналогичные пространства для случая, когда О = SL(2, С), G = *SX(2, С) х SX(2,C), рассматривались в [16].
2. Пусть О — группа движений евклидовой плоскости М2, G =
ОхО, группа G действует на О, как в примере 1. Пусть а = (ai,a2)
— произвольная точка из М2, 0 = (0,0) Е М2, |a| = (af + а|)1//2. Для
3 G О и (31,32) е G полагаем а(д) = е^0!, p(gi,g2) = a(#i) «(^Г1). Функциональные пространства на таком множестве О рассматривались в [17].
3. О = Mn, G = ISO(n) — группа изометрий пространства Мп, со-
храняющих ориентацию. Группа G естественным образом действует на К”. Пусть t = G К", |*| = (t\ + .. . + t2n)1/2, о = (0,... ,0),
д Е G. Рассматривались два типа функций a{t) и р(д):
1) a(t) = el‘l, р(д) = е1э°1 (см. [18]);
2) a(t) = 1 + |i|, р(д) = (1 + \до\) (см. [19]).
4. Пусть О — произвольное некомпактное риманово симметрическое пространство. О может быть реализовано как фактор-пространство G/К, где G — полупростая группа Ли с конечным центром, К — максимальная компактная подгруппа, группа G действует на О = G/K левыми сдвигами. Пусть о = еК Е О (е — единичный элемент в группе G). Для любого а Е О пусть \а\ — расстояние между точками а и
о. Функции a(t) и р(д) (t Е О, д Е G) определяются формулами
a{t)=eM, р(д)=ем.
Такие пространства рассматривались в [20, 21].
Resume
In some function spaces, which are inductive limits of the normed spaces, the connections between various definitions of convergence of sequences, bound-ednes and closure of sets are investigated. In particular, the spaces consisting
of functions on homogeneous spaces of locally compact topological groups are considered. The equivalence to a closure and sequential closure for linear G-invariant subspaces is proved.
Литература
[1] Бурбаки H. Топологические векторные пространства. М.: ИЛ, 1959.
[2] Робертсон А., Робертсон В. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1967.
[3] Пространства основных и обобщенных функций/ Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. М.: ГИФМЛ, 1958. (Обобщенные функции: В 6 вып.; Вып 2).
[4] Земанян А. Г. Интегральные преобразования обобщенных функций. М.: Наука, 1974.
[5] Соболев С. Л. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных функций. М.: Наука, 1989.
[6] Макаров Б. М. О некоторых патологических свойствах индуктивных пределов В-пространств// Успехи мат. наук. 1963. Т. 18. Вып. 3. С. 171-178.
[7] Гротендик А. О пространствах (F) и (DF)// Математика: Сб. переводов. 1958. Т. 2. Вып. 2. С. 81-127.
[8] Райков Д. А. О двух классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях// Труды семинара по функциональному анализу. Вып. 5. Воронеж: Изд-во ВГУ, 1957.
[9] Себастьян-и-Силва Ж. О некоторых классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях// Математика: Сб. переводов.
1957. Т. 1. Вып. 1. С. 60-77.
[10] Макаров Б. М. Индуктивные пределы нормированных пространств// Вестник Ленингр. ун-та. 1965. Т. 20. № 13. С. 50-58.
[11] Платонов С. С. Спектральный синтез в некоторых функциональных пространствах на группе Ъп// Вопросы функционального анализа. Петрозаводск, 1992. С. 36-43.
[12] Понтрягин Л. С. Непрерывные группы. М.: Наука, 1973.
[13] Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. М.: Мир, 1964.
[14] Ленг С. SX2(M). М.: Мир, 1977.
[15] Рашевский П. К. Описание инвариантных подпространств в некоторых функциональных пространствах// Труды Моск. мат. общ. 1979. Т. 38. С. 139-185.
[16] Платонов С. С. Инвариантные подпространства в некоторых функциональных пространствах на группе SL(2, С)// Труды семинара по вект. и тенз. анализу. 1983. Вып. 21. С. 191-258.
[17] Платонов С. С. Инвариантные подпространства в некоторых функциональных пространствах на группе движений евклидовой плоскости/ / Сиб. мат. журн. 1990. Т. 31. № 3. С. 135-146.
[18] Platonov S. S. Invariant subspaces in cettain function spaces on Euclidean space// Math. Scand. 1995. V. 76. P. 115-138.
[19] Платонов С. С. Инвариантные подпространства в функциональных пространствах полиномиального роста на Мп// Труды ПетрГУ. Сер. матем. 1997. Вып. 4. С. 105-124.
[20] Платонов С. С. Инвариантные подпространства в некоторых функциональных пространствах на симметрических пространствах, I// Известия АН (Сер. математическая). 1995. Т. 59. № 5. С. 127-172.
[21] Платонов С. С. Инвариантные подпространства в некоторых функциональных пространствах на симметрических пространствах, II// Известия АН (Сер. математическая). 1998. Т. 62. № 2. С. 131-168.
Петрозавозаводский государственный университет,
математический факультет,
185640, Петрозаводск, пр. Ленина, 33
