О спектральном синтезе в одном топологическом векторном пространстве целых функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Труды Петрозаводского государственного университета

Серия “Математика” Выпуск 3, 1996

УДК 517.547

О СПЕКТРАЛЬНОМ СИНТЕЗЕ В ОДНОМ ТОПОЛОГИЧЕСКОМ ВЕКТОРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ

С. С. Платонов

В работе рассматривается некоторое естественное топологическое векторное пространство Т, состоящее из всех целых функций /(г), г = х + iy^ имеющих полиномиальный рост по оси х. Основной результат состоит в доказательстве того, что любое замкнутое подпространство в Т, инвариантное относительно дифференцирования, допускает спектральный синтез, т. е. совпадает с замыканием линейной оболочки содержащихся в нем функций вида гкегХг. Получено также полное описание спектров инвариантных подпространств.

Пусть О — область в комплексной плоскости С, Т — некоторое топологическое векторное пространство, состоящее из голоморфных в

О функций и инвариантное относительно дифференцирования. Говорят, что замкнутое, инвариантное относительно дифференцирования линейное подпространство % С Т допускает спектральный синтез, если оно совпадает с замыканием линейной оболочки содержащихся в нем экспоненциальных одночленов

е<А*, *е<Аг, ... **е<Аг, ...,

где г = л/—Т, к пробегает неотрицательные целые значения из промежутка О < к < г (Л), г (А) Е N и {оо} ^ — множество натуральных чисел). Пусть Л = {А £ С : егА* Е %}, причем будем считать, что

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект 95-01-01391.

© С. С. Платонов, 1996

число Л входит в набор Л с кратностью г (А) (возможно, бесконечной). Набор Л называется спектром пространства И. В дальнейшем под подпространством будем понимать замкнутое линейное подпространство,, а произвольные, вообще говоря, не замкнутые, линейные подпространства будем называть линейными подмножествами.

Описанию подпространств, допускающих спектральный синтез, посвящено много работ (см. обзор [1] и работу [2]). В большинстве из них в качестве Т берется пространство всех голоморфных в О функций с топологией равномерной сходимости на компактах. В настоящей работе рассматривается случай, когда О = С, а пространство Т состоит из всех целых функций f(z) = f(x + iy), имеющих полиномиальный рост по оси х (точное определение пространств и описание топологии в Т см. ниже); доказывается, что любое инвариантное относительно дифференцирования подпространство в Т допускает спектральный синтез, и дается полное описание возможных спектров таких подпространств. Методы работы близки к методам работы [3], где рассматривалось пространство целых функций экспоненциального роста по оси х.

Отметим некоторые обозначения. Помимо стандартных обозначений С, R, Z и N пусть Z+ — множество неотрицательных целых чисел, N U {оо}. Символами < и > будем обозначать соответственно начало и конец доказательства.

Обозначим через Т множество целых функций f(z), z = x + iy, которые удовлетворяют следующему условию: существует к > 0 такое, что для всякого I > 0 функция f(z) (1 + х2)~к ограничена в полосе \у\ < I. Положим

Nk,i(f) = sup\f(x + iy)\(l + x2)~k.

\у\<1

Через Тк обозначим линейное подмножество в Т, состоящее из функций /, для которых Nkj(f) < оо при фиксированном к и любом I > 0. Оно снабжается топологией, порожденной семейством полунорм (даже норм) Nkj при всевозможных I > 0, и становится локально выпуклым пространством ( ЛВП ). Пространство

к> О

снабжается топологией индуктивного предела ЛВП Тк-

Введем еще пространство Тк,1, состоящее из функций /(г), голоморфных в полосе \у\ < /, непрерывных в полосе \у\ < I и таких, что Nk,l(f) < оо. Пространство Тк,1 является банаховым пространством (БП) относительно нормы Для подпространства 'НС Тк обозначим через Нк линейное подмножество И П Тк, а через Нк,1 — замыкание Нк в Тк,1- Ясно, что Нк — замкнутое подпространство в

Рк-

Лемма 1.

Нк =

1> о

< Пусть

/е

1> о

тогда / Е Тк и найдется последовательность функций /п Е Нк, для которых Nk,n{f ~ /п) < “• При фиксированном I > 0 и п > I

^,/(/ - /п) < ^,п(/ - /п) < 1/П*

Следовательно, А^,/(/ — /п) 0 и /п -} / в БП Из замкнутости

следует, что / еШ- >

Отметим очевидное неравенство

1 + (£ + <С 2(1 + ^)(1 + 5^) \/£, 5 Е П. (1)

Из него следует, что

(1 + ^)~к <2к(1 + 82)к(1 + ^ + 8)2)~к Ук> 0. (2)

Проверим, что пространство Т инвариантно относительно дифференцирования. Пусть / Е Тк- По теореме Коши /(г) можно представить в виде

27гг J гш — г с

где в качестве контура С берется окружность радиусом 1 с центром в точке г. Тогда

С

Проверим, что f'(z) Е J-k-

Nk,i (f'(z)) = sup |f'(x + iy)| (1 + x2)~k <

\y\<1

< sup sup \f(w)\(l + x2)~k <

\y\<l \w z \ — 1

< sup |/(u + гг;)| (l + (и - l)2) k<

\v\<l+l

< sup \f(u + iv)\ 4fe(l + u2)~k = 4k Nk,i+i(f) < oo, (3)

Н<г+1

где w = и + iv. При оценке мы воспользовались тем, что |l?| < I + 1, ж > и — 1 и неравенством (2). Из (3) следует также, что оператор дифференцирования непрерывен в Т.

Лемма 2. Если подпространство ИСТ инвариантно относительно дифференцирования, то % инвариантно относительно сдвигов на действительные числа, т. е. из f(z) Е И следует, что f(z + t) Е И для любого t Е R.

< Пусть / Е Ик- Проверим, что f(z + t) Е Hk,i при любом I > 0. Разложим f(z + t) в ряд Тейлора

f(z + t) = f(z) + f(z)t + ... + i/(") (z)tn + .... (4)

Рассуждая как при выводе неравенства (3), получим оценку Nk,i(F^) <n\4kNk,l+1(f).

Следовательно, ряд (4) сходится по норме 7V&,/ при \t\ <1/4. Поэтому f(z + t) Е Ш,1 при \t\ < 1/4.

Проверим, что оператор сдвига St : f(z) —>■ f(z + t), t E R, является непрерывным оператором в Действительно, используя (2), получаем

Nk,i(h(z + t)) = sup |h(x + t + iy)| (1 + x2)~k <

\y\<1

< 2k{l + t2)k sup |h(x + t + гг/)| (l + (x + £)2) к =

= 2fe(l + i2)fe7VM(/l(z)). (5)

Из непрерывности Бг и того, что в Ик,1 функции из Ик образуют плотное подмножество, следует, что %к,1 инвариантно относительно Бг при Щ <1/4. Но = 5^5*2, поэтому Ик,1 инвариантно относи-

тельно St при любом t еК. Следовательно, f(z + t) Е Нк,1 при любом

I > 0. Тогда по лемме 1 + £) Е Нк, что и требовалось доказать. >

Приведем некоторые сведения из теории обобщенных функций (см., например, [4]), которые будут необходимы в дальнейшем. Пусть <5 — пространство всех бесконечно дифференцируемых комплекснозначных функций (р(х) на И, убывающих при \х\ —> оо вместе со всеми производными быстрее любой степени |ж|-1. Топологию в <5 можно задать счетной системой норм

\Ы\р= У2 8ир(1+ж2)г’|</5(“)(а;)|, р = 0,1,2,....

О<а<рхеи

Очевидно, что

IMI0<IMI1<IMI2<....

Из неравенства (1) легко получить, что

\\(р(х + < 2Р(1 + ^)р\\(р(х)\\р \fteR. (6)

Обозначим через пополнение пространства <5 по норме || • ||р; тогда с>р — банахово пространство. Следующая лемма дает точную характеристику функций из с>р.

Лемма 3. Для того чтобы ср Е необходимо и достаточно, чтобы <р £ СР(К) и \х\2р<р(а)(х) -» 0 при \х\ —У оо и а = 0,1,.. .р.

< См. [4, с.91]. >

Обобщенной функцией медленного роста называется всякий линейный непрерывный функционал на пространстве <5. Множество всех обобщенных функций медленного роста, снабженное слабой топологией, является полным ЛВП. Известно (см. [4, с.94, следств. 1] ), что всякая обобщенная функция / Е имеет конечный порядок, т. е. допускает продолжение как линейный непрерывный функционал на банахово пространство <5т при некотором ш Е В этом случае будем писать, что / Е <5^ и ш называется порядком /. Обозначим через ||/||_ш норму функционала / на БП <5т.

Значение функционала / на функции (р будем обозначать </,(/?>. Оператор сдвига St распространяется на <?', если положить

< &/,</> >:=< /, Б-ь^р >

Если / Е <?', (р Е <5, то свертка функций /*</? определяется формулой

(/*¥>)(*) :=< >, (7)

где </?*(ж) = ^(—ж)- Отметим, что свертку можно также записать в

виде

(/*¥>)(*)=<&/,¥>*>, (8)

а если /(ж) интегрируемая на И функция, растущая не быстрее некоторой степени ж, то

(/ * ¥>)(*) = J /(* - жМж) йж-

Если не указаны пределы интегрирования, то интегралы берутся по И.

ЛЕММА 4. Если / Е <5', у? Е <5, то свертка / * (р существует; / * (р Е (7°° (Я) и при / Е <5^ справедливо неравенство

|(/ * <£)(“)№|< ||/||-т(1 + г2)т|М1т+« У*еД,ае2+. (9)

< См. [4, с. 101]. >

Отметим также, что справедливо равенство

(/*^)Ы =/*(^(а)), а = 0,1,2,.... (10)

Из неравенства (9) легко получить, что при фиксированном / Е <5^ свертка / * (р продолжается по непрерывности на (р Е е>т+р, Р £ Z+. При этом / * (р Е (7Р(11) и справедливо неравенство (9) при а =

0,1,...р.

Для всякой функции /(г) Е ^ ее ограничение /(ж) на действительную ось принадлежит пространству <5/. Поэтому можно считать, что Т С е>;; легко видеть, что это вложение непрерывно.

Подпространство Н в (или в любом другом топологическом векторном пространстве, состоящем из функций на И) будем называть инвариантным относительно сдвигов или просто инвариантным подпространством (сокращенно ИПП), если из / Е Н следует, что Бг/ Е Н для любого £ Е И. В частности, если И — ИПП в Т, то это означает, что % инвариантно относительно сдвигов на действительные числа.

ТЕОРЕМА 1. Инвариантные относительно сдвигов подпространства в Т и Б1 находятся во взаимно однозначном соответствии, которое получается сопоставлением ИПП ИСТ его замыкания Н = [Н\ в <?'. Это же соответствие может быть получено сопоставлением ИПП Н С5' подпространства Н = Н П Т.

Предварительно докажем несколько лемм. Пусть

где числовой множитель Ак подбирается так, чтобы выполнялось условие

Лемма 5. При любом фиксированном у функция (рк(х + iy) принадлежит пространству и справедлива оценка

где С > О — некоторая постоянная, зависящая только от к.

< Очевидно, что (рк(%) Е С°° и даже более того ср(г) — целая

при \х\ —> оо и при любом а = 0,1,2, ....Из приведенных оценок легко получается и неравенство (12). >

Лемма 6. Если / Е <5^, к > тп + 1, то свертка / * (рк принадлежит пространству Тк • Отображение /—>•/* (рк из <5^ в Тк непрерывно.

< Из леммы 5 следует, что свертка / * ^Рк(х) продолжается на комплексные значения г — х iy. Так как (рк(%) — целая аналитическая функция, то и / * <рк(%) — целая аналитическая функция (действительно, так как (рк £ <5™+!, то функция /*фк{%) непрерывно

(п)

\\<Pk(x + iy)\\k < С(сЪу)2к+2,

(12)

функция. Заметим, что | sin z\2 < 2ch2 у, \z\2 = х2+у2. Следовательно,

\x\2k\ipk(x + iy)| < ^4fc2fe+1 (chy)

при \х\ —> оо. Аналогично проверяется, что

\х\2ку(а)(х + 1у) ->• О

дифференцируемая и, кроме того, удовлетворяет условиям Коши — Римана).

Пользуясь неравенствами (9) и (12) получим

I/ * (рк(х + %) | < ||/||-т(1 + Х2)т\\^к\\т <

< ||/||_т(1 + х2ГЫи < с ||/||_т(сЬ |/)2*+2(1 + х2Г.

Следовательно, / * (рк £ Тк и справедливо неравенство

тм*<Рк)<ст-т(сы)2к+2,

из которого следует непрерывность отображения /—>•/* (рк ИЗ в

Тк- >

Определим еще функции

<Рк,п(г) := гкрк(пг). (13)

Рассуждая как выше, получим, что

\\<Рп,к(х + гу)\\к < С!(сЪпу)2к+2 (14)

И

тл/ * <Рк,п) < С2||Л|_т(сЬп02,г+2, (15)

где С2 >0 — постоянные, зависящие от к, п.

Лемма 7. (а) Пусть И — ИПП в Т и к{х) Е Пт := И П Тш. Тогда

при к > т + 1 и любом п Е 2+

Ь* * ^Рк^п ^ %т •

(б) Пусть Н — ИПП в <5' и / Е Нт := Н П <5^. Тогда существует

номер ко = к0(Л такой, что при к > ко и п Е

/ * ^Рк,п ^ Нк •

< (а) Свертку Н * (рк,п можно записать в виде

Ь * (Рк,п(х) = ! Цх - Ь) <Рк,п(£)

Продолжим ее на комплексные значения переменной, полагая при г — х iy

Ъ.*Ч>к,п{%)= / Цг - I) <Рк,п№) <&• (16)

Интеграл сходится, так как h Е Тщ и £ <Sm+i-

Функцию h{z — t) можно рассматривать как вектор-функцию параметра t со значениями в БП Тш. Проверим, что эта вектор-функция непрерывна. Для этого воспользуемся неравенством

|h(z — ti) — h(z — £2)1 = I f h!(z — r) dr <

Jtr

<(ti-t2) sup \h'(z-T)\,

t\T<t2

которое справедливо при любых t\ < t^. Тогда

Nmj(h(z - ti) - h(z - t2)) <

< sup sup (t2 — ti)\h'(x + iy — t)| (1 + x2)~m <

\y\<l ti<T<t2

<2m(t2-t1) sup \h'(x + iy - t)\ (l + (x - т)2) т(1 + т2Г<

\y\<i

tl <T<t2

< 2m(t2 — ti)(l + t\ + t^^Nrnj (h'(z)) <

< 8m(t2 ~ h)(l + 4+ (17)

В этих оценках были использованы неравенства (2), (3) и очевидное неравенство 1 + т2 < 1 + t\ + t\. Из (12) следует, что h(z — t) непрерывно зависит от t. Тогда правую часть в формуле (16) можно рассматривать как несобственный интеграл Римана от вектор-функции со значениями в Тш. Из неравенства (5) следует, что этот интеграл сходится. Следовательно, в топологии пространства Тш

/N

h(z - t) ipk,n(t) dt,

-N

а интеграл в правой части является пределом интегральных сумм

^ ^ h(z tj) (pk,n(tj) ,

которые принадлежат Urn- Тогда И h * (fk,n £ 'Нщ-

(б) Пусть / E Hm = H П S'm. Тогда функция / принадлежит и всем пространствам S'p при р > т. Заметим, что для любой функции / Е S'p справедливо неравенство

Il'St/ll-p < 2Р(1 + t2)p\\f\\-p, (18)

которое следует из неравенства (6).

Известно, что подмножество V гладких (класса С°°) функций с компактным носителем всюду плотно в Б'. Поэтому найдется последовательность /а Е сходящаяся к / в пространстве . Так как /а —> / в <?', то известно (см. [4, с.94, следств. 2 ]), что найдется такое число р Е N5 что /«—>■/ в пространстве <5^,, т. е. по норме || • ||_р. Подберем функцию д = /а Е такую, что ||/ — #||_р < £. Тогда

При |^1 — ^21 достаточно малом можно добиться того, чтобы \\в^д — &29\\ < £- В этом случае

откуда следует непрерывность отображения Ь —> 5*/ из И в

Возьмем к0 = р+1. При к > ко свертку /*</?&,п можно представить в виде

где в правой части стоит несобственный интеграл Римана от вектор-функции со значениями в БП <5^,. Из (18) следует, что этот интеграл сходится. Остальная часть доказательства получается повторением соответствующих рассуждений пункта (а). >

Лемма 8. (а) Если Н Е Тт, к > т + 1, то Н * (рк,п Ь при п —>• оо в топологии БП Тк •

(б) Если / Е <5^, к > к0(Л (число Аю(/) берется из леммы 7), то / * фк,п —> / при п —> оо в пространстве с>[ .

< (а) Проверим, что Nk,l{h * — Ь) —>• 0 при любом I > 0. За-

фиксируем е > 0. Из неравенства (17) следует, что существует 6 > О такое, что Нк,1(Н(г—1) — Н(г)) < е/3 при Щ < 6. Так как / (рк,п(£) сИ = 1 и (Рк,п(*) > 0, то

11^/-^2/11-р<

< \\StJ - Бг2д\\-Р + - 542е/||_р + ||Б^д - &2/||_р <

< 2Р(1 + %)*е + ||5*15 - 3^д\\-р + 2*(1 + 1?2)*е.

\\StJ - &а/||_Р < £ (2Р(1 + 4У + 2Р(1 + 4)> + 1) , (19)

Nк,1(^ * (Рк,п ^) — Nк,1 (^(^ ^) ^(^О) ^Рк,п{Ъ) ) <

< у Щ,п(1г(г - г) - Ь{г))(рк,п^) <й.

Так как Нк^(Цг - £) - Цг)) < (2к(1 + Ь2)к + 1)АГд. г(/), а =

п Аи(&т.пЬ/пЬ)2к+2, то при достаточно больших п справедливо неравенство

J - £) - /1(2:)) ¥>*,„(*) <й < 2е/3.

|*|><5

Поэтому

2г

-ЛГ*,г(^ * </^,п - М < у + J ^к,1{Цг -Ь)- к(Ь)) <рк,п№) <

Доказательство пункта (б) получается повторением доказательства пункта (а) с заменой Н(г) на /(ж), на || • ||_&, неравенств (17) и (5) на (19) и (18). >

Доказательство теоремы 1. < Сопоставим каждому ИПП Н С Т его замыкание Я = [Н\ в <?'. Проверим, что соответствие —> [Н]

сюръективно и инективно.

(A) Пусть Я — произвольное ИПП в <5', И = Я П Т. Проверим,

ЧТО [Н\ = Я. Действительно, если / Е Ят = ЯП <5^, то по леммам б, 7 и 8 функции / * £ 'Н и / * —>• / в пространстве при

п —>■ оо. Следовательно, / Е [?/] и Яш С [?/]. Так как Я = иЯт, то и Я С [?/]. Обратное включение [?/] С Я очевидно, следовательно,

н = [Н].

(Б) Теперь пусть — произвольное ИПП в Т, Я = [?/]. Тогда Я — ИПП в е>'. Проверим, что Н ПТ = И. Если к Е ЯПТщ, то На —>• к в для некоторой последовательности ка Е %. Тогда найдется р Е N такое, что все функции На, Н Е <5^, и На —> Н в БП <5^,. По лемме б при к > р + 1 функции ка * (рк,п и Н * принадлежат Тк и На * —>■

Н*(рк,п в пространстве Тк при а —>■ оо. Так как На *</?&,п £ % (лемма 7), то и предел Н*(рк,п £ Наконец, так как по лемме 8 (пункт (а)) Ь * (рк,п ~> Н в Т при п —> оо, то и Н Е

(B) Если 7^1 ф И2 — ИПП в Т, то различны и их замыкания #1 = [Нг] и Я2 = [%] в 5' (так как ^ = Нг П Т ф Ч2 = Я2 П ^). С учетом пункта (А) отсюда следует, что соответствие % —У к = [?/]

является биекцией между ИПП в Т и S', что и доказывает теорему

1. >

Из теоремы 1 и леммы 2 следует, что для описания подпространств в Т, инвариантных относительно дифференцирования, достаточно описать инвариантные относительно сдвигов подпространства в S1. Инвариантные относительно сдвигов подпространства в S' и двойственном пространстве S находятся во взаимно однозначном соответствии по ортодополнительности S' D Н «->■ Н1- С S, где

Н± = {(р £ S :< f,(р >= 0 v/ея}.

Лемма 9. Пространство S является топологической алгеброй относительно свертки. Замкнутое подпространство PCS инвариантно относительно сдвигов тогда и только тогда, когда Р является замкнутым идеалом в S.

< Пусть /, g Е Sp. Проверим, что / * g Е S. Ясно, что / * g Е С°°. Пусть р, a Е Z+ и a < р. Используя неравенство (1), получим оценку

(1 + ж2)р|(/ *g){a)(x)\ < (1 + х2)р J\f(a){x - t)g(t)\dt <

<2р I \f(°)(x-t)\(l + (x-t)2y\g(t)\(l + t2ydt<

< 2pll/llp j IflWKl + t2y dt < C-ll/llpll^lUb (20)

где

С = 2P J(1 + t2)-1 dt = ж2р.

С учетом того, что ||/||р < ||/||р+1, из (20) следует неравенство

\\f*g\\p<c1\\f\\p+1\\g\\p+1, (21)

где Ci — не зависящая от /, g постоянная. Из (21) следует, что f *g Е S и непрерывно зависит от / и д.

Если подпространство PCS инвариантно относительно сдвигов, то, рассуждая как в лемме 7, убеждаемся, что Р выдерживает свертки с любыми функциями из <S, т. е. Р является идеалом в S.

Обратно, пусть Р — замкнутый идеал в S. Последовательность функций (fn(x) Е Т> называется й-образной, если выполняются следующие условия:

1) срп(х) >0 \/х £ R;

2) f(pn(x)dx = 1;

3) для любого £ > 0 носители функций (рп (х) при достаточно больших п принадлежат интервалу (—г,г).

Стандартной проверкой (см., например, [5, с.20-22]) показывается, что f*ipn(x) —f(x) при п —> оо в пространстве S для любой функции / £ S. Если / £ Р, то

St(f * <Рп) = / * -> Stf, t е R.

Так как f * Sty>n G Р, то и *5^/ G Р, т. е. Р инвариантно относительно сдвигов. >

Пространство <S является также топологической алгеброй относительного поточечного умножения функций. Чтобы различать, будем обозначать Smuit пространство S как алгебру относительно поточечного умножения и SConv пространство S как алгебру относительно свертки.

Лемма 10. Преобразование Фурье

Ф : f(x) -»• f{t) = I f{x) eitx dx

является изоморфизмом топологической алгебры Sconv на топологическую алгебру Smult.

< Доказательство сразу следует из обычных свойств преобразования Фурье. >

Соответствие

Н +* Ф(Я^) =Х

устанавливает биекцию между ИПП в S' и замкнутыми идеалами в Smult. Известно, ЧТО Любой ЗаМКНуТЫЙ идеал В Smult локализуем (см. [6,гл. VII, п.З] или [7]) даже для более общего случая S = <S(Rn). При п — 1 локализуемость замкнутого идеала X С Smuit означает, что X однозначно определяется своими нулями (с кратностями). Более точно, точка х £ R называется нулем идеала X, если f(x) = 0 для любой функции / £ X. Кратностью нуля х называется наименьшее натуральное число г = г(х) такое, что /^(ж) / 0 для некоторой функции / £ X. Если f(a\x) = 0 для всех / £ X, a £ N, то х называется нулем бесконечной кратности и в этом случае полагаем г(х) = оо. Пусть

Л = Л(Х) — множество всех нулей идеала X, причем каждый нуль х берется с кратностью г(х). Два замкнутых идеала в Smv.it совпадают тогда и только тогда, когда совпадают их множества нулей (с кратностями).

ргос1 Пусть Н — ИПП в <?', X — соответствующий подпространству Н по соответствию (22) идеал в 5ти/г, Л — множество нулей идеала X. Тогда подпространство Н совпадает с замыканием линейной оболочки содержащихся в нем экспоненциальных одночленов хкегХх, причем хкегХх Е Н тогда и только тогда, когда Л Е Л и к < г (Л).

< Функция хкегХх Е Н тогда и только тогда, когда она ортогональна подпространству Н1- С <5, т. е.

J хке*Хх/(х) с1х = О V/ € н^.

Последнее равенство эквивалентно тому, что

;«(А) = 0 У/еХ

или Л — нуль идеала X кратности больше к.

Пусть #1 — замыкание в линейной оболочки всех функций хкегХх при Л Е Л, к < г (Л). Тогда Н\ — ИПП в <5', Н\ С Н и подпространству Н1 соответствует идеал Х1 в Smv.it с тем же множеством нулей, что и у идеала X. Следовательно, Х\ = Хи Я1 = #. >

Теорема 2. Любое инвариантное относительно дифференцирования подпространство ИСТ допускает спектральный синтез.

< Так как % инвариантно относительно дифференцирования, то по лемме 2 % инвариантно относительно сдвигов на действительные числа (т. е. И — ИПП в Т). Пусть Н = [Н\ — замыкание в <?'. Тогда Н — ИПП в и по теореме 2 Н совпадает с замыканием линейной оболочки функций хкегХх при Л Е Л, к < г (А). Пусть — замыкание в Т линейной оболочки этих функций. Очевидно, что — ИПП в Т и его замыкание [Нг] совпадает с Н. Тогда по теореме 1 Иг = %. >

Следствие Для подпространства ИСТ следующие условия

ЭКВИВАЛЕНТНЫ:

1) И ИНВАРИАНТНО ОТНОСИТЕЛЬНО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ;

2) % ИНВАРИАНТНО ОТНОСИТЕЛЬНО СДВИГОВ НА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА;

3) И ИНВАРИАНТНО ОТНОСИТЕЛЬНО СДВИГОВ НА ЛЮБЫЕ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА.

< Из 1) следует 2) по лемме 2. Из 2) по теореме 3 следует, что И совпадает с линейной оболочкой функции zkelXz. При сдвиге на любое комплексное число линейная оболочка этих функций переходит в себя, откуда следует 3). Наконец из 3) следует 1), так как дифференцирование является непрерывным оператором в Т и линейная оболочка функций zkelXz инвариантна относительно дифференцирования. >

Следствие Для того чтобы подмножество А С R было спектром НЕКОТОРОГО ИПП В Т, НЕОБХОДИМО И ДОСТАТОЧНО, ЧТОБЫ А БЫЛО МНОЖЕСТВОМ НУЛЕЙ НЕКОТОРОГО ИДЕАЛА X С 5шгг/*.

Следствие 2 дает нам некоторое описание всевозможных спектров ИПП и С Т, но можно получить и более явное описание этих спектров.

Пусть А — произвольное подмножество действительных чисел, причем каждое число А Е А входит в А с некоторой кратностью г (А), возможно, бесконечной. Пусть

А& = {А Е А : г(А) = к}, к = 1, 2,..., оо.

ТЕОРЕМА 3. Для того чтобы подмножество А было спектром некоторого ИПП ИСТ, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

1) подмножество Аоо замкнуто в R;

2) подмножество Afin := A\Aoo не более чем счетное, причем все предельные точки этого множества (если они существуют) принадлежат множеству Аоо.

Замечание. По следствию 2 теорема 4 дает также необходимые и достаточные условия для того, чтобы множество А было множеством нулей некоторого идеала I С SmUit. Эти условия приведены без доказательства в работе В.Ф.Молчанова [8], где только сказано, что они следуют из результатов работы [9]. Далее приводится подробное доказательство теоремы 4.

Предварительно докажем несколько лемм. Будем говорить, что

функция f(x) Е <S(a, Ь), если / Е (7°°(а, Ь), и функция

ж Е (а, 6), ж £ (а,6),

(22)

принадлежит пространству <5. В частности, <5(—оо,оо) = <5. В дальнейшем будем всегда считать, что функции из 5(а, 6) принимают нулевые значения при х ^ (а, Ъ) ( т. е. / отождествляется с /).

Введем функции

Очевидно, что 7 Е <5(0, +оо), ф(а,ь) £ <5(а> 6) Va, b Е R U {оо}.

Лемма 11. Для любой функции / Е С°°(а,Ь) существует функция ip(x) Е <S(a, Ь) такая, что

1) ip(x) >0 Уж Е (а, 6);

< Возьмем любую последовательность вложенных в (а, 6) конечных интервалов (а&, Ь&), А: = 1,2,..., такую, что [а&, С (а&+1, &&+].), а& —>■ а, Ьк —> Ь. Пусть ао = Ъо — произвольная точка из интервала (01,61), и дополнительно пусть а_1 := 61, 6-1 := аь Определим последовательность функций

Ф(а,ь)(х) =7(ж-а)7(Ь-ж), a,6eR,

^(-oofi){x) := e~x2^f(b — х), be R,

^(а,+оо)(ж) := 7(ж - а)е~х , а Є R,

^( —оо,+оо) • ^

2) <p(x)f(x) Є <S(a, 6).

(Рк{х) 'Ф(Ьк_1,Ьк+1) + V’fofc + i.afc-i) > & — 0, 1, 2, ,

и числа

max

J?r,S = 0,1, ...&

Функцию у?(ж) определим как сумму ряда

оо

<р(х) = '^22 к01к<рк(х).

(23)

fc=0

Очевидно, что при k > j

\<p[j)(x)\ < а*1,

отсюда

\2~kak^\x)\< 2~к.

Следовательно, ряд (23) равномерно сходится вместе со всеми производными. Поэтому ip Е (7°°(R). Очевидно, что <р(х) > 0 при х Е (а, Ь) и ф(х) = 0 при х £ (а, b), следовательно, ip Е S(a,b).

Чтобы проверить, что ipf Е <S(a, Ь), достаточно показать, что для любых г, s Е Z+

(И-ж2)*(^(а:)/(а;))(г) О

при ж —У а или ж —У Ь, х Е (а, Ь). Для определенности будем считать,что х —У Ъ. Так как

г

(<р(х) f(x))(r) ='^2cpipip)(x) f{r-p)(x),

р=О

то достаточно показать, что

(1 + х2)8(р^ f(r\x) —>• 0 Vj, г, s Е Z+ (24)

при ж —^ Ь. Для любого г > 0 подберем номер I так, чтобы 21_г < г и ^ > hr,s- Заметим, что если ж > 6/, то ж не принадлежит носителям функций фк ПРИ к <1 — 1. Поэтому

|(1 + ж2)У^(ж)/^(ж)| <

ОО ОО 1

< '£2~kMi + ^r\^ij)(x)f^(x)\ < E2_fe = ^т <

к=1 к=1

что доказывает (24). >

Лемма 12. Для любых а,Ъ Е Я, а < Ь, и n, m Е N существует функция ^(а,Ь;п,т)(ж) £ С°°(а,Ь), которая удовлетворяет условиям:

1) 9(a,b;n,m)(x) >0 Vi € (а,6);

2) найдется S > 0, для которого

< В качестве S возьмем любое число 0 < S < (Ь — а)/4. Существует

функция h(x) Е (7°°(R) такая, что h(x) >0 \/х Е R, h(x) = 1 при

\х\ < S и h(x) = 0 при \х\ > 28. Возьмем функцию

д(х) = h(x -a)(x - a)n + ф(а+б,Ь-б) + - b)mh(x - b).

В качестве д(а,Ъ]п,т) можно взять ограничение функции д(х) на интервал (а, Ь). >

Для функции / Е С°°(а,Ь) обозначим через N(f;a,b) множество всех нулей функции / на интервале (а, b), причем пусть каждый нуль содержится в N(f; а, Ь) с кратностью, равной кратности этого нуля. Иногда будем также писать N(f; I) вместо N(f; а, 6), если I = (а, 6).

Лемма 13. Пусть А — конечное или счетное подмножество точек интервала (а, Ь), не имеющее предельных точек внутри (а, Ь), причем каждая точка из А может входить в этот набор с конечной кратностью. Тогда существует функция / Е (7°°(а, 6), для которой N(f; а, 6) = А.

< Упорядочим числа из А в порядке возрастания

. . . < С—2 < С-1 < Со < Cl < С2 <-----

Пусть rik — кратность числа с& в наборе А.

Определим функцию f(x) на каждом отрезке [с&, c&+i] при помощи функций из леммы 12. Положим

/(*) := (-l)”1+”2 + -+n^(cfc,cfc + 1;nfc,nfc+1)(2;)

при х Е [с*;, Cfc+i], к > 0 (при к = 0 считаем, что ni + ... + =0),

f(x) := (-l)”0+”-1+-+nfc+1<7(cfc_1,cfc;nfc_1>nfc)(a;)

при х Е [cfc_i,Cfc], к < 0. Если среди чисел из А существует наибольшее число сдг или наименьшее число см, то дополнительно полагаем

f{x) = (-l)ni+-+nNgick,b-,nN,i)(x) при x€[cN,b), f(x) = (-1)по+п-1+-+пмд{а,см-Л,пм)(х) при хе(а,см]-

Отметим, что в некоторой окрестности каждой точки Ck построенная функция совпадает с функцией (—l)ni+---+nfc(x — c&)nfc при ^>0ис функцией (—i)no+...+nfc_i (ж _ си)Пк при к < 0. Поэтому / Е (7°°(а, Ь).

Очевидно, что нулями /(ж) на (а, Ь) являются только точки с&, причем с& — нуль кратности п&. >

Следствие В условиях леммы 13 существует функция Р(ж) е 5(а, Ь), для которой ЛГ(-Р; а, 6) = А.

< Возьмем функцию /(ж) из леммы 13 и соответствующую ей функцию (р(х) из леммы 11, тогда можно взять функцию Р(ж) = 4>{х)/{х). >

ЛЕММА 14. Пусть А — подмножество в Я, удовлетворяющее условиям 1) и 2) теоремы 4.

Существует функция Р(ж) Е <5 (Л), для которой N (Г, К) = А.

< Пусть Л = Аоо. Множество А замкнуто, поэтому его дополнение И \ А открыто в И, следовательно, представимо в виде объединения конечного или счетного числа непересекающихся интервалов :

ВДА = иД-

к

Для каждого интервала пусть А^) = А П (точки берутся с кратностями). По следствию 3 существует функция /к Е <?(/&) такая, что ЛГ(Л;Д) =Л«. Пусть

/V1 = ш|«

ж£М

0<j,s<k

Возьмем функцию

/(ж) = Е2_%Л(ж)-

к

Легко видеть, что / Е (700 (II) и 7У(/;11) = А. По лемме 11 подберем функцию (р(х) Е 5(11), <р(х) > 0 такую, что Р(ж) = у?(ж) /(ж) Е 5(11). Тогда А^(Р; И) = А. >

Доказательство теоремы 4. < Необходимость условий 1) и 2). Воспользуемся следствием 2. Пусть / Е (7°°(К) и А = Пусть

ж — предельная точка множества А. Тогда существует последовательность жп Е А, жп —>• ж. Переходя к некоторой подпоследовательности, можно считать, что последовательность жп монотонная, для определенности пусть жп+1 > хп. Из непрерывности / следует, что /(ж) = 0. На каждом отрезке [жп,жп+1] найдется точка ж1^ такая,

что f'(xn^) = 0. Так как Хп^ —> х, то из непрерывности /' следует, что f'(x) = 0. Рассуждая аналогично, убеждаемся, что f^k\x) = 0 для всех к Е Z+, следовательно, х Е Л^. В частности, отсюда следует, что множество Лоо замкнуто. Все точки подмножества Лfin = А \ изолированные, поэтому это подмножество не более чем счетное.

Достаточность условий 1) и 2). Пусть подмножество Л удовлетворяет условиям 1) и 2). Обозначим через X замкнутый идеал в Smuit, состоящий из всех функций / Е <S, которые в каждой точке Л Е Л имеют нуль кратности > г (Л). По лемме 4 существует функция / Е X, для которой N(f; R) = Л. Следовательно, множество нулей идеала X совпадает с Л и по следствию 2 Л является спектром некоторого ИПП И С Т. >

Resume

Let Т be the set of all entire functions f(z),z = x + iy, such that

sup I f(x + iy)I (1 + x2)~k < 00 \y\<1

for all / > 0. T is a locally convex space with respect to certain topology.

It is proved that every closed invariant under derivation linear subspace 1~L С T is the closed span of the functions

zkeiXz, Лес, fceNU{oo}.

A set

Л = {A G С : eiXz G Щ

is called the spectrum of H, end we suppose that Л contains in A with the multiplicity r(Л), where

r(A) = inf{k G N U {oo} : zkeiXz $ U}.

The complete description of various spectrums of such subspaces H is obtained.

Литература

[1] Никольский Н. К. Инвариантные подпространства в теории операторов и теории функций // Матем. анализ. (Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР). М., 1974. Т.12. С.199-412.

[2] Красичков-Терновский И. Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций, I // Матем. сб. 1972. Т.87. N4. С.459-489.

[3] Платонов С. С. Подпространства целых функций, инвариантные относительно дифференцирования // Известия ВУЗов (Математика). 1986. N4. С.49-56.

[4] Владимиров В. С. Обобщенные функции и их применение в математической физике М.: Наука. 1979.

[5] Ленг С. SL2(R). М.: Мир, 1977.

[6] Мальгранж Б. Идеалы дифференцируемых функций. М.: Мир, 1968.

[7] Schwartz L. Analyse et synthese harmonique dans les espaces de distributions I/ Canad. Journ. Math. 1951. V.3. P.503-512.

[8] Молчанов В. Ф. Элементарные представления группы Лагерра // Матем. зам. 1978. Т.23. Вып.1. С.31-40.

[9] Уитни X. Об идеалах в кольце дифференцируемых функций // Математика (сб. переводов). 1966. Т.10, N4. С.79-100.